八年级数学上培优专题七最短路径问题

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专题七最短路径问题
1．最短路径问题
(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．
ABllCCA，使如图所示，点异侧的两个点，在，上找一个点分别是直线CBClAB
的交点．与是直线＋最短，这时点
(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．
ABllCCA，使，同侧的两个点，在如图所示，点分别是直线上找一个点CBBlBClAB′的关于直线是直线的对称点＋与最短，这时先作点′，则点交
点．
CC′，连接为了证明点的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点ACBCBCACCBACCB.如下：′，′，＜′′′，证明′＋＋
BBl对称，证明：由作图可知，点′关于直线和
lBB′的垂直平分线．是线段所以直线
CCl上，因为点′在直线与
BCBCBCBC′所以.
＝′＝′′，ABCABACBC′，′＋′中，′＜′在△′ACBCACBC′，＜′所以′＋＋′ACBCACCB.
＜′所以′＋＋lMAB两点的距离和最小．，使它到 1】在图中直线上找到一点，【例
l然后连接对称点和另一个点，先确定其中一个点关于直线的对称点，分析：Ml与直线为所求的点．的交点即BlB(1)作点关于直线′；的对称点如图所示：解：MABl.
(2)连接′交直线于点精品文档．
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M即为所求的点．则点 (3)点拨：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题.
2.运用轴对称解决距离最短问题
运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同
旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．
警误区利用轴对称解决最值问题应注意题目要求根据轴对称的性质、利用
三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问．
3．利用平移确定最短路径选址
选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上．如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决．解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题．
ABAB村与如图，小河边有两个村庄，要在河边建一自来水厂向，【例2】村供
水．
AB村的距离相等，则应选择在哪建厂？，(1)若要使厂部到
AB两村的水管最短，应建在什么地方？，(2)若要使厂部到
AB两点距离相等，可联想到“线段垂直平分线上的点到线段，分析：(1)到ABEF 的交点即为的垂直平分线，与两端点的距离相等”，又要在河边，所以作符合条件的点．
AB村的距离之和最短，可联想到“两点之间线段最短”(2)要使厂部到，村、ABEFBEF的交点即为所求． )点关于点，与作的对称点，连接对称点与(或ABGGABEFP，画如图解：(1)1，取线段于的中点的垂线，交，过中点1PABABAB
为半径画弧，两到、，为圆心，以大于的距离相等．也可分别以则2EFP即为所求．的交点弧交于两点，过这两点作直线，与AEFAABEFP，则′，连接′于交，画出点如图(2)2关于河岸的对称点PAB的距离和最短．到，精品文档．
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BA，今欲在河上建一)如图，从(地到河岸平行地经过一条小河【例3】
BA地到座与两岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从地的路程最短？
MNNBAABM是定值，思路导引：从→到→要走的路线是→，如图所示，而BNAM 最短即可．此时两线段应在同一平行方向上，于是要使路程最短，只要＋BCCBMNAC 的线段即为最短的，此时不到平移到应是余下的路程，连接，从MNN难说明点即为所建的桥．即为建桥位置，ACACA垂直于河岸，且使(1)如图2，过点等于河宽．作解：NBC.
连接与河岸的一边交于点(2)MN. 作河岸的垂线交另一条河岸于点(3)过点MN 则为所建的桥的位置．
．生活中的距离最短问题4
求距离之和最小)可知，由两点之间线段最短(或三角形两边之和大于第三边从就是运用等量代换的方式，把几条线段的和想办法转化在一条线段上，问题，能将两条线段通过类似于镜面反射的方式转而解决这个问题，运用轴对称性质，ACBOAO的长．所以作已知点关于某直线的对称点是＋化成一条线段，如图，＝解
决这类问题的基本方法．
班举行文艺晚会，桌子摆成如图(2) (】实际应用题)茅坪民族中学八【例
4OBAOBOAO桌面上摆满了糖果，，)图中的，桌面上摆满了橘子，(a所示两直排DC请你帮助他设计一处座位上，然后到站在处的学生小明先拿橘子再拿糖果，条行走路线，使其所走的总路程最短？
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b
图图a
b.解：如图
DDCOBCOACD，点关于，的对称点(2)，作连接点关于(1)作的对称点1111DPQOBPQCOA 的路线行走，所走的总路程最于→，，→，那么小明沿分别交→短． 5.运用轴对称解决距离之差最大问题
先做出利用轴对称和三角形的三边关系是解决几何中的最大值问题的关键．所得直线与对称轴其中一点关于对称轴的对称点，然后连接对称点和另一个点，根据垂直平分线的性质和三角形中两边之差小于第三边易证的交点，即为所求．明这就是最大值．
运用轴对称变换及三角形三边关系解决距离的最值问题的关键破疑点
是解决一些距离的最值问题的有效方法．
CClABl，使点，两点在直线如图所示，上找一点的两侧，在【例5】
BA、的距离之差最大．到点
BAABl作直，′的对称点(分析：此题的突破点是作点′(或或)关于直
线)ClBABA边把问题转化为三角形任意两边之差小于第三′)线与直线′，(交于点来解决．
BAAllA′′，解：如图所示，以直线关于直线为对称轴，作点的对称点CCllC
异于点即为所求．理由：在直线的连线交′于点上任找一点，则点(llBAACCCACACA 为线.)，连接，因为点′′关于直线，，′′，对称，所以′BACACBCAAACACACB 又因为段′的垂直平分线，则有′－＝′′，所以＝－＝.BACCAAACABCCCBClC′＝′.′在△′′′中，＝′－′－′点′在上，所以′CBBCCAABAC′＜.－＜′，所以′′－通过比较来说明最值问根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，点拨：题是常用的一种方法．精品文档．
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