群论 第1章 群论基础(1)
群论群论基础课件
式中 y 称为 x 在B 上的象，而 x 称为 y 在 A 上的原象。
对应规则：与函数的比较
群论-群论基础-集合与运算
满射 单射 一一映射 逆映射： f -1 恒等映射：e
变换： 体系A 的一个自身映射f 称为A 的一个变换 若f 是一一映射，则称为对称变换 一一变换有性质：
物理学中的群论
—— 群论基础
主讲 翦知渐
群论
教材与参考书
教材： 自编
参考书：群论及其在固体物理中的应用 （徐婉棠）
物理学中的群论 （马中骐）
物理学中的群论基础 （约什）
群论
物理学中的群论
第一章 群论基础 第二章 晶体对称群 第三章 群表示理论 第四章 三维转动群 第五章 群论在量子力学中的应用
群论-群论基础
二元运算一般也称为“乘法”—— 数值加法 数值乘法 对称操作……
集合的所有代数性质都由其乘法结果决定
群论-群论基础-集合与运算
乘法表：有限集
A
l
m
O
D3
e
a
b
B
k
l
k
m
C
ee
a
b
k
l
m
aa
b
e
m
k
l
bb
e
a
l
m
k
kk
l
m
e
a
b
ll
m
k
b
e
a
mm
k
l
a
b
e
4 同态与同构
群论-群论基础-集合与运算
设 A 和 B 是两个不同集合，其中分别定义了乘法 ·和 ×； 若有满射 f ，使得对于 yi = f ( xi ), yj = f ( xj )来说有
物理学中的群论基础第一章
平面上所有平移的集合 平面上所有平移的集合 √ 平面上以一个定点为中心的所有旋转的集合 平面上以一个定点为中心的所有旋转的集合 平面上所有轴反射的集合 平面上所有轴反射的集合
√
a1 a2
×
1.1.2正方形的对称性群 正方形的对称性群 (1)平面上正方形 )平面上正方形ABCD的对称变换群 的对称变换群
B
A
A
B
6 :
C B D A D D C A
7:
C B D A C B B C
8 :
C D A D
(2)S(K)中的运算举例 ) 中的运算举例
2 1 = 2
B A B A A D
2π π
C D
1
C
2π π
D
2
B
——
π 2
C
2 5 = 7
B A C D D A
5
C D B A
2
C
B
(3)S(K)中的幺元 ) 中的幺元
生成一个群, 例:由元素A生成一个群,只要求 n=E,n是满足此关系式的最 由元素 生成一个群 只要求A , 是满足此关系式的最 小正整数. 小正整数. 由于A是群中的一个元素,所有它的整数幂必定也在这个群中. 由于 是群中的一个元素,所有它的整数幂必定也在这个群中. 是群中的一个元素 故可以生成群的新元素, , 故可以生成群的新元素,A2,A3,…,直到 n=E,更高次幂不能 ,直到A , 给出新元素,因为A 所求得群, 给出新元素,因为 n+k= Ak.所求得群,故所求得群阶为 所求得群 故所求得群阶为n. 生成一个群, 例:由两元素A和B生成一个群,只要求 2=B3=(AB)2=E. 由两元素 和 生成一个群 只要求A 由于A 由于 2=E和B3=E,此群必包含元素 ,A,B,B2. 它一定也包 和 ,此群必包含元素E, , , 含所有A,B和B2的乘积. 因此得到两个新元素AB和BA. A和B不 含所有 , 和 的乘积 因此得到两个新元素 和 和 不 对易,否则由(AB)2=E将得到 对易,否则由 将得到 E=ABAB=A2B2=B2. ABAB= AB 和BA是不同的元素. 由此生成6个元素E, A, B, B2, AB, BA. BA是不同的元素 由此生成6个元素E 是不同的元素. AB, 可以证明,这个集合是一个群,即它对乘法是封闭的. 可以证明,这个集合是一个群,即它对乘法是封闭的.
群论(1)第一章
左
右
具体的例子
变换群G：{E,D,F,A,B,C}
E：保持不变 D：绕O轴逆时针转动120度 F：绕O轴顺时针转动120度 A：绕a轴翻转180度 B：绕b轴翻转180度 C：绕c轴翻转180度
a轴
O c轴 b轴
O轴垂直纸面向上 abc三轴间夹角60度
变换群G对普通三角形的变换
量子力学中若干问题的分析
角动量，跃迁定则等
基本相互作用的规范对称性
弱电 ~ SU(2) ×U(1)，强作用 ~ SUc (3)
晶体的对称性 ……
对称性破缺
由于某种原因系统丢失了原有的对称性，例
破 缺
1.4 群的分类
有限群 vs 无限群 分类标准：群元个数是否有限
有限群中群元的个数称为群的阶。 例：置换群Sn，阶为n！ 平面转动群SO(2) 所有实数构成的群，群乘法为数的加法。
例：
所有正实数可以构成群G2，群的乘法规则为数的乘法 (1) a×1=1×a=a，1为恒元 (2) a×(1/a)=1，a和1/a互为逆元 (3) a×(b×c)=(a×b) ×c，结合律 (4) a×b为正实数，即属于群G2，封闭性
思考：如果乘法规则为数的加法能否构成群。
首先确定群 的乘法规则 判断集合 能否成为群
构成G的子群，所以n为群G阶g的因子。即群元 的阶一定是群阶的因子。 群阶为质数的群只有平庸子群，与同阶循环群同 构。 群G中的两元素R和T，但不属于子群H， 属于同一左陪集的充要条件：R-1T∈H 属于同一右陪集的充要条件：TR-1∈H
不变子群
不变子群：若子群H的所有左陪集都与对应的右 陪集相等，则称H为G的不变子群。
群论-群论基础
群论-群论基础物理学中的群论——群论基础主讲翦知渐群论教材教材与参考书教材：⾃编参考书群论及其在固体物理中的应⽤参考书：群论及其在固体物理中的应⽤（徐婉棠）物理学中的群论（马中骐）物理学中的群论基础（约什）群论-群论基础第章群论基础第⼀章群的基本概念和基本性质§1.1 集合与运算§1.2群的定义和基本性质§1.3 ⼦群及其陪集13§1.4 群的共轭元素类§1.5 正规⼦群和商群§1.6 直积和半直积16§1.7 对称群§1.8 置换群§1.1集合与运算抽象代数的基本概念1集合抽象代数研究的对象什么都不是，所以什么都是集合的直乘：C=A×B，表⽰“C的元素是由A和B两个集合的元素构成的⼀对有序元”，也称为A和B的直乘，⽤符号表⽰即：, a2,…, a i,…}，B={b1, b2,…, b j,…}，则集合设A={aA}B b b}则集合1C=A×B={(a i,b j)| a i∈A, b j∈B}是A与B的直乘。
定义设是两个集合若有种规则使得2映射定义：设A 与B 是两个集合，若有⼀种规则f ，使得A 的每⼀个元素在B 上都有唯⼀的元素与之对应，这种对应规则f 的⼀个映射记为就称为A 到B 的个映射，记为f ：A → Bf ：x → y = f ( x ) ,或写为f y f (),式中y 称为x 在B 上的象，⽽x 称为y 在A 上的原象。
对应规则函数对应规则：函数满射单射⼀⼀映射逆映射：f -1恒等映射：e变换恒等映射：体系A 的⼀个⾃⾝映射f 称为A 的⼀个变换，若f 是⼀⼀映射则称为对称变换⼀⼀变换有性质：射，则称为对称变换。
变换有性质：f f -1= f -1f = e3⼆元运算定义：若对A 上的每对有序元(a, b ) ，在A 上有唯确定的A每⼀对a,b)A上有唯⼀确定的c与之对应，即有⼀规则R 使得A×A → A，则R 称为A上的⼀个⼆元运算，记为()()R：A×A → A，或R：a, b ) →c= R(a, b)⼀般记为c = a·b，或c = ab。
群的基本概念
3、 (AB)-1 = B-1 A-1 证明: ∵ (AB)-1 = (AB)-1E = (AB)-1AA-1 E = (AB)-1 AEA-1 = (AB)-1A （BB-1）A-1
3, 单位元（不变元素）E,
EA = AE = A
4, 逆元A-1, A A-1 = A-1 A = E
二、 群的性质:
1、 E-1 = E ,
单位元 E 的逆元仍为E,
证：（1）E-1 E= E E-1 = E （令：A=E， 由A-1 A = A A-1 =E ） （2）E E-1 = E-1 E = E-1 （令：A= E-1 ， 由EA = A E= A ） 由（1）和（2） E = E-1
年迈的泊松感到难于理解
• 由于论文中出现了“置换群”等崭新的数 学概念和方法，泊松感到难于理解。几个 月后，他将论文退还给伽罗瓦；嘱咐写一 份详尽的阐述送来，可是，伽罗瓦已经没 有时间了。
• 在大学里，伽罗瓦由于积极参加资产阶级 革命活动，被学校开除了。
伽罗瓦预感到死亡即将来临
• 1831年5月和7月，他又因参加游行示威活动两次被 捕入狱，遭受路易--菲利浦王朝的迫害，直到1832 年4月29日，由于监狱里流行传染病，伽罗瓦才得 以出狱。
他盯上了著名的世界数学难题
• 不久，伽罗瓦的眼睛盯上了：高次方程的求根公 式问题。
• 16世纪时，意大利数学家塔塔利亚和卡当等人， 发现了三次方程的求根公式。这个公式公布后没 两年，卡当的学生费拉里就找到了四次方程的求 根公式。当时，数学家们非常乐观，以为马上就 可以写出五次方程、六次方程，甚至更高次方程 的求根公式了。然而，时光流逝了几百年，谁也 找不出一个这样的求根公式。
群论讲义1
n
2
+ ⋯ + a bn ≡ a bi
n i
即在同一项中，凡是碰到一对用同一符号表示 的上标和下标，总代表从1到n的求和
Shanghai Jiao Tong University
第一章 张量代数
内容： §1 张量的概念 §2 张量的代数运算 §3 内积空间上的张量 §4 若干物理应用 习题
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D = εE ②介质各向异性， E 与 D 一般不同向，但仍有线性对应的函数
关系（E 不太强时），即 此时要保留介电系数的概念，则 ε 应理解为从 E 到 D 的线性 变换
λ E ← λ D , E1 + E2 ← D1 + D2 → →
D =ε E
( )
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→ a ( x1 ,⋯ , xr ) = a x1i1 ei1 ,⋯ , xr ir eir = a ei1 ,⋯ , eir x1i1 ⋯ xr ir = ai1⋯ir x1i1 ⋯ xr ir
xk = xk ik eik
(
)
(
( ik = 1,⋯ , n )
)
( i1 ,⋯ , ir = 1,⋯ , n ) 构成一个nr数阵， 系数 ai1⋯ir = a ei1 ,⋯ , eir 称为r重线性函数a(x1, …, xr)在基{ei}下的坐标或分量
a (λ x ) = λa ( x) 则称a = a(x) 是V上的一个线性函数
a ( x + y) = a ( x) + a ( y)
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群论1、2章
所以这样的置换共有n﹗个。因为n个物体的排列数共有n﹗种， 进行一次置换后再进行另一次置换，结果也还是依次置换，叫 做两次置换的乘积。如 1 2 2 1 1 2 1 3 3 3 3 2 1 2 1 3 1 2 2 1 3 2 3 3 ＝ 1 2 2 3 1 2 3 1 3 1 3 2
＝
置换群是阿贝尔群吗？ 答案：不是，因为置换的乘法不满足交换律，故不是阿 贝尔群！
t
-t 牛顿第二定律
3、对称性的本质：规律性，周期性，和谐的排列
God love symmetry !
1.3 对称性与化学
1、540.B.C，毕达哥拉斯学派认为：火、地、气、水四个基本元素组成世界。
火：正四面体演变火
地：正六面体或立方体
气：正八方体
水：正二十面体
第二章 群论基础
2.1 群的定义 （1）设G={E,A,B,C….}是由一些不同元素作成的非空集合， 在集合G中可以定义一个合成法，满足： A、若A·B∈G,且A ∈G，B ∈G，封闭性； B、有单位元素或恒等元素，常用E表示，EA=AE=A C、每个元素必有自己的逆元素，即它们的乘积等于单位元素， 即A ∈G，必有A-1 ∈G,AA-1=A-1A=E,A-1和A互为逆元素 D、满足结合律：即A(BC)=（AB）C,但必须注意AB≠BA,一般 不满足。
这两个群的乘法表为：
C4 E L4 L 42 L 43
观察：
E L 4 L 42 L 43 E L 4 L 42 L 43 L 4 L 42 L 43 E L 42L 43 E L 4 L 43E L 4 L 42
A 1 i -1 -i
1 i -1 -i 1 i -1 -i i -1 -i 1 -1 -i 1 i -i 1 i -1
群论基础-第1章 群的基本知识
其中的元素左乘或右乘仍为该群 G. ( 群中群论无顺序 )
Ak G = G Ak = G
*
五 子群和陪集
P.12
1 子群 (subgroup)
(1) 定义：群 G 中集合 S 在相同的群乘下构成的群，为 G
的子群
( 2) 显然子群：（1）E， （2）G
(3) 子群 S 的条件和检验: （1）不变元素；
σˆv σˆv σˆv σˆ v Ĉ32 Ê Ĉ31 σˆv σˆv σˆ v σˆv Ĉ31 Ĉ32 Ê
P.8 5 列表
群的名称 数群 置换群 矩阵群 对称群
群元
群乘
数 运算(加、乘等)
置换
相继置换
矩阵
矩阵乘法
对称操作 相继操作
举例 例(1) Z3群 d3群 D3群
*
七 不变子群
P.19
1 定义：有子群 N G
若 XNX- 1 = N 或 XN = NX （X 为 G 中的任一元素）
则 N为不变子群
2 性质
(1)不变子群必包括一个或几个完整的类
（即不变子群由完整的类构成）
证明：若 群元 C N ( 注意 群元 C 与类 C 不同)
则 X C X- 1 N （∵ XNX- 1 = N, C N ）
= (YX)A(YX)-1 = ZAZ-1 ( Z = YX G )
故 C 与 A 共轭
(3) 相似矩阵
矩阵群中彼此共轭的元为彼此相似的矩阵
*
2 类: 群 G 中彼此共轭的群元构成类
P.17
对于类 C, 自然有 XCX-1 = C ( X为群 G 中任一群元)
[提问: 为什么?]
3 类的性质
(1) 单位元自成一类 （XEX-1= E）
群论-1 群论基础
一般记为c = a· b，或c = ab 。
二元运算一般也称为“乘法”—— 数值加法 数值乘法 对称操作…… 集合的所有代数性质都由其乘法结果决定
群论-群论基础-集合与运算
A
乘法表：有限集
l m O
D3 e a b k
B
k
C
e
e a b k
a
a b e l
b
b e a m
k
k m l e
l
l k m a
群论-群论基础-集合与运算
3 一些基本概念
1) 阿贝尔群：交换群
2) 有限群：可给出群表
3) 无限群：离散群，连续群
4) 群元素的阶： gn = e 群阶：|G| 5) 生成元：通过乘法产生群G的最小子集
6) 循环群：一个生成元
群论-群论基础-集合与运算
4 一些基本性质 设G = {gi } 是一个群 ∀ gi , gj ∈ G, 方程 gi x = gj ， x gi = gj 有唯一解 ( gi -1 ) -1 = gi ( gi gj ) -1 = gj -1 gi -1
群论-群论基础
第一章 群论基础
群的基本概念和基本性质
§1.1 §1.2 §1.3 §1.4 集合与运算 群的定义和基本性质 子群及其陪集 群的共轭元素类
§1.5
§1.6 §1.7 §1.8
正规子群和商群
直积和半直积 对称群 置换群
群论-群论基础-集合与运算
§0 绪论
群论的发展历史
群论在数学中的作用
物理学中的群论
—— 群论基础
主讲 翦知渐
群论
教材与参考书
教材： 自编 参考书：群论及其在固体物理中的应用 （徐婉棠） 物理学中的群论 （马中骐） 物理学中的群论基础 （约什）
群论教程1
则有 g2−1g1 = hβ hα −1 ∈ H
故 (g2−1g1 )H = (hβ hα −1 )H = H （重排定理）
所有元素均可求出：
f 类={ f ' | f ' = gfg −1, g ∈ G}
·系 2 ·系 3 ·系 4
一个群的单位无 e 自成一类， ∀ gx∈G，gxegx-1=e， 阿贝尔群的每个元素自成一类， ∀ f，gx∈G，gxfgx-1 = f
若元素 f 的阶为 m，即 fm=e，则 f 类所有元素的阶都是 m，因
p
=
⎜⎜⎝⎛
1 m1
2 m2
... ...
n mn
⎟⎟⎠⎞
，
1 → m1 2 → m2
…
置换只与每列的相对字符有关，与列顺序天关，如
—2—
⎜⎜⎝⎛14
2 2
3 1
4 3
⎟⎟⎠⎞
=
⎜⎜⎝⎛
4 3
2 2
1 4
3 1
⎟⎟⎠⎞
单位元： e = ⎜⎜⎝⎛11
2 2
... ...
n n
⎟⎟⎠⎞
P
的逆元：
p −1
所以 g1, g2∈g2Hg
(g1Hg = g2Hg)
(二)若 g1, g2∈g2Hg, 则存在 h∈ Hg,使 g1=g2h
故 g1gg1-1 = g2hgh-1g2-1 = g2gg2-1
u 的作用只是将 G 元素重排。 证明：
（一）u 的作用是单射，（1 对 1）， ugγ 当 gγ 不同时给出 G 中不同群元：
群论1-1
群的一般理论
9.同构和同态
同构：两个群G和H之间如果能建立起一一对应的关系，使得 若 g1 h1, g2 h2 , gk hk，在G中有 g1g2 gk ，则 在H中必有 h1h2 hk ，反之亦然，就说是G和H同构. 同态：若群G的一组元素对应于群H的一个元素，就说群H是 群G的一个同态映像，即H与G同态. gi hi ：把 gi 映入 hi . 10.直积 G 一个群G可以由它的子群直积得到： H1 H2 Hn 子群满足的条件:(1)不同子群的任意两个元素可对易. (2)G中的每个元素 gi 都能唯一地表示成 gi h1h2 hn 其中 h1h2 hn 分别属于子群 H1H2 Hn
群论
群论是代数学的一个分支. 在物理学和化学中，群论的应用是与研究体系的对称性紧密 联系起来的.利用群论可以研究体系的对称性与必然具有的性质具有哪些对称性质，可以
不进行与体系的其他具体细节有关的计算，就能够得出关于它 的性质的许多结论.即能够避免大量的计算就可以得出有关体系 的性质的结论.
群的一般理论
(3)有逆运算：
①群G中一定有唯一单位元素e,有eh=he=h成立(h∈G). ②对 a ∈G,有唯一逆元素 ∈G,使 a=a =e. 3.群的阶g：即群的元素数目. 若g是有限数，则群为有限群. 若g为无穷大，则群为无限群. 4.检验一个集合能否构成群的方法：检验群的四个性质. 即：封闭性、结合律、存在唯一单位元和逆元. 5.例子：一个由矩阵构成的群G= ｛E,A,B,C,D,F｝
群的一般理论
6.陪集：H是G的一个真子集，元素a ∈G且a H，则H关于a的
左、右陪集分别是 aH= a, ah1, ah2 ,ahr （r+1为H的阶） Ha= a, h1a, h2a,hra 7.陪集的性质： (1) a∈G,一定属于H或它的一个陪集.G为H及其所有陪集的 直和. G H1 H2 H s(s为H不同的陪集数). (2)一个陪集中没有相同的元素. (3)H的任意两个陪集(无论左陪集还是右陪集)，要么没有共 同的元素，要么完全相同. lagrange定理：有限群的阶一定能被它的子群的阶整除. 8.重排定理：群表中每一行或每一列均出现群中的所有元素， 且每个元素只出现一次.即将任意元素依次左乘或右乘群的全部 元素，仍得到群的全部元素，只是顺序改变.
化学中的群论-1
D
C
AB
A
A
C
B
E
FD
B
B
A
C
D
EF
C
C
B
A
F
DE
找出子群：{E，A} ， {E，D，F}的左右陪集，并判 断此子群是否正规子群。
子群{E，A}的左陪集有两个：{D，B}和{F，C}，右陪集也有两个： {D，C}。左右陪集不对应相等，因此，此子群不是不变子群。 另一个子群{E，D，F} 是不变子群，陪集是{A，B，C}
3.{立定，向左转，向后转，向右转}对于连续动作构成四阶群。 单位元：立定 逆元：立定↔立定 向左转↔ 向右转 向后转↔向后转 封闭性：满足 结合律：满足
4.所有n维空间Rn中的向量X=（x1,x2,…,xn)的集合对于向量的加法构成群。 恒元：零向量 逆元：a=(a1,a2,…an) ↔-a=(-a1,-a2,…,-an) 封闭性：满足 结合律：满足
abc aabc bbca ccab
3.证明下列四个方阵A、B、C、D对于矩阵的乘法 构成一个群V：
A 1 01 0 ,B 1 0 0 1 ,C 0 11 0 ,D 0 1 0 1
写出V的乘法表。V是否循环群？V是否Abel群？
循环群的乘法表：当表中元素按生成元的幂次排列时，表 的每一行都可由前一行向左移动一格得到，而最左面的元 素移到最右面去。
例 G={E=R4,R,R2,R3}, R1~4分别表示在一平面内绕一点顺时针 旋转π/4~π的操作。其乘法表如下
E R R2 R3 E E R R2 R3 R R R2 R3 E R2 R2 R3 E R R3 R3 E R R2
3.集合中存在恒元E（单位元），用它左乘集合中的任意元素，
左维老师群论讲义 1
fi = φ ( gi ) f j = φ (g j ) g k = gi g j , f k = fi f j φ ( g k ) = f k
同构映射Φ将G中的单位元素映射为群F中的单位元素, 将群G中的互逆 元映射为F中的相应的互逆元. φ ( g 0 g i ) = φ ( g i g 0 ) = φ ( g i ) = φ ( g 0 )φ ( g i ) = φ ( g i )φ ( g 0 )
n
Cn = {e, a, a 2 , …, a n 1} 构成一个群, 称为n阶循环群. 空间反演群是一个2阶循环群.
4) 平面正三角形对称群D3 . 保持平面正三角形空间 3 位置不变的所有转动变换
A 2
O
e : 不转 f : 绕 z 轴转4π/3 b : 绕 2 轴转π
d : 绕 z 轴转2π/3 a : 绕 1 轴转π c : 绕 3 轴转π
f , g ∈ G fg = h ∈ G
f , g , h ∈ G ( fg )h = f ( gh) ef = fe = f 1 f ∈ G , 存在逆元素 f ∈ G , 使 f 1 f = ff 1 = e
f ∈G
,有
c) 单位元素. 集合G中存在一个单位元素e, 对任意元素 d) 可逆性. 对任意元素
则称集合G为一个群.
● 有限群: 由有限个元素构成的群. 群元的个数定义为群的阶. 有限群: 例子: 1) 由 {－1,0,1} 三个数组成的集合, 定义数的加法为群的乘法运算, 构成一个三阶有限群, 单位元素为0. 2) 空间反演群: 三维实空间中的恒等变换 E ( E r = r )和反演变换 I ( I r = r ). 如果定义群的乘法为从左向右依次施行变换, 则E 和I 构 成一个二阶有限群, 称为空间反演群. 3) n阶循环群 Cn . 由一个元素 a 的幂构成的有限群. 设 a = e , 则
群论第1章
参考书目
《量子化学 》李俊筏、田安民 《群论在化学中的应用》 F.A 科顿 《量子化学基本原理和从头计算法》 上册 徐光宪
《群论和化学》 O.M 毕校普（美） 中译本
《群论与现代化学入门》 周宏应 《群论基础及化学应用》 肖鹤鸣 《群论与分子对称性》 誉文德 《结构化学基础》 周公度
加罗瓦和群
Cij = a ik b kj
k
A的第i行乘以B的第j列，得C的第ij元
例1:
2 1 4 A 3 0 2
3 5 B 2 1 4 2
24 17 C A B 1 11
两个以上矩阵相乘，只能多次运用乘法规则，一次将
aij
mn
是一个n阶方阵
1.4 矩阵迹、相似变换和对角化
⑴ 矩阵的迹（trace）：
矩阵的对角化之和称为阵迹，简称迹，用X表示。
TrA= a ii A
i＝1
n
a. n个方阵的乘积的阵迹和乘的次序无关
Tr(ABC)=Tr(BCA)=Tr(CAB)
b. 相似矩阵的阵迹相等
若B=Q-1AQ，则 XA=XB
• 加罗瓦（1811-1832）是近代法国优秀的数学家，可惜二 十一岁那年就战死在爱情的决斗场上。十四年后，他的数 学群论得到世人的理解，被公认为是近代代数的里程碑。 • 加罗瓦的数学“群论”萌生于中学时期，那时他才十七岁。 在处理五次方程的代数解法时，首次提出了“群”的概念。 这种对于数学世界崭新描述的横空出世，虽然解决了当时 困扰数学界三百年之久的难题，但没人去相信他。因为他 的年龄太小了，人们不相信他会有这样的创建，另外这个 创建也超出当时数学界学者的素养太远了，根本就无法让 人接受。 • 当他的遗稿真正被数学界认可的时候，数学家拉格郎承认 说加罗瓦的群论是在“向人类的智慧挑战”。
群论习题
群论习题第一章：群的基本概念*1.1下列定义了乘法运算的集合，哪些构成了群，哪些不构成群，并说明理由。
（1）在复数加法下全体复数的集合（2）在矩阵乘法下所有幺正矩阵的集合（3）在数的减法下所有整数的集合（4）在数的乘法下所有正实数的集合1.2如果某有限群的任一元素皆满足e f f =•,证明该群是Abel 群。
提示：任二群元a 和b ：()a b b b a a b e a b •=•••=••=•2a 。
1.3验证矩阵集合：⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎢⎢⎣⎡⎢⎢⎣⎡⎢⎢⎣⎡⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎥⎦⎤⎥⎦⎤⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤00,00,0110,00,00,10012222ωωωωωωωω，其中32πωi e =在矩阵乘法下构成群，并且与3D 群同构。
提示：先写出该集合的乘法表，便可证得其自封闭性，并能找每个元素的逆元和单位元。
再和3D 群的乘法表对比就可发现同构关系。
1.4验证集合()()()()群）群（注：改群成为之下构成在乘法为光速Lorentz Abel c L L L c c c c c I 2212133212221,,,1111υυυυυυυυυυυυυ++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫<<-⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤---=提示：只需证明c c <<-3υ条件成立，则()3υL 也必属于该集合，得到的集合的封闭性。
0=υ时L(0)对应单位元，3υ中的2υ和1υ的地位对称，所以()()()()1221υυυυL L L L =。
*1.5证明群的任何两个左陪集或者完全相等，或者没有任何公共元素。
1.6证明有限群G 的非空子集H 为子群的充要条件是：若a,b ∈H ，则ab ∈H 。
提示：易证必要条件成立，证充分条件时，要用到：c=a,c=b 则cc ∈H ，进而c m ∈H （m 为正整数）。
*1.7证明指数为2的子群必是正规子群。
提示：先要理解子群指数这一概念*1.8证明群阶为质数的有限群必为Abel 群，并且必为循环群。
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群论基础群论基础符号：记|G|为G的阶 ,即元素个数若H≤G ,记G/H为G中所有H的左陪集若H≤G ,记[G:H]为H对G的指数 ,即H在G中的不同的左陪集的数量群定义：若集合G≠∅ ,在G上的⼆元运算 ⋅ ,其共同构成的代数结构(G,⋅) ,满 ⾜：1.封闭性：∀a,b∈G,a⋅b∈G2.结合律：∀a,b,c∈G,(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)3.单位元：∃e∈G,∀a∈G,e⋅a=a⋅e=a4.逆元 ：∀a∈G,∃I∈G,a⋅I=I⋅a=e则(G,⋅)称为⼀个群性质：1.单位元唯⼀:若∃e1,e2,e1≠e2 ,有e1=e1⋅e2=e2 ,⽭盾2.逆元唯⼀ ：若∃I1,I2,I1≠I2 ,有I1=I1⋅e=I1⋅a⋅I2=I2 ,⽭盾⼦群定义：若H为G的⾮空⼦集 ,且(H,⋅)构成群 ,则称H是G的⼦群 ,记为H⩽商集定义：集合A为集合B关于等价关系\sim的商集合 ,记为A=B/\sim陪集定义：若G是⼀个群 ,H是G的⼀个⼦群 ,g是G的⼀个元素 ,则：gH=\{g \cdot h|h \in H\} ,则称gH为H在G内关于g的左陪集Hg=\{h \cdot g|h \in H\} ,则称Hg为H在G内关于g的右陪集性质(以左陪集为例)：1.\forall g \in G,|H|=|gH|显然运算前后阶不变2.\forall g \in G,g\in gHH必然包含e ,故必然有g \in gH3.gH=H \Longleftrightarrow g \in H由封闭性可知4.aH=bH \Longleftrightarrow a \cdot b^{-1} \in H有a \cdot b^{-1} \in H ,故由(3)可知命题成⽴5.aH \cap bH \neq \varnothing \Longleftrightarrow aH=bH设c \in aH,c \in bH ,于是\exists p_1,p_2 \in H, 使得p_1 \cdot a=c,p_2 \cdot b=c ,故 a \cdot b^{-1}=p_1^{-1} \cdot p_2 \in H ,由(4)可得命题成⽴6.H全体左陪集的并为G因为e \in H ,故得证正规⼦群定义：对于\forall g \in G，\exists gH=Hg ,则称H是G的正规⼦群Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/SuppMathOperators.js商群定义：对于群G和G的⼀个正规⼦群N ,构筑G在N上的商群 ,记为G/N ,即N 在G中所有的左陪集的集合 ,G/N=\{gN,g \in G\}拉格朗⽇定理若H为有限群G的⼦群 ,则|H|整除|G| ,|G|=|H|[G:H]证明：因为H在G中的每⼀个左陪集都是⼀个等价类 ,把G做左陪集分解 ,由于 每⼀个左陪集的元素个数都为|H| ,故|H|整除|G| ,商为[G:H]置换定义：⼀个集合到⾃⾝的双射表⽰：\sigma=\begin{pmatrix}a_1,a_2,\cdots,a_n\\a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{in}\end{pmatrix}轮换定义:\sigma是\Omega上⼀个置换 ,若\Omega中⼀些点a_1,a_2,\cdots,a_s , 使得a^\sigma_1=a_2,a^\sigma_2=a_3,\cdots,a^\sigma_{n-1}=a_n,a^\sigma_n=a_1 ,⽽\sigma保持\Omega中其余点保持不 动 ,那么\sigma称作⼀个轮换 ,记作(a_1,a_2,\cdots,a_n) ,若两个轮换没有公共的变 动点 ,则称两个轮换不相交 ,每⼀个置换都能表⽰为不相交轮换的乘积 ，且表⽰⽅法唯⼀ ,⼀个长度为n的置换的k次⽅可分解成的轮换数是 (n,k)置换群定义：⼀个n元集合的全体n元置换构成的群性质：1.封闭性：\begin{pmatrix}a_1,a_2,\cdots,a_n\\b_1,b_2,\cdots,b_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}b_1,b_2,\cdots,b_n\\c_1,c_2,\cdots,c_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_ 1,a_2,\cdots,a_n\\c_1,c_2,\cdots,c_n\end{pmatrix}2.结合性：(\begin{pmatrix}a_1,a_2,\cdots,a_n\\b_1,b_2,\cdots,b_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}b_1,b_2,\cdots,b_n\\c_1,c_2,\cdots,c_n\end{pmatrix})\begin{pmatrix}d_ 1,d_2,\cdots,d_n\\e_1,e_2,\cdots,e_n\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}a_1,a_2,\cdots,a_n\\b_1,b_2,\cdots,b_n\end{pmatrix}(\begin{pmatrix}b_1,b_2,\cdots,b_n\\c_1,c_2,\cdots,c_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}d_1,d_2,\cdots,d_n\\e_1,e_2,\cdots,e_n\end{pmatrix})3.单位元：\begin{pmatrix}1,2,\cdots,n\\1,2,\cdots,n\end{pmatrix}4.逆元 ：\begin{pmatrix}a_1,a_2,\cdots,a_n\\b_1,b_2,\cdots,b_n\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}b_1,b_2,\cdots,b_n\\a_1,a_2,\cdots,a_n\end{pmatrix}作⽤：G是⼀个群 ,\Omega为⼀个⾮空集合 ,G中每⼀个元素g都对应\Omega的⼀个映射 ,x \rightarrow x_g,x \in \Omega ,若满⾜：1.x^{g_1g_2}=(x^{g_1})^{g_2}2.x^e=x则称G作⽤于\Omega上轨道-稳定⼦定理轨道：H=\{g \cdot x,x \in \Omega,g \in G\} ,则称H为\Omega在G作⽤下的⼀个轨道 ,代表元为 x ,记作G \cdot x稳定⼦：H=\{g \in G,g \cdot x=x\} ,则称H为\Omega的稳定⼦群 ,记作G_x有：|G|=|G \cdot x||G_x|证明：考虑⼀个映射f:G \rightarrow \Omega,\forall g \in G,f(g)=g \cdot x ,则可以在G_x的左陪集集合和 轨道G \cdot x间建⽴⼀个双射 ,gG_x唯⼀对应g \cdot x ,因为gG_x中的元素作⽤在x 上的结果均为g \cdot x ,根据拉格朗⽇定理 ,G_x在G中左陪集个数为[G:G_x] , 故|G \cdot x|=[G:G_x] \rightarrow |G|=|O_x||G_x|Burnside引理内容：G是⼀个有限群 ,G \rightarrow \Omega ,对每⼀个g \in G令\Omega^g表⽰\Omega在g作⽤下的不动 点 ,则有|\Omega/G|=\frac{1}{|G|}\sum\limits_{g \inG}|\Omega^g|证明：对\sum\limits_{g \in G}|\Omega^g|改变求和⽅式 ,\sum\limits_{g \in G}|\Omega^g|=|\{(g,x) \in G \cdot \Omega|g \cdot x=x\}|=\sum\limits_{x \in \Omega}|G_x|根据轨道-稳定⼦定理\sum\limits_{x \in \Omega}|G_x|=\sum\limits_{x \in \Omega}\frac{|G|}{|G \cdot x|}=|G|\sum\limits_{x \in \Omega}\frac{1}{|G \cdot x|}将x按照等价类划分 ,G \cdot x就是x所在等价类\sum\limits_{x \in \Omega}\frac{1}{|G \cdot x|}=\sum\limits_{A \in \Omega/G}\sum\limits_{x \in A}\frac{1}{|A|}=\sum\limits_{A \in \Omega/G}1=|\Omega/G|故：|\Omega/G|=\frac{1}{|G|}\sum\limits_{g \in G}|\Omega^g| ,得证Polya定理对于有m种颜⾊的染⾊问题 ,|\Omega^g|=m^{c(g)}考虑组合意义 ,|\Omega^g|表⽰在置换g作⽤下 ,保持不变的⽅案数 ,把g分解为不相 交的c(g)个轮换的乘积 ,若要其染⾊⽅案不变 ,则此染⾊⽅案中g分解成的每⼀ 个不相交轮换都要染相同的颜⾊ ,故|\Omega^g|=m^{c(g)}代⼊Burnside引理可得 ,|\Omega/G|=\frac{1}{|G|}\sum\limits_{g \in G}m^{c(g)}。
群论
考虑重心在原点，底边与 x 轴平行的 xy 平面上的正三角形 ABC ， 如图, 保持正三角形不变的空间转动操作有： ：绕 z 轴旋转 2 3 ；F ：绕 z 轴旋转 4 3 ：恒等操作；
E
D
A：绕轴1旋转 ;
B ：绕轴2旋转 ; C ：绕轴3 旋转 .
定义两个转动操作的乘积，如 AB 为先实行操作 B ，再实行操作 A 。 可知在上述乘法定义下，保持正三角形不变的全体转动操作 构成群
封闭性：
a d = b,
b d = c,
d2 = ?
例4. 对称群
以对称操作为群元，以相继操作为群乘，构成对称群 例 D3 群 E A 不动 绕A轴转180o C D 绕C轴转180o 顺时针转120o
B
绕B轴转180o
F
逆时针转120o
一般的对称操作群: 分子点群,晶体点群,旋转群,置换群
2. 群论中的基本概念 (1). 群的阶: 指一个群中元素的个数; (2). 有限群与无限群: 指阶为有限及无限的群； (3). 离散群: 群的元素个数是可数有限的群; (4). 连续群: 群的元素的个数是不可数无限的群; (5). 阿贝尔群:群中任意两元素对乘法对易,即满足
由于 A 是群中的一个元素，所以它的整次幂必定也在此群中。
G An E, A, A2 ,, An1
为
n
阶有限群。
3 2 A2 例：由元素A 和 B 生成一个群，只要求： B ( AB) E 。
2 3 2 由于 A B ( AB) E ，可知此群必包含元素 E , A, B, B 2 ，
对称元素： 完成对称操作所关联的几何元素（点、线、面及 其组合） 旋转轴， 镜面，对称中心，映轴，反轴 符号
群论
1． 元素的阶：如果X 属于群G ，X ∈G ，则满足X n =E 的最小正整数n 称为元素X 的阶。
2． 对称操作：使一物体与其自身相重合的空间变换。
3． 对称要素：用来反应物理对称性质的辅助几何图形，如对称轴，对称面和对称点等。
4． 群的定义：凡是满足下列条件的元素，Ai,Aj,Ak,…这样的集合G ，称为群1） 封闭性：存在确定的相乘规则，任两个元素相乘，或者任一元素的平方所得元素仍在集合中2） 存在不变元素E ，对于任一元素Ai 都有AiE=EAi=Ai3） 若集合中含有元素Ai,则必须同时包含Ai 逆元素Ai -1，使得Ai*Ai -1=Ai -1*Ai=E5． 有限群：如果群中元素个数是有限的，那么称它为有限群，反之称为无限群。
6． 群阶：有限群中各不相同元素的数目称为群阶。
7． 生群元：如果一个群的元素可以用某几个群元及其幂的不同乘积来表示，则这几个元素称为该群的生群元。
8． 阿贝尔群：（交换群）如果一个群集中，任意两个元素都具有对易的性质（可以交换），则这个群称为阿贝尔群。
9． 循环群：由一个元素及其幂组成的群。
10． 类：于某一元素共轭的所有元素的集合称为类。
11． 子群：群G ：A 1=E,A 2,Ai …Ag G 中部分元素所构成的子集合H ：B 1=E,B 2,…B h 如果在与群G 同样的乘法运算下也构成群，则称为H 为G 的子群。
12.不变子群：如果子群H 所有的共轭子群都与H 重合，就称H 为不变子群。
13.共轭子群：设子群H 为群G 的子群，其元素有B 1=E,B 2,…B h ,利用群G 当中的任一元素X 可构成一个子集合 XHX -1(h 个)，对应XEX -1，XB2X -1,…XBhX -1,可以证明XHX -1也为群G 的一个子群。
14.群的表示：设有群G ：A 1=E,A 2,A 3,…Ag ，若有g 个非奇异矩阵D （E ），D （A 2）….D(Ag)与群G 的元素一一对应，且对群G 的任意两元素Ai,Aj 满足关系D(Ai),D(Aj)=D(AiAj),则称矩阵群D ：D （E ），D （A 2）….D(Ag)为群G 的表示。
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在不引起歧义的情况下, 我们会省略乘法符号. 群G的元素个数称为群的阶(order), 记为|G|. 根据群的元素个数, 可以将群分为有限 群(元素的数目有限)和无限群(元素的数目无限). 在无限群中, 连续群可以用一个或多个 实参数来标记群的元素. 另一种对群的分类方式, 是按照群的乘法是否可以交换位置. 定义 2 (Abel群) G是群, 并且满足 ∀a, b ∈ G, ab = ba, 则称群G是Abel群. Abel群的乘法一般又称为加法. 例1 例2 例3 实数的集合按数值加法运算(R, +)构成Abel群. 非零实数的数值乘法(R\{0}, *)构成Abel群. n-维非奇异复矩阵按矩阵乘法构成非Abel群GL(n, C). (1.1.1)
e e a b c d f a a e d f b c b b f e d c a c c d f e a b d d c a b f e f f b c a e d 表 1.4: D3 群的乘法表
∀g ∈ G, ∃n, m ∈ N, n > m, g n = g m . 记k = n − m ∈ N, 那么 g k = e, 称使上式满足的最小自然数k 为元素g 的阶. 有限群的生成元的数目是有限的, 其中最小的数目称为有限群的秩(rank).
于是, 生成元的任意乘积可以写成标准的形式q m pn , 从而|G| = 6. 群的乘法见表 1.3. p2 p2 qp2 qp2 qp q p2 p e
e
p
q
qp
e
a
b
c
d f
e e p q qp 2 2 p p p e qp q 2 2 p p e p qp qp2 q q qp qp2 e p qp qp qp2 q p2 e 2 2 qp qp q qp p p2 表 1.3: ⟨p, q ⟩群的乘法表 对有限群, 必有
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第1章
§1.1
§1.1.1 群的定义
群论基础
基本概念
定义 1 (群) 设G是一些元素的集合, G = {g, h, · · · }. 在G中已经定义了二元运算·, 如果G对这种运算满足以下四个条件, • 封闭: ∀f, g ∈ G, f · g ∈ G; • 结合律: ∀f, g, h ∈ G, (f · g ) · h = f · (g · h); • 存在唯一的单位元素: ∃e ∈ G, ∀f ∈ G, ef = f e = f ; • 有逆: ∀f ∈ G, ∃唯一的f −1 ∈ G, f · f −1 = f −1 · f = e, 则称代数结构(G, ·)是一个群, 二元运算“·”称为群的乘法. 二元运算是一种映射, φ : G × G → G, φ(f, g ) = h ⇐⇒ f · g = h.
连续群的乘法无法列表, 例如 U (1) = 其乘法规则为
def
(1.1.7)
g (θ3 ) = g (θ1 )g (θ2 ), θ3 = θ1 + θ2 其中 φ(θ1 , θ2 ) = θ1 + θ2 称为连续群的结合函数, 相当于有限群的乘法表. mod 2π mod 2π
(1.1.8) (1.1.9)
目
第 1 章 群论基础 1.1 基本概念 . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 群的定义 . . . . . . . . . . 1.1.2 群的乘法 . . . . . . . . . . 1.1.3 群的生成元 . . . . . . . . 1.1.4 更多例子 . . . . . . . . . . 1.1.5 半群, 环和域* . . . . . . . 1.2 群的分拆 . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 集合的分拆 . . . . . . . . 1.2.2 共轭类 . . . . . . . . . . . 1.2.3 子群和陪集 . . . . . . . . 1.2.4 Lagrange定理 . . . . . . . 1.2.5 不变子群和商群 . . . . . . 1.2.6 双陪集* . . . . . . . . . . 1.3 群的分类 . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 同态和同构 . . . . . . . . 1.3.2 同态基本定理 . . . . . . . 1.3.3 其它的同态定理* . . . . . 1.4 群在集合上的作用 . . . . . . . . . 1.4.1 置换群 . . . . . . . . . . . 1.4.2 置换可表示为轮换的乘积 1.4.3 置换群的共轭类 . . . . . . 1.4.4 置换表示 . . . . . . . . . . 1.4.5 轨道 . . . . . . . . . . . . 1.5 群的直积 . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 直积 . . . . . . . . . . . . 1.5.2 半直积 . . . . . . . . . . . 1.6 有限群的分类定理* . . . . . . . . 1.6.1 Abel群的分类 . . . . . . . 1.6.2 非Abel群的分类 . . . . . . 1.6.3 小阶群表 . . . . . . . . . . 参考文献
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证明 G封闭 ⇐⇒ ∀g ∈ G, ag ∈ G ⇐⇒ aG ⊆ G. 同样可得a−1 ∈ G, a−1 G ⊆ G, G ⊆ aG. 故aG = G. 重排定理 (1.1.6)对所有的群都成立, 包括无限群.
§1.1 基本概念
·3· { } def g (θ)|g (θ) = eiθ , θ ∈ [0, 2π ]
a = e, .
• a2 = b, ab = e, ba = e, b2 = a. 所以三元群只有一种, 其乘法表列于表 1.2 中. 很明显, 以这种方式来确定乘法表非常不方便. 后面讲述的一系列定理将帮助我们有 效地研究群的性质. 从刚才的乘法表中可以看出, 群的各个元素在每一行都出现了一次, 在每一列中也出 现了一次. 这是一个普遍性质. 先引进一些记号. 设G是群, a ∈ G, A ⊆ G, B ⊆ G, aA Aa A−1 AB 定理 1 (重排定理) 变了:
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§1.1.2
群的乘法
有限群的乘法规则可以用乘法表来表示. 一元群{e}的乘法规则为ee = e. def 对于二元群G = {e, a}, 有ee = e, ea = a, ae = a. a2 = aa有两种可能, • a 2 = e;
·2· e a b e a e e a a a e 表 1.1: 二元群的乘法表 • a2 = a, 两边同时乘以a−1 , 得a = e. 于是可得乘法表 1.1. e e a b a a b e b b e a
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def
= = = =
def def def
{ } ax|x ∈ A , { } xa|x ∈ A , { } x−1 |x ∈ A , { } xy |x ∈ A, y ∈ B .
(1.1.2) (1.1.3) (1.1.4) (1.1.5)
群G的乘法表的每一行(或列)都含有所有元素, 只是排列顺序改 a ∈ G, aG = G, Ga = G. (1.1.6)
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