沪教版中考复习：一模复习之特殊三角形的存在性
特殊三角形的存在性(讲义及答案)
特殊三角形的存在性（讲义）➢知识点睛1.存在性问题的处理思路①分析不变特征分析背景图形中的定点，定线，定角等不变特征．②分类、画图结合图形形成因素（判定，定义等）考虑分类，画出符合题意的图形．通常先尝试画出其中一种情形，分析解决后，再类比解决其他情形．③求解、验证围绕不变特征，画图依据来设计方案进行求解；验证时，要回归点的运动范围，画图或推理，判断是否符合题意．注：复杂背景下的存在性问题往往需要研究背景图形，几何背景往往研究点，线，角；函数背景研究点坐标，表达式等．2.等腰三角形的存在性不变特征及特征下操作要点举例：①两定一动连接两个定点得定线段，定线段在等腰三角形中作腰或底进行分类（两圆一线），通常借助腰相等或者“三线合一”进行求解．②夹角固定、两点动若固定的夹角为锐角，则固定的角可作等腰三角形的顶角或底角进行分类；若固定的夹角为钝角，则只能作为等腰三角形的顶角，通常借助等腰三角形腰相等或者“三线合一”进行求解．③三动点三边两两相等或者三个角两两相等分类，表达线段或者角度，借助等腰三角形性质进行求解．3.直角三角形的存在性特征分析及特征下操作要点：理论上三角形的三个顶点分别作为直角顶点进行分类（往往存在不变特征，分析排除不可能为直角顶点的情况），通常借助三等角模型，k1·k2=-1或勾股定理等进行求解．4. 等腰直角三角形的存在性特征分析及特征下操作要点：三角形的三个顶点分别为直角顶点进行分类，在直角的基础上，再考虑等腰，通常借助构造弦图模型进行求解．➢ 精讲精练1. 已知在矩形纸片ABCD 中，AD =8，AB =6，点E 在BC 边上，沿直线AE 折叠纸片，使点B 落在点F 处，连接FC ．当△CEF 为直角三角形时，BE 的长为________________．DC B ADCB A2. 如图，矩形ABCD 中，AB =4，AD =6，点E 为AD 中点，点P 为线段AB 上一个动点，连接EP ，将△APE 沿EP 折叠得到△EPF ，连接CE ，CF ．当△ECF 为直角三角形时，AP 的长为_________．ABCDEFP3. 如图，已知□ABCD 中，AB =16，AD =10，sin A =35，点M 为AB 边上一动点，过点M 作MN ⊥AB ，交AD 边于点N ，将∠A 沿直线MN 翻折，点A 落在线段AB 上的点E 处，当 △CDE 为直角三角形时，AM 的长为____________．ABCD EMN4. 如图，在△ABC 中，AB =BC =4，AO =BO ，P 是射线CO 上的一个动点，∠AOC =60°，则当△P AB 为直角三角形时，AP 的长为______________．OPCBAOCBA5. 如图，在矩形ABCD 中，AB =3，AD =7，点E 是AD 边上的一点，连接BE ，将BE 绕点E 顺时针旋转90°至B′E ，连接B′D ，当△B′ED 是直角三角形时，AE 的长为___________．B'EDCBA6. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =8，BC =6，点E 是AB 边上一动点，过点E 作DE ⊥AB 交AC 边于点D ，将∠A 沿直线DE 翻折，点A 落在线段AB 上的点F 处，连接FC ．当△BCF 为等腰三角形时，AE 的长为_________________．ABCDE F CBAOCBA7. 已知：如图，在矩形ABCD 中，AB =10，AD =5，将矩形ABCD 折叠，使点C落在边AB 上的E 处，折痕交DC 边于点M ，点F 在DM 上运动，当△AEF 是腰长为5的等腰三角形时，EF 的长为______________．ABCD EF M8. 如图，在矩形ABCD 中，AB=AD =4，点E 是BC 边上的一个动点，连接AE ，过点D 作DF ⊥AE 于点F ，连接CF ．当△CDF 是等腰三角形时，BE 的长为____________．9. 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =4，sin ∠BAC 35，E 是AB 延长线上一点，连接并延长EC ，过点A 作AD ∥BC ，交EC 的延长线于点D ．则当△ACD 是等腰三角形时，BE 的长为______________．A B C DE A B CA BC10. 在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =2，AB =CD =4，且∠B =60°，M 是CD 上一动点，作MN ⊥CD ，交BC 于N ，将∠C 沿MN 翻折，使点C 落在射线CD 上的点E 处．当△ANE 为等腰三角形时，CM 的长为_______________．MNED CBA11. 如图，BC ⊥y 轴，BC ＜OA ，点A ，点C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，D 是线段BC 上一点，BD =14OA，AB =3，∠OAB =45°，E ，F 分别是线段OA ，AB 上的两动点，且始终保持∠DEF =45°．使△AEF 为等腰三角形，则线段OE 的值为___________．12. 如图，在矩形ABCD 中，AB =8，AD =6，点E 为AB 上一点，AE=F在AD 上，将△AEF 沿EF 折叠，当折叠后点A 的对应点A′恰好落在BC 的垂直平分线上时，折痕EF 的长为__________．A BCD EFA'13. 如图，四边形ABCD 是菱形，AB =2，∠ABC =30°，点E 是射线DA 上一动点，把△CDE 沿CE 折叠，其中点D 的对应点为点D′，若CD′垂直于菱形ABCD 的边时，则DE 的长为___________．EDCB AD′14. 在矩形ABCD 中，AB =4，BC =9，点E 是AD 边上一动点，将边AB 沿BE 折叠，点A 的对应点为A′，若点A′到矩形较长两对边的距离之比为1:3，则AE 的长为____________．15. 在矩形ABCD 中，AB =6，BC =12，点E 在边BC 上，且BE =2CE ，将矩形沿过点E 的直线折叠，点C ，D 的对应点分别为C ′，D ′，折痕与边AD 交于点F ，当点B ，C ′，D ′恰好在同一直线上时，AF 的长为___________．【参考答案】1.3或62.1或9 43.4或84.5.46.2，75或527. 58.2，4-9.4，6或810.74或7511.3，212.4或13.3或214.15.8+8-。
中考数学专题复习《特殊三角形存在性问题+将军饮马问题》
特殊三角形存在性问题+将军饮马问题1.如图1，已知长方形OABC的顶点O在坐标原点，A、C分别在x、y轴的正半轴上，顶点B(8，6)，直线y= -x+b经过点A交BC于D、交y轴于点M，点P是AD的中点，直线OP交AB于点E．(1)求点D的坐标及直线OP的解析式；(2)点N是直线AD上的一动点(不与A重合)，设点N的横坐标为a，请写出△AEN的面积S和a之间的函数关系式，并请求出a为何值时S=12；(3)在x轴上有一点T(t，0)(5<t<8)，过点T作x轴的垂线，分别交直线OE、AD于点F、G，在线段AE上是否存在一点Q，使得△FGQ为等腰直角三角形，若存在，请写出点Q的坐标及相应的t的值；若不存在，请说明理由．2.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-2x+4交坐标轴于A、B两点，过x轴负半轴上一点C作直线CD交y轴正半轴于点D，且△AOB≌△DOC．(1)OC= ，OD= ；(2)点M(-1，a)是线段CD上一点，作ON⊥OM交AB于点N，连接MN，则点N的坐标为 ；(3)若E(1，b)为直线AB上的点，P为y轴上的点，请问：直线CD上是否存在点Q，使得△EPQ是以E为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请求出此时Q点的坐标；若不存在，请说明理由．3.如图，已知：在矩形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，点P从点B出发，沿BC方向匀速运动，速度为2cm/s；与点P同时，点Q从D点出发，沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s；过点Q作QE∥AC，交DC于点E，设运动时间为t(s)，(0<t<2)，解答下列问题：(1)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使PQ平分∠APC？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；(2)设五边形APCEQ的面积为y，求y与t的函数关系式；(3)是否存在某一时刻t，使△PQE是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．4.如图，已知直线l1经过点(5，6)，交x轴于点A(-3，0)，直线l2：y=3x交直线l1于点B．(1)求直线l1的函数表达式和点B的坐标；(2)求△AOB的面积；(3)在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．5.如图，直线l1经过A(6，0)、B(0，8)两点，点C从B出发沿线段BO以每秒1个单位长度的速度向点O运动，点D从A出发沿线段AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，设运动时间为t秒(t>0)，(1)求直线l1的表达式；(2)当t= 时，BC=BD；(3)将直线l1沿x轴向右平移3个单位长度后，与x轴，y轴分别交于E、F两点，求四边形BAEF的面积；(4)在第一象限内，是否存在点P，使A、B、P三点构成等腰直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．6.如图，在平面直角坐标系中，直线AB:y=-54x+74与x轴交于点C，且点A(-1，m)，B(n，-2)．(1)求点C的坐标；(2)求原点O到直线AB的距离；(3)在x轴上是否存在一点P，使得△ACP是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．7.如图，已知函数y=x+1的图象与y轴交于点A，一次函数y=kx+b的图象经过点B(0，-1)，与x轴以及y=x+1的图象分别交于点C、D．(1)若点D的横坐标为1，求四边形AOCD的面积；(2)若点D的横坐标为1，在x轴上是否存在点P，使得以点P，C，D为顶点的三角形是直角三角形？若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．8.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，等腰直角三角形OAB的斜边OB在x轴上，∠OAB=90°，点A(3，3)．(1)求点B的坐标；(2)点P从点O出发沿x轴以每秒2个单位的速度向x轴正方向运动，设点P运动时间为t秒，求t为何值时，OP=2PB；(3)在(2)的条件下，当OP=2PB时，在第一象限内是否存在点Q，使△BPQ为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；(写出四个即可)若不存在，请说明理由．9.如图，在平面直角坐标系中A(a，0)，B(0，b)，满足a2-4a+4+|b-4|=0．(1)求A，B两点的坐标；(2)∠OBA的平分线BC与∠OAB的外角平分线AM交于点C，求点∠C的度数；(3)在平面内是否存在点P，使△ABP为等腰直角三角形．若存在，请写出点P的个数，并直接写出其中两个点的坐标；若不存在，请说明理由．10.问题探究(1)如图1，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，点E是边BC上一点，AB=EC，BE=CD，连接AE，DE，判断△AED的形状，并说明理由．(2)如图2，在△ABC中，∠C=90°，点D为边CA的延长线上一点，且AD=2BC，过点A作AE⊥AB且AE=AB，连接DE，求证：DE=AE．(3)如图3，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(3，2)，连接OA，在x轴上方是否存在一点B，使得△OAB是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点B的坐标；若不存在，请说明理由．11.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=11cm，BC=8cm，点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿AB向点B匀速运动，同时点Q从点B出发以每秒2cm的速度沿BC向点C匀速运动，到达点C后返回点B，当有一点停止运动时，另一点也停止运动，设运动时间为t秒．(1)当t=1时，直接写出P，Q两点间的距离．(2)是否存在t，使得△BPQ是等腰三角形，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．(3)是否存在t，使得△BPQ的面积等于10cm2，若存在，请求出t的值：若不存在，请说明理由．12.如图，在平面直角坐标中，把长方形OABC沿对角线OB所在的直线折叠，点A落在点D处，OD与BC交于点E．已知OA=6，OC=3．(1)求出过点A，E的直线的函数表达式．(2)在x轴上是否存在点F，使△OBF为等腰三角形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．13.如图，等腰直角△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，现将该三角形放置在平面直角坐标系中，点B坐标为(0，3)，点C坐标为(9，0)．过点A作AD⊥x轴，垂足为D．(1)求OD的长及点A的坐标；(2)取AB中点E，连接OE、DE，请你判定OE与DE的关系，并证明你的结论；(3)连接OA，已知OA=15，试探究在x轴上是否存在点Q，使△OAQ是以OA为腰的等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．14.如图，直线l1：y=x+3与过点A(3，0)的直线l2交于点C(1，m)，与x轴交于点B，CD⊥x轴于点D．(1)求点B和点C的坐标；(2)求直线l2的函数表达式；(3)在x轴上是否存在点P，使得以B、C、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．15.在平面直角坐标系xOy中，直线l过(1，3)和(3，1)两点，且与x轴，y轴分别交于A、B两点．(1)求直线l对应的函数解析式；(2)求△AOB的面积；(3)在x轴上是否存在一点C，使△ABC为等腰三角形，若存在，直接写出点C坐标；若不存在，请说明理由．16.古罗马时代，亚历山大有一个著名的学者叫海伦，一天罗马的一位将军专程跑去问海伦这样一个问题：每天从军营A出发，先到河边给马喝水，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？海伦思考后便给出了答案，也就是现在著名的“将军饮马”问题．其实“将军饮马”实质要解决的问题是：要在直线l上找一点P使得PA+PB的值最小．(1)如图1，点A到直线l的距离AO1=2，点B到直线l的距离BO2=3，O1O2=4，要解决该最小值问题，如图2，作点A关于直线l的对称点A'，连结A'B交直线l于点P，此时P即为所求点，则PA+PB的最小值为 ；(2)如图3，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=8，∠ACB=90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是 ；(3)如图4，正方形ABCD的边长是6，点E是AD边上一动点，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，点P是AD边上另一动点，则PC+PF的最小值为 ．17.【情景回顾】在进行13.4《最短路径问题》的学习时，同学们从一句唐诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”(唐•李颀《古从军行》出发，一起研究了蕴含在其中的数学问题--“将军饮马”问题．同学们先研究了最特殊的情况，再利用所学的轴对称知识，将复杂问题转化为简单问题，找到了问题的答案，并进行了证明．下列图形分别说明了以上研究过程．证明过程如下：如图4，在直线l上另取任一点C'，连结AC'，BC'，B'C'，∵点B，B'关于直线l对称，点C，C'在l上，∴CB= ，C'B= ，∴AC+CB=AC+CB'= ．在△AC'B'中，∵AB'<AC'+C'B'，∴AC+CB<AC'+C'B'，即AC+CB最小．【问题解决】(1)请将证明过程补充完整．(直接填在横线上)(2)课堂小结时，小明所在的小组同学提出，如图1，A，B是直线/同旁的两个定点．在直线l上是否存在一点P，使PB-PA的值最大呢？请你类比“将军饮马”问题的探究过程，先说明如何确定点P的位置，再证明你的结论是正确的．(3)如图，平面直角坐标系中，M(2，2)，N(4，-1)，MN=13，P是坐标轴上的点，则|PM-PN|的最大值为 ，此时P点坐标为 ．(直接写答案)18.龙岗区八年级某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得PA+PB的值最小．解法：如图1，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点即为P，且PA+PB的最小值为A′B．请利用上述模型解决下列问题：(1)格点应用：如图2，边长为1的正方形网格内有两点A、B，直线l与A、B的位置如图所示，点P是直线l上一动点，则PA+PB的最小值为 ；(2)几何应用：如图3，△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=6，E是AB的中点，P是BC边上的一动点，则PA+PE的最小值为 ；(3)代数应用：代数式x2+4+6-x2+36(0≤x≤6)的最小值为 ．19.古罗马时代，亚历山大有一个著名的学者叫海伦，一天罗马的一位将军专程跑去问海伦这样一个问题：每天从军营A出发，先到河边给马喝水，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？海伦思考后便给出了答案，也就是现在著名的“将军饮马”问题．其实“将军饮马”实质要解决的问题是：要在直线l上找一点P使得PA+PB的值最小．(1)如图1，点A到直线l的距离AO1=1，点B到直线l的距离BO2=3，O1O2=3，要解决该最小值问题，如图2，作点A关于直线l的对称点A′，连结A′B交直线l于点P，此时P即为所求点，则PA+PB的最小值为 ；(2)如图3，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=4，∠ACB=90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是 ；(3)如图4，在正△ABC中，AB=4，P、M、N分别是BC、CA、AB上的动点，①PM+MN的最小值为 ；②求PM+MN+NP的最小值．(4)如图5，正方形ABCD的边长为4，E、F分别是边AB和BC上的动点且始终满足AE=BF，连结DE、DF，求DE+DF的最小值．20.【源模：模型建立】白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．--《古从军行》唐李欣诗中隐含着一个有趣的数学问题，我们称之为“将军饮马”问题．关键是利用轴对称变换，把直线同侧两点的折线问题转化为直线两侧的线段问题，从而解决距离和最短的一类问题．“将军饮马”问题的数学模型如图4所示：【新模1：模型应用】如图1，正方形ABCD的边长为3，点E在边AB上，且BE=1，F为对角线AC上一动点，欲使△BFE周长最小．(1)在图中确定点F的位置(要有必要的画图痕迹，不用写画法)；(2)△BFE周长的最小值为 ．【新模2：模型变式】(3)如图2，在矩形ABCD中，AB=5，AD=4，在矩形ABCD内部有一动点P，满足S△PAB=14S，矩形ABCD 则点P到A，B两点的距离和PA+PB的最小值为 ．【超模：模型拓广】(4)如图3，∠ABD=∠BDE=90°，AB=2，BD=DE=3．请构造合理的数学模型，并借助模型求x2+4+3-x2+9(x>0)的最小值．21.古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营A，B．他总是先去A营，再到河边饮马，之后，再巡查B营．他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．如图2，作B关于直线l的对称点B′，连结AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置．证明：如图3，在直线l上另取任一点C′，连结AC′，BC′，B′C′，∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上，∴CB= ，C′B= ，∴AC+CB=AC+CB′= ．在△AC′B′，∵AB′<AC′+C′B′，∴AC+CB<AC′+C′B′即AC+CB最小．本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决(其中C在AB′与l的交点上，即A，C，B′三点共线)．本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型．拓展应用：如图4，等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，BD平分∠ABC交AC于D，点P是BD上一个动点，点M是BC上一个动点，请在图5中画出PC+PM的值最小时P的位置．(可用三角尺)22.李明酷爱数学，勤于思考，善于反思．在学习八年级下册数学知识之后，他发现“二次根式、勾股定理、一次函数、平行四边形”都和“将军饮马”问题有关联，并且为解决“饮马位置”“最短路径长”等问题，提供了具体的数学方法．于是他撰写了一篇数学作文．请你认真阅读思考，帮助李明完成相关问题．“将军饮马”问题的探究与拓展八年级三班李明“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”(唐•李颀《古从军行》)，这句诗让我想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从A地出发到河边l饮马，然后再到B地军营视察，怎样走路径最短？【数学模型】如图1，A，B是直线l同旁的两个定点．在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．【问题解决】作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B交l于点P，则点P即为所求．此时，PA+PB的值最小，且PA+PB=A'P+PB=A'B．【模型应用】问题1．如图2，经测量得A，B两点到河边l的距离分别为AC=300米，BD=900米，且CD=900米．请计算出“将军饮马”问题中的最短路径长．问题2．如图3，在正方形ABCD中，AB=9，点E在CD边上，且DE=2CE，点P是对角线AC上的一个动点，则PE+PD的最小值是 ．问题3．如图4，在平面直角坐标系中，点A(-2，4)，点B(4，2)．(1)请在x轴上确定一点P，使PA+PB的值最小，并求出点P的坐标；(2)请直接写出PA+PB的最小值．【模型迁移】问题4．如图5，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=12，BD=16．点P和点E分别为BD，CD上的动点，求PE+PC的最小值．23.【模型介绍】古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营A，B．他总是先去A营，再到河边饮马，之后，再巡查B营．如图①，他时常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．如图②，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点P，连接PB，则AP+BP的和最小．请你在下列的阅读、理解、应用的过程中，完成解答．理由：如图③，在直线l上另取任一点P′，连接AP′，BP′，B′P′，∵直线l是点B，B′的对称轴，点P，P′在l上，∴PB= ，P′B= ，∴AP+PB=AP+PB′= ．在△AP′B′中，∵AB′<AP′+P′B′，∴AP+PB<AP+P′B′，即AP+BP最小．【归纳总结】在解决上述问题的过程中，我们利用轴对称变换，把点A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决(其中点P为AB′与l的交点，即A，P，B′三点共线)．由此，可拓展为“求定直线上一动点与直线同侧两定点的距离和的最小值”问题的数学模型．【模型应用】(1)如图④，正方形ABCD的边长为4，E为AB的中点，F是AC上一动点．求EF+FB的最小值．解析：解决这个问题，可借助上面的模型，由正方形对称性可知，点B与D关于直线AC对称，连接DE交AC于点F，则EF+FB的最小值就是线段ED的长度，则EF+FB的最小值是 ．(2)如图⑤，圆柱形玻璃杯，高为14cm，底面周长为16cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短路程为 cm．(3)如图⑥，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC=60°，将△ABD沿射线BD的方向平移，得到△A′B′D′，分别连接A′C，A′D，B′C，则A′C+B′C的最小值为 ．24.早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．如图2，作B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置．证明：如图3，在直线l上另取任一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上，∴CB=CB′，C′B=C′B′，∴AC+CB=AC+ = ．在△AC′B′中，∵AB′<AC′+C′B′∴AC+CB<AC′+C′B′即AC+CB最小．本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决(其中C在AB′与l的交点上，即A、C、B′三点共线)．本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型．【简单应用】(1)如图4，在等边△ABC中，AB=6，AD⊥BC，E是AC的中点，M是AD上的一点，求EM+MC的最小值借助上面的模型，由等边三角形的轴对称性可知，B与C关于直线AD对称，连接BM，EM+MC的最小值就是线段 的长度，则EM+MC的最小值是 ；(2)如图5，在四边形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分别找一点M、N当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM= °．【拓展应用】如图6，是一个港湾，港湾两岸有A、B两个码头，∠AOB=30°，OA=1千米，OB=2千米，现有一艘货船从码头A出发，根据计划，货船应先停靠OB岸C处装货，再停靠OA岸D处装货，最后到达码头B．怎样安排两岸的装货地点，使货船行驶的水路最短？请画出最短路线并求出最短路程．25.某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得PA+PB的值最小．解法：如图1，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点即为P，且PA+PB的最小值为A′B．请利用上述模型解决下列问题：(1)几何应用：如图2，△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，E是AB的中点，P是BC边上的一动点，则PA+PE的最小值为 ；(2)代数应用：求代数式x2+1+3-x2+9(0≤x≤3)的最小值；(3)几何拓展：如图3，△ABC中，AC=2，∠A=30°，若在AB、AC上各取一点M、N使CM+MN的值最小，最小值是 ．参考答案1.解：(1)∵四边形OABC 为长方形，点B 的坐标为(8，6)，∴点A 的坐标为(8，0)，BC ∥x 轴．∵直线y =-x +b 经过点A ，∴0=-8+b ，∴b =8，∴直线AD 的解析式为y =-x +8．当y =6时，有-x +8=6，解得：x =2，∴点D 的坐标为(2，6)．∵点P 是AD 的中点，∴点P 的坐标为(2+82，6+02)，即(5，3)，设直线OP 的解析式为y =kx ，∴3=5k ，解得k =35，∴直线OP 的解析式为y =35x ；(2)当x =8时，y =35x =245，∴点E 的坐标为(8，245)，设点N 的坐标为(a ，-a +8)，∴S =12×245×|8-a |=125|8-a |，当a <8时，S =125|8-a |=-125a +965，当a >8时，S =125|8-a |=125a -965，∴S =-125a +965(a <8)125a -965(a >8)，当S =12时，125|8-a |=12，解得：a =3或a =13；(3)∵点T 的坐标为(t ，0)(5<t <8)，∴点F 的坐标为(t ，35t )，点G 的坐标为(t ，-t +8)．分三种情况考虑：①当∠FGQ =90°时，如图1所示．∵△FGQ 为等腰直角三角形，∴FG =GQ ，即35t -(-t +8)=8-t ，解得：t =8013，此时点Q 的坐标为(8，2413)；②当∠GFQ =90°时，如图2所示．∵△FGQ 为等腰直角三角形，∴FG =FQ ，即35t -(-t +8)=8-t ，解得：t =8013，此时点Q 的坐标为(8，4813)；③当∠FQG =90°时，过点Q 作QS ⊥FG 于点S ，如图3所示．∵△FGQ 为等腰直角三角形，∴FG =2QS ，即35t -(-t +8)=2(8-t )，解得：t =203，此时点F 的坐标为(203，4)，点G 的坐标为(203，43)，此时点Q 的坐标为(8，4+432)，即(8，83)．综上所述：在线段AE 上存在一点Q ，使得△FGQ 为等腰直角三角形，当t =8013时点Q 的坐标为(8，2413)或(8，4813)，当t =203时点Q 的坐标为(8，83)．2.解：(1)把x =0代入y =-2x +4得：y =4，∴点B (0，4)，∴OB =4，把y =0代入y =-2x +4得：x =2，∴点A (2，0)，∴OA =2，∵△AOB ≌△DOC ，∴OC =OB =4，OD =OA =2，故答案为：4，2；(2)设直线CD 对应的函数表达式为：y =kx +b ，∵OC =4，OD =2，∴C (-4，0)，D (0，2)，把C (-4，0)，D (0，2)代入y =kx +b 得-4k +b =0b =2，解得k =12b =2，∴直线CD 对应的函数表达式为y =12x +2，∴M (-1，32)，∵△AOB ≌△DOC ，∴∠OBA =∠OCD ，OB =OC ，又∵ON ⊥OM ，即∠MOD +∠BON =90°，∵∠COD =90°，即∠COM +∠MOD =90°，∴∠BON =∠COM ，∴△OBN ≌△OCM (ASA )，∴OM =ON ，分别过点M 、N 作ME ⊥x 轴于点E ，NF ⊥y 轴于点F ，∴∠OFN =∠OEM ，∵∠BON =∠COM ，OM =ON ，∴△OFN ≌△OEM (AAS )，∴OF =OE =1，FN =EM =32，∴点N 的坐标为(32，1)，故答案为：(32，1)；(3)直线CD 上存在点Q ，使△EPQ 得是以E 为直角顶点的等腰三角形．∵E (1，b )为直线AB 上的点，∴b =-2×1+4=2，∴E (1，2)，①当点P 在点B 下方时，如图，连接DE ，过点Q 作QM ⊥DE ，交DE 的延长线于M 点，∵D (0，2)，∴DE ⊥y 轴，DE =1，点M 的纵坐标为2，∠M =∠EDP =90°，∵△EPQ 是以E 为直角顶点的等腰直角三角形，∴EP =EQ ，∠PEQ =90°，∴∠QEM +∠PED =90°=∠QEM +∠EQM ，∴∠DEP =∠EQM ，∴△DEP ≌△MQE (AAS )，∴MQ =DE =1，∴Q 点的纵坐标为3，把y =3代入y =12x +2中得：x =2，∴点Q (2，3)；②当点P 在点B 上方时，如图，过E 点作EM ∥y 轴，过点Q 作QM ⊥EM 于M 点，过P 点作PN ⊥EM 交ME 的延长线于N 点．则∠M =∠N =90°，∴N 点的橫坐标为1，则PN =1，∵△EPQ 是以E 为直角顶点的等腰三角形，∴EP =EQ ，∠PEQ =90°，∴∠QEM +∠PEN =90°=∠PEN +∠NPE ，∴∠MEQ =∠NPE ，∴△EQM ≌△PEN (AAS )，∴M 点的纵坐标为1，∴Q 点的纵坐标为1，把y =1代入y =12x +2中得：x =-2，∴Q (-2，1)；综上所述，直线CD 上存在点Q ，使得△EPQ 是以E 为直角顶点的等腰直角三角形，Q 点的坐标为(2，3)或(-2，1)．3.解：(1)如图1，当PQ 平分∠APC ，有∠APQ =∠CPQ ，∵矩形ABCD 中，AB =3cm ，BC =4cm ，∴AD ∥BC ，AD =BC =4cm ，AB =CD =3cm ，∠B =90°，∴∠CPQ =∠AQP ，∴∠APQ =∠AQP =∠CPQ ，∴AP =AQ ，∴AP 2=AQ 2，由题意知：BP =2t cm ，DQ =t cm ，∴AQ =AD -DQ =(4-t )cm ，∵∠B =90°，∴AP 2=AB 2+BP 2=32+(2t )2，∴32+(2t )2=(4-t )2，解得：t 1=-4+423，t 2=-4-423，∵0<t <2，∴t =-4+423，∴当t =-4+423秒时，PQ 平分∠APC ；(2)如图2，当P 、Q 运动时间为ts 时，BP =2t cm ，DQ =t cm ，∵QE ∥AC ，∴△DQE ∽△DAC ，∴DQDA =DE DC，∴t 4=DE 3，∴DE =34t cm ，∴S △ABP =12AB •BP =12×3×2t =3t (cm 2)，S △QDE =12t ×34t =38t 2(cm 2)，∵S 矩形ABCD =AB •BC =3×4=12(cm 2)，∴y =S 五边形APCEQ =S 矩形ABCD -S △ABP -S △QDE =12-3t -38t 2(0<t <2)，∴y 与t 的函数关系式为：y =-38t 2-3t +12(0<t <2)；(3)①当∠QEP =90°，如图3，∵∠QED +∠EQD =90°，∠QED +∠EQD =90°，∴∠CEP =∠DQE ，∵∠QDE =∠ECP =90°，∴△QDE ∽△ECP ，当运动时间为ts 时，∵QD =t cm ，由(2)可知，DE =34t cm ，∴EC =DC -DE =(3-34t )cm ，∵BP =2t cm ，∴CP =(4-2t )cm ，∴QDEC =DE CP ，∴t 3-34t =34t4-2t，解得：t =2823或t =0(舍去)，∴t =2823；②当∠PQE =90°时，如图4，过点P 作线段PI ⊥AD 于点I ，∵∠EQD +∠PQI =90°，∠QED +∠EQD =90°，∴∠PQI =∠QED ，∵∠QDE =∠PIQ =90°，∴△QDE ∽△PIQ ，当运动时间为ts 时，∵QD =t cm ，由(2)可知，DE =34t cm ，∵BP =AI =2t cm ，∴QI =AD -QD -AI =4-t -2t =(4-3t )cm ，∵PI =AB =3cm ，∴PI QD =IQDE ，∴3t =4-3t34t ，解得：t =712或t =0(舍去)，∴t =712；③当∠QPE =90°，不满足题意，综上所述，t 的值为2823或712时，△PQE 是直角三角形．4.(1)解：设直线l 1的函数表达式为y =kx +b (k ≠0)．∵图象经过点(5，6)，A (-3，0)，∴5k +b =6-3k +b =0 ，解得k =34b =94 ，∴直线l 1的函数表达式为y =34x +94．联立y =34x +94y =3x，解得：x =1y =3 ，∴点B 的坐标为(1，3)；(2)解：∵A (-3，0)，B (1，3)，∴S △AOB =12×3×3=92；(3)解：∵点C 在x 轴上，∴∠BAC ≠90°，∴当△ABC 是直角三角形时，需分∠ACB =90°和∠ABC =90°两种情况．①当∠ACB =90°时，点C 在图中C 1的位置：∵点A 和点C 1均在x 轴上，∴BC 1⊥x 轴．∵B (1，3)，∴C 1(1，0)；②当∠ABC =90°时，点C 在图中C 2的位置：设C 2(m ，0)，(m >0)∵A (-3，0)，B (1，3)，C 1(1，0)，∴AC 1=4，BC 1=3，C 1C 2=m -1，AC 2=m +3，∴AB =AC 12+BC 21=42+32=5．在Rt △ABC 2中，AC 22-AB 2=BC 12，在Rt △BC 1C 2中，BC 12+C 1C 22=BC 22，∴AC 22-AB 2=BC 12+C 1C 22，即(m +3)2-52=32+(m -1)2，解得m =134，∴C 2134,0 ．综上可知，在x 轴上存在点C ，使得△ABC 是直角三角形，点C 的坐标为(1，0)或134,0．5.解：(1)设直线l 1的表达式为y =kx +b ，将A (6，0)、B (0，8)代入得：6k +b =0b =8 ，解得：k =-43b =8，∴直线l 1的表达式为y =43x +8；(2)由点A 、B 的坐标知，OA =6，OB =8，则AB =10，t 秒时，BC =t ，BD =BA -AD =10-2t ，当BC =BD 时，则t =10-2t ，解得：t =103；故答案为：103．(3)由平移可得：直线EF 的关系式为：y =43x -3 +8=-43x +12，当x =0时，y =12，F (0，12)，当y =0时，x =9，E (9，0)，四边形BAEF 的面积=S △EFO -S △ABO ，即S 四边形BAEF =12×9×12-12×6×8=30，答：四边形BAEF 的面积是30．(4)存在．当∠ABP =90°，AB =BP 时，如图所示：过点P 作PM ⊥y 轴于点M ，可证△AOB ≌△BMP (AAS )，∴AO =BM =6，BO =MP =8，∴OM =14，∴P (8，14)．当∠BAP =90°，AB =AP 时，如图所示：过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，可证△AOB ≌△PMA (AAS )，∴AO =PM =6，BO =AM =8，∴OM =14，∴P (14，6)．当∠APB =90°，BP =AP 时，如图所示：过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点N ，可证△AMP ≌△BNP (AAS )，∴AM =BM ，PM =PN ，∴6+AM =8-BN ，∴AM ==BN =1，∴OM =7=PN =PM ，∴P (7，7)，∴P (8，14)．综上，点P (8，14)或(14，6)或(7，7)．6.解：(1)令y =54x +74=0，解得：x =75，∴点C 的坐标为75,0 ；(2)由(1)知OC =75；代入点A (-1，m )，B (n ，-2)两点可得：m =54+74,-2=-54n +74，解得：m =3，n =3，∴A (-1，3)，B (3，-2)，∴S △AOC =12×75×3=2110，AC =75+1 2+32=3415，设原点O 到直线AB 的距离为d ，∴S △AOC =12×3415d =2110，解得：d =741=74141；(3)存在，理由如下：设点P 的坐标为(x ，0)，∵∠ACP 为锐角，∴△ACP 是直角三角形，而分两种情况分析：①若∠APC =90°，此时点P 的坐标为(-1，0)；②若∠PAC =90°，AC 2+AP 2=CP 2，故75+1 2+32+x +1 2+32=75-x 2，解得：x =-194，此时点P 的坐标为(-6，0)；综上所述，存在满足条件的点P 的坐标为(-1，0)或-194,0．7.解：(1)把D 坐标(1，n )代入y =x +1中得：n =2，即D (1，2)，把B (0，-1)与D (1，2)代入y =kx +b 中得：b =-1k +b =2 ，解得：k =3b =-1 ，∴直线BD 解析式为y =3x -1，对于直线y =x +1，令y =0，得到x =-1，即E (-1，0)；令x =0，得到y =1，对于直线y =3x -1，令y =0，得到x =13，即C (13，0)，则S 四边形AOCD =S △DEC -S △AEO =12×43×2-12×1×1=56；(2)存在．如图，当∠DPC =90°时，P (1，0)．当∠CDP ′=90°时，△DPC ∽△P ′PD ，∴PD 2=CP •PP ′，∴22=23×PP ′，∴PP ′=6，∴OP =OP +PP ′=1+6=7，∴P ′(7，0)．综上所述，满足条件的点P 的坐标为(1，0)或(7，0)．8.解：(1)如图1中，过点A 作AH ⊥OB 于点H ，∵A(3，3)，∴AH=OH=3，∵OA=AB，AH⊥OB，∴HB=OH=3，∴OB=6，∴B(6，0)；(2)当点P在线段OB上时，2t=2(6-2t)，∴t=2．当点P在线段OB的延长线上时，2t=2(2t-6)，∴t=6．综上所述，满足条件的t的值为2或6．(3)存在．如图2中，当P(4，0)时，满足条件的点Q的坐标为(5，1)或(6，2)或(4，2)．如图3中，当P(12，0)时，点Q的坐标为(9，3)或(12，6)或(6，6)．综上所述，满足条件的点Q的坐标为(5，1)或(6，2)或(4，2)或(9，3)或(12，6)或(6，6)．9.解：(1)∵a2-4a+4+|b-4|=0，∴(a-2)2+|b-4|=0，∵(a-2)2≥0，|b-4|≥0，∴a=2，b=4，∴A(2，0)，B(0，4)；(2)∵BC平分∠OBA，AM平分∠BAD，∴∠CBA=12∠OBA,∠BAM=12∠BAD，∵∠C+∠CBA=∠BAM，∠AOB=∠BAD-∠OBA，∴∠C=∠BAM-∠CBA=12∠BAD-12∠OBA=12∠AOB=12×90°=45°；(3)存在，满足条件的点共有6个，如图所示，P 1(6，2)，P 2(-2，-2)，P 3(4，6)，P 4(-4，2)，P 5(3，3)，P 6(-1，1)．10.(1)解：结论：△AED 是等腰直角三角形．理由：在△ABE 和△ECD 中，AB =EC∠B =∠C BE =CD，∴△ABE ≌△ECD (SAS )，∴AE =DE ，∠BAE =∠CED ，∵∠BAE +∠AED =90°，∴∠CED +∠AEB =90°，∴∠AED =90°，∴△AED 是等腰直角三角形；(2)证明：过点E 作EF ⊥AD 于F ，由(1)可知△EFA ≌△ACB ，∴AF =BC ，∵AD =2BC ，∴AD =2AF ，∴AF =DF ，又∵EF ⊥AD ，∴DE =AE ；(3)解：存在．分三种情况，①若点O 为直角顶点，如图3，∵A (3，2)，∴OF =3，AF =2，过点A 作AF ⊥x 轴于F ，过点B 作BE ⊥x 轴于E ，由(1)知△BEO ≌△OFA ，∴BE =OF =3，OE =AF =2，∴B (-2，3)；②若点A 为直角顶点，如图4，过点A 作AF ⊥x 轴于F ，过点B 作BE ⊥AF ，交FA 的延长线于E ，由(1)知△BEA ≌△AFO ，∴BE =OF =2，AE =PF =5，∴B (1，5)；③若点B 为直角顶点，如图5，过点B 作BE ⊥y 轴于E ，过点A 作AF ⊥BE ，交EB 的延长线于F ，由(1)知△BEO ≌△AFB ，∴BE =AF ，OE =BF ，设BE =AF =a ，则OE =2+a，∴a +2+a =3，∴a =12，∴OE =a +2=12+2=52，∴B (12，52)；综上所述，存在点B ，使得△OAB 是等腰直角三角形，点B 的坐标为(-2，3)或(1，5)或B (12，52)．11.解：(1)当t =1时，由题意可知：AP =1cm ，BQ =2cm ，∵AB =11cm ，∴PB =10cm ，∵∠B =90°，∴PQ =PB 2+BQ 2=102+22=226cm ；(2)∵∠B =90°，∴△BPQ 是等腰三角形时，只有BP =BQ ，由题意可知：BP =(11-t )cm ，∵Q 从点B 出发以每秒2cm 的速度沿BC 向点C 匀速运动，到达点C 后返回点B ，当有一点停止运动时，另一点也停止运动，∴当0≤t ≤4时，BQ =2t cm ；当4<t ≤8时，BQ =(16-2t )cm ；当8<t ≤11时，BQ =(2t -16)cm ；∵BP =BQ ，∴11-t =2t ，解得：t =113>4，故不符合题意；11-t =16-2t ，解得：t =5，符合题意；11-t =2t -16，解得：t =9，符合题意；综上所述：t =5或t =9；(3)假设存在t 使得△BPQ 的面积等于10cm 2，由(2)可知：BP =(11-t )cm ，当0≤t ≤4时，BQ =2t cm ；当4<t ≤8时，BQ =(16-2t )cm ；当8<t ≤11时，BQ =(2t -16)cm ；∴当0≤t ≤4时，12×11-t ×2t =10；解得：t =1或t =10(舍去)；当4<t ≤8时，12×11-t ×16-2t =10；，解得：t =6或t =13(舍去)；当8<t ≤11时，12×11-t ×2t -16 =10，因为Δ<0，故无解，综上所述，当t =1或t =6时△BPQ 的面积等于10cm 2．12.解：(1)∵四边形OABC 是矩形，∴OA ∥BC ，∴∠CBO =∠AOB ，根据翻折的性质可知：∠EOB =∠AOB ，∴∠EOB =∠EBO ，∴EO =EB ，设EO=EB=x，在Rt△ECO中，EO2=OC2+CE2，∴x2=32+(6-x)2，解得x=15 4，∴CE=BC-EB=6-154=94，∴E(94，3)，设直线AE的解析式为y=kx+b，∴6k+b=094k+b=3 ，解得k=-45b=245，∴直线AE的函数解析式为y=-45x+245；(2)如图，OB=32+62=35．设F(n，0)．①当OB=OF时，F(35，3)或(-35，0)；②当OB=BF时，∴OB2=BF2，∴45=9+(6-n)2，解得n=12或0(舍去)，∴F(12，0)，③当OF=BF时，∴OF2=BF2，∴n2=9+(6-n)2，解得n=15 4，∴F(154，0)，综上所述，在x轴上是存在点F，使△OBF为等腰三角形，点F的坐标为(35，3)或(-35，0)或(12，0)或(154，0)．13.(1)解：∵点B坐标为(0，3)，点C坐标为(9，0)，∴OB=3，OC=9，∵∠ACB=90°，∴∠BCO+∠ACD=90°，且∠BCO+∠OBC=90°，∴∠ACD=∠OBC，且AC=BC，∠BOC=∠ADC=90°，∴△BOC≌△CDA(AAS)，∴CD=OB=3，∴OD=OC+CD=12，AO=OC=9，∴点A的坐标(12，9)；(2)OE =DE 且OE ⊥DE ；证明：过E 作EF ⊥y 轴于F ，并交AD 于G ，则FG =OD =12且FG ⊥AD ，∵B (0，3)，A (12，9)，E 为AB 中点，∴E (6，6)，∴EF =EG =6，OF =DG =6，又∵∠EFO =∠EGD =90°，∴△EFO ≌△EGD ，且△EFO 和△EGD 都为等腰直角三角形，∴OE =DE ，∠FEO =∠GED =45°，∴∠OED =180°-∠FEO -∠GED =90°，∴OE ⊥DE ；(3)解：①当以点A 为顶角顶点时，且OA 是腰，∵AD ⊥x 轴，∴点Q 1，O 关于直线AD 对称，即：Q 1(24，0)；②当以点A 为底角顶点时，且OA 是腰，形成锐角三角形时，则OQ 2=OA =15，∴Q 2(15，0)；③当以点A 为底角顶点时，且OA 是腰，形成钝角三角形时，则OQ 3=OA =15，∴Q 3(-15，0)，综上所述：Q 的坐标为：(24，0)或(15，0)或(-15，0)．14.解：(1)在y =x +3中，令y =0，得x =-3，∴B (-3，0)．将C (1，m )代入y =x +3得m =4，∴C (1，4)；(2)设直线l 2的函数表达式为y =kx +b (k ≠0)，将C (1，4)，A (3，0)代入得，k +b =43k +b =0 ，解得k =-2b =6 ，∴直线l 2的函数表达式为y =-2x +6；(3)∵C (1，4)，CD ⊥x 轴于点D ，∴D (1，0)．又∵B (-3，0)，∴CD =4,BD =4,BC =CD 2+BD 2=42．①当点B 为等腰△BCP 的顶点，即BC =BP 时，∵BC =42,B -3,0 ，∴此时点P 的坐标为-3-42,0 或42-3,0 ；②当点P 为等腰△BCP 的顶点，即PB =PC 时，。
特殊三角形的存在性问题
3
C2
2
解得 t= 3 31 2
-8
-6
1
A
-4
-2
2
-1
4
B6
-2
所以
C2
(
3
2
31
,
1
2
31
)
，
C3
(
3
2
31
,
1
2
31) 。C3
-3 -4
-5
-6
-7
-8
-9
7
6
分析：
5
4
3
2
还是要分三种情况进行讨论
1
A
-8
-6
-4
-2
2
设 C (t, t - 2) ，由勾股定理可得：（t - 5）2 （t - 2)2 42 -1 C5 -2
-10
2
A
-5
-2
5
10
-4
-6
2、平面直角坐标系中，已知 A(1,0)，B（5, 0），
点 C 是直线 y x 2 上的点8，并且△ABC 为直
7
角三角形，请求出满足要求的6 所有点 C 的坐标。
5
4
3
2
1
-8
-6
-4
-2
A2
4
B6
8
-1
-2
-3
-4
-5
-6
8
10
A 12
-4
-2
-8 2
14
4
B6
8
10
12
-1
C5-9
-2 -2
-3 -3
C3 -4
2023年中考数学专题复习课件：二次函数特殊三角形存在性问题
针对训练
1. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两 点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为(－1，0)，点C的坐标为(0，－ 3).(1)求抛物线的解析式；
第1题图
解：(1)∵A(－1，0)，C(0，－3)在抛物线y＝x2＋bx＋c上，
将点A，C代入，
得
0 1 b c 3 c
第3题图
(2)如图①，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一 象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于 点G，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，当四边形DEFG的周长最大时， 求点D的坐标； (2)设点D(n，－n2＋4n＋5)，则点G(n，0)，∴DG＝－n2＋4n＋5，∵DE∥x
第3题图①
(3)如图②，点M是抛物线的顶点，将△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB 与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得△PQB是以QB为直角边的直 角三角形，求出所有符合条件的点P的坐标． (3)∵抛物线y＝－x2＋4x＋5＝－(x－2)2＋9，∴M(2，9)，如图，记抛物线的
连接NT， 由B(5，0)，C(0，5)得BC所在直线的解析式 为y＝－x＋5，∴点T的坐标为(2，3)，
∴AM＝QN.
当m＝
3
2
5
时，P(
3 2
5
，1
2
5
)，
∴AM＝1－ 3 5 ＝ 5 1 .
2
2
∴QN＝
5 1 2
，∴Q(2， 5 ).
综上所述，点Q的坐标为(2，1)或(2，－1)或(2， 5).
N M
∟ ∟
【答案】点Q的坐标为(2，1)或(2，－1)或(2， 5 ).
2020年上海中考数学·一轮复习 第13讲 特殊三角形
第13讲特殊三角形[基础篇]一、等腰三角形1、等腰三角形的概念：两条边相等的三角形叫做等腰三角形；等腰三角形中，相等的两条边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
底边2、等腰三角形的性质：2.1 等腰三角形的两个底角相等.(简写成“等边对等角”)；2.2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“等腰三角形的三线合一”；2.3 等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线为对称轴。
3、等腰三角形的证明方法：3.1 有两个角相等的三角形是等腰三角形；3.2 “两线合一”可证“三线合一”二、等边三角形1、等边三角形的性质1）三条边相等；2）等边三角形的内角都相等,且等于60 °；3）等边三角形各边上中线,高和所对角的平分线都三线合一；4）等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。
2、等边三角形的判定1）三边相等的三角形是等边三角形；2）三个内角都等于60 °的三角形是等边三角形；3）有一个内角等于60 °的等腰三角形是等边三角形。
[技能篇]类型一：等腰三角形概念例1-1 等腰三角形顶角是84°，则一腰上的高与底边所成的角的度数是（ ）（A ）42°； （B ）60°； （C ）36°； （D ）46°例1-2 ABC ∆中，AB AC =，BD 平分ABC ∠交AC 边于点D ，75BDC ∠=︒，则A ∠的度数是（ ）（A ）35°； （B ）40°； （C ）70 °； （D ）110°例1-3 等腰三角形的对称轴是（ ）（A ）顶角的平分线； （B ）底边上的高； （C ）底边上的中线； （D ）底边上的高所在的直线例1-4 如图，ABC ∠中，AD BC ⊥，AB AC =，30BAD ∠=︒，且AD AE =，则EDC ∠等于（ ）（A ）10； （B ）125︒．； （C ）15°（D ）20°例1-5 ABC ∆中AB AC =，36A ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于D ，则图中的等腰三角形有（ ）（A ）1个； （B ）2个； （C ）3个； （D ）4个例1-6 如图，已知OC 平分AOB ∠，//CD OB ，若3OD cm =，则CD 等于（ ）（A ）3cm ； （B ）4cm ； （C ）1.5cm ； （D ）2cm例1-7 如图，ABC ∆中，ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点F ，过点F 作//DE BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，那么下列结论：①BDF ∆和CEF ∆都是等腰三角形；②DE BD CE =+；•③ADE ∆的周长等于AB 与AC 的和；④BF CF =．其中正确的有（ ）．（A ）①②③； （B ）①②③④； （C ）①②； （D ）①C B E DC AB 0B D EF例1-8 如图，Rt ABC ∆中，CD 是斜边AB 上的高，角平分线AE 交CD 于H ，EF AB ⊥于F ，则下列结论中不正确的是（ ）（A ）ACD B ∠=∠； （B ）CH CE EF ==； （C ）CH HD =； （D ）AC AF =类型二：等腰三角形 —— 一题多解例2-1 一个等腰三角形的一边长是7cm ，另一边长是5cm ，那么这个等腰三角形的周长是（ ）（A ）12cm ； （B ）17cm ； （C ）19cm ； （D ）17cm 或19cm例2-2 等腰三角形的两边长分别为4 cm 和9 cm ，则它的周长为________cm 。
2023年中考数学一轮复习课件 二次函数综合题特殊三角形存在性问题
直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(2)存在．理由如下：
设点P(1，p)，
∵A(－1，0)，C(0，3)，
∴AC2＝12＋32＝10，
AP2＝(1＋1)2＋p2＝CAP＝90°，
例题图①
则AC2＋AP2＝CP2，
∴10＋4＋p2＝p2－6p＋10，
解得p＝－ 2 ，
3
∴此时点P的坐标为(1，－
2
)；
3
②若∠ACP＝90°，则AC2＋CP2＝AP2，
∴10＋p2－6p＋10＝4＋p2，
解得p＝ 8 ， ∴此时点3P的坐标为(1，8 )；
3
③若∠APC＝90°，则AP2＋CP2＝AC2，
例题图①
即4＋p2＋p2－6p＋10＝10，
随堂练习
1. 如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋4(a≠0)与x轴交于点A(1，0)和B，与y
轴交于点C，对称轴为直线x＝ 5 .
2
(1)求抛物线的解析式；
a b 4 0
解：(1)根据题意，得
b 2a
5 2
,
解得
a b
1 ,
5
∴抛物线的解析式为y＝x2－5x＋4；
第1题图
(2)如图①，若点P是线段BC上的一个动点(不与点B，C重合)，过点P作y 轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ.当线段PQ长度最大时，判断四边 形OCPQ的形状并说明理由； (2)四边形OCPQ是平行四边形，理由如下： 令x＝0，则y＝4， 令y＝0，即x2－5x＋4＝0， 解得x1＝1，x2＝4.∴B(4，0)，C(0，4)， ∴直线BC的解析式为y＝－x＋4.
第1题解图
当△BEF是等腰三角形时，分三种情况讨论：
中考数学“特殊三角形的存在性问题”题型解析
中考数学“特殊三角形的存在性问题”题型解析二次函数与特殊三角形的存在性问题主要分为两类：一类是静态的特殊三角形的存在性问题；一类是动态的特殊三角形的存在性问题 .静态的特殊三角形的存在性问题难度相对较小，可根据抛物线的对称性以及三角形的特点为切入点来解决；动态的特殊三角形的存在性问题难度相对较大，解决此类问题的关键是根据题意分析出动点在动的过程一些不变的量以及不变的关系 .本节主要来讨论下关于动态的特殊三角形的存在性问题 .类型一：等腰三角形存在性问题【例题1】如图，已知抛物线y = -1/4 x^2 - 1/2 x + 2 与x 轴交于A , B 两点，与y 轴交于点C . （1）求点A , B , C 的坐标；（2）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM 是等腰三角形？若存在请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由 .【分析】（1）分别令y = 0 , x = 0 , 即可解决问题；（2）分A、C、M 为顶点三种情形讨论，分别求解即可 . 【解析】（1）令y = 0 , 得-1/4 x^2 - 1/2 x + 2 = 0 ，∴x^2 + 2x - 8 = 0 ,∴x = - 4（舍）或2 ，∴点A 坐标（2,0），点B 坐标（-4,0），令x = 0 , 得y = 2 ,∴点C 的坐标（0,2）.（2）如图所示，①当C 为顶点时，CM1 = CA , CM2 = CA , 作M1N⊥OC 于N , 在Rt△CM1N 中，∴点M1 坐标（-1，2+√7），点M2 坐标（-1 , 2-√7）.②点M3 为顶点时，∵直线AC 解析式为y = -x + 2 , 线段AC 的垂直平分线为y = x , ∴点M3 坐标为（-1，-1）.③当点A 为顶点的等腰三角形不存在 .综上所述M 坐标为（-1，-1）或（-1，2+√7）或（-1 , 2-√7）.类型二：直角三角形存在性问题【例题2】如图，△OAB 的一边OB 在x 轴的正半轴上，点A 的坐标为（6,8），OA = OB，点P 在线段OB 上，点Q 在y 轴的正半轴上，OP = 2OQ，过点Q 作x 轴的平行线分别交OA，AB 于点E , F .（1）求直线AB 的解析式；（2）是否存在点P，使△PEF 为直角三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由 .【分析】（1）由点A 的坐标可确定出OA 的长，即为OB 的长，从而可确定出B 点坐标，利用待定系数法即可求出直线AB 的解析式；（2）分三种情况来考虑：若∠PEF = 90°；若∠PFE = 90°，若∠EPF = 90°，过点E , F 分别作x 轴垂线，垂足分别为G、H，分别求出t 的值，确定出满足题意P 坐标即可 .【解题策略】此类问题主要考查特殊三角形的存在性问题：首先运用特殊三角形的性质画出相应的图形，确定动点问题的位置；其次借助特殊三角形的性质找到动点与已知点的位置关系和数量关系；最后结合已知列出方程求解即可 .要注意分类讨论时考虑全面所有可能的情形 .。
第15讲 特殊三角形的存在性(核心考点讲与练)(沪教版)(原卷版)
第15讲特殊三角形的存在性（核心考点讲与练）一、存在全等三角形全等三角形的存在性问题考察了全等三角形的性质，利用边的关系结合两点间的距离公式构造等量关系，主要的题型是求点的坐标．二、存在等腰三角形等腰三角形的分类讨论是压轴题中一个热门考点，本类题目均和图形运动有关，需要学生有较强的逻辑思维能力，能够根据运动的性质，把最终的图形画出，利用分类讨论的思想，结合题目中的已知条件建立等量关系．三、存在直角三角形直角三角形的特征非常明显，在平面直角坐标系内，直角三角形中一般有两个顶点是确定的，另一个顶点在某个函数图像上，通常用两点间的距离公式表示出第三条边后再讨论三角形的哪个角有可能是直角，根据这个直角的条件结合题目条件进行计算，此类综合题需要用到的知识较多，需要考察学生的思维、分析能力．一、存在全等三角形例1．（·上海八年级期末）如图，一次函数y=2x+4的图象与x，y轴分别相交于点A，B，以AB为边作正方形ABCD（点D落在第四象限）．（1）求点A，B，D的坐标；（2）联结OC，设正方形的边CD与x相交于点E，点M在x轴上，如果△ADE与△COM全等，求点M的坐标．二、存在等腰三角形例1．（2024·上海八年级期末）如图，在直角坐标平面内，点O 是坐标原点，点A 坐标为(3,4)，将直线OA 绕点O 顺时针旋转45︒后得到直线(0)y kx k =≠．（1）求直线OA 的表达式；（2）求k 的值；（3）在直线(0)y kx k =≠上有一点B ，其纵坐标为1．若x 轴上存在点C ，使△ABC 是等腰三角形，请直接写出满足要求的点C 的坐标．例2．（·上海八年级期末）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ，BC ＝10，对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC ⊥BD ，设AD ＝x ，△AOB 的面积为y ．（1）求∠DBC 的度数；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；（3）如图1，设点P 、Q 分别是边BC 、AB 的中点，分别联结OP ，OQ ，PQ ．如果△OPQ 是等腰三角形，求AD 的长．例3．（·上海八年级期末）已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，．E 是边AB 的中点，联结DE 、CE ，且DE ⊥CE ．设AD=x ，BC=y ．（1）如果∠BCD=60°，求CD 的长；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；（3）联结BD ．如果△BCD 是以边CD 为腰的等腰三角形，求x 的值．三、存在直角三角形例1.如图所示，直线443y x =-+和x 轴，y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的坐标是（-2，0）．（1）试说明△ABC 是等腰三角形；（2）动点M 从点A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M运动t秒时，△MON的面积为S．①求S与t的函数关系式；②设点M在线段OB上运动时，是否存在S=4的情形?若存在，求出对应的t值；若不存在请说明理由；③在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值．例2.如图所示，直线L与x轴、y轴分别交于A（6，0）、B（0，3）两点，点C（4，0）为x 轴上一点，点P在线段AB（包括端点A、B）上运动．（1）求直线L的解析式（2）当点P的纵坐标为1时，按角的大小进行分类，请你确定△PAC是哪一类三角形，并说明理由．（3）是否存在这样的点P，使得△POC为直角三角形?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．例3.如图，在平面直角坐标系中，直线l经过点A（2，-3），与x轴交于点B，且与直线y= 8x 平行．33（1）求直线l的函数解析式及点B的坐标；（2）如直线l上有一点M（a，-6），过点M作x轴的垂线，交直线于点N，在线段MN上求一点P，使△PAB是直角三角形，请求出点P的坐标．例4如图1，△ABC是边长为23G是边AB上的一个动点（G点不与A、B点重合），且GE∥AC，GF∥BC，若AG＝x，S△GEF＝y．（1）求y与x的函数关系式，并写出函数定义域；（2）点G在运动过程中，能否使△GEF成为直角三角形，若能，请求出AG长度；若不能，请说明理由；（3）点G在运动过程中，能否使四边形GFEB构成平行四边形，若能，直接写出S△GEF的值；若不能，请说明由．1．（·上海市民办扬波中学八年级期末）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AB=16，BC=12，CD=21．动点M从点C出发，沿射线CD方向以每秒2个单位长的速度运动；动点N从B出发，在线段BA上，以每秒1个单位长的速度向点A运动，点M、N分别从C、B同时出发，当点N运动到点A时，点M随之停止运动．设运动时间为t(秒)．（1）设△AMN的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并确定t的取值范围；（2）当t为何值时，以A、M、N三点为顶点的三角形是等腰三角形？2．（·上海八年级期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边BC上一点，点E、F分别是线段AB、AD中点，联结CE、CF、EF．（1）求证：△CEF≌△AEF；（2）联结DE，当BD＝2CD时，求证：AD＝2DE．3．（·上海八年级期末）已知，梯形ABCD中，AB∥CD，BC⊥AB，AB＝AD，连接BD（如图a），点P沿梯形的边，从点A→B→C→D→A移动，设点P移动的距离为x，BP＝y．（1）求证：∠A＝2∠CBD；（2）当点P从点A移动到点C时，y与x的函数关系如图（b）中的折线MNQ所示，试求CD的长．（3）在（2）的情况下，点P从A→B→C→D→A移动的过程中，△BDP是否可能为等腰三角形？若能，请求出所有能使△BDP为等腰三角形的x的取值；若不能，请说明理由．4．（·上海八年级期末）已知：如图，在ABC 中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，6AC =，AD 平分BAC ∠，交BC 边于点D ．点E 是边AB 上一动点（与点A 、B 不重合）．过点E 作EF AD ⊥，垂足为点G ，与射线AC 交于点F ．（1）当点F 在边AC 上时，①求证：DE DF =；②设BE x =，CF y =，求y 与x 之间的函数解析式并写出定义域．（2）当△ADF 是等腰三角形时，求BE 的长．5.如图，在平面直角坐标系中，点P 在直线12y x =上（点P 在第一象限），过点P 作PA ⊥x 轴，垂足为A ，且OP ＝25 （1）求点P 的坐标；（2）如果点M 和点P 都在反比例函数k y x=（k ≠0）的图像上，过点M 作MN ⊥x 轴，垂足为N．如果△MNA和△OAP全等（点M、N、A分别和点O、A、P对应），求点M的坐标．6.如图1，已知O为正方形ABCD对角线的交点，点E在边CB的延长线上，联结EO，OF⊥OE交BA 延长线于点F，联结EF．（1）求证：EO＝FO；（2）若正方形的边长为2，OE＝2OA，求BE的长；（3）当OE＝2OA时，将△FOE绕点O逆时针旋转到△F1OE1，使得∠BOE1＝30°时，试猜想并证明△AOE1是什么三角形．11 / 11。
沪教版九年级数学第二学期中考复习：等腰、直角三角形的存在性问题 讲义设计 (无答案)
直角，等腰的存在性问题一． 直角三角形1. 直角三角形基本定理2. 存在性问题的基本两法（两点之间距离公式；两线一圆）3. 简化图形，几何标图类型一：在平面直角坐标系内的直角三角形1、在直角坐标平面内，O 为原点，二次函数2y x bx c =-++的图像经过A （-1，0）和点B （0，3），顶点为P 。
（1）求二次函数的解析式及点P 的坐标；（2）如果点Q 是x 轴上一点，以点A 、P 、Q 为顶点的三角形是直角三角形， 求点Q 的坐标。
图72、已知点P 是函数x y 21=（x >0）图像上一点，PA ⊥x 轴于点A ，交函数xy 1=（x >0）图像于点M , PB ⊥y 轴于点B ，交函数xy 1=（x >0）图像于点N .（点M 、N 不重合）（1）当点P 的横坐标为2时，求△PMN 的面积； （2）证明：MN‖AB ；（如图7）（3）试问：△OMN 能否为直角三角形？若能，请求出此时点P 的坐标；若不能，请说明理由.（图7） （备用图）3、如图所示，抛物线()23m x y --=(m >0)的顶点为A ，直线l ：m x y -=33与y 轴交点为B .（1）写出抛物线的对称轴及顶点A 的坐标（用含m 的代数式表示）； （2）证明点A 在直线l 上，并求∠OAB 的度数；（3）动点Q 在抛物线对称轴上，问抛物线上是否存在点P ，使以点P 、Q 、A 为顶点的三角形与⊿OAB 全等？若存在，求出m 的值，并写出所有符合上述条件的P 点坐标；若不存在，请说明理由.第25题图)2- m类型二：三角形和四边形中的直角三角形存在性问题4、已知ABC △中，90B ∠=︒，3BC =，4AB =，D 是边AB 上一点，DE ∥BC 交AC 于点E ，将ADE △沿DE 翻折得到'A DE △，若'A EC △是直角三角形，则AD 长为 ▲ .5、如图，在梯形ABCD 中，AD=BC=10，tanD=34，E 是腰AD 上一点，且AE ∶ED=1∶3. （1）当AB ∶CD=1∶3时，求梯形ABCD 的面积； （2）当∠ABE =∠BCE 时，求线段BE 的长； （3）当△BCE 是直角三角形时，求边AB 的长.BCD EA6、△ABC 和△DEF 的顶点A 与D 重合，已知∠B =︒90.，∠BAC =︒30.，BC=6，∠FDE =︒90，DF=DE=4 （1）如图①，EF 与边AC 、AB 分别交于点G 、H ，且FG=EH . 设a DF =，在射线DF 上取一点P ，记：a x DP =，联结CP . 设△DPC 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （2）在（1）的条件下，求当x 为何值时 AB PC //；（3）如图②，先将△DEF 绕点D 逆时针旋转，使点E 恰好落在AC 边上，在保持DE 边与AC 边完全重合的条件下，使△DEF 沿着AC 方向移动. 当△DEF 移动到什么位置时，以线段AD 、FC 、BC 的长度为边长的三角形是直角三角形.图②7、在△ABC 中，AB =AC =10，cos B =54（如图11），D 、E 为线段BC 上的两个动点，且DE =3（E 在D 右边），运动初始时D 和B 重合，运动至E 和C 重合时运动终止.过E 作EF ∥AC 交AB 于F ，联结DF（1）若设BD =x ，EF =y ，求y 关于x 的函数，并求其定义域； （2）如果△BDF 为直角三角形，求△BDF 的面积；A B C 备用图A B D E F 图118、在△ABC中，∠BAC=90°，AB＜AC，M是BC边的中点，MN⊥BC交AC于点N.动点P从点B出发，沿射线BA以每秒3个长度单位运动，联结MP，同时Q从点N出发，沿射线NC以一定的速度运动，且始终保持MQ⊥MP，设运动时间为x秒（x＞0）.（1）求证：△BMP∽△NMQ；（2）若∠B=60°，AB=34，设△APQ的面积为y，求y与x的函数关系式；（3）判断BP、PQ、CQ之间的数量关系，并说明理由.图①NQPM CBA图②N MBAPGABCDEF9、已知△ABC 为等边三角形，AB =6，P 是AB 上的一个动点（与 A 、B 不重合），过点P 作AB 的垂线与BC 相交于点D ，以 点D 为正方形的一个顶点，在△ABC 内作正方形DEFG ，其中 D 、E 在BC 上，F 在AC 上，（1）设BP 的长为x ，正方形DEFG 的边长为y ，写出y 关于x 的函数解析式及定义域； （2）当BP =2时，求CF 的长；（3）△GDP 是否可能成为直角三角形？若能，求出BP 的长；若不能，请说明理由.10、如图，直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠DAB =90°，AD =2DC =4，AB =6．动点M 以每秒1个单位长的速度，从点A 沿线段AB 向点B 运动；同时点P 以相同的速度，从点C 沿折线C -D -A 向点A 运动．当点M 到达点B 时，两点同时停止运动．过点M 作直线l ∥AD ，与折线A -C -B 的交点为Q ．点M 运动的时间为t （秒）． （1）当0.5t 时，求线段QM 的长；（2）点M 在线段AB 上运动时，是否可以使得以C 、P 、Q 为顶点的三角形为直角三角形，若可以，请直接写出t 的值（不需解题步骤）；若不可以，请说明理由．（3）若△PCQ 的面积为y ，请求y 关于出t 的函数关系式及自变量的取值范围；Q A B C D l M P A B C D （备用图1） A BC D （备用图2）二．等腰三角形1．等腰三角形基础知识2．三线合一3．存在性问题的基本两法（两点之间距离公式；两圆一线）4．与锐角三角比不得不说的故事5．简化图形，几何标图类型一.填空压轴11、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有个.12、在△ABC中，AB=AC，把△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕交AB于点M，交BC于点N．如果△CAN是等腰三角形，则∠B的度数为____________．13、如果在△ABC中，AB=AC= 3，BC=2，那么顶角的正弦值为．类型二：平面直角坐标系中的等腰三角形14、在直角坐标系中，把点A （－1，a ）（a 为常数）向右平移4个单位得到点A '，经过点A 、A '的抛物线2y ax bx c =++与y 轴的交点的纵坐标为2． （1）求这条抛物线的解析式；（2）设该抛物线的顶点为点P ，点B 的坐标为)1m ，（，且3<m ，若△ABP 是等腰三角形，求点B 的坐标。
2020中考数学专题—存在性问题之特殊三角形
参考答案
由题意,得
解得
∴抛物线对应的函数表达式为 y=-x2+2x+3.
（3）∵抛物线对应的函数表达式为 y=-x2+2x+3,配方,得 y=-(x-1)2+4,
(2)当 AP=AD 时,如图②,t=4.
(3)当 AD=DP 时,如图③,作 DF⊥AB 于 F.
在 Rt△ADF 中,AD=4,∠A=30°.∴AF= 3 AD=2 3 = 1 AP= 1 t,∴t=4 3 .
2
22
综上所述:t 的值为 4
3
或4或4
3.
3
①
②
③
3.解：（1）如图 1，过点 A 作 AD x 轴于 D ，
2
2
8
tan EAB 1 ． 2
M AB 90 ． tan M AE 2 ． M E 2AE 11 ， M (5 ，11) ． 2
同理： tan MBF 2 ．又 BF 5 ， FM 5 ， M (5 ， 9) ．
2
2
点 M 的坐标为 ( 5 ，11) 或 ( 5 ， 9) ．
12 ①求点 P 的坐标； ②设 M 为直线 AP 上一动点，连接 OM 交直线 AC 于点 S ，则点 M 在运动过程中，在抛物线上是否 存在点 R ，使得 ARS 为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点 M 及其对应的点 R 的坐标；若 不存在，请说明理由．
3
6．（2019•鸡西）如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上， AB 、 BC 的长分别 是一元二次方程 x2 7x 12 0 的两个根 (BC AB) ， OA 2OB ，边 CD 交 y 轴于点 E ，动点 P 以 每秒 1 个单位长度的速度，从点 E 出发沿折线段 ED DA 向点 A 运动，运动的时间为 t(0 t 6) 秒， 设 BOP 与矩形 AOED 重叠部分的面积为 S ． （1）求点 D 的坐标； （2）求 S 关于 t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）在点 P 的运动过程中，是否存在点 P ，使 BEP 为等腰三角形？若存在，直接写出点 P 的坐 标；若不存在，请说明理由．
中考数学一轮教材复习-第四章 三角形 三角形及其性质
等边三角形
直角三角形
1.三边都相等的三 1.有一个角为
的三角形
90°
角形是等边三角形 是直角三角形
2.三个角都相等的 2.勾股定理逆定理:若
, 2
a2+b2=c
腰三角形
判
三角形是等边三角 则以a,b为直角边,c为斜边的三
【注意】当已知一个角求其
定
形
角形是直角三角形
他角时,要对该角是顶角还是
3.有一个角是
3.如果三角形一边上的中线等于
底角分类讨论;当已知两边
60°的等腰三 这条边的一半,那么这个三角形
时,除了要确定哪条边作为腰
角形是等边三角形 是直角三角形
或底边,还要考虑三边关系
（第四章 三角形）
特殊三角形的性质与判定
等腰三角形
等边三角形
直角三角形
面 S=1ah(a为等腰三角形的一边 S= 3a2(a为等边三 S=1ch=1ab(a,b为直角边,c为斜
21
.
（第四章 三角形）
考点2 与等腰三角形有关的证明与计算(10年4考)
2-2 [2024贵阳花溪区二模]在如图所示的网格纸中,有A,B两个格点,试取格
点C,使得△ABC是等腰三角形,则这样的格点C有
解析
如图
8
个.
（第四章 三角形）
考点2 与等腰三角形有关的证明与计算(10年4考)
3 [2018贵阳20题10分]如图,在平行四边形ABCD中,AE是BC边上的高,
的高是( B )
A.4 m
B.6 m
C.10 m
D.12 m
（第四章 三角形）
考点2 与等腰三角形有关的证明与计算(10年4考)
沪教版中考复习：一模复习之特殊三角形的存在性
特殊三角形的存在性知识结构模块一：直角三角形的存在性考点分析直角三角形的存在性问题，分类特征非常明显，首先考虑三角形的哪个角有可能称为直角，再把这个角为直角作为条件，并结合题目中的条件在进行说理计算．此类综合题需要用到的知识点较多，用于考察同学们的思维和分析能力．1/13例题解析【例 1】（ 2015 学年·奉贤区一模·第 24 题）如图，二次函数y x2bx c 图像经过原点和点 A（ 2，0），直线 AB 与抛物线交于点 B，且BAO45 .（1）求二次函数解析式及其顶点 C 的坐标；（2）在直线 AB 上是否存在点D，使得BCD为直角三角形 . 若存在，求出点 D 的坐标，若不存在，说明理由 .y【难度】★★★【答案】【解析】BO A x【例 2】（ 2015 学年·虹口区一模·第24 题）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ax2bx 3 与x轴分别交于点A（2， 0）、点 B（点 B 在点 A 的右侧），与 y 轴交于点 C， tan CBA 1 ．2（1）求该抛物线的表达式；（2）设该抛物线的顶点为 D，求四边形 ACBD 的面积；（3）设抛物线上的点E在第一象限，BCE 是以BC为一条直角边的直角三角形，请直接写出点 E 的坐标．y【难度】★★★【答案】【解析】O x2/13【例 3】如图，在ABC 中，AB = AC = 5 cm，BC = 8 cm，点P为BC边上一动点（不与点B、 C 重合），过点 P 作射线 PM 交 AC 于点 M，使APM B ．（1）求证：ABP∽PCM；（2）设 BP = x， CM = y，求 y 与 x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当PCM 为直角三角形时，求点P、 B 之间的距离．【难度】★★★A【答案】M 【解析】B CP【例 4】（ 2015 学年·静安区一模·第 25 题）已知：在梯形ABCD 中， AD // BC， AC = BC =410，cos ACB，点E在对角线AC 上，且 CE = AD， BE 的延长线与射线AD 、5射线 CD 分别相交于点F、 G．设 AD = x，AEF 的面积为y．（1）求证：DCA EBC ；（2）如图，当点 G 在线段 CD 上时，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果DFG 是直角三角形，求AEF 的面积．【难度】★★★A D F【答案】【解析】GEB C3/13模块二：等腰三角形的存在性考点分析等腰三角形的存在性问题也是考察分类讨论思想的一类题型，多次出现在初三的一模考、二模考，甚至中考的压轴题中，注重考察学生的想象、分析和运算的能力．分类讨论的解题思路大致可以总结为，根据不同的边（角）相等，根据相关性质（最好同时作出不同情况下的等腰三角形），再利用含有字母的代数式建立方程进行求解．例题解析1 x2bx 4与x轴相【例 5】（ 2013 学年·宝山区一模·第 25 题）如图，已知抛物线 y4交于 A 、 B 两点，与 y 轴相交于点 C ，若已知 B 点的坐标为 B （8，0）．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）连接AC、BC，试判断AOC 与COB 是否相似？并说明理由；（3）M为抛物线上BC 之间的一点，N 为线段 BC 上的一点，若 MN // y 轴，求 MN 的最大值；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点 Q ，使 ACQ 为等腰三角形？若存在，求出符合条件的 Q 点坐标；若不存在，请说明理由．【难度】★★★y【答案】【解析】CA OB x4/13【例 6】（ 2015 学年·徐汇区一模·第 25 题）如图，四边形ABCD中，C60 ，AB AD 5 ，CB CD 8 ，点P、Q分别是边 AD、BC 上的动点，AQ和 BP 交于点 E ，且BEQ901两点的距离为 x ．BAD ，设A、P2（1）求BEQ 的正切值；（2）设AEy ，求y关于 x 的函数解析式及定义域；PE（3）当AEP 是等腰三角形时，求B、 Q 两点的距离．A【难度】★★★P【答案】E【解析】B DQC【例 7】（ 2015 学年·崇明县一模·第 25 题）如图，已知矩形ABCD 中，AB6， BC8 ，E 是 BC 边上一点（不与B、 C 重合），过点 E 作EF AE 交AC、CD于点M、F，过点B作BG AC ，垂足为G，BG交AE于点H．（1）求证：ABH ∽ ECM ；（2）设BE x ，EHy ，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域；EM（3）当 BHE 为等腰三角形时，求 BE 的长．【难度】★★★【答案】A D 【解析】GHMFBEC5/13【例 8】（ 2014 学年·浦东新区、杨浦区、闵行区、松江区、静安区、青浦区一模·第 25 题）．如图，矩形 ABCD 中， P 是边 AD 上的一动点，联结BP、CP，过点 B 作射线交线段CP的延长线于点E，交边 AD 于点 M，且使得ABEAP = x， PM = y．（1）求 y 关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域；（2）当 AP = 4 时，求EBP 的正切值；（3）如果EBC是以EBC为底角的等腰三角形，求【难度】★★★【答案】【解析】CBP ．如果AB = 2，BC = 5，AP 的长．EA M P DBC3 3 学年·徐汇区一模·第 25 题）如图，ABC 中， AB 5，BC 11，cosB，5点 P 是 BC 边上的一个动点，联结AP ，取 AP 的中点 M ，将线段 MP 绕点 P 顺时针旋转 90°得到线段PN ，联结 AN ， NC ．（1）当点N恰好落在BC 边上时，求NC 的长；（2）若点N在ABC 内部（不含边界），设 BP x ，CN y ，求y关于 x 的函数关系式，并求出函数的定义域；（3）若PNC 是等腰三角形，求BP 的长．【难度】★★★A【答案】【解析】MNB CP6/13【例 10】（ 2015 学年·普陀区一模·第 25 题）如图，已知锐角MBN的正切值等于 3，PBD中， BDP 90 ，点D在 MBN 的边BN上，点P在 MBN 内，PD = 3，BD = 9．直线 l 经过点 P，并绕点 P 旋转，交射线 BM 于点 A，交射线 DN 于点 C．设CA= x：CP（1）求 x = 2 时，点 A 到 BN 的距离；（2）设ABC的面积为 y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当ABC 因l的旋转成为等腰三角形时，求x 的值．【难度】★★★【答案】M【解析】lAPBD C N7/13随堂检测【习题 1】如图，在正方形ABCD 中， AB = 6，点 E 为对角线 AC 上一点，且 AE 1CE ，3直线 DE 分别与边 AB、CB 的延长线交于点 F 、G．点 M 在线段 BG 上（与 B、G 不重合），联结 AM，交 DG 于点 N．设 BM = x， DN = y．（1）求证： BF = 2AF；（2）求 y 与 x 的函数解析式，并写出函数定义域；（3）当点 M 在线段 BG 上移动时，BDN 能否成为直角三角形？如果能，请求出线段BM 的长；如果不能，请说明理由．【难度】★★★【答案】 A D 【解析】NF G EM B C【习题 2】（ 2012 学年·普陀区一模·第 24 题）如图，点A 在 x 轴上， OA = 4，将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 120°至 OB 的位置．（1）求点 B 的坐标；（2）求经过点 A、O、 B 的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点 P、O、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．【难度】★★★y【答案】【解析】O AxB8/13【习题 3】 （ 2013 学年 ·浦东新区、闵行区、杨浦区、青浦区、静安区、松江区一模 ·第 25题）如图， 已知在 Rt ABC 中， ACB 90 ， AB 10 ， tan A 4，点 D 是斜边 AB3上的动点，连接 CD ，作 DE CD ，交射线 CB 于点 E ，设 ADx ．（1）当点 D 是边 AB 的中点时，求线段 DE 的长；（2）当 BED 是等腰三角形时，求 x 的值；（3）如果 yDE，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出它的定义域．DB【难度】★★★A【答案】 【解析】DC E B【习题 4】 （ 2014 学年 ·黄浦区一模 ·第 25 题） 如图，在矩形 ABCD 中，AB = 8，BC = 6，对角线 AC 、BD 交于点 O ．点 E 在 AB 延长线上，联结 CE ， AF CE ， AF 分别交线段 CE 、边 BC 、对角线 BD 于点 F 、G 、H （点 F 不与点 C 、E 重合）．（ 1）当点 F 是线段 CE 的中点时，求 GF 的长；（ 2）设 BE = x ， OH = y ，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域；（ 3）当 BHG 是等腰三角形时，求 BE 的长． 【难度】★★★【答案】DC 【解析】OGFHABE9/13【习题 5】（ 2014 学年·普陀区一模·第 25 题）如图，等边ABC，AB 4，点P是射线AC上的一动点，联结 BP ，作 BP 的垂直平分线交线段 BC 于点 D ，交射线 BA 于点Q，分别联结 PD ，PQ．（1）当点P在线段AC的延长线上时，①求DPQ 的度数并求证△DCP ∽△PAQ；②设 CP x ，AQ y ，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域；（2）如果PCD 是等腰三角形，求APQ 的面积．【难度】★★★B【答案】【解析】DCAPQ10/13课后作业【作业 1】 如图，已知点 P 是函数 y1 x （ x > 0 ）图像上一点， PA x 轴与点 A ，交函数 y 12 x（x > 0 ）图像与点 M ， PBy 轴于点 B ，交函数 y1（ x > 0 ）图像于点 N （点 M 、xN 不重合）．（1）当点 P 的横坐标为 2 时，求 PMN 的面积；（2）证明： MN // AB ；（3）试问： OMN 能否为直角三角形？若能，请求出此时点P 的坐标；若不能，请说明理由．y【难度】★★★【答案】【解析】BNPMOAx【作业 2】 （ 2012 学年 ·嘉定区一模 ·第 24 题） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线y ax 2 4ax c （ a 0 ）经过 A （，）、（ 3 ， ）两点，顶点为 C ．0 4 B 1（1）求该抛物线的表达式及点 C 的坐标；（2）将（ 1）中求得的抛物线沿y 轴向上平移 m （ m > 0）个单位，所得新抛物线与y轴的交点记为点 D ．当ACD 是 等腰三角形时，求点D 的坐标；（3）若点 P 在（ 1）中求得的抛物线的对称轴上，联结PO ，将线段 PO 绕点 P 逆时针旋转 90°得到线段 PO ，若点 O ' 恰好落在（1）中求得的抛物线上， 求点 P 的坐标．【难度】★★★ y【答案】【解析】O x11/13AC BC ，AD = 9，AC = 12，BC = 16 ，点 E 是边 BC 上一个动点， EAFBAC ，AF 交 CD 于点 F 、交 BC 延长线于点 G ，设 BE = x ． （1）试用 x 的代数式表示 FC ；（2）设FGy ，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域；EF（3）当 AEF 是等腰三角形时，直接写出BE 的长．【难度】★★★A D【答案】【解析】FBE C G【作业 4】 （ 2013 学年 ·崇明区一模 ·第 25 题）如图，在ABC 中，AB ，，3 ，8 BC10 cosC4ABC 2 C ， BD 平分 ABC 交 AC 边于点 D ，点 E 是 BC 边上的一个动点 （不与B 、C 重合）， F 是 AC 边上一点，且 AEFABC ， AE 与 BD 相交于点 G ．（1）求证：ABBG ； CECF（2）设 BE x ， CF y ，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出 x 的取值范围；（3）当 AEF 是以 AE 为腰的等腰三角形时，求BE 的长．【难度】★★★ A【答案】【解析】DGFBEC12/13AD = 4， AB = 8，BC = 10，M 在边 CD 上，且DM2 ．MC3（1）如图1，联结 BM，求证：BM CD；（2）如图2，作EMF 90，ME 交射线 AB 于点 E，MF 交射线 BC 于点 F，若 AE = x，BF= y．当点 F 在线段 BC 上时，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域；（3）若MCF是等腰三角形，求 AE 的值．【难度】★★★A D【答案】【解析】MB C图 1A DEMB F C图 2A DMB C备用图13/13。
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特殊三角形的存在性知识结构模块一：直角三角形的存在性考点分析直角三角形的存在性问题，分类特征非常明显，首先考虑三角形的哪个角有可能称为直角，再把这个角为直角作为条件，并结合题目中的条件在进行说理计算．此类综合题需要用到的知识点较多，用于考察同学们的思维和分析能力．O xy【例1】 （2015学年·奉贤区一模·第24题）如图，二次函数2y x bx c =++图像经过原点和点A （2，0），直线AB 与抛物线交于点B ，且45BAO ∠=︒. （1）求二次函数解析式及其顶点C 的坐标；（2）在直线AB 上是否存在点D ，使得BCD ∆为直角三角形.若存在，求出点D 的坐标，若不存在，说明理由.【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例2】 （2015学年·虹口区一模·第24题）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =++与x 轴分别交于点A （2，0）、点B （点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，1tan 2CBA ∠=． （1）求该抛物线的表达式；（2）设该抛物线的顶点为D ，求四边形ACBD 的面积；（3）设抛物线上的点E 在第一象限，BCE ∆是以BC 为一条直角边的直角三角形，请直接写出点E 的坐标．【难度】★★★ 【答案】 【解析】例题解析BAOyxABCPMABCDEFG【例3】 如图，在ABC ∆中，AB = AC = 5 cm ，BC = 8 cm ，点P 为BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），过点P 作射线PM 交AC 于点M ，使APM B ∠=∠． （1）求证：ABP ∆∽PCM ∆；（2）设BP = x ，CM = y ，求y 与x 的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当PCM ∆为直角三角形时，求点P 、B 之间的距离． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例4】 （2015学年·静安区一模·第25题）已知：在梯形ABCD 中，AD // BC ，AC = BC =10，54cos =∠ACB ，点E 在对角线AC 上，且CE = AD ，BE 的延长线与射线AD 、射线CD 分别相交于点F 、G ．设AD = x ，AEF ∆的面积为y ． （1）求证：DCA EBC ∠=∠；（2）如图，当点G 在线段CD 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）如果DFG ∆是直角三角形，求AEF ∆的面积． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】xyA B CO等腰三角形的存在性问题也是考察分类讨论思想的一类题型，多次出现在初三的一模考、二模考，甚至中考的压轴题中，注重考察学生的想象、分析和运算的能力．分类讨论的解题思路大致可以总结为，根据不同的边（角）相等，根据相关性质（最好同时作出不同情况下的等腰三角形），再利用含有字母的代数式建立方程进行求解．【例5】 （2013学年·宝山区一模·第25题）如图，已知抛物线2144y x bx =-++与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，若已知B 点的坐标为B （8，0）． （1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）连接AC 、BC ，试判断AOC ∆与COB ∆是否相似？并说明理由；（3）M 为抛物线上BC 之间的一点，N 为线段BC 上的一点，若MN //y 轴，求MN 的最大值；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使ACQ ∆为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】模块二：等腰三角形的存在性例题解析考点分析ABCDEPQ【例6】 （2015学年·徐汇区一模·第25题）如图，四边形ABCD 中，60C ∠=︒，5AB AD ==，8CB CD ==，点P Q 、分别是边AD BC 、上的动点，AQ 和BP 交于点E ，且1902BEQ BAD ∠=︒-∠，设A P 、两点的距离为x ．（1）求BEQ ∠的正切值； （2）设AEy PE=，求y 关于x 的函数解析式及定义域； （3）当AEP ∆是等腰三角形时，求B Q 、两点的距离． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例7】 （2015学年·崇明县一模·第25题）如图，已知矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，E 是BC 边上一点（不与B 、C 重合），过点E 作EF AE ⊥交AC 、CD 于点M 、F ，过点B 作BG AC ⊥，垂足为G ，BG 交AE 于点H ． （1）求证：ABH ∆∽ECM ∆； （2）设BE x =，EHy EM=，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3）当BHE ∆为等腰三角形时，求BE 的长． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】AB DFCMG HEA BCDEM P NMABC【例8】 （2014学年·浦东新区、杨浦区、闵行区、松江区、静安区、青浦区一模·第25题）．如图，矩形ABCD 中，P 是边AD 上的一动点，联结BP 、CP ，过点B 作射线交线段CP 的延长线于点E ，交边AD 于点M ，且使得ABE CBP ∠=∠．如果AB = 2，BC = 5，AP = x ，PM = y ．（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （2）当AP = 4时，求EBP ∠的正切值；（3）如果EBC ∆是以EBC ∠为底角的等腰三角形，求AP 的长． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例9】 （2013学年·徐汇区一模·第25题）如图，ABC ∆中，5AB =，11BC =，35cosB =，点P 是BC 边上的一个动点，联结AP ，取AP 的中点M ，将线段MP 绕点P 顺时针旋转90°得到线段PN ，联结AN ，NC ． （1）当点N 恰好落在BC 边上时，求NC 的长；（2）若点N 在ABC ∆内部（不含边界），设BP x =，CN y =，求y 关于x 的函数关系式，并求出函数的定义域；（3）若PNC ∆是等腰三角形，求BP 的长． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】ABCDNMP l【例10】 （2015学年·普陀区一模·第25题）如图，已知锐角MBN ∠的正切值等于3，PBD∆中，90BDP ∠=︒，点D 在MBN ∠的边BN 上，点P 在MBN ∠内，PD = 3，BD = 9．直线l 经过点P ，并绕点P 旋转，交射线BM 于点A ，交射线DN 于点C ．设CACP = x ：（1）求x = 2时，点A 到BN 的距离；（2）设ABC ∆的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当ABC ∆因l 的旋转成为等腰三角形时，求x 的值． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】A B CDEFGNM xy OAB【习题1】 如图，在正方形ABCD 中，AB = 6，点E 为对角线AC 上一点，且13AE CE =，直线DE 分别与边AB 、CB 的延长线交于点F 、G ．点M 在线段BG 上（与B 、G 不重合），联结AM ，交DG 于点N ．设BM = x ，DN = y ． （1）求证：BF = 2AF ；（2）求y 与x 的函数解析式，并写出函数定义域；（3）当点M 在线段BG 上移动时，BDN ∆能否成为直角三角形？如果能，请求出线段BM 的长；如果不能，请说明理由．【难度】★★★ 【答案】 【解析】【习题2】 （2012学年·普陀区一模·第24题）如图，点A 在x 轴上，OA = 4，将线段OA绕点O 顺时针旋转120°至OB 的位置． （1）求点B 的坐标；（2）求经过点A 、O 、B 的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使得以点P 、O 、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．【难度】★★★ 【答案】 【解析】随堂检测ABCDE【习题3】 （2013学年·浦东新区、闵行区、杨浦区、青浦区、静安区、松江区一模·第25题）如图，已知在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，10AB =，4tan 3A =，点D 是斜边AB上的动点，连接CD ，作DE CD ⊥，交射线CB 于点E ，设AD x =． （1）当点D 是边AB 的中点时，求线段DE 的长；（2）当BED ∆是等腰三角形时，求x 的值；（3）如果DEy DB =，求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域．【难度】★★★ 【答案】 【解析】【习题4】 （2014学年·黄浦区一模·第25题）如图，在矩形ABCD 中，AB = 8，BC = 6，对角线AC 、BD 交于点O ．点E 在AB 延长线上，联结CE ，AF CE ⊥，AF 分别交线段CE 、边BC 、对角线BD 于点F 、G 、H （点F 不与点C 、E 重合）． （1）当点F 是线段CE 的中点时，求GF 的长；（2）设BE = x ，OH = y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）当BHG ∆是等腰三角形时，求BE 的长． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】OHGFCABCDPQ【习题5】 （2014学年·普陀区一模·第25题）如图，等边ABC ∆，4AB =，点P 是射线AC上的一动点，联结BP ，作BP 的垂直平分线交线段BC 于点D ，交射线BA 于点Q ，分别联结PD ，PQ ．（1）当点P 在线段AC 的延长线上时， ①求DPQ ∠的度数并求证△DCP ∽△PAQ ；②设CP x =，AQ y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （2）如果PCD ∆是等腰三角形，求APQ ∆的面积． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】11 / 13ABNM P xyO O xy【作业1】 如图，已知点P 是函数12y x =（x > 0）图像上一点，P A ⊥x 轴与点A ，交函数1y x=（x > 0）图像与点M ，PB ⊥y 轴于点B ，交函数1y x=（x > 0）图像于点N （点M 、N 不重合）．（1）当点P 的横坐标为2时，求PMN ∆的面积； （2）证明：MN // AB ；（3）试问：OMN ∆能否为直角三角形？若能，请求出此时点P 的坐标；若不能，请说明理由．【难度】★★★ 【答案】 【解析】【作业2】 （2012学年·嘉定区一模·第24题）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线24y ax ax c =++（0a ≠）经过A （0，4）、B （3-，1）两点，顶点为C ．（1）求该抛物线的表达式及点C 的坐标；（2）将（1）中求得的抛物线沿y 轴向上平移m （m > 0）个单位，所得新抛物线与y 轴的交点记为点D ．当ACD ∆是等腰三角形时，求点D 的坐标；（3）若点P 在（1）中求得的抛物线的对称轴上，联结PO ，将线段PO 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PO '，若点'O 恰好落在（1）中求得的抛物线上，求点P 的坐标．【难度】★★★ 【答案】 【解析】课后作业12 / 13A BCDE FGABCDEFGAC BC ⊥，AD = 9，AC = 12，BC = 16，点E 是边BC 上一个动点，EAF BAC ∠=∠，AF 交CD 于点F 、交BC 延长线于点G ，设BE = x ． （1）试用x 的代数式表示FC ；（2）设FGy EF =，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）当AEF ∆是等腰三角形时，直接写出BE 的长． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【作业4】 （2013学年·崇明区一模·第25题）如图，在ABC ∆中，8AB =，10BC =，34cosC =，2ABC C ∠=∠，BD 平分ABC ∠交AC 边于点D ，点E 是BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合），F 是AC 边上一点，且AEF ABC ∠=∠，AE 与BD 相交于点G ． （1）求证：AB BGCE CF =； （2）设BE x =，CF y =，求y 与x 之间的函数关系式，并写出x 的取值范围； （3）当AEF ∆是以AE 为腰的等腰三角形时，求BE 的长． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】13 / 13AD = 4，AB = 8，BC = 10，M 在边CD 上，且23DM MC =．（1）如图1，联结BM ，求证：BM CD ⊥；（2）如图2，作90EMF ∠=︒，ME 交射线AB 于点E ，MF 交射线BC 于点F ，若AE = x ，BF = y ．当点F 在线段BC 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3）若MCF ∆是等腰三角形，求AE 的值． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】图1 ACB DM图2 EA CBDMF备用图ACBDM。