线性代数期末综合测试题

线性代数期末综合测试题

班级： 学号： 姓名 成绩

一、填空题（每小题3分，共30分）

1．==3

323133222121312113

323133222121312112 2 22 2 22 2 2 2 a a a a a a a a a a a a a a a a a a 则，设

2. 正交与时，向量当βαβα ),,1,5(),3,2,1(==--=k k

3．当方程个数与未知量个数相同时，非齐次线性方程组b Ax =有唯一解的充分必要条件是

⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛=1 21 3 .4A 已知： ， 则*

A = 5．设α＝(2，-1，5)，β＝(-1,1,1)，则α＋β＝ ，3α－2β＝

6.已知

⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛=3 0 00 4 10 0 3A ，则=--1)2(I A ( 其中I 为单位矩阵 ) 7．设三元非齐次线性方程组b Ax =中，矩阵A 的秩为2，且T T )1,2,3(,)2,2,1(21==ξξ 为b Ax =的两个解，则此非齐次方程组的全部解可表示为： 8．设A 为三阶方阵，且2=A ，则=-1)2(T A

9.设)1,2,1(),3,2,0(),1,1,(321===αααk ，则当k= 时，321,,ααα线性相关

10．设n m A ⨯，在齐次线性方程组0=Ax 中，若秩（A ）＝k , 且r ηηη,,,21 是它的一个基础解系，则r = ，当k = 时，此方程组只有零解

二、计算、证明题(共70分)

1．设⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=132231,113122214B A ,求X 使B AX = (8分)

2．用基础解系表示齐次线性方程组(12分)

⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧=+-=+-=-++0

02 0 24214324321x x x x x x x x x x 的全部解。

3、求向量组(12分)

T T T T ]7,6,5,4[,]6,5,4,3[,]5,4,3,2[,]4,3,2,1[4321====αααα的一个极大线性无关组，并将其

余向量用极大线性无关组线性表示

4．设方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=12422421x A 与对角矩阵⎪⎪

⎪⎭⎫

⎝⎛-=Λ40000005y 相似，求y x 与的值(6分)

5．已知向量组321,,ααα线性无关，试证向量组3132215,4,32αααααα+++亦线性无关 (6分)

6. 已知⎪⎪⎪

⎪

⎭

⎫ ⎝⎛----=3 2 4 1 2 2 3 k k A ，A 的特征值分别为1 ,1 3 21=-==λλλ。

（1）当k 为何值时，存在可逆矩阵P ， 使AP P 1-为对角阵(4分) （2）求出可逆矩阵及相应的对角矩阵 (12分)

7. 设321ξξξ，，为齐次线性方程组0A =x 的一个基础解系，

试证133221 , ,ξ+ξξ+ξξ+ξ也是该方程组的一个基础解系。（10分）

线性代数期末综合测试题答案

一、填空题（每小题3分，共30分）

1．==3

323133222121312113

323133222121312112 2 22 2 22 2 2 2 a a a a a a a a a a a a a a a a a a 则，设 16 。

2. 正交与时，向量当βαβα 1 ),,1,5(),3,2,1(==--=k k

3．当方程个数与未知量个数相同时，非齐次线性方程组b Ax =有唯一解的充分必要条件是n A r b A r n A r A ===≠)(),()(0 或或。

⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛=1 21 3 .4A 已知： ， 则*A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3 21 1 5．设α＝(2，-1，5)，β＝(-1,1,1)，则α＋β＝6) 0 (1，，

，3α－2β＝13) 5- 8 (，，。 6.已知⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=3 0 00 4 10 0 3A ，则=--1)2(I A ⎪⎪⎪⎪

⎭⎫

⎝⎛-1 0 0 0 2/1 2/10 0 1 ( 其中I 为单位矩阵 )。

7．设三元非齐次线性方程组b Ax =中，矩阵A 的秩为2，且T T )1,2,3(,)2,2,1(21==ξξ

为b Ax =的两个解，则此非齐次方程组的全部解可表示为：

)()1,2,3()-1,0,2(为任意常数其中k k T T +。

8．设A 为三阶方阵，且2=A 则=-1)2(T A 1/16

9.设)1,2,1(),3,2,0(),1,1,(321===αααk ，则当k= 1/4 时，321,,ααα线性相关。

10．设n m A ⨯，在齐次线性方程组0=Ax 中，若秩（A ）＝k ,且r ηηη,,,21 是它的一个基础解系，则r = n-k ，当k = n 时，此方程组只有零解。 二、计算、证明题(共60分)

1．设⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=132231,113122214B A ,求X 使B AX =(8分)

解:()⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛----=132231113122214B A 初等行变换~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--412315210

100010001

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--==∴-412315210

1

B A X

2．用基础解系表示齐次线性方程组(12分)

⎪⎩⎪

⎨⎧=+-=+-=-++0 02 0

24

214324321x x x x x x x x x x 的全部解。 ⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=2 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 2 1 0 0 1 0 0 1 0 0 4 0 2 1 1 0 1 1 2 1 2 1 3 0 2 1 1 0 1 1 2 1 1 0 1 1 2 1 1 0 1 1 2 1 A 解：

全部解为：) ( 1 2

0 14321为任意常数其中k k x x x x ⎪⎪⎪⎪

⎪⎭⎫

⎝⎛-=⎪

⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛ 3、求向量组（12分）

T T T T ]7,6,5,4[,]6,5,4,3[,]5,4,3,2[,]4,3,2,1[4321====αααα的一个极大线性无关组，并将其

余向量用该极大线性无关组线性表示.

解：

2

142132132200000000321021017654654354324321αααααααα+-=+-=

⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡--⇒⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡，，且，极大无关组 4．设方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=12422421x A 与⎪⎪⎪

⎭⎫ ⎝⎛-=Λ40000005y 相似，求y x 与的值.(6分)

解： 方阵A 与Λ相似，则A 与Λ的特征多项式相同，从而具有相同的特征值，所