电磁学第一章习题答案
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2
∫∫ E id S = ε
q
∫∫ E id S = 4π r
3
2
E内
0
当r＞R时，即在球外过任一点p仍做球形高斯面。 由高斯定理得
∫∫ E
0
外
idS = 4π r E外
2
2 3
q = ∫ ρ0 (1 − r R)4π r dr = 1 3πρ0 R
R
4π r E外 =
2
1 3 πρ0 R
3
ρ0 R3 ∴ E外 = 2 12ε 0 r
ε0
d ρ 3 E内 = r) = 0 (1 − （2） dr 3ε 0 2R
2 ∴r = R 3 ρ0 R Emax = 9ε 0
r越大，E外 单调减小，因而球外场强无极值
1.6.3附图中A与O、O与B、B与D的距离皆为L，A点 有正电荷q，B点有负电荷-q （1）把单位正电荷从O点沿半圆OCD移到D点，电 场力做了多少功？ （2）把单位负电荷从D点沿AD的延长线移到无穷 远，电场力做了多少功？
1.3.7 电荷以线密度η均匀分布在长为L的直线段上 （1）求带电线 的中垂面上与带电线相距为R的点的场强； η （2）证当L→∞时，该点场强 E = 2πε R （3）试证当 R〉〉 L 时所得结果与点电荷场强公式一致
0
解：如图建立坐标，带电线上任一电荷元在P点产生的场强为： η dx dE = er y 2 2 4πε 0 ( R + x ) dE
−q 6πε 0 L
)=
q 6πε 0 L
场力把单位负电荷（即q0 = −1 ）从D点移到无穷 远所作的功：
AD∞ = q (U D − U ∞ ) = q0 (−
q 6πε 0 L
)=
q 6πε 0 L
根据对称性分析， 电场强度的方向沿着y轴
E=∫
=∫
=
L 2 L − 2
ηБайду номын сангаасdx
4πε 0 ( R 2 + x 2 ) Rη
2 2 3 2
sin α
dx
p
R
0
L (− , 0) 2
L 2 L − 2
4πε 0 ( R + x ) ηL
α
dl
4πε 0 R R 2 + L2 4 ηL ∴E = j 2 2 4πε 0 R R + L 4
其中η L
=q
与点电荷公式一致
1.4.3用高斯定理求电荷线密度为η 的无限长均匀 带电直线在空间任一点激发的场强
η
P
r
l
解：根据对称性分析，无限长均匀带电直线在空 间任一点产生的场强与棒垂直，呈辐射状。如图 所示以带电直线为轴线过P点作一封闭的圆柱面。 长度L是任意的。 由高斯定理：
∫∫ EidS = ∫∫ E cosθdS + ∫∫ E cosθdS + ∫∫ E cosθdS
C
q
A
−q
2L
O
B
L
D
根据电位叠加原理：
q q U0 = ( − )=0 4πε 0 L L
q q q UD = ( − )=− 4πε 0 3L L 6πε 0 L
（1）电场力把单位正电荷（即 q0 = 1）从O 点沿OCD移到D点所做的功：
1
1
AOCD = q0 (U 0 − U D ) = q0 (0 −
P
P0
R
O
r 解（1） ∵ ρ = ρ0 (1 − R ) ρ 与r是线性关系。在球内
过 ρ0 点做一个半径为r的与带电球同心的球面为高 斯面如图，根据对称性分析，此球面上的场强大小 相等，方向与 r 的一致。 由高斯定理：
r
4 q = ∫ ρ 0 (1 − r )4π r dr = ρ 0π r ( − r R ) R 0 3 3 ρ0π r 4 2 ∴ 4π r E内 = ( − r R) ε0 3 ρ0 r ∴ E内 = (1 − 3 r 4 R) 3ε 0
侧面 上底 下底
ηL = ε0
上下底面上
θ=
π
2
∴ cos θ = 0
侧面上场强夹角
θ = 0 ∴ cos θ = 1
ηL ∴ ∫∫ E idS = ∫∫ E cos θ dS = E i2π rL = ε0 侧面
η ∴E = 2πε 0 r
1.4.6电荷以体密度 ρ = ρ0 (1 − r R) 分布在半径为R 的球内，其中ρ0 为常量，r为球内某点与球心的 距离 （1）求球内外的场强（以r代表从球心到场点的 矢量） （2）r为多大时场强最大？该点场强 Emax = ?
x
L ( , 0) 2
（2）当L→∞时
E=
ηL
4πε 0 R R + L 4
2 2
=
η
4πε 0 R R L + 1 4
2 2
η ∴E = = 4πε 0 R 2πε 0 R
R 2 L2 → 0 当L →∞时
2η
（3）当R ≫L时 R 2 + L2 4 → R 2 = R
ηL q ∴E = = 2 2 4πε 0 R 4πε 0 R
∫∫ E id S = ε
q
∫∫ E id S = 4π r
3
2
E内
0
当r＞R时，即在球外过任一点p仍做球形高斯面。 由高斯定理得
∫∫ E
0
外
idS = 4π r E外
2
2 3
q = ∫ ρ0 (1 − r R)4π r dr = 1 3πρ0 R
R
4π r E外 =
2
1 3 πρ0 R
3
ρ0 R3 ∴ E外 = 2 12ε 0 r
ε0
d ρ 3 E内 = r) = 0 (1 − （2） dr 3ε 0 2R
2 ∴r = R 3 ρ0 R Emax = 9ε 0
r越大，E外 单调减小，因而球外场强无极值
1.6.3附图中A与O、O与B、B与D的距离皆为L，A点 有正电荷q，B点有负电荷-q （1）把单位正电荷从O点沿半圆OCD移到D点，电 场力做了多少功？ （2）把单位负电荷从D点沿AD的延长线移到无穷 远，电场力做了多少功？
1.3.7 电荷以线密度η均匀分布在长为L的直线段上 （1）求带电线 的中垂面上与带电线相距为R的点的场强； η （2）证当L→∞时，该点场强 E = 2πε R （3）试证当 R〉〉 L 时所得结果与点电荷场强公式一致
0
解：如图建立坐标，带电线上任一电荷元在P点产生的场强为： η dx dE = er y 2 2 4πε 0 ( R + x ) dE
−q 6πε 0 L
)=
q 6πε 0 L
场力把单位负电荷（即q0 = −1 ）从D点移到无穷 远所作的功：
AD∞ = q (U D − U ∞ ) = q0 (−
q 6πε 0 L
)=
q 6πε 0 L
根据对称性分析， 电场强度的方向沿着y轴
E=∫
=∫
=
L 2 L − 2
ηБайду номын сангаасdx
4πε 0 ( R 2 + x 2 ) Rη
2 2 3 2
sin α
dx
p
R
0
L (− , 0) 2
L 2 L − 2
4πε 0 ( R + x ) ηL
α
dl
4πε 0 R R 2 + L2 4 ηL ∴E = j 2 2 4πε 0 R R + L 4
其中η L
=q
与点电荷公式一致
1.4.3用高斯定理求电荷线密度为η 的无限长均匀 带电直线在空间任一点激发的场强
η
P
r
l
解：根据对称性分析，无限长均匀带电直线在空 间任一点产生的场强与棒垂直，呈辐射状。如图 所示以带电直线为轴线过P点作一封闭的圆柱面。 长度L是任意的。 由高斯定理：
∫∫ EidS = ∫∫ E cosθdS + ∫∫ E cosθdS + ∫∫ E cosθdS
C
q
A
−q
2L
O
B
L
D
根据电位叠加原理：
q q U0 = ( − )=0 4πε 0 L L
q q q UD = ( − )=− 4πε 0 3L L 6πε 0 L
（1）电场力把单位正电荷（即 q0 = 1）从O 点沿OCD移到D点所做的功：
1
1
AOCD = q0 (U 0 − U D ) = q0 (0 −
P
P0
R
O
r 解（1） ∵ ρ = ρ0 (1 − R ) ρ 与r是线性关系。在球内
过 ρ0 点做一个半径为r的与带电球同心的球面为高 斯面如图，根据对称性分析，此球面上的场强大小 相等，方向与 r 的一致。 由高斯定理：
r
4 q = ∫ ρ 0 (1 − r )4π r dr = ρ 0π r ( − r R ) R 0 3 3 ρ0π r 4 2 ∴ 4π r E内 = ( − r R) ε0 3 ρ0 r ∴ E内 = (1 − 3 r 4 R) 3ε 0
侧面 上底 下底
ηL = ε0
上下底面上
θ=
π
2
∴ cos θ = 0
侧面上场强夹角
θ = 0 ∴ cos θ = 1
ηL ∴ ∫∫ E idS = ∫∫ E cos θ dS = E i2π rL = ε0 侧面
η ∴E = 2πε 0 r
1.4.6电荷以体密度 ρ = ρ0 (1 − r R) 分布在半径为R 的球内，其中ρ0 为常量，r为球内某点与球心的 距离 （1）求球内外的场强（以r代表从球心到场点的 矢量） （2）r为多大时场强最大？该点场强 Emax = ?
x
L ( , 0) 2
（2）当L→∞时
E=
ηL
4πε 0 R R + L 4
2 2
=
η
4πε 0 R R L + 1 4
2 2
η ∴E = = 4πε 0 R 2πε 0 R
R 2 L2 → 0 当L →∞时
2η
（3）当R ≫L时 R 2 + L2 4 → R 2 = R
ηL q ∴E = = 2 2 4πε 0 R 4πε 0 R