动态规划法

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最优控制-第七章-动态规划法

当∆t很小时，有

t t
t
Lx, u, t d t Lx, u, t t
J x, t min
*
min
uU

uU

tf
t0
Lx, u, t d t Φ xt f
tf t t

t t
t
Lx, u, t d t
Lx, u, t d t Φ xt f
P1 11
7
P2 4 2
P3 4 4
12 A 4 8 Q1
4 3 2 2 Q3 B
5 Q2
第一段：P1、Q1的前站是始发站A。显见从
A到B的最优值为12，故得最优路线为AQ1P2Q3B。
综上可见，动态规划法的特点是： 1) 与穷举算法相比，可使计算量大大减少。如
上述最优路线问题，用动态规划法只须做10次
J x, t min Lx, u, t t J xt t , t t
* * uU

(8)
* J x , t J x, t * * J x x, t t J x, t t (12) x t x * T
A城出发到B城的行车时间最短。
P1 3 A 4 Q1 1
7
P2
2
P3 4
4
6 8 2 Q2
3 3 3
2 Q3 4
2
B
现将A到B分成四段，每一段都要作一最优决策，使总过程时间为最短。所以这是一个多段最优决策问题。由图2可知，所有可能的行车路线共有8条。如果将各条路线所需的时间都一一计算出来，并作一比较，便可求得最优路线是AQ1P2Q3B，历时 12。这种一一计算的方法称为穷举算法。这种方法计算量大，如本例就要做3×23=24次加法和7次比较。如果决策一个n段过程，则共需(n-1)2n-1次加法和(2n-1-1)次比较。可见随着段数的增多，计算量将急剧增加。

动态规划算法

3级 28 20 7 2 8 3 f(i, j) —— 从第 i 堆到第 j 堆的代价和。 g(i, j) —— 从第 i 堆到第 j 堆的重量和。 f(1, 3) = 20 + 28 = 48 1级 13 序号 1 = f(1, 2) + g(1, 3)
2级
n=4时：有3大类归并法。前1堆后3堆、前2堆后2堆、前3堆后1堆。
因3堆有2种归并法，所以一共5小类归并法。前1堆第1种情况：
4级 3级 2级 1级 13 序号 1
44 31 15 7
2
f(1, 4) = 15 + 31 + 44 = 90 = f(2, 4) + g(1, 4) w不变 = f(2, 3) + g(2, 4) + g(1, 4)
若f(2,4)越小，则f(1,4)就越小。 8
3
16
4
n=4 时：前1堆的第2种情况。
4级 44 31 24 7 2 8 3 f(1, 4) = 24 + 31 + 44 = 99 = f(2, 4) + g(1, 4) w不变 = f(3, 4) + g(2, 4) + g(1, 4) 若f(2,4)越小，则f(1,4)就越小。 16 4 f(1, 4) = 20 + 24 + 44 = 88
的一种通用方法，对最优化问题提出最优性原则，从而创建最优化问题
的一种新算法设计技术——动态规划，它是一种重要的应用数学工具。至少在计算机科学圈子里，人们不仅用它解决特定类型的最优化问题，而最终把它作为一种通用的算法设计技术，即包括某些非最优化问题。多阶段决策过程最优化：现实世界里有许多问题属于这种情况：它有很多解，应用要求最优解。穷举法通过找出全部解，再从中选出最优解。这种方法对于那些计算

动态规划算法的详细原理及使用案例

动态规划算法的详细原理及使用案例一、引言动态规划是一种求解最优化问题的算法，它具有广泛的应用领域，如机器学习、图像处理、自然语言处理等。

本文将详细介绍动态规划算法的原理，并提供一些使用案例，以帮助读者理解和应用这一算法的具体过程。

二、动态规划的基本原理动态规划算法通过将问题分解为多个子问题，并利用已解决子问题的解来求解更大规模的问题。

其核心思想是利用存储技术来避免重复计算，从而大大提高计算效率。

具体来说，动态规划算法通常包含以下步骤：1. 定义子问题：将原问题分解为若干个子问题，这些子问题具有相同的结构，但规模更小。

这种分解可以通过递归的方式进行。

2. 定义状态：确定每个子问题的独立变量，即问题的状态。

状态具有明确的定义和可计算的表达式。

3. 确定状态转移方程：根据子问题之间的关系，建立状态之间的转移方程。

这个方程可以是简单的递推关系式、递归方程或其他形式的方程。

4. 解决问题：使用递推或其他方法，根据状态转移方程求解每个子问题，直到获得最终解。

三、动态规划的使用案例1. 背包问题背包问题是动态规划算法的经典案例之一。

假设有一个背包，它能容纳一定重量的物品，每个物品有对应的价值。

目的是在不超过背包总重量的前提下，选取最有价值的物品装入背包。

这个问题可以通过动态规划算法来求解。

具体步骤如下：（1）定义问题：在不超过背包容量的限制下，选取物品使得总价值最大化。

（2）定义状态：令dp[i][j]表示将前i个物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值。

（3）状态转移方程：dp[i][j] = max(dp[i-1][j-w[i]]+v[i], dp[i-1][j])，其中w[i]为第i个物品的重量，v[i]为第i个物品的价值。

（4）解决问题：根据状态转移方程依次计算每个子问题的解，并记录最优解，直到获得最终答案。

2. 最长公共子序列最长公共子序列（Longest Common Subsequence，简称LCS）是一种经典的动态规划问题，它用于确定两个字符串中最长的共同子序列。

动态规划法

动态规划法动态规划法（Dynamic Programming）是一种常用的算法思想，主要用于解决具有重叠子问题性质和最优子结构性质的问题。

动态规划法通过把问题分解为更小的子问题，并将子问题的解存储起来，以避免重复计算，从而提高了算法的效率。

动态规划法有两个核心概念：状态和状态转移方程。

在动态规划过程中，我们需要定义状态，即问题的子问题解，以及状态之间的关系，即状态转移方程。

动态规划法的一般步骤如下：1. 定义问题的子问题：将问题划分为更小的子问题，并明确子问题的解是什么。

2. 定义状态：将问题的子问题解抽象为状态，即用一个变量或者数组表示子问题的解。

3. 定义状态转移方程：根据子问题的关系，定义状态之间的转移方程，即如何根据已知的子问题解计算出更大的问题的解。

4. 缓存子问题解：为了避免重复计算，我们需要将已经计算过的子问题解存储起来，以便后续使用。

5. 递推计算：通过状态转移方程和缓存的子问题解，逐步计算出更大的问题的解，直到计算出最终的问题解。

动态规划法的关键在于找到正确的状态转移方程和合理的存储子问题解的方式。

有些问题的状态转移方程比较容易找到，比如斐波那契数列，每个数都是前两个数的和；而有些问题的状态转移方程可能比较复杂，需要通过观察问题的特点和具体分析来确定。

动态规划法的时间复杂度通常为O(n)，其中n 表示问题规模。

由于利用了子问题的解，避免了重复计算，因此动态规划法相对于暴力求解法能够大大提高算法的效率。

但是，动态规划法的空间复杂度通常较高，需要存储大量的子问题解，因此在实际应用中需要权衡时间和空间的消耗。

总的来说，动态规划法是一种非常灵活且强大的算法思想，能够解决许多复杂的问题，特别适用于具有重叠子问题性质和最优子结构性质的问题。

通过正确定义状态和状态转移方程，并结合缓存子问题解和递推计算，我们可以高效地求解这类问题，提高算法的效率。

最优控制问题的动态规划法

最优控制问题的动态规划法动态规划法是一种常用的最优控制问题求解方法。

它通过将问题分解为子问题，并保存子问题的最优解，最终得到整体问题的最优解。

本文将介绍最优控制问题的动态规划法及其应用。

一、概述最优控制问题是指在给定控制目标和约束条件下，通过选择一组最优控制策略来实现最优控制目标。

动态规划法通过将问题分解为若干个阶段，并定义状态和决策变量，来描述问题的动态过程。

并且，动态规划法在求解过程中通过存储子问题的最优解，避免了重复计算，提高了计算效率。

二、最优控制问题的数学模型最优控制问题通常可以表示为一个关于状态和控制的动态系统。

假设系统的状态为$x(t)$，控制输入为$u(t)$，动态系统可以表示为：$$\dot{x}(t) = f(x(t), u(t))$$其中，$\dot{x}(t)$表示状态$x(t)$的变化率，$f$为状态方程。

此外，系统还有一个终止时间$T$，以及初始状态$x(0)$。

最优控制问题的目标是找到一个控制策略$u(t)$，使得系统在给定时间$T$内，从初始状态$x(0)$演化到最终状态$x(T)$，同时使得性能指标$J(x,u)$最小化。

性能指标通常表示为一个积分的形式：$$J(x,u) = \int_0^T L(x(t), u(t)) dt + \Phi(x(T))$$其中，$L$表示运动代价函数，$\Phi$表示终端代价函数。

三、最优控制问题的动态规划求解最优控制问题的动态规划求解包括两个主要步骤：状态方程的离散化和动态规划递推。

1. 状态方程的离散化将状态方程离散化可以得到状态转移方程。

一般来说，可以使用数值方法（如欧拉方法、龙格-库塔方法）对状态方程进行离散化。

通过选择适当的时间步长，可以平衡计算精度和计算效率。

2. 动态规划递推动态规划递推是最优控制问题的关键步骤。

假设状态函数$V(t,x)$表示从时刻$t$起，状态为$x$时的最优性能指标。

动态规划递推过程通常可以描述为以下几个步骤：（1）递推起点：确定最终时刻$T$时的值函数$V(T,x)$，通常可以根据终端代价函数$\Phi$直接得到。

动态规划(生产和存储问题)

动态规划（生产和存储问题）一、动态规划法的发展及其研究内容动态规划是运筹学的一个分支，是求解决策过程最优化的数学方法。

20世纪50年代初美国数学家R.E.BELLMAN等人在研究多阶段决策过程的优化问题时，提出了著名的最优化原理，把多阶段问题转化为一系列的单阶段问题，逐个求解创立了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划。

1957年出版的他的名著《Dynamic Proggramming》，这是该领域的第一本著作。

动态规划问世以来，在经济管理·生产调度·工程技术和最优控制等方面得到了广泛的应用。

例如最短路线·库存管理·资源分配·设备更新·组合·排序·装载等问题，采用动态规划法求解比用其他方法更为简便。

二、动态规划法基本概念一个多阶段决策过程最优化问题的动态规划模型通常包括以下几个要素：1．阶段阶段（stage）是对整个过程的自然划分。

通常根据时间顺序或是空间特征来划分阶段，对于与时间，空间无关的“静态”优化问题，可以根据其自然特征，人为的赋予“时段”概念，将静态问题动态化，以便按阶段的顺序解优化问题。

阶段变量一般用k=1.2….n.表示。

1.状态状态(state)是我们所研究的问题（也叫系统）在过个阶段的初始状态或客观条件。

它应能描述过程的特征并且具有无后效性，即当某阶段的状态给定时，这个阶段以后的过程的演变与该阶段以前各阶段的状态无关。

通常还要求状态是可以直接或者是间接可以观测的。

描述状态的变量称为状态变量（State Virable）用s 表示，状态变量的取值集合称为状态集合，用S表示。

变量允许取值的范围称为允许状态集合(set of admissble states).用x(k)表示第k阶段的状态变量，它可以是一个数或者是一个向量。

用X(k)表示第k阶段的允许状态集合。

n 个阶段的决策过程有n+1个状态变量，x(n+1)是x(n)的演变的结果。

动态规划算法教学PPT

03
动态规划算法的实现步骤
明确问题，建立数学模型
1
确定问题的目标和约束条件，将其转化为数学模型。
2
理解问题的阶段划分，将问题分解为若干个子问题。
3
确定状态变量和决策变量，以便描述子问题的状态和决策。
划分阶段，确定状态变量和决策变量
01
根据问题的阶段划分，将问题分解为若干个子问题。
02
确定状态变量和决策变量，以便描述子问题的状态和决策。
02
将子问题的最优解组合起来，得到原问题的最优解。
对最优解进行验证和性能评估，确保其满足问题的要求。
03
04
动态规划算法的优化技巧
分支定界法
分支定界法是一种求解优化问题的算法，它通过不断生成问题的分支并确定每个分支的界限，来寻找最优解。在动态规划中，分支定界法可以用来优化状态转移方程，减少计算量。
详细描述
多目标规划问题在实际生活中应用广泛，如资源分配、项目计划、城市规划等领域都有涉及。常用的求解多目标规划的方法包括权重和法、帕累托最优解等。
多阶段决策问题
总结词
多阶段决策问题是动态规划中的一类，解决的问题需要在多个阶段做出决策，每个阶段的决策都会影响到后续阶段的决策。
详细描述
多阶段决策问题在实际生活中应用广泛，如生产计划、库存管理、路径规划等领域都有涉及。常用的求解多阶段决策问题的方法包括递归法、动态规划等。
特点
动态规划算法具有最优子结构、重叠子问题和最优解性质等特征。
动态规划算法的应用领域
计算机科学
在计算机科学中，动态规划算法广泛应用于字符串处理、排序、数据压缩和机器学习等领域。
电子工程
在电子工程中，动态规划算法用于信号处理、通信和控制系统等领域。

最优控制问题的数值方法

最优控制问题的数值方法最优控制问题是应用数学中的一类重要问题，涉及到优化某些目标函数的控制策略。

这类问题在很多领域都有广泛的应用，如经济学、工程学、环境科学等。

为了求解最优控制问题，研究者们开发了多种数值方法，以提供高效准确的策略。

一、动态规划法动态规划法是求解最优控制问题中最常用的方法之一。

其基本思想是将问题划分为若干个阶段，在每个阶段选择最优的控制策略，以达到整体的最优目标。

动态规划法的核心是计算值函数或状态函数，通过递归的方式实现最优解的求解。

在动态规划法中，首先需要建立状态转移方程，描述状态之间的变化关系。

然后通过迭代求解，逐步更新值函数，直到收敛为止。

具体的计算方法可以根据不同的最优控制问题进行调整，以提高计算效率。

二、最优控制问题的间接方法除了动态规划法，最优控制问题还可以通过间接方法求解。

间接方法主要基于变分原理，通过构建哈密顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程来求解问题。

该方法将最优控制问题转化为一个偏微分方程，通过求解该方程得到最优解。

在应用最优控制问题的间接方法时，需要确定合适的控制参数，并在求解偏微分方程时进行迭代计算。

这种方法的优势在于能够处理一些非线性和约束等较为复杂的情况，但同时也带来了计算复杂度较高的问题。

三、最优控制问题的直接方法最优控制问题的直接方法是另一种常用的数值求解方法。

它直接构造控制策略的参数化形式，并通过参数调整来实现目标函数的最小化。

该方法需要事先构造一个合适的优化模型，并选择合适的优化算法进行求解。

在直接方法中，常用的优化算法有梯度下降法、共轭梯度法、牛顿法等。

通过迭代计算，优化参数逐步调整，直到达到最优解。

直接方法不需要建立状态函数或值函数，因此可以简化运算，但需要根据具体问题进行参数化建模和算法选择。

总结：在求解最优控制问题时，可以根据问题的特点选择适合的数值方法。

动态规划法适用于离散的最优控制问题，通过递归计算值函数实现最优策略的求解。

间接方法利用变分原理将问题转化为偏微分方程，并通过迭代计算获得最优解。

动态规划算法

动态规划算法
动态规划算法（Dynamic Programming）是一种解决多阶段最优化决策问题的算法。

它将问题分为若干个阶段，并按照顺序从第一阶段开始逐步求解，通过每一阶段的最优解得到下一阶段的最优解，直到求解出整个问题的最优解。

动态规划算法的核心思想是将问题划分为子问题，并保存已经解决过的子问题的解，以便在求解其他子问题时不需要重新计算，而是直接使用已有的计算结果。

即动态规划算法采用自底向上的递推方式进行求解，通过计算并保存子问题的最优解，最终得到整个问题的最优解。

动态规划算法的主要步骤如下：
1. 划分子问题：将原问题划分为若干个子问题，并找到问题之间的递推关系。

2. 初始化：根据问题的特点和递推关系，初始化子问题的初始解。

3. 递推求解：按照子问题的递推关系，从初始解逐步求解子问题的最优解，直到求解出整个问题的最优解。

4. 得到最优解：根据子问题的最优解，逐步推导出整个问题的最优解。

5. 保存中间结果：为了避免重复计算，动态规划算法通常会使
用一个数组或表格来保存已经求解过的子问题的解。

动态规划算法常用于解决最优化问题，例如背包问题、最长公共子序列问题、最短路径问题等。

它能够通过将问题划分为若干个子问题，并通过保存已经解决过的子问题的解，从而大大减少计算量，提高算法的效率。

总之，动态规划算法是一种解决多阶段最优化决策问题的算法，它通过将问题划分为子问题，并保存已经解决过的子问题的解，以便在求解其他子问题时不需要重新计算，从而得到整个问题的最优解。

动态规划算法能够提高算法的效率，是解决最优化问题的重要方法。

动态规划法的一般方法

动态规划法的⼀般⽅法在学习动态规划法之前，我们先来了解动态规划的⼏个概念1、阶段：把问题分成⼏个相互联系的有顺序的⼏个环节，这些环节即称为阶段。

2、状态：某⼀阶段的出发位置称为状态。

3、决策：从某阶段的⼀个状态演变到下⼀个阶段某状态的选择。

4、状态转移⽅程：前⼀阶段的终点就是后⼀阶段的起点，前⼀阶段的决策选择导出了后⼀阶段的状态，这种关系描述了由k阶段到k+1阶段状态的演变规律，称为状态转移⽅程。

动态规划法的定义：在求解问题中，对于每⼀步决策，列出各种可能的局部解，再依据某种判定条件，舍弃那些肯定不能得到最优解的局部解，在每⼀步都经过筛选，以每⼀步都是最优解来保证全局是最优解，这种求解⽅法称为动态规划法。

⼀般来说，适合于⽤动态规划法求解的问题具有以下特点：1、可以划分成若⼲个阶段，问题的求解过程就是对若⼲个阶段的⼀系列决策过程。

2、每个阶段有若⼲个可能状态3、⼀个决策将你从⼀个阶段的⼀种状态带到下⼀个阶段的某种状态。

4、在任⼀个阶段，最佳的决策序列和该阶段以前的决策⽆关。

5、各阶段状态之间的转换有明确定义的费⽤，⽽且在选择最佳决策时有递推关系（即动态转移⽅程）。

动态规划设计都有着⼀定的模式，⼀般要经历以下⼏个步骤：1、划分阶段：按照问题的时间或空间特征，把问题分为若⼲个阶段。

2、确定状态：将问题发展到各个阶段时所处的各种客观情况⽤不同的状态表⽰出来。

3、确定决策并写出状态转移⽅程：因为决策和状态转移有着天然的联系，状态转移就是根据上⼀阶段的状态和决策来导出本阶段的状态，所以如果确定了决策，状态转移⽅程也就可以写出。

4、寻找边界条件：给出的状态转移⽅程是⼀个递推式，需要⼀个递推的终⽌条件或边界条件。

5、程序设计实现：动态规划的主要难点在于理论上的设计，⼀旦设计完成，实现部分就会⾮常简单。

根据以上的步骤设计，可以得到动态规划设计的⼀般模式：for k:=阶段最⼩值to 阶段最⼤值do {顺推每⼀个阶段}for I:=状态最⼩值to 状态最⼤值do {枚举阶段k的每⼀个状态}for j:=决策最⼩值to 决策最⼤值do {枚举阶段k中状态i可选择的每⼀种决策}f[ik]:=min（max）{f[ik-1]+a[ik-1，jk-1]|ik-1通过决策jk-1可达ik}例如：多段图G=(V,E)是⼀个有向图。

动态规划算法设计方法及案例解析

动态规划算法设计方法及案例解析动态规划是一种解决多阶段决策问题的常用算法，通过将问题分解为多个子问题，并通过求解子问题的最优解来得到原问题的最优解。

本文将介绍动态规划算法的设计方法，并通过两个实例进行解析，以帮助读者更好地理解和应用该算法。

一、动态规划算法设计方法动态规划算法的设计一般遵循以下几个步骤：1. 确定问题的状态：将原问题划分为若干个子问题，并定义每个子问题的状态。

状态的定义应该包含子问题的变量和可以从子问题中获得的信息。

2. 定义状态转移方程：通过分析子问题之间的关系，确定状态之间的转移方式。

通常使用递推关系式来描述状态之间的转移，以表达每个子问题的最优解与其他子问题解之间的关系。

3. 确定初始状态和边界条件：确定问题的初始状态和边界条件，即最简单的子问题的解，作为求解其他子问题的基础。

4. 计算最优解：根据定义的状态转移方程，利用递推的方式从初始状态开始逐步计算每个子问题的最优解，直到得到原问题的最优解。

二、案例解析1：背包问题背包问题是动态规划算法中经典的案例之一，主要解决如何在限定容量的背包中选择一些物品，使得物品的总价值最大。

以下是一个简化的例子：假设有一个容量为C的背包，以及n个物品，每个物品有重量wi 和价值vi。

要求选择一些物品放入背包中，使得放入背包中物品的总价值最大。

根据动态规划算法的设计方法，我们可以定义子问题的状态为：背包容量为c，前a个物品的最优解用F(c,a)表示。

那么，状态转移方程可以定义为：F(c,a) = max{F(c,a-1), F(c-wa, a-1) + va}其中，F(c,a-1)表示不选择第a个物品时的最优解，F(c-wa, a-1) + va 表示选择第a个物品时的最优解。

初始状态为F(0,a) = F(c,0) = 0，边界条件为c < wa时，F(c,a) =F(c,a-1)。

根据以上定义，我们可以通过递推的方式计算F(c,n)，从而得到背包问题的最优解。

动态规划算法适用于哪些问题

动态规划算法适用于哪些问题在计算机科学和数学领域，动态规划算法是一种非常强大且实用的解题策略。

它通过将复杂的问题分解为一系列相互关联的子问题，并通过保存子问题的解来避免重复计算，从而有效地提高了计算效率。

那么，动态规划算法究竟适用于哪些问题呢？首先，动态规划常用于解决具有最优子结构性质的问题。

最优子结构意味着一个问题的最优解包含了其子问题的最优解。

比如说在寻找最短路径的问题中，如果从起点到终点的最短路径经过某个中间节点，那么从起点到该中间节点的路径必然也是起点到该中间节点的最短路径。

这种性质使得我们可以通过逐步求解子问题来得到原问题的最优解。

背包问题就是一个典型的具有最优子结构的问题。

假设有一个背包，它有一定的容量限制，同时有若干种物品，每种物品有其重量和价值。

我们要在不超过背包容量的前提下，选择一些物品放入背包，使得背包内物品的总价值最大。

在这个问题中，如果一个包含某些物品的选择是最优的，那么对于这些物品的子集，它们在相应的子背包中的选择也必然是最优的。

其次，动态规划适用于具有重叠子问题的情况。

重叠子问题指的是在求解问题的过程中，多次出现相同的子问题。

如果每次遇到这些子问题都重新计算，将会导致大量的重复计算，效率低下。

通过动态规划，我们可以保存已经计算过的子问题的解，当再次遇到相同的子问题时，直接使用之前保存的结果，从而大大提高计算效率。

例如在斐波那契数列的计算中，如果我们使用递归的方法，会发现对于相同的斐波那契数会被多次计算。

而通过动态规划，我们可以创建一个数组来保存已经计算出的斐波那契数，当需要某个数时，直接从数组中获取，避免了重复计算。

动态规划在资源分配问题中也有广泛的应用。

比如生产计划的制定，工厂有一定的资源（如人力、材料、时间等），需要安排生产多种产品，每种产品的生产需要不同的资源投入和产生不同的收益。

我们需要确定每种产品的生产数量，以最大化总收益。

在这个过程中，我们可以将问题分解为不同阶段，每个阶段对应不同的资源分配决策，通过动态规划来找到最优的分配方案。

TSP问题之动态规划法PPT课件

序号０１２３４５６７
集合表示 000 001 002 003 012 013 023 123
.
11
动态规划法（一）
动态规划法：定义：将每个子问题只求解一次，并将其解保存在一个表格中，当需要再次
求解此子问题时，只是简单地通过查表获得该子问题的解，从而避免了大量的重复计算。特点：最优子结构、自底向递归、子问题相互重叠。
d(0, {1, 2, 3})=min{
C01+ d(1, { 2, 3}),
3 6 7
C02+ d(2, {1, 3}), C03+ d(3, {1, 2}) }
C
(
ci j
)
这是最后一个阶段的决策，它必须依据d(1, { 2, 3})、
5 6 3
4 7
2 5
3
2
d(2, {1, 3})和d(3, {1, 2})的计算结果，而：
d(1, {2, 3})=min{C12+d(2, {3}), C13+ d(3, {2})} d(2, {1, 3})=min{C21+d(1, {3}), C23+ d(3, {1})} d(3, {1, 2})=min{C31+d(1, {2}), C32+ d(2, {1})}
继续写下去： d(1, {2})= C12+d(2, {}) d(1, {3})= C13+d(3, {})
动态规划法使用的条件：问题符合最优性原理
.
12
动态规划法（二）
最优性原理：
对于一个具有n个输入的最优化问题，其求解过程往往可以划分为若干个阶段，每一阶段的决策仅依赖于前一阶段的状态，由决策所采取的动作使状态发生转移，成为下一阶段决策的依据。

《计算机算法设计与分析》第三章动态规划法

解决复杂问题动态规划可以将复杂问题分解为简单的子问题，通过逐步求解子问题来得到原问题的解，使得复杂问题得以解决。
发展历程及现状
发展历程
动态规划的思想起源于20世纪50年代，由美国数学家Richard Bellman提出。随着计算机科学的发展，动态规划在算法设计和分析领域得到了广泛应用和深入研究。
第六章
总结与展望
动态规划法在计算机科学中重要性
高效求解最优化问题
动态规划法通过把原问题分解为相对简单的子问题，并保存子问题的解，避免了大量重复计算，从而高效地求解最优化问题。
广泛应用
动态规划法在计算机科学、经济学、生物信息学等领域都有广泛应用，如背包问题、最短路径问题、序列比对问题等。
提供算法设计框架动态规划法不仅为解决特定问题提供了有效方法，而且为算法设计提供了一个通用框架，有助于理解和设计更复杂的算法。
现状
目前，动态规划已经成为计算机算法设计和分析领域的重要工具之一。在实际应用中，许多复杂的问题都可以通过动态规划的方法得到有效的解决。同时，随着计算机技术的不断发展，动态规划的应用领域也在不断扩展。
第二章
动态规划法基本原理
最优子结构性质
在动态规划法中，子问题之间是相互独立的，即一个子问题的求解不会影响到其他子问题的求解。这使得动态规划法能够避免重复计算，提高算法效率。
学习相关算法和技术
学习与动态规划法相关的其他算法和技术，如贪心算法、分治法等，以便在实际问题中灵活应用。
关注最新研究进展
关注计算机科学和算法设计领域的最新研究进展，了解动态规划法的新发展和应用，保持对新技术的敏感性和好奇心。
THANKS
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基本思想

《动态规划算法》课件

总结词
多阶段决策优化
详细描述
背包问题是一个经典的动态规划问题，通过将问题分解为多个阶段，并为每个阶段定义状态和状态转移方程，我们可以找到最优解。在背包问题中，我们使用一个二维数组来存储每个状态的最优解，并逐步更新状态以找到最终的最优解。
最长公共子序列求解
总结词
字符串匹配优化
详细描述
最长公共子序列问题是一个经典的动态规划问题，用于找到两个序列的最长公共子序列。通过动态规划，我们可以避免在寻找公共子序列时进行冗余比较，从而提高算法效率。在动态规划中，我们使用一个二维数组来存储子问题的最优解，并逐步构建最终的最长公共子序列。
动态规划的基本思想
01
将问题分解为子问题
将原始问题分解为若干个子问题，子问题的解可以构成原问题的解。
02
保存已解决的子问题
将已解决的子问题的解保存起来，以便在求解其他子问题时重复使用。
03
递推求解
从子问题的解逐步推导出原问题的解，通常采用自底向上的方式求解。
02
动态规划算法的步骤
可并行化
动态规划算法可以并行化执行，以提高计算效率，这对于大规模问题的求解非常有利。
缺点
• 空间复杂度高：动态规划算法需要存储大量的中间状态，因此其空间复杂度通常较高，有时甚至会超过问题规模的一个指数倍。
• 问题规模限制：由于动态规划算法的空间复杂度较高，因此对于大规模问题的求解可能会遇到困难。 • 可能产生大量重复计算：在动态规划算法中，对于每个子问题，可能会被多次计算和存储，这会导致大量的重复计算和存储空间浪费。 • 不易发现：动态规划算法的应用范围有限，对于一些非最优子结构问题或没有重叠子问题的优化问题，动态规划算法可能不适用。因此，在解决问题时需要仔细分析问题特性，判断是

动态规划方法求解线性规划问题

动态规划方法求解线性规划问题标题：动态规划方法求解线性规划问题引言概述：线性规划是一种常见的数学优化问题，动态规划方法是一种常用的求解线性规划问题的方法。

本文将介绍动态规划方法在求解线性规划问题时的具体步骤和应用场景。

一、动态规划方法概述1.1 动态规划的基本思想动态规划是一种将问题分解为多个子问题并分别求解的方法，通过保存子问题的解来避免重复计算，从而提高求解效率。

1.2 动态规划方法的特点动态规划方法具有最优子结构和重叠子问题两个关键特点，可以有效解决具有重叠子问题的优化问题。

1.3 动态规划方法的适合范围动态规划方法适合于具有最优子结构和重叠子问题的优化问题，包括线性规划问题。

二、线性规划问题的定义2.1 线性规划问题的数学表达形式线性规划问题可以用一组线性不等式约束和线性目标函数来表示，目标是找到满足约束条件的最优解。

2.2 线性规划问题的求解方法线性规划问题可以使用各种方法求解，包括单纯形法、内点法和动态规划方法等。

动态规划方法在某些情况下可以提供更高效的求解方案。

2.3 线性规划问题的应用领域线性规划问题在生产调度、资源分配和投资组合等领域有广泛的应用，通过求解最优解可以提高效率和经济效益。

三、动态规划方法求解线性规划问题的步骤3.1 确定状态和状态转移方程将线性规划问题转化为状态和状态转移方程的形式，定义状态表示问题的子结构，建立状态之间的转移关系。

3.2 构建动态规划表格根据状态和状态转移方程，构建动态规划表格，保存子问题的解，以便后续计算使用。

3.3 填充动态规划表格按照动态规划表格的填充顺序，从简单的子问题开始逐步计算，直到得到最优解。

四、动态规划方法求解线性规划问题的案例分析4.1 0-1背包问题将0-1背包问题转化为线性规划问题，并使用动态规划方法求解，得到最优解和最优解对应的物品选择方案。

4.2 生产调度问题将生产调度问题转化为线性规划问题，并使用动态规划方法求解，得到最优的生产计划和最大利润。

动态规划方法求解线性规划问题

动态规划方法求解线性规划问题动态规划方法是一种常用的优化算法，可以用于求解线性规划问题。

线性规划是一种数学优化问题，其目标是在一组线性约束条件下，最大化或者最小化一个线性目标函数。

动态规划方法通过将问题划分为一系列子问题，并利用子问题的最优解来求解整个问题的最优解。

首先，我们需要定义线性规划问题的数学模型。

假设我们有n个决策变量x1, x2, ..., xn，目标函数为f(x1, x2, ..., xn)，约束条件为g1(x1, x2, ..., xn)≤b1, g2(x1,x2, ..., xn)≤b2, ..., gm(x1, x2, ..., xn)≤bm。

其中，f(x1, x2, ..., xn)是一个线性函数，g1(x1, x2, ..., xn), g2(x1, x2, ..., xn), ..., gm(x1, x2, ..., xn)是一组线性函数，b1, b2, ..., bm是一组常数。

接下来，我们可以使用动态规划方法来求解线性规划问题。

动态规划方法的核心思想是将原问题划分为一系列子问题，并利用子问题的最优解来求解整个问题的最优解。

我们可以使用一个二维数组dp[i][j]来表示子问题的最优解，其中i表示决策变量的个数，j表示目标函数的取值。

具体的求解过程如下：1. 初始化dp数组。

将dp数组的所有元素初始化为无穷大（对于最小化问题）或者负无穷大（对于最大化问题），并将dp[0][0]初始化为0。

2. 逐步求解子问题。

从dp[1][1]开始，挨次计算dp[i][j]的值。

对于每一个dp[i][j]，我们需要考虑两种情况：选择第i个决策变量和不选择第i个决策变量。

如果选择第i个决策变量，则dp[i][j]的值等于dp[i-1][j-c[i]] + f[i]，其中c[i]表示第i个决策变量的系数，f[i]表示第i个决策变量的目标函数系数。

如果不选择第i个决策变量，则dp[i][j]的值等于dp[i-1][j]。

动态规划基本方法

（2）合理正确地选择状态变量sk，并确定初始状态 s1的值；
（3）确定决策变量uk及允许决策集Dk(sk)；（4）给出状态转移方程 sk+1=Tk(sk,uk)；（5）给出满足要求的过程指标函数Vk,n及相应的最优值函数；
（6）写出递推方程和边界条件，建立基本方程；（7）按照基本方程递推求解。
0≤x1≤s1
=23.7s1
(x1*=0)
f1(1000)=23.7╳1000=23700
s1=1000 s2=900
s3=810
x1*=0
x2*=0
x3*=810
s1-x1*=1000 s2-x2*=900 s3-x3*=0
s4=567 x4*=567 s4-x4*=0
s5=397 x5*=397 s5-x5*=0
2.2 动态规划的基本方程动态规划的最优性原理（贝尔曼原理）：作为整个过程的最优策略具有这样的性质，即无论过去的状态和决策如何，对前面的决策所形成的状态而言，余下的诸决策必须构成最优策略。简言之，最优策略的子策略也必是最优的。根据此原理，要求全过程最优策略，可从子过程策略的最优化入手。对于过程指标函数是阶段指标函数和的形式，考虑k-子过程最优值函数fk(sk):
第4节动态规划和静态规划的关系
静态规划所研究的问题是与时间无关的，而动态
规划所研究的问题是和时间有关的。对于某些静态规划问题，也可人为地引入时间因素，把它看做一个按阶段进行的动态规划问题，用动态规划的方法求解。
例用动态规划法求解
max F=4x12-x22+2x32+12 3x1+2x2+x3≤9 xi≥0 i=1,2,3
0≤x4≤s4
0≤x4≤s4

动态规划方法求解线性规划问题

动态规划方法求解线性规划问题动态规划是一种常见的优化算法，可以用来求解线性规划问题。

线性规划是一类数学规划问题，目标函数和约束条件都是线性的。

动态规划方法可以通过将问题分解为子问题，并利用子问题的最优解来求解原问题的最优解。

下面将详细介绍动态规划方法求解线性规划问题的步骤和具体实现。

1. 问题描述假设有一个线性规划问题，目标是最大化或最小化一个线性函数，同时满足一组线性约束条件。

线性规划问题可以用如下标准形式表示：最大化：maximize c^T x约束条件：Ax ≤ bx ≥ 0其中，c是一个n维列向量，表示目标函数的系数；x是一个n维列向量，表示决策变量；A是一个m×n维矩阵，表示约束条件的系数矩阵；b是一个m维列向量，表示约束条件的右侧常数向量。

2. 动态规划方法求解步骤（1）定义子问题将线性规划问题分解为若干子问题，每个子问题都是一个线性规划问题，目标是最大化或最小化一个线性函数，同时满足一组线性约束条件。

（2）确定状态定义状态变量，描述子问题的特征。

在线性规划问题中，状态变量可以是决策变量的某个分量或某个组合。

（3）建立状态转移方程根据子问题之间的关系，建立状态转移方程。

状态转移方程描述了子问题之间的转移关系，可以通过子问题的最优解来求解原问题的最优解。

（4）确定初始条件和边界条件确定初始条件和边界条件，即最小子问题的最优解。

这些条件可以是已知的约束条件或问题的特殊要求。

（5）计算最优解根据状态转移方程和初始条件，计算出每个子问题的最优解。

通过递推或迭代的方式，从最小子问题开始，逐步计算出更大规模的子问题的最优解，直到求解出原问题的最优解。

3. 实例演示假设有一个线性规划问题如下：最大化：maximize 3x1 + 2x2约束条件：x1 + x2 ≤ 52x1 + x2 ≤ 8x1, x2 ≥ 0（1）定义子问题将原问题分解为两个子问题，分别是：子问题1：最大化 3x1 + 2x2约束条件：x1 + x2 ≤ 5x1, x2 ≥ 0子问题2：最大化 3x1 + 2x2约束条件：2x1 + x2 ≤ 8x1, x2 ≥ 0（2）确定状态状态变量可以选取为决策变量的某个分量或某个组合。

动态规划法

动态规划法[dynamic programming method (DP)]是系统分析中一种常用的方法。

在水资源规划中,往往涉及到地表水库调度、水资源量的合理分配、优化调度等问题,而这些问题又可概化为多阶段决策过程问题。

动态规划法是解决此类问题的有效方法。

动态规划法是20世纪50年代由贝尔曼（R. Bellman）等人提出,用来解决多阶段决策过程问题的一种最优化方法。

所谓多阶段决策过程,就是把研究问题分成若干个相互联系的阶段,由每个阶段都作出决策,从而使整个过程达到最优化。

许多实际问题利用动态规划法处理,常比线性规划法更为有效,特别是对于那些离散型问题。

实际上,动态规划法就是分多阶段进行决策,其基本思路是：按时空特点将复杂问题划分为相互联系的若干个阶段,在选定系统行进方向之后,逆着这个行进方向,从终点向始点计算,逐次对每个阶段寻找某种决策,使整个过程达到最优,故又称为逆序决策过程。

[1]动态规划的基本思想前文主要介绍了动态规划的一些理论依据，我们将前文所说的具有明显的阶段划分和状态转移方程的动态规划称为标准动态规划，这种标准动态规划是在研究多阶段决策问题时推导出来的，适合用于理论上的分析。

在实际应用中，许多问题的阶段划分并不明显，这时如果刻意地划分阶段法反而麻烦。

一般来说，只要该问题可以划分成规模更小的子问题，并且原问题的最优解中包含了子问题的最优解（即满足最优子化原理），则可以考虑用动态规划解决。

动态规划的实质是分治思想和解决冗余，因此，动态规划是一种将问题实例分解为更小的、相似的子问题，并存储子问题的解而避免计算重复的子问题，以解决最优化问题的算法策略。

由此可知，动态规划法与分治法和贪心法类似，它们都是将问题实例归纳为更小的、相似的子问题，并通过求解子问题产生一个全局最优解。

其中贪心法的当前选择可能要依赖已经作出的所有选择，但不依赖于有待于做出的选择和子问题。

因此贪心法自顶向下，一步一步地作出贪心选择；而分治法中的各个子问题是独立的（即不包含公共的子子问题），因此一旦递归地求出各子问题的解后，便可自下而上地将子问题的解合并成问题的解。