位移与向量的表示

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向量知识点与公式总结

向量知识点与公式总结向量是线性代数中的一种基本概念，它在数学、物理、工程等领域中有广泛的应用。

向量具有模和方向，而且可以进行加法和乘法运算，可以用来表示力、速度、位移等物理量。

下面是向量的一些基本知识点和常用公式的总结：1.向量的定义：向量是有大小和方向的量，用有向线段表示。

记作⃗a。

2.向量的模：向量的模表示向量的大小，记作，⃗a，或者a。

向量的模可以用勾股定理求得：⃗a，=√(a₁²+a₂²+a₃²+...+a_n²3.向量的方向角：向量的方向角是指与其中一坐标轴或平面之间的夹角。

在二维平面内，向量的方向角可以用余弦和正弦函数表示：cosθ = a₁ / ，⃗a，sinθ = a₂ / ，⃗a4.向量的方向余弦：向量的方向余弦是指与坐标轴之间的夹角的余弦值。

在三维空间中，向量的方向余弦可以用三角函数表示：cosα = a₁ / ，⃗a，cosβ = a₂ / ，⃗a，cosγ = a₃ / ，⃗a5.向量的加法：向量的加法满足平行四边形法则，即两个向量相加的结果是以两个向量为边的平行四边形的对角线。

两个向量的加法可以用分量表示：⃗a+⃗b=(a₁+b₁,a₂+b₂,a₃+b₃,...,a_n+b_n)6.向量的减法：向量的减法可以通过将减向量取负后与被减向量相加得到。

⃗a-⃗b=⃗a+(-⃗b)7.向量的数量积：向量的数量积（点积）是两个向量的模之积与它们夹角的余弦值的乘积。

向量的数量积可以用分量表示：⃗a·⃗b=a₁*b₁+a₂*b₂+a₃*b₃+...+a_n*b_n8.向量的数量积性质：（1）交换律：⃗a·⃗b=⃗b·⃗a（2）结合律：(⃗a+⃗b)·⃗c=⃗a·⃗c+⃗b·⃗c（3）数量积与向量的乘法：(k⃗a)·⃗b=k(⃗a·⃗b)，其中k为实数（4）数量积与零向量：⃗a·⃗0=09.向量的夹角余弦：向量的夹角余弦是两个向量的数量积与它们模的乘积的商。

位移表示方法

位移是指物体从一个位置移动到另一个位置的距离。

在物理学中，位移可以用不同的表示方法来描述。

1. 矢量表示：位移可以用矢量来表示，即具有大小和方向的量。

矢量位移通常用箭头来表示，箭头的长度表示位移的大小，箭头的方向表示位移的方向。

2. 坐标表示：位移也可以用坐标来表示。

在一维情况下，可以用一个数值来表示位移，正数表示向右移动，负数表示向左移动。

在二维或三维情况下，可以用一个向量来表示位移，向量的每个分量表示在各个坐标轴上的位移。

3. 路径表示：位移还可以用路径来表示，即物体从起点到终点所经过的路径。

路径可以是直线、曲线或其他形状，可以用数学方程或图形来表示。

4. 相对位移表示：相对位移是指物体相对于某个参考点或参考物体的位移。

相对位移可以用相对坐标或相对路径来表示。

这些表示方法可以根据具体情况选择使用，以便更好地描述和分析物体的位移。

中职向量知识点总结

中职向量知识点总结一、向量的基本概念1. 向量的定义：向量是具有大小和方向的量，通常用有向线段表示，记作a或AB。

2. 向量的表示：在平面直角坐标系中，向量通常表示为(a₁, a₂)或用i、j分别表示向量在x轴和y轴的分量。

3. 向量的模：向量a的模记作 ||a||，表示向量的长度。

4. 向量的方向角：向量a与x轴正半轴之间的夹角记作α，与y轴正半轴之间的夹角记作β。

5. 向量的平行：向量a与b平行，称为a与b共线，记作a∥b。

6. 向量的相等：当且仅当两个向量的模相等，方向角相等时，这两个向量相等。

二、向量的运算1. 向量的加法：(1) 三角形法则：将两个向量的起点相接，第一个向量的终点与第二个向量的起点相接，第二个向量的终点就是它们的和向量的终点。

(2) 特别地，若已知a的终点A，b的起点B与a的终点A相连得到向量a+b的终点C，则向量a+b的始点为b的起点B。

(3) 加法交换律：a+b=b+a。

(4) 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2. 向量的数量积：(1) 定义：向量a与向量b的数量积为a·b=||a||·||b||·cos⁡θ。

(2) 向量的夹角：向量a与向量b的夹角记作θ。

(3) 性质：a·b=b·a，a·0=0，a·a=||a||²。

(4) 计算公式：设向量a=(x₁,y₁)，b=(x₂,y₂)，则a·b=x₁x₂+y₁y₂。

三、平行四边形的性质1. 平行四边形的定义：有对边平行的四边形称为平行四边形。

2. 平行四边形的性质：(1) 对角线互相平分：以平行四边形的两对角点为顶点的两条对角线相交于一点，且互相平分。

(2) 邻边互补：平行四边形的邻边互相互补。

(3) 对边平行：平行四边形的对边互相平行。

(4) 邻边等长：平行四边形的邻边相等。

(5) 对角线长度关系：平行四边形的对角线互相等长。

向量的概念及表示

O是正△ABC的中心，则向量 OA, OB,OC
巩固练习：
3.在如图所示的向量方形的边长为1),是否存在:
(1)共线向量? (3)相等向量?
, , , , 中(小正 a b c d e
(2)相反向量? (4)模相等的向量?
若存在,分别写出这些向量.
解：（） BC 1 OA,
（4）23个
E
D
F A
O
B
C
(2) BC
(3)因为方向相反，所以不相等。
数学运用：
中（OA除外）：

变式：已知Ｏ为正六边形ＡＢＣＤＥ的中心在以图中的任两个点作为起点和终点的向量 (1)与OA相等的向量有多少个？ (2)OA的相反向量有多少个？ (3)OA的共线向量又有多少个？
距离、身高、质量、时间、面积等
建构数学：
二.向量的表示
1.几何法:用有向线段表示
有向线段: 规定了起点、方向、长度的线段
A B
2. 代数法:用字母表示
a
AB 或
a
建构数学：
三. 向量的有关概念
1.向量的长度(模): 向量 AB 的大小(长度) 表示： | AB |
向量是不能比较大小的,但向量的模是可以进行大小比较的.
D
E
F A
O
B
C
例3：在图中的4×5方格纸中有一个向量 AB，分别以图中的格点为起点和终点作向量，其中与 AB 相等的向量有多少个？与 AB 长度相等的共线向量有多少个（ AB 除外）？
B
答：与 AB相等的向量有7个.
与 AB长度相等的向量有15个.
带着问题奔向课堂

数学向量投影知识点总结

数学向量投影知识点总结一、向量的定义及基本性质在数学中，向量是一个有大小和方向的量，通常用箭头表示，用于表示物体的位移、速度和加速度等物理量。

向量可以用坐标表示，例如二维向量可以表示为(x, y)，三维向量可以表示为(x, y, z)，其中x、y、z分别表示向量在x、y、z轴上的分量。

向量的加法和数乘运算是向量的基本运算。

向量的加法满足交换律和结合律，即：A+B=B+A， (A+B)+C=A+(B+C)。

数乘运算即将向量乘以一个实数，其结果为一个新的向量，记作kA，其大小为k倍原向量的大小，方向与原向量相同（若k>0），或相反（若k<0）。

二、向量的内积和外积1. 内积：内积又称向量的点积或数量积，表示为A·B，是两个向量的乘积，其结果为一个标量。

内积的计算公式为A·B=|A|·|B|·cos(θ)，其中|A|和|B|分别表示向量A和B的大小，θ为A和B之间的夹角。

2. 外积：外积又称向量的叉积或向量积，记作A×B，是两个向量的乘积，其结果为一个新的向量，方向由右手定则确定。

外积的计算公式为A×B=|A|·|B|·sin(θ)·n，其中|A|和|B|分别表示向量A和B的大小，θ为A和B之间的夹角，n为垂直于A和B所在平面的单位向量。

三、向量的投影向量的投影是指一个向量在另一个向量上的投影，是一个标量，在物理学和工程学中有着广泛的应用。

向量的投影可以分为两种：向量在另一个向量上的投影和一个向量在一个平面上的投影。

1. 向量在另一个向量上的投影设有两个非零向量A和B，向量A在向量B上的投影记作proj_BA，其大小为|A|cos(θ)，方向与向量B的方向相同或相反，其中θ为A和B之间的夹角。

若A在B上的投影为正，则A和B的夹角小于90°；若A在B上的投影为负，则A和B的夹角大于90°。

vectors的名词解释

vectors的名词解释在数学和物理学中，向量（vector）是一种用于描述空间中的位置或方向的量。

它由大小（长度）和方向两个属性组成，通常用一根带有箭头的线段来表示。

向量可以在数学计算和物理理论中广泛应用。

向量的定义和表示向量的定义可以简单地理解为有方向和长度的量。

它可以表示空间中的位移、速度和力等概念。

在数学上，向量通常用有序的数对或数列来表示。

例如，二维空间中的向量可以表示为(u,v)，其中u和v是实数。

三维空间中的向量可以表示为(x,y,z)，其中x、y和z也是实数。

除了用数学符号表示，向量还可以用几何图形表示。

通常，我们用带有箭头的线段来表示向量，箭头的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的长度。

向量运算和性质向量可以进行各种运算，包括加法、减法、数量乘法等。

这些运算使得向量在数学计算和物理模型中非常有用。

向量的加法：向量的加法定义了两个向量相加后的结果。

具体来说，给定两个向量A和B，它们的和A + B等于将B的起点放在A的终点上，然后以新的终点作为和向量的终点，起点为零向量。

向量的减法：向量的减法可以看作是加法的逆运算。

给定向量A和向量B，它们的差A - B等于将B反向后与A相加。

数量乘法：向量的数量乘法是指将向量乘以一个实数。

结果是原向量的每个分量都乘以该实数。

向量的性质：向量还具有一些重要的性质。

例如，向量的长度由其各个分量平方和的平方根给出，这被称为向量的模。

向量的模为零意味着向量是零向量（所有分量均为零）。

应用领域向量广泛应用于数学、物理学以及工程等领域。

下面介绍一些应用场景。

力学：向量在力学中起着至关重要的作用。

例如，受力的物体可以表示为由力向量构成的力系统。

力的合力可以通过将所有力向量相加来计算，从而得到物体所受的合力。

几何学：向量在几何学中用于描述点、线和面的位置关系和运动情况。

例如，在平面几何中，直线可以用一个方向向量和一个点向量表示。

电磁学：向量在电磁学中用于描述电场、磁场以及电磁波等现象。

位移计算的一般公式(力学

曲线运动的位移公式
总结词
曲线运动中，物体的位移是运动轨迹上各点的位置坐标之和。
详细描述
在曲线运动中，物体的位移需要通过对运动轨迹上各点的位置坐标进行积分来计算。具体公式取决于曲线的形状和运动方式。对于简单的曲线运动，如圆周运动，位移可以通过弧长和角度的函数来描述。对于更复杂的曲线运动，可能需要使用数值积分方法来计算位移。
位移与速度的关系
总结词
位移与速度的关系是位移计算中的基础关系，描述了物体在一段时间内位置的变化与其平均速度之间的关系。
详细描述
位移（S）是物体运动过程中位置的变化量，可以用距离和方向来表示。速度（V）是描述物体运动快慢的物理量，等于位移与时间的比值。在匀速直线运动中，速度保持不变，位移与速度成正比，即S=V*t，其中t
位移是描述物体位置变化的物理量，是运动学的基本概念之一。
位移的大小表示物体在空间中移动的距离，方向表示物体的移动
方向。
位移的物理意义在于描述物体在空间中的位置变化，是描述物体
运动状态的重要参数之一。
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CATALOGUE
位移的一般公式
匀速直线运动的位移公式
总结词
匀速直线运动的速度保持不变，因此位移等于速度乘以时间。
详细描述
在匀速直线运动中，物体的速度保持恒定，因此位移（即物体移动的距离）可以通过速度与时间的乘积来计算。数学公式为：$s = v times t$，其中 $s$ 表示位移，$v$ 表示速度，$t$ 表示时间。
匀加速直线运动的位移公式
总结词
匀加速直线运动中，物体速度逐渐增加，位移等于初速度、末速度、加速度和时间的函数。
位移计算的一般公式
目录

空间向量的表示与运算技巧

空间向量的表示与运算技巧在数学和物理学中，空间向量是描述三维空间中大小和方向的量。

它是由一组按照特定规则排列的数值组成，可以用于计算物体的位移、速度、加速度等各种物理量。

本文将介绍空间向量的表示和运算技巧。

一、空间向量的表示方法1. 直角坐标表示法直角坐标表示法是最常用的一种表示方法。

在三维直角坐标系中，一个空间向量可以用三个实数(x,y,z)表示，分别表示向量在x轴、y轴和z轴上的分量。

例如，向量A可以表示为A = (x,y,z)。

2. 分量表示法分量表示法将向量的分量按照一定顺序排列，形成一个有序数组。

例如，向量A可以表示为A = [x,y,z]。

3. 基向量表示法基向量表示法利用基向量来表示一个向量。

在三维空间中，通常使用标准单位向量i、j、k作为基向量。

例如，向量A可以表示为A =x*i + y*j + z*k。

二、空间向量的运算技巧1. 向量的加法向量的加法是将对应分量相加得到新的向量。

例如，向量A =(x1,y1,z1)和向量B = (x2,y2,z2)，它们的和可以表示为A + B = (x1+x2, y1+y2, z1+z2)。

2. 向量的减法向量的减法是将对应分量相减得到新的向量。

例如，向量A =(x1,y1,z1)和向量B = (x2,y2,z2)，它们的差可以表示为A - B = (x1-x2, y1-y2, z1-z2)。

3. 向量的数量积向量的数量积，又称为点积或内积，是将对应分量相乘后求和得到一个标量。

例如，向量A = (x1,y1,z1)和向量B = (x2,y2,z2)，它们的数量积可以表示为A·B = x1*x2 + y1*y2 + z1*z2。

4. 向量的向量积向量的向量积，又称为叉积或外积，是通过对应分量的乘积得到一个新的向量。

向量A = (x1,y1,z1)和向量B = (x2,y2,z2)的向量积可以表示为A×B = (y1*z2 - z1*y2, z1*x2 - x1*z2, x1*y2 - y1*x2)。

人教版中职数学教案-第七章--平面向量

[精品]人教版中职数学教案-第七章--平面向量[9份教案]7.1.1 位移与向量的表示【教学目标】1. 了解有向线段的概念，理解并掌握向量的有关概念和向量相等的含义．2. 会用有向线段表示向量，并能根据图形判定向量是否平行、相等．3. 通过教学培养学生数形结合的能力．【教学重点】向量的概念．【教学难点】向量的概念．【教学方法】这节课主要采用启发式教学和讲练结合的教学方法．从物理背景和几何背景入手，建立起学习向量概念及其表示方法的基础，结合丰富的实例，归纳、概括向量的有关概念，使学生容易理解．同时结合习题让学生加深对相等向量的理解．7.1.2 向量的加法【教学目标】1. 理解并掌握向量的加法运算并理解其几何意义，掌握向量加法的运算律．2. 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则求作两个向量的和．3. 通过教学，养成学生规范的作图习惯，培养学生数形结合的能力．【教学重点】利用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量．【教学难点】对向量加法定义的理解．【教学方法】这节课主要采用启发式教学和讲练结合的教学方法．创设问题情境，激发学生的好奇心与求知欲．并在教学过程中始终注重数形结合，引导学生思考，使问题处于学生思维的最近发展区，以此较好地培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力．7.1.3 向量的减法【教学目标】1. 理解并掌握向量的减法运算并理解其几何意义，理解相反向量．2. 通过教学，养成学生规范的作图习惯，培养学生数形结合的思想方法．【教学重点】向量减法的三角形法则．【教学难点】理解向量减法的定义．【教学方法】这节课主要采用启发式教学和讲练结合的教学方法．由实例引入，创设问题情境，教师引导学生由向量加法得到向量减法．并在教学过程中始终注重数形结合，对比教学，使问题处于学生思维的最近发展区，较好地培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力．7.2 数乘向量【教学目标】1. 通过实例掌握数乘向量的运算，并理解其几何意义，掌握数乘向量运算的运算律．2. 理解并掌握平行向量基本定理．3. 通过教学，养成学生规范的作图习惯，培养学生数形结合的能力．【教学重点】数乘向量运算及运算律与平行向量基本定理．【教学难点】对数乘向量定义与平行向量基本定理的理解．【教学方法】这节课主要采用启发式教学和讲练结合的教学方法．在向量加法的基础上引入数乘向量的定义，教学过程中紧扣向量的两要素分析定义，始终注重数形结合，引导学生思考，使问题处于学生思维的最近发展区，以此较好地培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力．d7.3.1 向量的分解【教学目标】1. 理解平面向量的基本定理，会用已知的向量来表示未知的向量．2. 启发学生发现问题和提出问题，培养学生独立思考的能力，让学生学会分析问题和解决问题．3. 通过教学，培养学生数形结合的能力．【教学重点】平面向量的基本定理，用已知的向量来表示未知的向量．【教学难点】理解平面向量的基本定理．【教学方法】本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法，引导学生分析归纳，形成概念．7.3.2 向量的直角坐标运算【教学目标】1. 理解平面向量的坐标表示，掌握平面向量的坐标运算．2. 能够根据平面向量的坐标，判断向量是否平行．3. 通过学习，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辩证思维能力．【教学重点】平面向量的坐标表示，平面向量的坐标运算，根据平面向量的坐标判断向量是否平行．【教学难点】理解平面向量的坐标表示．【教学方法】本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法，教师可以充分发挥学生的主体作用，开展自学活动，通过类比、联想，发现问题，解决问题．引导学生分析归纳，形成概念．7.4.1 向量的内积【教学目标】1. 理解并掌握平面向量内积的基本概念，会用已知条件来求向量的内积．2. 掌握向量内积的基本性质及运算律并运用其解决相关的数学问题．3. 通过教学，渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点．【教学重点】平面向量内积的概念，平面向量内积的基本性质及运算律．【教学难点】平面向量内积的概念、基本性质及运算律的正确理解．【教学方法】本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法，引导学生分析归纳，形成概念．7.4.2 向量内积的坐标运算与距离公式【教学目标】1. 掌握向量内积的坐标表示，并应用向量内积的知识解决有关长度、角度和垂直的问题．2. 能够根据平面向量的坐标，判断向量是否垂直．3. 通过学习向量的坐标表示，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辩证思维能力．【教学重点】向量内积的坐标表达式，向量垂直的充要条件，向量长度的计算公式的应用．【教学难点】向量内积的坐标表达式的推导，即a·b＝| a | | b | cos?a，b?与a·b ＝a1b1＋a2b2两个式子的内在联系．【教学方法】本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法．向量内积的坐标表达式，是向量运算内容与形式的统一．无论是向量的线性运算还是向量的内积运算，最终归结为直角坐标运算．教学中教师要引导学生抓住这条线索，不断使学生的平面向量知识系统化、条理化，从而有利于学生知识体系的形成．7.5 向量的应用【教学目标】1. 能运用向量的有关知识对物理中力的作用进行相关分析和计算．2. 通过例题，研究利用向量知识解决物理中有关“速度的合成与分解”等问题．3. 通过教学，培养探究问题和解决问题的能力．【教学重点】运用向量的有关知识对物理中力的作用进行相关分析和计算．【教学难点】以向量为主题的数学模型的建立．【教学方法】这节课主要采用问题解决法和分组教学法．运用现代化教学手段，通过两个实例，分析抽象出以向量为主题的数学模型，使学生更容易理解向量的实质．。

数学初中三年级下册第一章向量的认识与运算

数学初中三年级下册第一章向量的认识与运算在初中数学三年级下册的第一章中，学生们将会学习有关向量的认识与运算。

向量是数学中的一种重要概念，它具有大小和方向的特性，并且常常用箭头来表示。

在本章中，我们将深入了解向量的基本概念、表示方法以及向量的运算法则。

一、向量的基本概念向量是有大小和方向的量，可以用有向线段或箭头来表示。

同一个向量可以用不同的有向线段来表示，只要它们具有相同的大小和方向。

向量的大小叫做向量的模，通常用两个竖线表示。

向量的方向可以用角度、弧度或其他方式表示。

二、向量的表示方法在平面直角坐标系中，一个向量可以由它在水平方向上和垂直方向上的分量表示。

水平方向上的分量叫做向量的横坐标，垂直方向上的分量叫做向量的纵坐标。

向量的表示方法有两种：坐标表示法和行列式表示法。

坐标表示法：一个向量的横坐标与纵坐标分别用小括号括起来，中间用逗号隔开，如(3, 4)表示一个横坐标为3，纵坐标为4的向量。

行列式表示法：一个向量用一个行列式来表示，行列式的第一行为向量的横坐标，第二行为向量的纵坐标，行列式的两侧用直线包围，如⎡3⎤表示一个横坐标为3，纵坐标为4的向量。

⎣4⎦三、向量的运算法则1. 向量的加法：向量的加法满足“三角形法则”或“平行四边形法则”。

即将两个向量的起点相连，连接的线段的终点就是它们的和向量的终点。

两个向量的和向量也可以用它们的横坐标和纵坐标相加得到。

2. 向量的减法：向量的减法可以理解为加上一个反向的向量。

即将减去的向量反向后，再按照向量的加法法则进行运算。

3. 向量的数量乘法：向量的数量乘法是将向量的模与一个实数相乘得到一个新的向量，其方向与原向量相同或相反，取决于实数的正负。

4. 向量的点乘：向量的点乘是指两个向量的对应分量相乘后相加。

点乘的结果是一个实数，表示了两个向量之间的夹角以及它们之间的关系。

四、向量的应用向量在几何、物理、工程等领域中都具有广泛的应用。

例如，在几何中，向量可以表示向量的位移、速度和力等物理量；在物理中，向量可以表示物体的位移和力的方向；在工程中，向量可以描述力的合成等。

向量公式大全

向量公式大全向量是物理和数学中常用的重要概念，它可以用于描述力、速度、位移等物理量的大小和方向。

在数学中，向量可以用来表示空间中的点、线和平面等几何概念。

本文将为您介绍一些常用的向量公式和相关概念。

一、向量的基本概念和运算法则1.向量的表示方式向量通常用有向线段来表示，可以用线段的起点和终点表示。

2.向量的零元素对于向量a，存在一个特殊的向量0，使得a+0=a，称0为零向量。

3.向量的加法和减法向量的加法和减法遵循平行四边形法则：设a和b是两个向量，它们按照起点相连，那么a+b从起点到终点就是a和b相加的结果，a-b就是b的起点和a的终点连接而成的。

4.向量的数量乘法设k为一个实数，k乘以向量a，得到的向量ka，其大小为，ka，=，k，a，方向与a相同（当k为正数时），或者与a相反（当k为负数时）。

5.向量的数量除法设k为一个非零实数，向量a除以k，得到的向量a/k，其大小为，a/k，=，a，/，k，方向与a相同（k为正数）或者与a相反（k为负数）。

6.黎曼球面上的数量除法向量除以零是未定义的，但可以将这个向量限制到黎曼球面上，黎曼球面上的数量除法遵循“将除数和被除数投影到黎曼球面上，再进行数量除法”的原则。

7.向量的数量积向量a和b的数量积（也称内积、点积）表示为a·b=，a，b，cosθ，其中，a，和，b，分别表示a和b的大小，θ为它们之间的夹角，cosθ称为向量夹角的余弦值。

二、向量的坐标表示和坐标运算8.二维向量的坐标表示二维向量可以用有序数对(x,y)表示，其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的分量。

9.二维向量的加法和减法设向量a和b的坐标表示分别为(a₁,a₂)和(b₁,b₂)，它们的和为(a₁+b₁,a₂+b₂)，差为(a₁-b₁,a₂-b₂)。

10.二维向量的数量乘法设向量a的坐标表示为(a₁, a₂)，实数k的坐标表示为(k, k)，则ka的坐标表示为(ka₁, ka₂)。

物理学中的矢量位移速度与加速度

物理学中的矢量位移速度与加速度物理学中的矢量位移、速度与加速度物理学是一门研究物质的运动规律和属性的科学。

在物理学中，矢量位移、速度和加速度是三个重要的概念，它们有着密切的联系。

本文将深入剖析这三个概念的定义、计算以及它们之间的关系。

一、矢量位移矢量位移是一个物体从初始位置移动到最终位置的直线距离的有向量表示。

用符号Δr表示，Δr = r2 - r1，其中r2表示物体的最终位置矢量，r1表示物体的初始位置矢量。

二、速度速度是描述物体运动变化率的物理量，它是位移关于时间的导数。

速度的定义是v = Δr / Δt，其中Δr表示位移矢量，Δt表示时间变化的量。

速度是一个矢量量，它既有大小，又有方向。

在国际单位制中，速度单位为米每秒（m/s）。

三、加速度加速度是描述物体速度变化率的物理量，它是速度关于时间的导数。

加速度的定义是a = Δv / Δt，其中Δv表示速度矢量的变化量，Δt表示时间变化的量。

加速度也是一个矢量量，它既有大小，又有方向。

在国际单位制中，加速度单位为米每秒平方（m/s²）。

通过分析位移、速度和加速度的定义，我们可以看出它们之间的关系。

速度是位移的导数，表示单位时间内物体位置的变化率。

而加速度是速度的导数，表示单位时间内速度的变化率。

因此，加速度也可以看作是位移关于时间的二阶导数。

在一维运动中，我们可以用函数的导数来计算速度和加速度。

对于位移函数x(t)，我们可以通过求导得到速度函数v(t)，再次求导得到加速度函数a(t)。

在多维运动中，我们可以将位移、速度和加速度分别看作是矢量的分量，对每个方向进行独立计算。

除了函数法，我们还可以通过图像法来分析位移、速度和加速度之间的关系。

通过绘制位移-时间、速度-时间、加速度-时间的图像，我们可以直观地了解它们的变化规律。

需要特别注意的是，位移、速度和加速度的方向是相对于某个参考点或参考系统而言的。

选择合适的参考点和参考系对于矢量的描述非常重要。

应用向量计算物体的位移。

原题：应用向量计算物体的位移介绍在物理学中，我们经常需要计算物体的位移。

位移是一个向量量值，它描述了一个物体从初始位置到最终位置的变化。

本文将介绍如何应用向量计算来计算物体的位移。

向量的定义向量是一个具有大小和方向的量。

在计算物体的位移时，我们使用三维向量来表示物体在空间中的位置变化。

位移向量位移向量可以用两点之间的位置差来表示。

如果我们将初始位置的坐标表示为\[x_1, y_1, z_1\]，最终位置的坐标表示为\[x_2, y_2, z_2\]，那么位移向量可以表示为：\[\Delta \mathbf{r} = \begin{pmatrix} x_2 - x_1 \\ y_2 - y_1 \\ z_2 -z_1 \end{pmatrix}\]计算物体的位移要计算物体的位移，我们需要知道初始位置和最终位置的坐标。

具体步骤如下：1. 确定初始位置的坐标，记为\[x_1, y_1, z_1\]。

2. 确定最终位置的坐标，记为\[x_2, y_2, z_2\]。

3. 计算位移向量：\[\Delta \mathbf{r} = \begin{pmatrix} x_2 - x_1 \\ y_2 - y_1 \\ z_2 -z_1 \end{pmatrix}\]4. 根据需要进行位移向量的单位转换，比如从米（m）转换为厘米（cm）。

例子假设一个物体的初始位置坐标为\[1, 2, 3\]（单位为米），最终位置坐标为\[4, 6, 8\]（单位为米）。

我们可以用以下步骤计算物体的位移：1. 确定初始位置的坐标：\[x_1 = 1, y_1 = 2, z_1 = 3\]。

2. 确定最终位置的坐标：\[x_2 = 4, y_2 = 6, z_2 = 8\]。

3. 计算位移向量：\[\Delta \mathbf{r} = \begin{pmatrix} 4 - 1 \\ 6 - 2 \\ 8 - 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}\]4. 根据需要进行单位转换。

平面向量应用平面向量解决实际问题

平面向量应用平面向量解决实际问题平面向量是研究空间中两点间的位移关系的数学工具，也是矢量分析的重要内容之一。

在实际问题中，平面向量可以广泛应用于解决各种几何、物理和工程等领域的实际问题。

本文将通过一系列实例，详细介绍平面向量在解决实际问题中的应用。

1. 位移和速度在物理学中，平面向量常被应用于研究物体的位移和速度。

考虑一个运动的物体，在不同时间点上其位置会发生变化。

如果我们用平面向量表示物体的位移，那么同一物体在不同时间点上的位移可以用向量相加来表示。

例如，一个物体在初始时刻位于坐标点A，经过一段时间后到达坐标点B，则物体的位移向量表示为向量AB。

根据物体的位移，我们可以进一步求出其速度。

速度是以单位时间内的位移来表示的，因此可以通过求位移向量的导数来计算速度向量。

具体来说，速度向量等于位移向量的导数。

对于一个运动物体，在一个无限小时间间隔dt内的位移可以表示为向量dR，那么物体的速度向量可以写为dR/dt。

通过使用平面向量来描述物体的位移和速度，我们能够更加直观地理解并计算物体的运动属性，这在物理学中具有重要的应用价值。

2. 力的合成平面向量的一个重要应用是解决力的合成问题。

在力学中，力的合成是指将多个力合并为一个等效的力。

平面向量可以用来表示力的大小和方向，从而方便进行力的合成计算。

假设我们有两个力F1和F2，它们的大小和方向分别用向量F1和F2表示。

那么这两个力的合力可以通过将这两个向量相加来求得。

具体而言，合力向量等于F1与F2的矢量和，即F = F1 + F2。

通过平面向量的合成，我们能够有效地求解多个力合成为等效力的问题，从而更好地研究和分析物体在受力作用下的运动状态。

3. 四边形的面积在几何学中，平面向量可以用于计算任意四边形的面积。

常见的情况是，当我们已知四边形的两个对角线向量时，可以通过向量叉乘来求解四边形的面积。

设四边形的对角线向量为向量A和向量B，根据向量叉乘的性质，四边形的面积可以表示为向量A与向量B的叉乘的模长的一半，即S= 1/2 |A × B|。

向量的坐标表示

向量是数学中一个非常重要的概念，它不仅仅在数学领域中应用广泛，在物理学、工程学等领域中也具有重要意义。

我们经常使用向量来描述物体的位移、速度、加速度等，因此了解向量的坐标表示是非常必要的。

在二维空间中，一个向量可以用坐标(a, b)表示，其中a和b分别表示向量在x轴和y轴上的分量。

这种方式称为向量的分量表示。

根据向量的定义，向量表示物体从一个位置到另一个位置的移动，而分量表示了在x方向和y方向上的移动情况。

例如，向量(3, 4)表示一个物体向右移动了3个单位，在垂直方向上向上移动了4个单位。

在三维空间中，一个向量可以用坐标(a, b, c)表示，其中a、b和c分别表示向量在x轴、y轴和z轴上的分量。

这种方式称为向量的分量表示。

与二维空间类似，分量表示了向量在不同方向上的移动情况。

例如，向量(1, -2, 3)表示一个物体向右移动了1个单位，在垂直方向上向下移动了2个单位，在与(x, y)平面垂直的方向上向上移动了3个单位。

可以看出，向量的分量表示非常直观，可以很清楚地描述向量的方向和大小。

除了分量表示，向量还可以用向量的模和方向表示。

向量的模表示向量的长度或大小，用|v|表示，可以通过勾股定理计算得到。

在二维空间中，向量v = (a, b)的模可以表示为：|v| = √(a^2 + b^2)。

在三维空间中，向量v = (a, b, c)的模可以表示为：|v| = √(a^2 + b^2 + c^2)。

向量的方向可以用夹角来表示。

除了分量和模，向量还可以用单位向量表示。

单位向量是向量的长度为1的向量，它具有方向但没有大小。

对于一个非零向量v = (a, b)，可以找到一个与v方向相同但长度为1的向量u = (m, n)，这个向量就是v的单位向量。

单位向量可以通过将向量除以它的模得到。

例如，对于一个二维向量v = (3, 4)，它的模为5，因此它的单位向量为u = (3/5, 4/5)。

向量的坐标表示在数学和物理学中有着广泛的应用。

位移与向量的表示

（4）共线向量一定在同一直线上
【例题】如图1，设O是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中与向量 OA 、0B 、OC相等的向量.
F
E
A
O
D
B
C
【练习】已知D，E，F分别是三角形ABC的边AB，BC，CA的中点，写出图中与向量DE 、EF 、FD相等的向量.
A
D
F
B
E
C
O
渔
寮
相
对于
炮弹飞行方向
航母
1200公里
军事目标
如果所给的炮弹射程只有500公里呢？
【实践】
1、请每位同学任作一个向量，标记为b
2、请同学们作一个跟它相等的向量,标记为c
同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等的向量。
3、请同学们作一个跟它平行的向量,标记为d
如果表示一些向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则称这些向量为平行或共线向量。记作：a//b
150
温
州
市
区的
80公里
位
置
B
【思考】有位同学从点A向东走400米到达点B，接着向南走300米到达点C，然后再向东北走200米到达点D，选择适当的比例尺，用向量表示这个人的位移.
A
北
100米
东
B D
C
课后作业
书98页习题5.1中 1,2,3.
【问题】叙利亚“化武危机”即将引发战争。美国“尼米兹”号航空母舰接到命令：准备向1200 公里处的的军事目标进行精确打击.
【问题】叙利亚“化武危机”即将引发战争。美国“尼米兹”号航空母舰接到命令：准备向1200 公里处的的军事目标进行精确打击。
炮弹飞行方向

位移的逻辑链

位移是指物体在空间中的移动距离和方向。

在物理学中，位移通常用于描述物体从一个位置到另一个位置的距离和方向的变化。

位移的大小与路径无关，只与初末位置有关，方向由起点指向终点。

它是一个有大小和方向的物理量，即矢量。

位移的逻辑链包括以下几个方面：
1.定义：位移是由初位置到末位置的有向线段，其大小与路径无关，方向由
起点指向终点。

2.计算：位移的大小等于末位置矢径与初位置矢径之差，即ΔX=X2-X1
（末位置减初位置）。

3.矢量性：位移是一个矢量，既有大小又有方向。

有向线段的长度表示位移
的大小，有向线段的方向表示位移的方向。

4.与路程的区别：位移只与物体运动的始末位置有关，而与运动的轨迹无关。

路程是物体在空间中实际经过的路径长度。

位移和路程是两个不同的概念，即使物体沿同一路径运动，其位移大小和路程大小也可能不同。

5.测量和应用：通过测量和分析物体的位移，可以确定结构的稳定性、耐久
性和安全性。

在物理学中，通过测量物体的位移，可以计算出它的速度和加速度，从而更好地理解物体的运动规律。

在地震学中，通过测量地震引起的地表位移，可以研究地震的发生机制和地壳运动的规律。

综上所述，位移的逻辑链是一个系统化的概念体系，它涵盖了位移的定义、计算、矢量性、与路程的区别、测量和应用等方面。

北师大版必修4高中数学第2章平面向量11.1位移速度和力1.2向量的概念

1．准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．用有向线段来表示向量是向量的几何表示，必须确定起点、长度和终点，三者缺一不可．
2．起点相同，长度也相同的向量的终点组成以该起点为圆心、向量长度为半径的圆．
2.一辆消防车从 A 地去 B 地执行任务，先从 A 地向北偏东 30°方向行驶 2 千米到 D 地，然后从 D 地沿北偏东 60°方向行驶 6 千米到达 C 地，从 C 地又向南偏西 30°方向行驶了 2 千米才到达 B 地．
→ OA.
1．向量共线有三种情形： ①共线且同向；②共线且反向；③有一个是零向量． 2．向量的平行与直线平行的关系两条直线平行时，直线上的有向线段平行，两向量平行时，表示向量的有向线段所在直线不一定平行，也可能重合．若直线 m，n，l， m∥n，n∥l，则 m∥l；若向量 a，b，c，a∥b，b∥c，而 a，c 不一定平行．
向量的表示【例 2】一艘军舰从基地 A 出发向东航行了 200 海里到达基地 B，然后改变航线向东偏北 60°航行了 400 海里到达 C 岛，最后又改变航线向西航行了 200 海里到达 D 岛． (1)试作出向量A→B，B→C，C→D；
(2)求|A→D |.
[思路探究] 准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后结合向量的大小确定向量的终点．
(1)在如图所示的坐标系中画出A→D，D→C，C→B，A→B； (2)求 B 地相对于 A 地的位置向量．
[解] (1)向量A→D，D→C，C→B，A→B如图所示．
(2)由题意知A→D＝B→C，∴AD 綊 BC， ∴四边形 ABCD 为平行四边形， ∴A→B＝D→C， ∴B 地相对于 A 地的位置向量为“北偏东 60°，6 千米”．

位移的定理

位移的定理位移的定理，又被称为位移-时间二次定理的它是基本物理定律之一，它描述了物体在匀加速运动中位移与速度与时间之间的关系。

位移的定理是物理学中的一个重要概念，在力学、动力学和运动学等领域中得到了广泛应用。

下面将详细介绍位移的定理。

位移的定理可以通过一个简单的实验来理解。

假设我们有一个小球，我们对它进行了一个实验，将小球从静止状态下抛向上空，然后再让它自由落地。

我们可以观察到小球在运动过程中的各种物理现象，比如速度的变化以及其位置的变化。

在这个实验中，我们可以得出结论：当物体在匀加速运动中，其位移与它的速度和时间之间存在着一定的关系。

具体来说，位移等于速度乘以时间加上加速度乘以时间的平方的一半。

数学表达式如下：S = Vt + (1/2)at²其中，S表示位移，V表示初始速度，t表示时间，a表示加速度。

通过这个公式，我们可以计算出物体在任意时刻的位移。

例如，如果我们知道一个物体的初始速度为4m/s，加速度为2m/s²，经过3秒的时间后，我们可以计算出物体的位移为：S = 4m/s* 3s + (1/2) * 2m/s² * (3s)² = 12m + 9m = 21m。

位移的定理的意义在于，它给出了物体在匀加速运动中的位置变化规律。

通过这个定理，我们可以预测物体在任意时刻的位置，进而能够分析物体的运动状态。

通过计算物体的位移，我们可以得到物体相对于起点的位置信息，了解物体的运动轨迹。

位移的定理对于解决实际问题非常重要。

举个例子，假设我们知道一个车辆的加速度和初始速度，我们可以利用位移的定理来计算出车辆在某个时刻的位移，进而预测它的位置。

这对于交通管理、行车安全等方面都具有重要意义。

除了解决实际问题之外，位移的定理还可以帮助我们更好地理解运动的本质。

它揭示了运动过程中的动态变化，表明物体的位置是随时间变化的。

通过分析物体的位移与时间的关系，我们可以研究物体的运动规律，进而深入理解运动的性质。

北师版数学高一-必修4学案 -1.2 位移、速度和力向量的概念

§1 从位移、速度、力到向量1．1 位移、速度和力 1．2 向量的概念[学习目标] 1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念．[知识链接]1．力和位移都是既有大小，又有方向的量，在物理学常称为矢量，在数学中叫作向量；而把那些只有大小，没有方向的量称为数量，在物理学常称为标量． 2．已知下列各量：①力；②功；③速度；④质量；⑤温度；⑥位移；⑦加速度；⑧重力；⑨路程；⑩密度．其中是数量的有②④⑤⑨⑩，是向量的有①③⑥⑦⑧. 3．向量与数量有什么联系和区别？答联系是向量与数量都是有大小的量；区别是向量有方向且不能比较大小，数量无方向且能比较大小． [预习导引]1．向量：既有大小，又有方向的量叫作向量．2．向量的几何表示：以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB →. 3．向量的有关概念：(1)零向量：长度为0的向量，叫作零向量，记作0或0→. (2)单位向量：长度为单位1的向量叫作单位向量． (3)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫作相等向量．(4)平行向量(共线向量)：如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则称这两个向量平行或共线．①记法：向量a 平行于b ，记作a ∥b . ②规定：零向量与任一向量平行．要点一向量的概念例1 给出下列各命题： (1)零向量没有方向； (2)若|a |＝|b |，则a ＝b ； (3)单位向量都相等； (4)向量就是有向线段；(5)两相等向量若其起点相同，则终点也相同； (6)若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； (7)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；(8)若四边形ABCD 是平行四边形，则AB →＝CD →，BC →＝DA →. 其中正确命题的序号是________．答案 (5)(6)解析 (1)该命题不正确，零向量不是没有方向，只是方向不确定； (2)该命题不正确，|a |＝|b |只是说明这两向量的模相等，但其方向未必相同； (3)该命题不正确，单位向量只是模为单位长度1，而对方向没要求；(4)该命题不正确，有向线段只是向量的一种表示形式，但不能把两者等同起来；(5)该命题正确，因两相等向量的模相等，方向相同，故当它们的起点相同时，其终点必重合； (6)该命题正确．由向量相等的定义知，a 与b 的模相等，b 与c 的模相等，从而a 与c 的模相等；又a 与b 的方向相同，b 与c 的方向相同，从而a 与c 的方向也必相同，故a ＝c ； (7)该命题不正确．因若b ＝0，则对两不共线的向量a 与c ，也有a ∥0，0∥c ，但a ≠c ； (8)该命题不正确．如图所示，显然有AB →≠CD →，BC →≠DA →.规律方法要充分理解与向量有关的概念，明白它们各自所表示的含义，搞清楚它们之间的区别是解决与向量概念有关问题的关键．跟踪演练1 下列命题中，正确的是( ) A ．a ，b 是两个单位向量，则a 与b 相等 B ．若向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量 C ．两个相等的向量，起点、方向、长度必须都相同 D ．共线的单位向量必是相等向量答案 B解析若a 与b 中有一个是零向量，则a 与b 是平行向量，即向量a 与b 共线，与前提矛盾，所以a 与b 都是非零向量．要点二向量的表示例2 在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：(1)OA →，使|OA →|＝42，点A 在点O 北偏东45°； (2)AB →，使|AB →|＝4，点B 在点A 正东； (3)BC →，使|BC →|＝6，点C 在点B 北偏东30°.解 (1)由于点A 在点O 北偏东45°处，所以在坐标纸上点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA →|＝42，小方格边长为1，所以点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A 位置可以确定，画出向量OA →如图所示．(2)由于点B 在点A 正东方向处，且|AB →|＝4，所以在坐标纸上点B 距点A 的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B 位置可以确定，画出向量AB →如图所示．(3)由于点C 在点B 北偏东30°处，且|BC →|＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C 距点B 的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C 位置可以确定，画出向量BC →如图所示．规律方法在画图时，向量是用有向线段来表示的，用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．应该注意的是有向线段是向量的表示，并不是说向量就是有向线段．跟踪演练2 中国象棋中规定：马走“日”字．下图是中国象棋的半个棋盘，若马在A 处，可跳到A 1处，也可跳到A 2处，用向量AA 1→或AA 2→表示马走了“一步”．试在图中画出马在B ，C 处走了“一步”的所有情况．解根据规则，画出符合要求的所有向量．马在B 处走了“一步”的情况如图(1)所示；马在C 处走了“一步”的情况如图(2)所示．要点三相等向量与共线向量例3 如图所示，O 为正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED 、OCFB 都是正方形．(1)写出与AO →相等的向量； (2)写出与AO →共线的向量； (3)向量AO →与CO →是否相等？→相等的向量为：OC→、BF→、ED→.解(1)与AO→共线的向量为：OA→、OC→、CO→、AC→、CA→、ED→、DE→、BF→、FB→.(2)与AO→与CO→不相等，因为AO→与CO→的方向相反，所以它们不相等．(3)向量AO规律方法判断一组向量是否相等，关键是看这组向量是否方向相同、长度相等，与起点和终点的位置无关．对于共线向量，则只要判断它们是否同向或反向即可．跟踪演练3如图，在正方形ABCD中，M，N分别为AB和CD的中点，在以A，B，C，D，M，N为起点和终点的所有向量中，相等的向量分别有多少对？解不妨设正方形的边长为2，则以A，B，C，D，M，N为起点和终点的向量中：→＝DC→，BA→＝CD→，AD→＝BC→，DA→＝CB→，AD→＝MN→，DA→＝NM→，(1)模为2的相等向量共有8对，AB→＝MN→，CB→＝NM→.BC→同向的有MB→，DN→，NC→，这四个向量组成相等的向(2)模为1的相等向量有12对，其中与AM量有6对，即AM→＝→，AM→＝DN→，AM→＝NC→，MB→＝DN→，MB→＝NC→，DN→＝NC→，同理与AM→反向的也有6对．MB→＝MC→，NA→＝CM→，MD→＝BN→，DM→＝NB→.(3)模为5的相等向量共有4对，AN1．下列说法正确的是()A．零向量没有大小，没有方向B．零向量是唯一没有方向的向量C．零向量的长度为0D．任意两个单位向量方向相同答案C解析零向量的长度为0，方向是任意的，故A，B错误，C正确．任意两个单位向量的长度相等，但方向不一定相同，故D错误．2．如图，在四边形ABCD 中，若AB →＝DC →，则图中相等的向量是( )A.AD →与CB →B.OB →与OD →C.AC →与BD →D.AO →与OC →答案 D解析 ∵AB →＝DC →，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴AC 、BD 互相平分，∴AO →＝OC →. 3．如图，在△ABC 中，若DE ∥BC ，则图中是共线向量的有________．答案 ED →与CB →，AD →与BD →，AE →与CE →解析观察图形，并结合共线向量的定义可得解．4．在四边形ABCD 中，AB →∥CD →且|AB →|≠|CD →|，则四边形ABCD 的形状是________．答案梯形解析 ∵AB →∥CD →且|AB →|≠|CD →|，∴AB ∥DC ，且AB ≠DC ，∴四边形ABCD 是梯形．1.向量是既有大小又有方向的量，从其定义看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起数形结合的桥梁作用．2．共线向量与平行向量是一组等价的概念．平行向量是指向量所在直线平行或重合，是一种广义的平行．3．注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆．一、基础达标 1．有下列说法：①若向量a 与向量b 不平行，则a 与b 方向一定不相同； ②若向量AB →，CD →满足|AB →|>|CD →|，且AB →与CD →同向，则AB →>CD →； ③若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等且方向相同或相反； ④由于零向量方向不确定，故其不能与任何向量平行．其中，正确说法的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4答案 A解析对于①，由共线向量的定义知，两向量不平行，方向一定不相同，故①正确；对于②，因为向量不能比较大小，故②错误；对于③，由|a |＝|b |，只能说明a ，b 的长度相等，不能确定它们的方向，故③错误；对于④，因为零向量与任一向量平行，故④错误． 2．下列说法中错误的是( )A ．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段B ．若向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量C ．长度相等但方向相反的两个向量不一定共线D ．方向相反的两个非零向量必不相等答案 C解析长度相等但方向相反的两个向量一定共线，由向量的概念及向量的模的意义可判断A 、B 、D 选项内容都是正确的． 3．给出下列六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若AB →＝DC →，则四边形ABCD 是正方形； ④平行四边形ABCD 中，一定有AB →＝DC →；其中不正确的命题的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5答案 B解析不正确的是①②③.4．设O 是正方形ABCD 的中心，则向量AO →，BO →，OC →，OD →是( ) A ．相等的向量B ．平行的向量C ．有相同起点的向量D ．模相等的向量答案 D解析这四个向量的模相等．5．若a 是任一非零向量，b 是模为1的向量，下列各式：①|a |＞|b |；②a ∥b ；③|a |＞0；④|b |＝±1.其中正确的是( )A ．①④B ．③C ．①②③D ．②③ 答案 B解析 a 任一非零向量，故|a |＞0.6.如图，等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在两腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则( )A.AD →＝BC →B.AC →＝BD →C.PE →＝PF →D.EP →＝PF → 答案 D解析由平面几何知识知，AD →与BC →方向不同，故AD →≠BC →；AC →与BD →方向不同，故AC →≠BD →；PE →与PF →模相等而方向相反，故PE →≠PF →；EP →与PF →模相等且方向相同，故EP →＝PF →.7．如图，在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，N 、M 分别是AD 、BC 上的点，且CN →＝MA →.求证：DN →＝MB →.证明 ∵AB →＝DC →， ∴|AB →|＝|CD →|且AB ∥CD ， ∴四边形ABCD 是平行四边形， ∴|DA →|＝|CB →|，且DA ∥CB . 又∵DA →与CB →的方向相同，∴CB →＝DA →.同理可证，四边形CNAM 是平行四边形， ∴CM →＝NA →.∵|CB →|＝|DA →|，|CM →|＝|NA →|， ∴|DN →|＝|MB →|.∵DN ∥MB 且DN →与MB →的方向相同， ∴DN →＝MB →. 二、能力提升8．以下命题：①若AB →＝DC →，则A 、B 、C 、D 四点是平行四边形的四个顶点；②若m ＝n ，n ＝k ，则m ＝k ；③单位向量都是共线向量．其中，正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B解析 ①A 、B 、C 、D 四点可能共线；③单位向量的模相等，但方向不确定，所以未必共线． 9．给出下列四个条件：①a ＝b ；②|a |＝|b |；③a 与b 方向相反；④|a |＝0或|b |＝0.其中能使a ∥b 成立的条件是________．答案 ①③④解析因为a ＝b ⇒a ∥b ，即①能够使a ∥b 成立；由于|a |＝|b |并没有确定a 与b 的方向，即②不能够使a ∥b 成立；因为a 与b 方向相反时，a ∥b ，即③能够使a ∥b 成立；因为零向量与任意向量共线，所以|a |＝0或|b |＝0时，a ∥b 能够成立．故使a ∥b 成立的条件是①③④. 10．一辆汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点，然后又改变方向向北偏西40°走了200 km 到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100 km 到达D 点． (1)作出向量AB →、BC →、CD →； (2)求|AD →|.解 (1)向量AB →、BC →、CD →如图所示：(2)由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线，又|AB →|＝|CD →|，∴在四边形ABCD 中，AB 綊CD . ∴四边形ABCD 为平行四边形． ∴AD →＝BC →，∴|AD |→＝|BC →|＝200 km.11．如图，已知矩形ABCD 中，设点集M ＝{A ，B ，C ，D }，求集合T ＝{PQ →|P 、Q ∈M ，且PQ →＝0}．解集合T ＝{PQ →|P 、Q ∈M ，且PQ →≠0}中的元素为非零向量PQ →，且向量的起点与终点分别为矩形的顶点ABCD .这些向量为AB →，AC →，AD →，BA →，BC →，BD →，CB →，CA →，CD →，DA →，DB →，DC →. 由于AB →＝DC →，AD →＝BC →，BA →＝CD →，DA →＝CB →，根据集合元素的互异性，得集合T ＝{AB →，AC →，AD →，BD →，CD →，CA →，DA →，DB →}． 12．如图所示，已知AA ′→＝BB ′→＝CC ′→.求证：(1)△ABC ≌△A ′B ′C ′； (2)AB →＝A ′B ′→，AC →＝A ′C ′→. 证明 (1)∵AA ′→＝BB ′→， ∴|AA ′→|＝|BB ′→|，且AA ′→∥BB ′→.打印版高中数学又∵A 不在BB ′→上，∴AA ′∥BB ′.∴四边形AA ′B ′B 是平行四边形．∴|AB →|＝|A ′B ′→|.同理|AC →|＝|A ′C ′→|，|BC →|＝|B ′C ′→|.∴△ABC ≌△A ′B ′C ′.(2)由(1)知，四边形AA ′B ′B 是平行四边形，∴AB →∥A ′B ′→，且|AB →|＝|A ′B ′→|.∴AB →＝A ′B ′→.同理可证AC →＝A ′C ′→.三、探究与创新13.如图，在平行四边形ABCD 中，O 是两对角线AC ，BD 的交点，设点集S ＝{A ，B ，C ，D ，O }，向量集合T ＝{MN →|M ，N ∈S ，且M ，N 不重合}，试求集合T 中元素的个数．解由题意知，集合T 中的元素实质上是S 中任意两点连成的有向线段，共有20个，即AB →，AC →，AD →，AO →；BA →，BC →，BD →，BO →；CA →，CB →，CD →，CO →；DA →，DB →，DC →，DO →；OA →，OB →，OC →，OD →.由平行四边形的性质可知，共有8对向量相等，即AB →＝DC →，AD →＝BC →，DA →＝CB →，BA →＝CD →，AO →＝OC →，OA →＝CO →，DO →＝OB →，OD →＝BO →.∵集合中元素具有互异性，∴集合T 中的元素共有12个．。

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