考研数学二真题与解析

2014年考研数学二真题与解析

一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．

１．当+→0x 时，若)(ln x 21+α

，α1

1)cos (x -均是比x 高阶的无穷小，则α的可能取值范围是（ ）

（A ）),(+∞2 （B ）),(21 （C ）),(121 （D ）),(2

10

【详解】α

ααx x 221~)(ln +，是α阶无穷小，ααα2

11

211x x ~)cos (-是α2阶无穷小，由题意可知⎪⎩⎪⎨⎧>>121

α

α

所以α的可能取值范围是),(21，应该选（B ）． 2．下列曲线有渐近线的是

（A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2

（C ）x

x y 1sin

+= （D ）x x y 12

sin +=

【详解】对于x

x y 1sin +=，可知1=∞→x y x lim 且01

==-∞→∞→x x y x x sin lim )(lim ，所以有斜渐近线x y =

应该选（C ）

3．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ）

（A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．

【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断． 显然

x f x f x g )())(()(110+-=就是联接))(,()),(,(1100f f 两点的直线方程．故当0≥'')(x f 时，曲线是凹

的，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）

【详解2】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义不熟悉的话，可令

x f x f x f x g x f x F )())(()()()()(110---=-=，则010==)()(F F ，且)(")("x f x F =，故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，从而010==≤)()()(F F x F ，即0≤-=)()()(x g x f x F ，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）

4．曲线⎩⎨⎧++=+=1

472

2t t y t x ,

上对应于1=t 的点处的曲率半径是（ ）

（Ａ）

5010（Ｂ）100

10 (Ｃ）1010 （Ｄ）105 【详解】 曲线在点))(,(x f x 处的曲率公式3

21)'("y y K +=

，曲率半径K

R 1

=

． 本题中422+==t dt dy t dt dx ,，所以t t t dx dy 21242+=+=，3222

122t

t t dx y d -=-

=，

对应于1=t 的点处13-==",'y y ，所以10

10113

2=

+=)'("y y K ，曲率半径10101

==

K

R ． 应该选（C ）

5．设函数x x f arctan )(=，若)(')(ξxf x f =，则=→2

2

x x ξlim

（ ）

（Ａ）1 （Ｂ）

32 （Ｃ）21 （Ｄ）3

1 【详解】注意（1）2

11x

x f +=

)('，（2）)(arctan ,33

310x o x x x x +-=→时． 由于)(')(ξxf x f =．所以可知x x x x f f arctan )()('==+=

211ξξ，2

2

)(arctan arctan x x x -=ξ，

31313

33

20

2

2

=+-

-=-=→→→x x o x x x x x x

arx x x x x x )

()(lim

)(arctan tan lim

lim

ξ

． 6．设),(y x u 在平面有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有二阶连续偏导数，且满足

02≠∂∂∂y x u

及0222

2=∂∂+∂∂y

u

x u ，则（ ）． （A ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上； （B ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的内部；

（C ）),(y x u 的最大值点在区域D 的内部，最小值点在区域D 的边界上；

（D ）),(y x u 的最小值点在区域D 的内部，最大值点在区域D 的边界上．

【详解】),(y x u 在平面有界闭区域D 上连续，所以),(y x u 在D 内必然有最大值和最小值．并且如果在

内部存在驻点),(00y x ，也就是0=∂∂=∂∂y u

x u ，在这个点处x y u y x u B y

u C x u A ∂∂∂=∂∂∂=∂∂=∂∂=222222,,，由条件，显然02

<-B AC ，显然),(y x u 不是极值点，当然也不是最值点，所以),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上．

所以应该选（A ）．

7．行列式

d

c d c b

a b a

00

00000等于 （A ）2

)(bc ad - （B ）2

)(bc ad -- （C ）2222c b d a - （D ）2

222c b d a +-

【详解】

200000000

00000000)(bc ad d

c b

a bc d c

b a ad d

c c b

a b d c d

b a a d

c d c b

a b a --=+-=+-=

应该选（B ）．

8．设321ααα,, 是三维向量，则对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关是向量321ααα,,线性无关的

（A ）必要而非充分条件 （B ）充分而非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ） 非充分非必要条件 【详解】若向量321ααα,,线性无关，则

（31ααk +，32ααl +）K l k ),,(),,(3213211001αααααα=⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=，对任意的常数l k ,，矩阵K 的秩都等

于2，所以向量31ααk +，32ααl +一定线性无关．

而当⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010001321ααα,,时，对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关，但

321ααα,,线性相关；故选择（A ）．