张禾瑞 近世代数基础(复习要点·定理)

定理

同态满射保持运算律（包括结合律、交换律）

P21

左右逆元的统一性

P33-34 左右逆元的唯一性

P36 （由此可称为幺元而省掉“左右”）

群的两个定义的等价性

P33

群满足消去律（由逆元的存在性） P38

仅限有限集合的群判定：封闭+结合律+消去律

P39

群的几个分类标准：

1、 有限 / 无限 ——元素个数

2、 交换 / 非交换 ——运算是否满足交换律

3、 循环 / 非循环 ——是否有一元可以遍历其他元

P35

n a ： 次n n a aa a ≡ n 是正整数 （由结合律知其有意义）

a 的阶： 对群G 中的元a ，若存在最小正整数m ，使得e a =m ，

则m 称为 a 的阶；否则我们称a 是无限阶的

P37 群中幂形式的元的运算法则：

若规定：e a =0， n n a a )(1--=

则对任意整数m,n 有：m n m n a a a +=， nm m n a a =)

(

（由结合律易得）

两种循环群： 整数加群 与 剩余类加群

同构定理： 任何一个群 有一个变换群与之同构

任何一个有限群 有一个置换群与之同构

任何一个无限循环群 与整数加群同构

任何一个有限循环群 与剩余类加群同构

子群的左陪集和右陪集的个数，或都为无限，或相等 P68

子群陪集（左或右算一边）的个数叫做子群的指数

群的阶： 群中元素的个数

对有限群G 而言：

G 的子群的阶，与子群陪集的个数（指数），其乘积即为群G 的阶

（即都整除群G 的阶） G 中任意元的阶，都整除群G 的阶（因为任意元可生成循环子群）

子群充要条件： H ab H b a ∈⇒∈∀-1,

P63 定理2

子群正规充要条件： N

ana N n G a ∈⇒∈∈∀-1, P72 定理2 （首先N 须得是一个子群，然后再有…）