高中数学总结归纳 命题及其关系

点拨命题及其关系

命题及其关系主要有两方面的内容，一是命题的四种形式的转换，方法是，首先确定原命题的条件和结论，然后对条件与结论进行交换、否定，就可以得到各种形式的命题。如图：

二是命题真假的判断，主要是从形式和内容两个方面来判断，依据是：（1）条件与结论是否进行了交换，条件与结论是否进行了否定，是否定后再交换，还是交换后又否定的；（2）从命题所包含的知识点来判断，判断的正确与否反

映了对这一知识点的掌握情况，实际上每一个命题的题目都是一个综合题；另外，可以根据互为逆否命题具有相同的真假性来判断。

【例】写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断真假： （１）,x y R ∀∈，若2

xy x =，则0x =； （２）对角线相等的四边形是矩形； （３）若2

π

αβ+=

，则sin cos αβ=；

（４）,,,a b c d R ∈，若,a c b d ==，则ab cd =；

解：（１）逆命题：,x y R ∀∈，若0x =，则2

xy x =；是真命题； 否命题：,x y R ∀∈，若2

xy x ≠，则0x ≠；是真命题； 逆否命题：,x y R ∀∈，若0x ≠，则2

xy x ≠；是假命题。

（２）逆命题：矩形的对角线相等；是真命题；否命题：对角线不相等的四边形不是矩形；是真命题；

逆否命题：若四边形不是矩形，则其对角线不相等；是假命题。 （３）逆命题：若sin cos αβ=，则2

π

αβ+=；是假命题；

否命题：若2

π

αβ+≠

，则sin cos αβ≠；是假命题；

互否 互否

互逆

互逆

原命题：

若p ，则q 否命题： 若p ⌝，则q ⌝

逆否命题： 若q ⌝，则p ⌝

逆命题： 若q ，则p

逆否命题：若sin cos αβ≠，则2

π

αβ+≠

；是真命题。

（４）逆命题：,,,a b c d R ∈，若ab cd =，则,a c b d ==；是假命题； 否命题：,,,a b c d R ∈，若,a c b d ≠≠，则ab cd ≠；是假命题； 逆否命题：,,,a b c d R ∈，若ab cd ≠，则,a c b d ≠≠；是真命题。

点拨：在写逆命题、否命题和逆否命题时，注意找准条件和结论，这一步作对了，一般都可以写对命题；命题的真假的判断可以运用推理证明的方法，或举反例的方法，或者根据它的逆否命题的真假来判断。 强化练习题： 判断下列命题的真假：

（１）3x >且6y >是9x y +>的充要条件；

（２）命题“若x A B ∈U ，则x A ∈”的逆命题与逆否命题； （３）命题“若3x <-，则13x ->”的否命题与逆否命题； （４）,x R y R ∀∈∃∈，使0x y +=。 解：（１）是假命题；

（２）命题“若x A B ∈U ，则x A ∈”的逆命题是：“若x A ∈，则x A B ∈U ”，是真命题； 逆否命题是：“若x A ∉，则x A B ∉U ”，是假命题；

（３）命题“若3x <-，则13x ->”的否命题是：“若3x ≥-，则13x -≤”，是假命题；逆否命题是：“若13x -≤，则3x ≥-”，是真命题。 （４）是真命题。

点拨：（１）3x >且6y >⇒ 9x y +>；而由9x y +>不能推出3x >且6y >，例如，0,10x y ==，所以是假命题。

（２）（３）都可以根据集合之间的关系判断。（４）,x R y R ∀∈∃∈，使0x y +=。

0x y +=，即y x =-，因为x R ∀∈，x 都有相反数，即y 的值存在。