[数学]第3章 理想光学系统

二、高斯公式


以物、像方主点为原点来确定物和像的位置。 物距：物方主点到物点的距离，以物方主点H为原 点，到物点的方向与规定正方向相同，则物距为 正，反之为负，用 l 表示。 像距：像方主点到像点的距离，以像方主点H’为原 点，到像点的方向与规定正方向相同，则像距为 正，反之为负，用 l 表示。

高斯公式：用焦距（ f和f ）表示物像位置关系， 物象位置用（l和l ）表示。 已知 x l f , x l f 根据牛顿公式 xx ff
f f 1 l l
————此式为高斯公式

垂轴放大率：

y f f y x l f
y x l f y f f
fl f l
理想光学系统的垂轴放大率与 物体所处位置和系统的焦距有关。
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3.4 理想光学系统两焦距之间的关系式 及拉赫不变量
一、两焦距之间的关系 由直角三角形 AQH和AQH， 可得：
h ltgU l tgU 即( x f )tgU ( x f )tgU (1)
l l
( 4)
二、轴向放大率 1.定义：轴上像点移动微小距离与物点移动的微小距离之 比。
dl dx 2.大小：对牛顿公式或高斯公式微分，可得 dl dx
dx x dx x
xx f f f f 1 l l
微分
(5)
dl fl 2 2 dl f l
n 2 n
(9)
移动方向相同。

当系统处于同一种介质中时，
l l l 2 2 l

2
(10)
结论：除了垂轴放大率为1的物平面外，任何位置的正 方体成像时，其像不再是一个正方体。 三、角放大率 1.定义：共轭面的轴上点发出的入射光线通过光学系统后， 出射光线的像方孔径角的正切值与入射光线的物方孔径 角的正切值之比。 tgU
0 (4) lH 0, lH

结论：单个折射球面的两个主点与顶点重合，其物、像 方主平面为过球面顶点的切平面。
5.单个折射球面的焦点位置
已知主点，只要知道焦距 f和f ,即可知道其焦点的 位置。 像方焦点对应的物像方截距为 l , l f ，则像方 焦距为: nr
n n nlH nlH 1 nlH nlH
l l
r
lH lH
lH 0 结论：球面反射镜的物像方主平面重合， lH 与球面顶点相切。
3.3 理想光学系统的物像关系式
一、牛顿公式 以物、像方焦点为原点来确定物和像的位置。 1.物距：物方焦点到物点的距离，以物方焦点F为原 点，到物点的方向与规定正方向相同，物距为正， 反之为负，用x表示。 2.像距：像方焦点到像点的距离，以像方焦点F为原 点，到像点的方向与 规定正方向相同，像距 为正，反之为负， 用x’表示。
fl f l 根据两焦距的关系，可得 (2)
y f y x x f (1)

nl (3) nl 结论：此式与单个折射球面和共轴球面系统的放大率公式 一致。
当系统处于同一种介质中时

结论：垂轴放大率随物体位置不同而不同，某一垂轴 放大率只对应一个物平面。在不同共轭面上，垂轴放 大率不同；在同一共轭面上，放大率是一个常数。
5.由共轭面和共轭点确定一切物点的像点
a.已知两对共轭面的位置和垂轴放大率
b.已知一对共轭面的位置和垂轴放大率以及两对 共轭点的位置
3.2理想光学系统的基点和基面

设想：把实际光学系统看作理想光学系统，将其 抽象成一个与光学系统结构参数无关的模型来代 替实际光学系统，然后根据这个模型找到任意物 体经系统后所成的像。
2.主点、主平面
定义：垂轴放大率为 1 的共轭面称为光学系统 的主平面；主平面与光轴的交点H和H’称为主点。 注：一个光学系统，入射为平行光束，出射也为 平行光束，此系统为望远系统，无主平面，除了 望远系统外，所有系统都有一对主平面。
光学系统总是包含一对主点（主平面）， 一对焦点（焦平面）， 前者是一对共轭点（面），后者不是。
yfu yf u (5)
共轴球面系统近轴区适用的拉赫公式为
J nyu nyu (6)
f n (7) f n
结论：理想光学系统的像方焦距与物方焦距 之比等于相应介质折射率之比的负值。 光学系统位于同一种介质中（ n n ）： 物像方介质折射率相等，则有 f f (8) 说明：系统位于同一介质中时， 两焦距大小相等，符号相反。

若光学系统是一个反射面，即(n=-n’)，则两焦距 的关系为（ f f ）。

结论：若光学系统中包含有K个反射面，则两焦距 关系为
f k 1 n (1) f n (10)

例如：长焦距反射式天文望远镜。
F’
双曲面副镜 抛物面主镜
物像位置关系公式：
根据理想光学系统两焦距的关系
F点是像空间无限远轴上点的共轭像点，称为光学系 统的物方焦点（或第一焦点或前焦点）。 注意：这里F和F’不是一对共轭点。
由光学系统物方焦平面上任一点发出的光束，
经光学系统后平行出射，物方焦平面是像方 无限远垂轴平面的共轭像面。
总结：物方无限远轴上点和像方焦点是一对
共轭点；物方焦点和像方无限远轴上点是一 对共轭点；物方无限远垂轴平面和像方焦平 面是一对共轭平面；物方焦平面和像方无限 远垂轴平面是一对共轭平面。
3.1理想光学系统的基本特性
4.位于垂直于光轴同一平面内的物体，其像的几 何形状和物完全相似，也就是说，在整个物平 面上，无论什么位置，垂轴放大率为常数。

注：当光学系统物象空间满足理想成像关系时， 一般来说，物像并不相似。在共轴理想光学系统 中，只有垂直于光轴的平面才具有物像相似的性 质。
3.1理想光学系统的基本特性
3.1理想光学系统的基本特性
理想光学系统：它使任意空间大小的物体以任意 宽的光束均能成完善像。 一、理想光学系统的成像特性： 1.点物成点像 物空间每一点对应于像空间内唯一的一个像点， 这 一对点称为物象空间的共轭点。 2.直线成直线像 物空间内的每一条直线对应于像空间内唯一的一 条直线，这一对线称为共轭线。
3.1理想光学系统的基本特性
3.平面成平面像 物空间的每一个平面，在像空间必有唯一的 一个平面与之相对应，这样的两个对应平面 称为物象空间的共轭面。

结论：符合物象空间点对点、线对线、平面 对平面的像称为理想像、完善像或高斯像。
3.1理想光学系统的基本特性
二、共轴理想光学系统的成像特性
1.具有轴对称性 即位于轴上的点，其对应的像点也必然位于光轴上。 2.具有面对称性 即位于过光轴的某截面内的物点对应的像点，必位于 同一平面内。 子午面是共轴系统的对称面，也是子午面上物点发出 的光束的对称面。子午面：包含光轴的平面。 3.物平面垂直于光轴，像平面也垂直于光轴
f n n
物方焦点对应的物像方截距为l f , l ，
则物方焦距为:
f
nr n n
6.单个球面反射镜的主平面和焦距
焦距： 反射是折射的特例：n’=-n， r f f 则反射球面镜的物像方焦距： 2 结论：反射球面的焦点位于球心和顶点的中间。 1 1 2 球面反射镜的主平面：
光学模型：焦点、焦平面，主点、主平面，节点、节平 面
1.焦点、焦平面
F’点是物空间无限远轴上点的共轭像点，称为理想 光学系统的像方焦点（或第二焦点或后焦点）。 过F’点作垂直于光轴的平面，称为像方焦平面（或 后焦平面）。
由物方无限远射来的任何方向的平行光束，经光学 系统后会聚于像方焦平面上一点;像方焦平面是物方 无限远垂轴平面的共轭像面。
引言
研究近轴光学的实际意义
1.近轴区成像可作为衡量实际光学系统成像质量 的标准。以近轴区成像质量为依据，衡量光学系 统的像差大小，以判断实际光学系统的不完善程度， 进而通过不断改变光学系统的结构参数，使之在非 近轴区具有近轴成像的质量。 2.用近轴区成像近似地表示实际光学系统所成像 的位置和大小。在设计光学系统或者分析系统的 工作原理时，往往首先需要近似地确定像的位置和 大小。
第3章 理想光学系统




理想光学系统的定义和成像特性 理想光学系统的基点和基面 物象位置关系 三种放大率、拉赫公式和两种焦距间的关系 理想光学系统的图解求像 理想光学系统的光焦度 光学系统的组合 望远系统 透镜
教学目标



掌握理想光学系统的物像关系、基点和基面 牢固掌握图解法求像的方法。 牢固掌握理想光学系统的双光组组合和透镜 的焦距、基点（基面）。 理解多光组组合的焦距计算公式。 了解各种厚透镜的基点、基面位置。 掌握望远系统的特性。
由三角形ABF和三角形HMF相似，三角形A’B’F’和 三角形H’M’F’相似，可得：
y x f (2) y y x f (3) y
将（2）式和（3）式带入（1）式可得：
yftgU yf tgU (4)
两焦距关系：对于理想光学系统，无论U和U’
角多大，此式均成立，因此，当AQ和A’Q’是近 轴光线时，此式也成立，即
3.牛顿公式

用已知量 f和f 表示物像位置关系，物、像位置用 x和x 表示。 三角形ABF和三角形MHF相似，得：
y f y x
y x y f
(1)
三角形A’B’F’和三角形H’N’F’相似，得：
(2)
xx ff
(3)
——————此式即为牛顿公式。
f’>0的系统称为正系统， f’<0的系统称为负系统。
焦距的大小可由入射高度h和物、像方孔径角给出。 平行于光轴的入射光线高度为h，其共轭出射光线 与光轴夹角为u’，则 f h / tgu 同理，f h / tgu
3.2理想光学系统的基点和基面
4.单个折射球面的主平面和焦点
f n f n
f f 1 l l
n n n n l l f f
n n n n l l r
和高斯公式
单个折射球面的物像位置关系公式

说明：单个折射球面物像关系公式具有普遍性。
二、理想光学系统的拉赫公式
将两焦距的关系式：
带入理想光学系统满足的公式 可得
yftgU yf tgU
f n f n
——理想光学系统的拉赫不变量公式。
nytgU ny tgU (11)
3.5 理想光学系统的放大率
一、垂轴放大率 y 1.定义：共轭面像高与物高之比。 y 2.表达式： 根据牛顿公式，可得以焦点为原点的放大率公式为 根据高斯公式，可得以主点为原点的放大率公式为
3.焦距
物、像方焦点的位置是以物、像方主点为原点 来确定的。 物方焦距：自光学系统的物方主点H到物方焦 点F的距离，称为物方焦距（或称前焦距或第一 焦距），以f表示。 像方焦距：自光学系统的像方主点H’到像方焦 点F’的距离，称为像方焦距（或称后焦距或第二 焦距），以f’表示。 焦距的正负是以相应的主点为原点来确定的， 如果由主点到焦点的方向与光线的传播方向相 同，则焦距为正，否则为负。
根据主平面定义，有
nlH nlH 1 nlH nlH (1)
两主平面是一对共轭面，满足物像位置关系公式
n n n n l l r
ll
nl H nl H n n (2) lH lH r
将（1）式代入（2）式，得：
n n n 2 l H 0 (3) r n
(6)

根据两焦距关系，可得
dl fl 2 2 dl fl

•
结论：此式与单个折射球面和共轴球面系统的放大率 公式一致。 当系统处于同一种介质中时 两种放大率之间的关系
fl f l
2
nl 2 2 nl
(7 )

l 2 2 l
(8)
dl fl 2 dl f l 结论：理想光学系统的沿轴放大率恒为正值，物、像