沪教版中考复习：一模复习之特殊三角形的存在性

特殊三角形的存在性

知识结构

模块一：直角三角形的存在性

考点分析

直角三角形的存在性问题，分类特征非常明显，首先考虑三角形的哪个角有可能称为直角，再把这个角为直角作为条件，并结合题目中的条件在进行说理计算．此类综合题需要用到的知识点较多，用于考察同学们的思维和分析能力．

O x

y

【例1】 （2015学年·奉贤区一模·第24题）如图，二次函数2y x bx c =++图像经过原点和

点A （2，0），直线AB 与抛物线交于点B ，且45BAO ∠=︒. （1）求二次函数解析式及其顶点C 的坐标；

（2）在直线AB 上是否存在点D ，使得BCD ∆为直角三角形.若存在，求出点D 的坐标，若不存在，说明理由.

【难度】★★★ 【答案】 【解析】

【例2】 （2015学年·虹口区一模·第24题）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线

23y ax bx =++与x 轴分别交于点A （2，0）、点B （点B 在点A 的右侧），与y 轴交

于点C ，1

tan 2

CBA ∠=

． （1）求该抛物线的表达式；

（2）设该抛物线的顶点为D ，求四边形ACBD 的面积；

（3）设抛物线上的点E 在第一象限，BCE ∆是以BC 为一条直角边的直角三角形，请直接写出点E 的坐标．

【难度】★★★ 【答案】 【解析】

例题解析

B

A

O

y

x

A

B

C

P

M

A

B

C

D

E

F

G

【例3】 如图，在ABC ∆中，AB = AC = 5 cm ，BC = 8 cm ，点P 为BC 边上一动点（不与点

B 、

C 重合），过点P 作射线PM 交AC 于点M ，使APM B ∠=∠． （1）求证：ABP ∆∽PCM ∆；

（2）设BP = x ，CM = y ，求y 与x 的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当PCM ∆为直角三角形时，求点P 、B 之间的距离． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】

【例4】 （2015学年·静安区一模·第25题）已知：在梯形ABCD 中，AD // BC ，AC = BC =

10，5

4

cos =

∠ACB ，点E 在对角线AC 上，且CE = AD ，BE 的延长线与射线AD 、射线CD 分别相交于点F 、G ．设AD = x ，AEF ∆的面积为y ． （1）求证：DCA EBC ∠=∠；

（2）如图，当点G 在线段CD 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）如果DFG ∆是直角三角形，求AEF ∆的面积． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】

x

y

A B C

O

等腰三角形的存在性问题也是考察分类讨论思想的一类题型，多次出现在初三的一模考、二模考，甚至中考的压轴题中，注重考察学生的想象、分析和运算的能力．分类讨论的解题思路大致可以总结为，根据不同的边（角）相等，根据相关性质（最好同时作出不同情况下的等腰三角形），再利用含有字母的代数式建立方程进行求解．

【例5】 （2013学年·宝山区一模·第25题）如图，已知抛物线21

44

y x bx =-++与x 轴相

交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，若已知B 点的坐标为B （8，0）． （1）求抛物线的解析式及其对称轴；

（2）连接AC 、BC ，试判断AOC ∆与COB ∆是否相似？并说明理由；

（3）M 为抛物线上BC 之间的一点，N 为线段BC 上的一点，若MN //y 轴，求MN 的最大值；

（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使ACQ ∆为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】

模块二：等腰三角形的存在性

例题解析

考点分析

A

B

C

D

E

P

Q

【例6】 （2015学年·徐汇区一模·第25题）如图，四边形ABCD 中，60C ∠=︒，5AB AD ==，

8CB CD ==，点P Q 、分别是边AD BC 、上的动点，AQ 和BP 交于点E ，且

1

902

BEQ BAD ∠=︒-∠，设A P 、两点的距离为x ．

（1）求BEQ ∠的正切值； （2）设

AE

y PE

=，求y 关于x 的函数解析式及定义域； （3）当AEP ∆是等腰三角形时，求B Q 、两点的距离． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】

【例7】 （2015学年·崇明县一模·第25题）如图，已知矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，

E 是BC 边上一点（不与B 、C 重合），过点E 作E

F AE ⊥交AC 、CD 于点M 、F ，过点B 作B

G AC ⊥，垂足为G ，BG 交AE 于点

H ． （1）求证：ABH ∆∽ECM ∆； （2）设BE x =，

EH

y EM

=，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3）当BHE ∆为等腰三角形时，求BE 的长． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】

A

B D

F

C

M

G H

E