六年级下册奥数试题——最短路线.(含答案)人教版
小学奥数之最短路线
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小学奥数之最短路线1•假如直线AB是一条公路,公路两侧有甲、乙两个村子(图1)。
现在要在公路上修建一个公共汽车站,让这两个村子的人到汽车站的路线之和最短。
问〃车站应该建在什么地方?2•—个邮递员投送信件的街道如图3所示,图上数字表示各段街道的千米数。
他从邮局出发,要走遍各街道,最后回到邮局。
问下次什么样的路线最合理?全程要走多少千米?3图5中的线段表示的是小明从家到学校所能经过的所有街道。
小明上学走路的方向都是向东或向南,因为他不想偏离小明家△4.如图8,从甲地到乙地最近的道路有几条?甲学校的方向而走冤枉路。
那么小明从家到学校可以有我少条不同的路线?学校5.某城市的街道非常整齐,如图10所示。
从本南角A 处人匕到东北角B处要求走最近的路并且不能通过十字路口C(正在修路),共有多少种不同的走法?B—6图13是一个街区街道的平面图。
邮递员从邮局出发,跑遍所有街道投送信件。
请你为他安排一条最短的路线,并按图中标出的千米数算出这条路线的长度(单位:千米)。
3邮局14是一个街道平面图。
王宏处到B处,在不走回头路,不走重复路的条件下,可以有多少种不同的路线?请你用交叉点上标数的方法计算一下。
8.从学校到少年宫有4条东西向的马路和3条南北向的马路相通。
如图15,李楠从学校出发,步行到少年宫(只放向9•如图16,从P到Q共有多少咱不同的最短路线?10•如图17所示,某城市的街道图,若从AZ走到B(只能由北向南、由西向东),则共有多少种不同的走法?11.如图18所示,从甲地到乙地,最近的道路有几条?能通车,12•图19为某城市的街道示意图,C处正在挖下水道,不13.如图20所示是一个街道的平面图,在不走回头路、不走重复路和条件下,可以有多少种不同的走法?B。
小学六年级奥数50题 [六年级下册奥数试题——最短路线.(含答案)人教版]
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《小学六年级奥数50题 [六年级下册奥数试题——最短路线.(含答案)人教版]》摘要:,短路是.【例,⑴利用标数法得到有种不路线如下图左所示.⑵由题将路线图化下图右所示根据标数法得从入口到出口路径共有0条.【例,从我()、爱()、希()、望()、杯()组成“我爱希望杯”即相只能选而且不能重复选所以共有(种).图三母“”左、右两母“”只能由母“”到达.[拓展]如下图左所示科学“爱因斯坦”英名拼写“”按图箭头所示方向有多少种不方法拼出英单词“” [分析]因“”拼顺序“”每种拼法都对应着络图条短路径所以可以运用标数法.如上图右所示从到短路径有30条所以共有(种)不拼法</88短路线教学目标准确运用“标数法”题目培养学生实际操作能力.知识精讲知识说明从地方到另外地方两地有许多条路就有许多种走法如你能从选择条近路走也就是指要选择条短路线走这样你就可以节省许多了那么如何能选上短路线呢?亲爱朋友们你要记住两⑴两线段短.⑵尽量不走回头路和重复路这样话你就做到了省省力.例题精讲【例】只蚂蚁长方形格纸上它想玩但是不知走哪条路近.朋友们你能给它到几条这样短路线呢?【析】(方法)从走到不论怎样走短也要走长方形长与宽因水平方向上所有线段长和应等;竖直方向上所有线段长和应等.这样我们走这条路线才是短路线.了保证这我们就不应该走“回头路”只能向右和向下走.所有短路线、、、、这种方法不能保证“不漏”.如图形再复杂些做到“不重”也是很困难.(方法二)遵循“短路线只能向右和向下走”观察发现这种题有规律可循.①看只有从到这条路线.样道理从到、从到、从到也都只有条路线.我们把数“”分别标这四上.②看从出发到可以是也可以是共有两种走法.那么我们标上数“”().③看从有三种走法即、、.标上数“”().④看共有三种走法即、、标上“” ().⑤看从上向下走是从左向右走是那么从出发有六种走法即、、、、、标上“”()观察发现每格右下角上标数正是这格右上角与左下角数和这和就是从出发到这所有短路线条数.法能够保证“不重”也“不漏”这种方法叫“对角线法”或“标法”.【巩固】如图所示从沿线段走短路线到每次走步或两步共有多少种不走法?【析】这是较复杂短路线问题我们退步想想先看看简单情况.从到各种不走法先选择条路线分析如按路线→→→→→走这条路线共有条线段每次走步或两步要从走到会有几种走法?这不是“上楼梯”问题吗.根据“上楼梯”问题法可得→→→→→这条路线有8种合条件走法.而对从到其他每条短路线而言每条路线都有5条线段所以每条路线都有8种走法.进步从到共有多少条短路线?这正是“短路线”问题用“标数法”有0条.综上所述满足条件走法有种.【巩固】从到短路线有几条呢?【析】图从到短路线都6条.【巩固】有只蜗牛从出发,要沿长方形边或对角线爬到,不许爬回,也不能走重复路那么它有多少条不爬行路线?短是哪条呢?【析】共有种即、、、、、 ,短路是.【例】阿呆和阿瓜到少年宫参加北京奥运会志愿者培训.如他们从学校出发共有多少种不短路线?【析】从学校到少年宫短路线只能向右或向下走.我们可以先看从学校到短路线只有种走法我们标上.、、、理.再看短路线可以是、共条我们标上.我们发现正是对角线和上数和.所有短路线都合这规律终从学校到少年宫共有种走法.【巩固】方格纸上取作起再右上方任取作终画条由到短路线聪明朋友你能画出吗?总共能画出几条呢?【析】根据“标法”可知共有种如图.【巩固】如图从出发到走短路程有多少种不走法?【分析】共有种.【巩固】聪明想从北村到南村上学可是他不知道短路线走法共有几种?朋友们快忙呀【分析】根据“对角线法”知共有种如图.【例 3】“五”长假就要到了新和爸爸定黄山玩.聪明朋友请你看从北京到黄山短路线共有几条呢?【析】采用对角线法(如图)这道题图形与前几题图形又有所区别因题要格外是由哪两数和确定另.从北京到黄山近道路共有条.【巩固】从甲到乙短路线有几条?【析】有条.【例】古希腊有位久盛名学者名叫海伦.他精通数学、物理聪慧人.人天位将军向他请教问题如下图将军从甲地骑马出发要到河边让马饮水然再回到乙地马棚了使行走路线短应该让马什么地方饮水?【析】题主要体现值思想和对称思想教师应充分引导孩子观察行走路线变化情况逐步引导学生通对称到相应进步了图形值问题应该如何问题.【例 5】学校组织三年级朋友助农民伯伯锄草从学校乘车出发往李村(如图).爱动脑筋嘟嘟就想从学校到李村共有多少种不短路线呢?【析】我们采用对角线法(如图)从学校到李村共有种不短路线.[拓展]亲爱朋友们你们觉得从到共有几条短路线呢?【析】题与上题不但方法相.我们采用对角线法(如图)可知可以选择短路线共有条.【例 6】阿花和阿红到少年宫参加北京奥运会志愿者培训.他们从学校出发到少年宫多有多少种不行走路线?【析】采用对角线法(如图).可得从学校到少年宫共有种走法.[铺垫]海龟猪玩它们想游乐场坐碰碰车爱动脑筋朋友请你想想从猪到游乐场共有几条短路线呢?【析】“对角线”法(如图)共条.【例 7】阿强和牛牛结伴骑车图馆看天他们从学校直接图馆;二天他们先公看熊猫再图馆;三天公修路不能通行.咱们学而思朋友都很聪明请你们阿强和牛牛想想这三天从学校到图馆短路线分别有多少种不走法?【析】仍然用对角线法.天(无限制条件)共有条;二天(必须公)共有条;三天(必须不公)共有条.【巩固】熊和美子准备看望养老院李奶奶可是市心修路(城市街道如图所示),他们从学校到养老院短路线共有几条呢?聪明朋友请你们快想想吧【析】(方法)用“对角线法”出从学校到养老院共条.必市心条所以可行路有(条).(方法二)可以直接即把含有市心田格挖共有条.【例 8】如图从到短路线总共有几种走法?【分析】如图共有种.【例 9】如图从到沿格线不线段和短路径条数是多少条?【析】由不能线段和所以我们必须先络图拆除和然再拆除了和以络图进行标数(如下图所示).运用标数法可出满足条件短路径有78条.【巩固】下图某城市街道示图处正挖下水道不能通车从到处短路线共有多少条?【析】从到短路线有条【例 0】按图箭头所指方向行走从到共有多少条不路线?【析】题运动方向已由箭头标示出所以关键要分析每入口情况.通标数法我们可以得出从到共有条不路径.【例】按图箭头方向所指行走从到有多少种不路线?【析】运用标数法原理进行标数整标数流程如下图从到共有条不路线.【巩固】⑴按下图左箭头方向所指从到有多少种不路线?⑵如下图右所示这问题有规则只能沿着箭头指方向走你能否根据规则算出所有从入口到出口路径共有多少条?[分析]⑴利用标数法得到有种不路线如下图左所示.⑵由题将路线图化下图右所示根据标数法得从入口到出口路径共有0条.【例】⑴如下图左如只允许向下移动从到共有多少种不路线?⑵如下图右要从到要每步都是向右向上或者斜上方问共有多少种不走法?【析】⑴按题目要只能向下移动利用标数法得到共有路线种如下图左所示.⑵按题目要只能走下图右3方向利用标数法得共有种不走法如下图右.【巩固】图有0编码房你可以从码房走到相邻码房但不能从码房走到码房从房走到0房共有多少种不走法?【分析】图并没有标出行走方向但题“你可以从码房走到相邻码房但不能从码房走到码房”这句话实际上就规定了行走方向.如下图所示我们可以把原图化成常见城市络图然再根据标数法思想标数从图可以看出从走到0房共有种不走法.【例 3】只密蜂从处出发回到里处每次只能从蜂房爬向右侧邻近蜂房而不准逆行共有多少种回方法?【析】蜜蜂“每次只能从蜂房爬向右侧邻近蜂房而不准逆行”这味着它只能从码蜂房爬进相邻码蜂房.明确了行走路径方向就可运用标准法进行计算.如图所示蜜蜂从出发到处共有种不回方法.【例】图用水平或垂直线段连接相邻母当沿着这些线段行走正拼出“”路线共有多少条?[分析]要想拼出英语“”单词必须按照“”次序拼写.图每种拼写方式都对应着条短路径.如下图所示运用标数法原理标数不难得出共有3种不路径.[铺垫]图“我爱希望杯”有多少种不法.[分析]从我()、爱()、希()、望()、杯()组成“我爱希望杯”即相只能选而且不能重复选所以共有(种).图三母“”左、右两母“”只能由母“”到达.[拓展]如下图左所示科学“爱因斯坦”英名拼写“”按图箭头所示方向有多少种不方法拼出英单词“” [分析]因“”拼顺序“”每种拼法都对应着络图条短路径所以可以运用标数法.如上图右所示从到短路径有30条所以共有(种)不拼法。
六年级奥数大全及答案【小学六年级奥数最短路线问题练习题及答案【五篇】】
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【导语】海阔凭你跃,天高任你飞。
愿你信心满满,尽展聪明才智;妙笔生花,谱下锦绣第几篇。
学习的敌人是自己的知足,要使自己学一点东西,必需从不自满开始。
以下是大范文网为大家整理的《小学六年级奥数最短路线问题练习题及答案【五篇】》供您查阅。
【第一篇】
练习题
答案与解析
【第二篇】
练习题
答案与解析
【第三篇】
答案与解析
【第四篇】答案与解析【第五篇】答案与解析。
六年级下册奥数试题——最短路线.(含答案)人教版
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1. 准确运用“标数法”解决题目.2. 培养学生的实际操作能力.知识点说明从一个地方到另外一个地方,两地之间有许多条路,就有许多种走法,如果你能从中选择一条最近的路走,也就是指要选择一条最短的路线走,这样你就可以节省许多时间了,那么如何能选上最短的路线呢?亲爱的小朋友们,你要记住两点:⑴两点之间线段最短.⑵尽量不走回头路和重复路,这样的话,你就做到了省时省力.【例 1】一只蚂蚁在长方形格纸上的A 点,它想去B 点玩,但是不知走哪条路最近.小朋友们,你能给它找到几条这样的最短路线呢?BA11613321BA IHG F E DC【解析】 (方法一)从A 点走到B 点,不论怎样走,最短也要走长方形AHBD 的一个长与一个宽,因此,在水平方向上,所有线段的长度和应等于AD ;在竖直方向上,所有线段的长度和应等于DB .这样我们走的这条路线才是例题精讲知识精讲教学目标8-8最短路线最短路线.为了保证这一点,我们就不应该走“回头路”,只能向右和向下走.所有最短路线:→→→→→→→→、A E F G B→→→→、A C F G BA C D G B→→→→→→→→、A E H I BA C F I B→→→→、A E F I B这种方法不能保证“不漏”.如果图形再复杂些,做到“不重”也是很困难的.(方法二)遵循“最短路线只能向右和向下走”,观察发现这种题有规律可循.①看C点:只有从A到C的这一条路线.同样道理:从A到D、从A到E、从A到H也都只有一条路线.我们把数字“1”分别标在C D E H、、、这四个点上.②看F点:从A点出发到F,可以是A C F→→,也可以是→→,共有两种走法.那么我们在F点标上数字“2”(2=11+).③A E F看G点:从A G→→→、A C F G→→→、→有三种走法,即:A C D G→→→.在G点标上数字“3”(3=12+).④看I点:共有三种走A E F G法,即:A C F I→→→,在I点标上“3”→→→、A E H I→→→、A E F I(3=12+).⑤看B点:从上向下走是G B→,那么从→,从左向右走是I B 出发点A B→→→→、→→→→、A C F G B→有六种走法,即:A C D G B→→→→、A E H I B→→→→、A E F I B→→→→,→→→→、A C F I BA E F G B在B点标上“6”(633=+),观察发现每一个小格右下角上标的数正好是这个小格右上角与左下角的数的和,这个和就是从出发点A到这点的所有最短路线的条数.此法能够保证“不重”也“不漏”,这种方法叫“对角线法”或“标号法”.【巩固】如图所示,从A点沿线段走最短路线到B点,每次走一步或两步,共有多少种不同走法?AB【解析】 这是一个较复杂的最短路线问题,我们退一步想想,先看看简单的情况.从A 到B 的各种不同走法中先选择一条路线来分析:如果按路线A →C →D →E →F →B 来走,这条路线共有5条线段,每次走一步或两步,要求从A 走到B ,会有几种走法?这不是“上楼梯”问题吗.根据“上楼梯”问题的解法可得在A →C →D →E →F →B 这条路线中有8种符合条件的走法.而对于从A 到B 的其他每条最短路线而言,每一条路线都有5条线段,所以每条路线都有8种走法. 进一步:从A 到B 共有多少条最短路线?这正是“最短路线”问题!用“标数法”来解决,有10条.综上所述,满足条件的走法有81080⨯=种.1032463111111B A BF ED CA BA【巩固】 从A 到B 的最短路线有几条呢?BA【解析】 图中从A 到B 的最短路线都为6条.【巩固】 有一只蜗牛从A 点出发,要沿长方形的边或对角线爬到C 点,中间不许爬回A 点,也不能走重复的路,那么,它有多少条不同的爬行路线?最短的是哪条呢?ODC BA【解析】 共有9种,即:A O C →→、 A O D C A O B C →→→→→→、 、 A B C →→A B O C →→→、 A B O D C →→→→、 A D C →→、 A D O C →→→ A D O B C →→→→,最短的路是:A O C →→.【例 2】阿呆和阿瓜到少年宫参加2008北京奥运会志愿者培训.如果他们从学校出发,共有多少种不 同的最短路线?少年宫学校J I HGF EDC B A 410633211111少年宫学校【解析】 从学校到少年宫的最短路线,只能向右或向下走.我们可以先看A 点:从学校到A 点最短路线只有1种走法,我们在A 点标上1.B 、E 、F 、G 点同理.再看J 点:最短路线可以是A J →、E J →共2条,我们在J 点标上2.我们发现211=+正好是对角线A 点和E 点上的数字和.所有的最短路线都符合这个规律,最终从学校到少年宫共有10种走法.【巩固】 方格纸上取一点A 作为起点,再在A 的右上方任取一点B 作为终点,画一条由A 到B 的最短路线,聪明的小朋友,你能画出来吗?总共能画出几条呢?BA【解析】 根据“标号法”可知共有10种,如图.【巩固】 如图,从F 点出发到G 点,走最短的路程,有多少种不同的走法?GF【分析】 共有115种.【巩固】 小聪明想从北村到南村上学,可是他不知道最短路线的走法共有几种?小朋友们,快帮帮忙呀!南村北村【分析】 根据“对角线法”知共有126种,如图.12656703535216152015105541111南村北村410633211111【例 3】“五一”长假就要到了,小新和爸爸决定去黄山玩.聪明的小朋友请你找找看从北京到黄山的最短路线共有几条呢?黄山北京2黄山北京211410331111722【解析】 采用对角线法(如图)这道题的图形与前几题的图形又有所区别,因此,在解题时要格外注意是由哪两点的数之和来确定另一点的.从北京到黄山最近的道路共有10条.【巩固】 从甲到乙的最短路线有几条?乙甲【解析】 有11条.【例 4】古希腊有一位久负盛名的学者,名叫海伦.他精通数学、物理,聪慧过人.人一天一位将军向他请教一个问题:如下图,将军从甲地骑马出发,要到河边让马饮水,然后再回到乙地的马棚,为了使行走的路线最短,应该让马在什么地方饮水?乙地甲地河流【解析】 本题主要体现最值思想和对称的思想,教师应充分引导孩子观察行走路线的变化情况甲地逐步引导学生通过对称来找到相应的点,进一步了解图形最值问题中应该如何解决问题.【例 5】学校组织三年级的小朋友去帮助农民伯伯锄草,大家从学校乘车出发,去往的李家村(如图).爱动脑筋的嘟嘟就在想,从学校到李家村共有多少种不同的最短路线呢?李家村学校81461025李家村学校235216151051114106331111【解析】 我们采用对角线法(如图),从学校到李家村共有81种不同的最短路线.[拓展] 亲爱的小朋友们,你们觉得从A 到B 共有几条最短路线呢?BA【解析】 此题与上题不同,但方法相同.我们采用对角线法(如图)可知:可以选择的最短路线共有41条.【例 6】阿花和阿红到少年宫参加2008北京奥运会志愿者培训.他们从学校出发到少年宫最多有多少种不同的行走路线?少年宫学校904214482814少年宫学校2651143111114952052【解析】 采用对角线法(如图).可得从学校到少年宫共有90种走法.[铺垫] 小海龟在小猪家玩,它们想去游乐场坐碰碰车,爱动脑筋的小朋友,请你想一想,从小猪家到游乐场共有几条最短路线呢?小猪家游乐场149小猪家游乐场2551114321【解析】 “对角线”法(如图),共14 条.【例 7】阿强和牛牛结伴骑车去图书馆看书,第一天他们从学校直接去图书馆;第二天他们先去公园看大熊猫再去图书馆;第三天公园修路不能通行.咱们学而思的小朋友都很聪明,请你们帮阿强和牛牛想想这三天从学校到图书馆的最短路线分别有多少种不同的走法?【解析】仍然用对角线法求解.第一天(无限制条件)共有16条;第二天(必须经过公园)共有8条;第三天(必须不经过公园)共有8条.【巩固】大熊和美子准备去看望养老院的李奶奶,可是市中心在修路(城市的街道如图所示),他们从学校到养老院最短路线共有几条呢?聪明的小朋友,请你们快想想吧!【解析】(方法一)用“对角线法”求出:从学校到养老院共126条.必经过市中心的60 条,所以可行的路有:1266066-=(条).养老院(方法二)可以直接求,即把含有市中心的田字格挖去,共有66条.664026111010养老院学校2526155111463311115155411【例 8】如图,从X 到Y 最短路线总共有几种走法?【分析】 如图,共有716种.71637434217017220285511536212815218364115878536492836211515101077666554432YX1111111111111【例 9】如图,从A 到B 沿网格线不经过线段CD 和EF 的最短路径的条数是多少条?A C DE FB【解析】 由于不能经过线段CD 和EF ,所以我们必须先在网络图中拆除CD 和EF ,然后再在拆除了CD 和EF 以后的网络图中进行标数(如下图所示).运用标数法可求出满足条件的最短路径有78条.【巩固】 下图为某城市的街道示意图,C 处正在挖下水道,不能通车,从A 到B 处的最短路线共有多少条?【解析】 从A 到B 的最短路线有431条.CBA174551999558325743117411030552518121211C BA836410776543211111111【例 10】 按图中箭头所指的方向行走,从A 到I共有多少条不同的路线?CF H DIGE B A【解析】 本题中的运动方向已经由箭头标示出来,所以关键要分析每一点的入口情况.通过标数法我们可以得出从A 到I 共有29条不同的路径.【例 11】 按图中箭头方向所指行走,从A 到G 有多少种不同的路线?GF E DC B A【解析】 运用标数法原理进行标数,整个标数流程如下图2181AB CD EF G 2351313532GF ED CB A1881AB CDE F G2355332GF E D CB A11AB CDE F G22GF E DC B A11AB C DE F G从A 到G 共有21条不同的路线.【巩固】 ⑴按下图左箭头方向所指,从X到Y 有多少种不同的路线?⑵如下图右所示,这个问题有一个规则:只能沿着箭头指的方向走,你能否根据规则算出所有从入口到出口的路径共有多少条?[分析]⑴利用标数法求得X到Y有34种不同的路线,如下图左所示.⑵由题将路线图转化为下图右所示,根据标数法求得从入口到出口的路径共有10条.出口1【例 12】⑴如下图左,如果只允许向下移动,从A点到B点共有多少种不同的路线?⑵如下图右,要从A点到B点,要求每一步都是向右,向上或者斜上方,问共有多少种不同的走法?ABBA【解析】⑴按题目要求,只能向下移动,利用标数法求得A到B共有路线68种,如下图左所示.⑵按题目要求,只能走下图右的3个方向,利用标数法求得共有22种不同的走法,如下图右.2622166111201010644143468341444332111111A BB A 42622166111B A【巩固】 图中有10个编好号码的房间,你可以从小号码房间走到相邻的大号码房间,但不能从大号码房间走到小号码房间,从1号房间走到10号房间共有多少种不同走法?10987654321【分析】 图中并没有标出行走的方向,但题中“你可以从小号码房间走到相邻的大号码房间,但不能从大号码房间走到小号码房间”这句话实际上就规定了行走的方向.如下图所示,我们可以把原图转化成常见的城市网络图,然后再根据标数法的思想标数:从图中可以看出,从1号走到10号房间共有22种不同的走法.【例 13】 一只密蜂从A 处出发,A 回到家里B 处,每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行,共有多少种回家的方法?BA864297531【解析】 蜜蜂“每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行”这意味着它只能从小号码的蜂房爬进相邻的大号码的蜂房.明确了行走路径的方向,就可运用标准法进行计算.如图所示,小蜜蜂从A 出发到B 处共有89种不同的回家方法.【例 14】 在图中,用水平或垂直的线段连接相邻的字母,当沿着这些线段行走时,正好拼出“APPLE ”的路线共有多少条?AAPPLELPPA A P L P P P A A P P P A A P A[分析] 要想拼出英语“APPLE ”的单词,必须按照“A P P L E →→→→”的次序拼写.在图中的每一种拼写方式都对应着一条最短路径.如下图所示,运用标数法原理标数不难得出共有31种不同的路径.131127211224154112283184411AAPPLELPPA A P L P P P A A P P P A A P A[铺垫] 图中的“我爱希望杯”有多少种不同的读法.望杯望杯希杯爱望希杯杯望希爱我 杯杯杯杯杯望望望希希希爱爱我644332111111111[分析] 从我(1个)、爱(2个)、希(3个)、望(4个)、杯(5个)中组成“我爱希望杯”即相同的字只能选一个而且不能重复选,所以共有1464116++++=(种).[拓展] 如下图左所示,科学家“爱因斯坦”的英文名拼写为“Einstein ”,按图中箭头所示方向有多少种不同的方法拼出英文单词“Einstein ”.i111111i[分析] 因为“Einstein ”的拼读顺序为“E i n s t e i n →→→→→→→”,每一种拼法都对应着网络图中的一条最短路径,所以可以运用标数法来解决. 如上图右所示,从E 点到n 点的最短路径有30条,所以共有303060+=(种)不同拼法.注意图中的三个字母“i ”,左、右的两个字母“i ”只能由一个字母“e ”去到达.。
小学奥数最短路线问题(有答案)
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小学六年级奥数教案—运筹学初步本讲主要讲统筹安排问题、排队问题、最短路线问题、场地设置问题等。
这些都是人们日常生活、工作中经常碰到的问题,怎样才能把它们安排得更合理,多快好省地办事,就是这讲涉及的问题。
当然,限于现有的知识水平,我们仅仅是初步探索一下。
1.统筹安排问题例1星期天妈妈要做好多事情。
擦玻璃要20分钟,收拾厨房要15分钟,洗脏衣服的领子、袖口要10分钟,打开全自动洗衣机洗衣服要40分钟,晾衣服要10分钟。
妈妈干完所有这些事情最少用多长时间?分析与解:如果按照题目告诉的几件事,一件一件去做,要95分钟。
要想节约时间,就要想想在哪段时间里闲着,能否利用闲着的时间做其它事。
最合理的安排是:先洗脏衣服的领子和袖口,接着打开全自动洗衣机洗衣服,在洗衣服的40分钟内擦玻璃和收拾厨房,最后晾衣服,共需60分钟(见下图)。
例1告诉我们,当有许多事要做时,科学地安排好先后顺序,就能用较少的时间完成较多的事情。
2.排队问题例2理发室里有甲、乙两位理发师,同时来了五位顾客,根据他们所要理的发型,分别需要10,12,15,20和24分钟。
怎样安排他们的理发顺序,才能使这五人理发和等候所用时间的总和最少?最少要用多少时间?分析与解:一人理发时,其他人需等待,为使总的等待时间尽量短,应让理发所需时间少的人先理。
甲先给需10分钟的人理发,然后15分钟的,最后24分钟的;乙先给需12分钟的人理发,然后20分钟的。
甲给需10分钟的人理发时,有2人等待,占用三人的时间和为(10×3)分;然后,甲给需 15分钟的人理发,有 1人等待,占用两人的时间和为(15×2)分;最后,甲给需 24分钟的人理发,无人等待。
甲理发的三个人,共用(10×3+15×2+24)分,乙理发的两个人,共用(12×2+20)分。
总的占用时间为(10×3+15×2+24)+(12×2+20)=128(分)。
2020-2021学年六年级奥数试题第17讲:最短路线问题
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2020-2021学年六年级奥数试题第17讲:最短路线问题学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、解答题1.有一个牧马人带着马群从营房A点出发,到草地MN放牧。
傍晚到营房B之前先带马群到小河PQ去给马饮水,如图所示。
想一想:牧人应该走哪一条路线,才能使整个放牧的路程(即从A→MN→PQ→B)最短?2.如图所示,一只壁虎要从一面墙壁α上A点,爬到邻近的另一面墙壁β上的B点捕飞蛾,它可以沿许多路径到达,请你为它选择一条最近的路线。
3.如图所示,有一只蚂蚁站在正方体某条棱的A处,它想尽快地游览完正方体的各个面,然后回到A处,请问这只蚂蚁要怎样走才能使通过的路程最短?4.有一个圆锥如图所示,A、B在同一条母线上,B为AO的中点,试求以A为起点,以B为终点且绕圆锥侧面一周的最短路线。
5.有A、B两个村庄,分别在一条河的两岸,如图所示,现在要在小河上架一座木桥,使它与河岸垂直。
现在请你选择最合适的架桥地点,使A、B两上村庄之间的路最近。
6.如图所示,有一只圆柱形的无盖铁桶。
有一只蚂蚁要从桶外的A点爬到桶内的B点去寻找食物,已知A点沿母线到桶口C点的距离是12厘米,B点沿母线到桶口D点的距离是8厘米,而C、D两点之间的弧长是15厘米。
如果蚂蚁爬行的是最短的路线,它应该怎样爬?最短的路程是多少厘米?7.有150个人要赶到90千米外的某地去执行任务。
现有一辆中乘50人,时速为70千米的卡车。
若这些人步行时速为10千米,请你设计一种乘车及步行的方案,使这150个人全部到达目的地所用的时间最少(上下车时间忽略不计)。
8.少先队一小队组织一次有趣的赛跑比赛,规则是从A点出发,跑到墙边,用手触摸墙壁,然后跑到B点。
接着从B点再次跑到墙边用手触摸墙壁后,跑回C点,问如何选择最短路线以节省时间,请在图中标出来。
9.下图是一个湖的边界,在湖中有一个观测站点M。
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8-8 最短路线教学目标1.准确运用“标数法”解决题目2.培养学生的实际操作能力.知识精讲知识点说明从一个地方到另外一个地方,两地之间有许多条路,就有许多种走法,如果你能从中选择一条最近的路走,也就是指要选择一条最短的路线走,这样你就可以节省许多时间了,那么如何能选上最短的路线呢?亲爱的小朋友们,你要记住两点:⑴两点之间线段最短.⑵尽量不走回头路和重复路,这样的话,你就做到了省时省力.例题精讲例 1】一只蚂蚁在长方形格纸上的 A 点,它想去 B 点玩,但是不知走哪条路最近.小朋友们,你能给它找到几条这样的最短路线呢?解析】(方法一)从A点走到B点,不论怎样走,最短也要走长方形AHBD 的一个长与一个宽,因此,在水平方向上,所有线段的长度和应等于AD ;在竖直方向上,所有线段的长度和应等于DB .这样我们走的这条路线才是最短路线.为了保证这一点,我们就不应该走“回头路”,只能向右和向下走.所有最短路线:A C D GB 、AC F G B、 A E F G BA C F I B、 A E F I B、 A E H I B这种方法不能保证“不漏”.如果图形再复杂些,做到“不重”也是很困难的.(方法二)遵循“最短路线只能向右和向下走”,观察发现这种题有规律可循.①看C点:只有从A到C的这一条路线.同样道理:从A到D 、从 A 到 E 、从 A 到H 也都只有一条路线.我们把数字“ 1 ”分别标在C、D、E、 H 这四个点上.②看 F 点:从 A 点出发到 F ,可以是 A C F ,也可以是 A E F ,共有两种走法.那么我们在F点标上数字“ 2”(2=1 1).③ 看G 点:从 A G 有三种走法,即: A C D G 、 A C F G 、 A E F G.在G点标上数字“ 3”(3=1 2).④看I 点:共有三种走法,即:A C F I 、 A E F I 、 A E H I ,在I 点标上“ 3” (3=1 2).⑤看B点:从上向下走是G B ,从左向右走是I B ,那么从出发点 A B有六种走法,即: A C D G B、 A C F G B、A E F G B、A C F I B、A E F I B、A E H I B,在B点标上“ 6”( 6 33),观察发现每一个小格右下角上标的数正好是这个小格右上角与左下角的数的和,这个和就是从出发点 A 到这点的所有最短路线的条数.此法能够保证“不重”也“不漏”,这种方法叫“对角线法”或“标号法”.巩固】如图所示,从A点沿线段走最短路线到 B 点,每次走一步或两步,共解析】 共有 9种,即: A A B O C 、B O DC 、A D OBC ,最短的路是: A OC 、 A O B C 、 A B CA D C 、 A D O C C .解析】 这是一个较复杂的最短路线问题,我们退一步想想,先看看简单的情况.从 A 到 B 的各种不同走法中先选择一条路线来分析:如果按路线 A →C →D →E → F → B 来走,这条路线共有 5条线段,每次走 一步或两步,要求从 A 走到 B ,会有几种走法?这不是“上楼梯”问题吗.根 据“上楼梯”问题的解法可得在 A →C →D →E →F → B 这条路线中有 8 种符合条件的走法.而对于从 A 到 B 的其他每条最短路线而言,每一条路 线都有 5 条线段,所以每条路线都有 8 种走法.进一步:从 A 到B 共有多少条最短路线?这正是 “最短路线”问题!用“标 数法”来解决,有 10 条.综上所述,满足条件的走法有 8 10 80种.巩固】 从A 到 B 的最短路线有几条呢?解析】 图中从 A 到B 的最短路线都为 6 条.巩固】 有一只蜗牛从 A 点出发 ,要沿长方形的边或对角线爬到 C 点,中间不许 爬回 A 点,也不能走重复的路,那么,它有多少条不同的爬行路线?最短 的是哪条呢?有多少种不同走法?D DE EFBDEACFB AC CB例 2】 阿呆和阿瓜到少年宫参加 2008 北京奥运会志愿者培训.如果他们从学校出发,共有多少种不 同的最短路线?解析】 从学校到少年宫的最短路线, 只能向右或向下走. 我们可以先看 A点:从 学校到 A 点最短路线只有 1种走法,我们在 A 点标上 1.B 、E 、F 、G 点同 理.再看 J 点:最短路线可以是 A J 、E J 共2条,我们在 J 点标上 2.我 们发现 2 1 1正好是对角线 A 点和 E 点上的数字和.所有的最短路线都符 合这个规律,最终从学校到少年宫共有 10 种走法.巩固】 方格纸上取一点 A 作为起点,再在 A 的右上方任取一点 B 作为终点,画一条由 A 到B 的最短路线,聪明的小朋友, 你能画出来吗?总共能画出几条 呢?解析】 根据“标号法”可知共有 10 种,如图.学校学校1 1 12 3J136 1 4 I10BAAC D 少年宫巩固】如图,从 F 点出发到G 点,走最短的路程,有多少种不同的走法?G分析】 共 有 115种.小聪明想从北村到南村上学,可是他不知道最短路线的走法共有几种?小朋友们,快帮帮忙呀!北村“五一”长假就要到了,小新和爸爸决定去黄山玩.聪明的小朋友请你找找看从北京到黄山的最短路线共有几条呢?采用对角线法(如图)这道题的图形与前几题的图形又有所区别,因此, 在解题时要格外注意是由哪两点的数之和来确定另一点的.从北京到黄 山最近的道路共有 10 条.2456 3 6 10 1521 4 10 20 3565 1535 7126 北村1 1 11 1 1 1巩固】 分析】 根 据“对角线法”知共有 126种,如图.南村北京1 1 12 1122 3241 3710黄山解析】北京巩固】从甲到乙的最短路线有几条?解析】有11条.例 4 】古希腊有一位久负盛名的学者,名叫海伦.他精通数学、物理,聪慧过人.人一天一位将军向他请教一个问题:如下图,将军从甲地骑马出发,要到河边让马饮水,然后再回到乙地的马棚,为了使行走的路线最短,应该让马在什么地方饮水?甲地乙地河流解析】本题主要体现最值思想和对称的思想,教师应充分引导孩子观察行走路线的变化情况逐步引导学生通过对称来找到相应的点,进一步了解图形最值问题中应该如何解决问题.例 5 】学校组织三年级的小朋友去帮助农民伯伯锄草,大家从学校乘车出发,去往的李家村(如图).爱动脑筋的嘟嘟就在想,从学校到李家村共有多少种不同的最短路线呢?解析】我们采用对角线法(如图),从学校到李家村共有81种不同的最短路线.学校2 310 103 64 105 15 25 356 21 46 81甲学校11拓展] 亲爱的小朋友们,你们觉得从 A 到 B 共有几条最短路线呢?解析】 此 题与上题不同,但方法相同.我们采用对角线法(如图)可知:可以选择的最短路线共有 41 条.例 6】 阿花和阿红到少年宫参加 2008 北京奥运会志愿者培训.他们从学校出发 到少年宫最多有多少种不同的行走路线?少年宫 少年宫解析】 采用对角线法(如图) .可得从学校到少年宫共有 90 种走法.铺垫] 小海龟在小猪家玩,它们想去游乐场坐碰碰车,爱动脑筋的小朋友,请你想一想,从小猪家到游乐场共有几条最短路线呢?解析】 “对角线”法(如图) ,共 14 条.例 7 】 阿强和牛牛结伴骑车去图书馆看书,第一天他们从学校直接去图书馆;游乐场游乐场14 59 5243 211 1 1 小猪家第二天他们先去公园看大熊猫再去图书馆;第三天公园修路不能通行.咱们学而思的小朋友都很聪明,请你们帮阿强和牛牛想想这三天从 学校到图书馆的最短路线分别有多少种不同的走法?仍 然用对角线法求解.第一天(无限制条件)共有 16条;第二天(必须 经过公园)共有 8条;第三天(必须不经过公园)共有 8 条.大熊和美子准备去看望养老院的李奶奶, 可是市中心在修路 (城市的街道 如图所示 ),他们从学校到养老院最短路线共有几条呢?聪明的小朋友, 请你们快想想吧!方法二)可以直接求,即把含有市中心的田字格挖去,共有 66 条.解析】巩固】市中心学校解析】 (方法一)用“对角线法”求出:从学校到养老院共 心的 60 条,所以可行的路有: 126 60 66(条). 126条.必经过市中515 35 70 126 410 203556 3610 市中心152123456学校养老院111学校 养老院养老院养老院5 15 25 40 661 4 10 10 15 2651 3 6111 2 3 4 5 6学校 1 1 1例 8】如图,从X 到Y 最短路线总共有几种走法?分析】如图,共有716种.例 9】如图,从A到B沿网格线不经过线段CD和EF 的最短路径的条数是多少条?解析】由于不能经过线段CD和EF ,所以我们必须先在网络图中拆除然后再在拆除了CD和EF以后的网络图中进行标数(如下图所示).运用标数法可求出满足条件的最短路径有78 条.Y18 3685170 342 71617 28 49 85 172 37416 21 2 36 87 2021 5 15 15 51 115151 4 10 36 6413 6 10 15 21 281 2 3 4 5 6 7X 1 1 1 1 11CD和EF ,巩固】下图为某城市的街道示意图,C处正在挖下水道,不能通车,从A到B 处的最短路线共有多少条?解析】从A到B的最短路线有431条.解析】本题中的运动方向已经由箭头标示出来,所以关键要分析每一点的入口情况.B431B174110 5564 55 55 30 129C25 18 12 7 398 7 6 5 4 3 2 111 1 1 1 1 1 1例 10 】按图中箭头所指的方向行走,从A到I 共有多少条不同的路线?1742571910A通过标数法我们可以得出从 A 到I 共有 29条不同的路径.例 11】 按图中箭头方向所指行走,从 A 到G 有多少种不同的路线?解析】 运 用标数法原理进行标数,整个标数流程如下图从 A 到 G 共有 21 条不同的路线.巩固】 ⑴按下图左箭头方向所指,从 X 到Y 有多少种不同的路线? ⑵如下图右所示,这个问题有一个规则:只能沿着箭头指的方向走,你 能否根据规则算出所有从入口到出口的路径共有多少条?C EBAEB2 1AC GG分析] ⑴利用标数法求得 X 到Y 有34种不同的路线,如下图左所示. ⑵由题将路线图转化为下图右所示,根据标数法求得从入口到出口的路 径共有 10 条.例 12】 ⑴如下图左,如果只允许向下移动,从 A 点到 B 点共有多少种不同的路线?⑵如下图右,要从 A 点到 B 点,要求每一步都是向右,向上或者斜上方, 问共有多少种不同的走法?34Y入口出口5 8 31X13AB解析】⑴按题目要求,只能向下移动,利用标数法求得A到B共有路线68种,如下图左所示.⑵按题目要求,只能走下图右的3个方向,利用标数法求得共有22 种不同的走法,如下图右.巩固】 图中有 10个编好号码的房间, 你可以从小号码房间走到相邻的大号码房 间,但不能从大号码房间走到小号码房间, 从 1号房间走到 10 号房间共 有多少种不同走法?分析】 图 中并没有标出行走的方向,但题中“你可以从小号码房间走到相邻的大号码房间,但不能从大号码房间走到小号码房间”这句话实际上就规 定了行走的方向.如下图所示,我们可以把原图转化成常见的城市网络 图,然后再根据标数法的思想标数:从图中可以看出,从 1 号走到 10号 房间共有 22 种不同的走法.A68 BB 22 16 61例 13】一只密蜂从A处出发,A回到家里B处,每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行,共有多少种回家的方法?解析】 蜜 蜂“每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行 ”这意味着它只能从小号码的蜂房爬进相邻的大号码的蜂房.明确了行走路径的方向,就可运用标准法进行计算.如图所示,小蜜蜂从 A 出发到 B 处共有 89种不同的回家方法 .例 14 】 在图中,用水平或垂直的线段连接相邻的字母, 当沿着这些线段行走时,正好拼出“ APPLE ”的路线共有多少条?PP LPP P L E L P分析] 要想拼出英语“ APPLE ”的单词,必须按照“ A P P L E ”的次序拼写.在图中的每一种拼写方式都对应着一条最短路径.如下图所示,运 用标数法原理标数不难得出共有 31 种不同的路径.P P L P P A P L E L P P A1311 2 7 2 11 2 4 15 4 2 1 2 4 8 31 8 4 2 1铺垫]图中的“我爱希望杯”有多少种不同的读法.我 1 爱 1 希 望 1 杯1 1 1 1爱 1 希 2 望 3 杯 41234希 望 杯 希1望1望 3杯4杯6 望 1杯1 4分析] 从我( 1个)、爱( 2个)、希( 3个)、望( 4个)、杯( 5个)中组成“我 爱希望杯”即相同的字只能选一个而且不能重复选,所以共有1 4 6 4116(种).拓展] 如 下图左所示,科学家“爱因斯坦”的英文名拼写为“ Einstein ”,按图中箭头所示方向有多少种不同的方法拼出英文单词“ Einstein ” .1i E1 1 i2 i 1 1s n3 n 3 n 1 t4 s t 6 s t 4 s 10 t 10 t ee 1i 0 2i 0i 10 3n 0 i 3n 0 i分析] 因为“ Einstein ”的拼读顺序为“ E i n s t e i n ”,每一种拼法都 对应着网络图中的一条最短路径,所以可以运用标数法来解决. 如上图右所示,从E 点到n 点的最短路径有 30条,所以共有 30 30 60(种) 不同拼法 . 注意图中的三个字母 “i ”, 左、右的两个字 母“i ”只能由一 个字母。