贵州省贵阳市第一中学2020-2021学年高一下学期第一次月考数学试题 答案和解析
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(1)求证：f(x)=x+2是数列{2nan}的母函数
(2)求数列{an}的前n项和Sn．
(Ⅱ)已知f(x)= 是数列{bn}的母函数，且b1=2，若数列 的前n项和为Tn，
求证：25(1—0.99n)<Tn<250(1—0.999n)(n≥2)．
参考答案
1．A
【分析】
由 ，得到 ，进而得到数列 首项为2，公差为 的等差数列，利用等差数列的通项公式，即可求解，得到答案．
【详解】
由题意，数列 满足 ，即 ，
又由 ，所以数列 首项为2，公差为 的等差数列，
所以 ，故选A．
【点睛】
本题主要考查了等差数列的定义，以及等差数列的通项公式的应用，其中解答中熟记等差数列的定义，以及等差数列的通项公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
2．C
【分析】
在三角形中，根据正弦定理可知 ， ，所以 ，再根据正弦定理即可求出c.
7．在△ABC中，A=60°，a= ，b= ，则B等于( )
A．45°B．60°C．45°或135°D．135°
8．已知两个等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为An和Bn，且 ，则使得 为整数的正整数n的个数是( )
A．2B．3C．5D．4
二、多选题
9．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是（）
【详解】
在三角形中，由正弦定理 知 ， ，所以由内角和定理知 ，由正弦定理 知， ，故选C.
【点睛】
本题主要考查了三角形中正弦定理的应用，属于中档题.
3．D
【解析】
∵a>0，b>0，∴ ， ，
(当且仅当a=b>0时取等号).
则 ， ， ， 中最小的是 .故选D.
4．D
【分析】
根据题意，令 代入原式，化简整理，即可得答案.
A． ，有两解B． ，有两解
C． ，无解D． ，有一解
三、填空题
10．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根为2和－1，则当a<0时，不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是________．
11．已知a、b、c为△ABC的三边长，若满足(a+b-c)(a+b+c)=ab，则∠C的大小为__________；
贵州省贵阳市第一中学【最新】高一下学期第一次月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在数列 中， ， ，则 的值为：
A．52B．51C．50D．49
2．在 中， （ ）
A． B． C． 或 D．以上都不对
∵AC<BC，∴∠B<∠A=60°,则B=45°.故选A.
8．C
【解析】
∵数列{an}和{bn}均为等差数列，且其前n项和An和Bn满足 ，则
.
所以验证知，当n=1，2，3，5，11时， 为整数.故选C.
9．BD
【分析】
由正弦定理，结合大边对大角，三角形内角和定理，进行判断即可.
【详解】
对A项，若 ，由正弦定理可得 ，解得 ，则 ，此时该三角形只有一解，故A错误；
(1)求∠C的度数；
(2)求AB的长；
(3)求△ABC的面积．
17．如图所示，已知⊙O的半径是1，点C在直径AB的延长线上，BC=1，点P是⊙O上半圆上的一个动点，以PC为边作等边三角形PCD，且点D与圆心分别在PC的两侧．
(1)若∠POB=θ，试将四边形OPDC的面积y表示为关于θ的函数；
(2)求四边形OPDC面积的最大值．
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
……
四、解答题
15．已知{an}为等差数列,且a3=－6,a6=0.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若等比数列{bn}满足b1=－8,b2=a1+a2+a3,求{bn}的前n项和公式.
16．在△ABC中，BC=a，AC=b，且a，b是方程 的两根，2cos(A+B)=1．
10．{x|－1≤x≤2}
【详解】
，
，
= ．
故选：D
5．C
【分析】
根据2cosBsinA＝sinC ，由两角和与差的三角函数化简求解.
【详解】
∵在△ABC中，2cosBsinA＝sinC，
∴2cosBsinA＝sinC＝sin（A+B），
∴2cosBsinA＝sinAcosB+cosAsinB，
∴sinAcosB﹣cosAsinB＝0，
18．△ABC中，内角为A，B，C，所对的三边分别是a，b，c，已知 ， ．
（1）求 ；
（2）设 · ,求 ．
19．对于无穷数列{xn}和函数f(x)，若xn+1=f(xn)( )，则称f(x)是数列{xn}的母函数．
(Ⅰ)定义在R上的函数g(x)满足：对任意α，β∈R，都有g(αβ)=αg(β)+βg(α)，且g( )=1；又数列{an}满足an=g( )．
∴sin（A﹣B）＝0，
，
∴A﹣B＝0，即A＝B，
∴△ABC为等腰三角形，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查两角和与差的三角函数，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
6．B
【解析】
由题意得 .
(当且仅当x=2时取最小值)，故选B.
7．A
【解析】
在△ABC中，∠A=60°，a= ，b= ，
∴由正弦定理 得 .
3．已知a>0，b>0，则 ， ， ， 中最小的是( )
A． B． C． D．
4．设 ，那么 等于（）
A． B．
C． D．
5．若在△ABC中，2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是（）
A．等腰直角三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等边三角形
6．函数y= (x>1)的最小值为( )
A．-3B．3C．—4D．4
对B项，若 ，由正弦定理可得 ，解得
根据大边对大角可得 ，则 可以为锐角，也可以为钝角，故三角形有2解，故B正确；
对C项，若 ，由正弦定理可得 ，解得 ，则三角形只有一解，故C错误；
对D项，若 ，由正弦定理可得 ，解得 ，由 ，则 为锐角，可得三角形有唯一解，故D正确；
故选：BD
【点睛】
本题主要考查了由正弦定理判断三角形解的个数，属于中档题.
12．已知数列{an}满足a1=—1，an+1=an+ ，n∈N*，则通项公式an=____________；
13．设2a+1，a，2a—1为钝角三角形的三边，那么a的取值范围是____________；
14．把自然数1，2，3，4，…按下列方式排成一个数阵，根据以下排列规律，数阵中第n(n≥3)行从左至右的第3个数是____________；
(2)求数列{an}的前n项和Sn．
(Ⅱ)已知f(x)= 是数列{bn}的母函数，且b1=2，若数列 的前n项和为Tn，
求证：25(1—0.99n)<Tn<250(1—0.999n)(n≥2)．
参考答案
1．A
【分析】
由 ，得到 ，进而得到数列 首项为2，公差为 的等差数列，利用等差数列的通项公式，即可求解，得到答案．
【详解】
由题意，数列 满足 ，即 ，
又由 ，所以数列 首项为2，公差为 的等差数列，
所以 ，故选A．
【点睛】
本题主要考查了等差数列的定义，以及等差数列的通项公式的应用，其中解答中熟记等差数列的定义，以及等差数列的通项公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
2．C
【分析】
在三角形中，根据正弦定理可知 ， ，所以 ，再根据正弦定理即可求出c.
7．在△ABC中，A=60°，a= ，b= ，则B等于( )
A．45°B．60°C．45°或135°D．135°
8．已知两个等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为An和Bn，且 ，则使得 为整数的正整数n的个数是( )
A．2B．3C．5D．4
二、多选题
9．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是（）
【详解】
在三角形中，由正弦定理 知 ， ，所以由内角和定理知 ，由正弦定理 知， ，故选C.
【点睛】
本题主要考查了三角形中正弦定理的应用，属于中档题.
3．D
【解析】
∵a>0，b>0，∴ ， ，
(当且仅当a=b>0时取等号).
则 ， ， ， 中最小的是 .故选D.
4．D
【分析】
根据题意，令 代入原式，化简整理，即可得答案.
A． ，有两解B． ，有两解
C． ，无解D． ，有一解
三、填空题
10．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根为2和－1，则当a<0时，不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是________．
11．已知a、b、c为△ABC的三边长，若满足(a+b-c)(a+b+c)=ab，则∠C的大小为__________；
贵州省贵阳市第一中学【最新】高一下学期第一次月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在数列 中， ， ，则 的值为：
A．52B．51C．50D．49
2．在 中， （ ）
A． B． C． 或 D．以上都不对
∵AC<BC，∴∠B<∠A=60°,则B=45°.故选A.
8．C
【解析】
∵数列{an}和{bn}均为等差数列，且其前n项和An和Bn满足 ，则
.
所以验证知，当n=1，2，3，5，11时， 为整数.故选C.
9．BD
【分析】
由正弦定理，结合大边对大角，三角形内角和定理，进行判断即可.
【详解】
对A项，若 ，由正弦定理可得 ，解得 ，则 ，此时该三角形只有一解，故A错误；
(1)求∠C的度数；
(2)求AB的长；
(3)求△ABC的面积．
17．如图所示，已知⊙O的半径是1，点C在直径AB的延长线上，BC=1，点P是⊙O上半圆上的一个动点，以PC为边作等边三角形PCD，且点D与圆心分别在PC的两侧．
(1)若∠POB=θ，试将四边形OPDC的面积y表示为关于θ的函数；
(2)求四边形OPDC面积的最大值．
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
……
四、解答题
15．已知{an}为等差数列,且a3=－6,a6=0.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若等比数列{bn}满足b1=－8,b2=a1+a2+a3,求{bn}的前n项和公式.
16．在△ABC中，BC=a，AC=b，且a，b是方程 的两根，2cos(A+B)=1．
10．{x|－1≤x≤2}
【详解】
，
，
= ．
故选：D
5．C
【分析】
根据2cosBsinA＝sinC ，由两角和与差的三角函数化简求解.
【详解】
∵在△ABC中，2cosBsinA＝sinC，
∴2cosBsinA＝sinC＝sin（A+B），
∴2cosBsinA＝sinAcosB+cosAsinB，
∴sinAcosB﹣cosAsinB＝0，
18．△ABC中，内角为A，B，C，所对的三边分别是a，b，c，已知 ， ．
（1）求 ；
（2）设 · ,求 ．
19．对于无穷数列{xn}和函数f(x)，若xn+1=f(xn)( )，则称f(x)是数列{xn}的母函数．
(Ⅰ)定义在R上的函数g(x)满足：对任意α，β∈R，都有g(αβ)=αg(β)+βg(α)，且g( )=1；又数列{an}满足an=g( )．
∴sin（A﹣B）＝0，
，
∴A﹣B＝0，即A＝B，
∴△ABC为等腰三角形，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查两角和与差的三角函数，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
6．B
【解析】
由题意得 .
(当且仅当x=2时取最小值)，故选B.
7．A
【解析】
在△ABC中，∠A=60°，a= ，b= ，
∴由正弦定理 得 .
3．已知a>0，b>0，则 ， ， ， 中最小的是( )
A． B． C． D．
4．设 ，那么 等于（）
A． B．
C． D．
5．若在△ABC中，2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是（）
A．等腰直角三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等边三角形
6．函数y= (x>1)的最小值为( )
A．-3B．3C．—4D．4
对B项，若 ，由正弦定理可得 ，解得
根据大边对大角可得 ，则 可以为锐角，也可以为钝角，故三角形有2解，故B正确；
对C项，若 ，由正弦定理可得 ，解得 ，则三角形只有一解，故C错误；
对D项，若 ，由正弦定理可得 ，解得 ，由 ，则 为锐角，可得三角形有唯一解，故D正确；
故选：BD
【点睛】
本题主要考查了由正弦定理判断三角形解的个数，属于中档题.
12．已知数列{an}满足a1=—1，an+1=an+ ，n∈N*，则通项公式an=____________；
13．设2a+1，a，2a—1为钝角三角形的三边，那么a的取值范围是____________；
14．把自然数1，2，3，4，…按下列方式排成一个数阵，根据以下排列规律，数阵中第n(n≥3)行从左至右的第3个数是____________；