偏导数与全微分习题
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偏导数与全微分习题 1. 设y
x
y x y x f arcsin )1(),(-+=，求)1,(x f x
'。 2. 习题8 17题。
3. 设⎪⎩
⎪⎨⎧
=+≠++=0
001sin ),(22222
2
y x y x y x y y x f ，考察f (x ,
y )在点（0,0）的偏导数。
4. 考察⎪⎩
⎪⎨⎧
=+≠++=0
001sin ),(22222
2
y x y x y x xy y x f 在点
（0,0）处的可微性。 5. 证
明
函
数
⎪⎩
⎪⎨⎧=+≠+++=0
001sin
)(),(222
22
22
2y x y x y x y x y x f 在
点（0,0）连续且偏导数存在，但偏导数在（0,0）不连续，而f (x , y )在点（0,0）可微。
1． 设y
x
y x y x f arcsin
)1(),(-+=，求)1,(x f x
'。 y
y
x y
x y y x f x
1)
(2111
)1(1),(21
⋅⋅-
-+='- ∴ 1)1,(='x f x
。
2.习题8 17题。
17. 设22)()(ln b y a x z -+-=（a , b 为常数），证明
02
22
2=∂∂+∂∂y z x z 。
先化简函数 ))()ln((2
1
22b y a x z -+-=，
2222)
()()
()()()(221b y a x a x b y a x a x x z -+--=-+--⋅=∂∂， 2222)
()()
()()()(221b y a x b y b y a x b y y z -+--=-+--⋅=∂∂， 2222
222
2))()(()(2)()(b y a x a x b y a x x z -+----+-=
∂∂
2
22
22)
)()(()()(b y a x a x b y -+----=
，
2
222
222
2))()(()(2)()(b y a x b y b y a x y
z -+----+-=
∂∂
2
2222)
)()(()()(b y a x b y a x -+----=
， ∴ 02
2
2
2
=∂∂+
∂∂y
z x
z 。
3. 设⎪⎩
⎪⎨⎧
=+≠++=0
001sin ),(22222
2
y x y x y x y y x f ，考察f (x ,
y )在点（0,0）的偏导数。
由偏导数定义可知
00lim )
0,0()0,(lim )0,0(0
==∆-∆='→∆→∆x x x
x
f x f f ，
2
1sin
lim )
0,0(),0(lim )0,0(y y
f y f f y y y
∆=∆-∆='→∆→∆ 不存在。
4.考察⎪⎩
⎪⎨⎧
=+≠++=0
001sin ),(22222
2
y x y x y x xy y x f 在点
（0,0）处的可微性。
由偏导数定义可知
0)
0,0()0,(lim )0,0(0
=∆-∆='→∆x
f x f f x x
，
0)
0,0(),0(lim )0,0(0
=∆-∆='→∆y
f y f f y y
，
则 d z =0,
2
2
)
()(1sin
)0,0(),(y x y x f y x f dz f ∆+∆∆∆=-∆∆=-∆
要讨论在（0,0）点可微性，即讨论极限ρ
ρdz
f -∆→0
lim 是
否趋于0，
0)()()()(1sin lim
lim
2
22
20
→∆+∆∆+∆∆∆=-∆→→y x y x y x dz
f ρρρ
，
这是因为
222
22
22
2
)()()()(21|)()()
()(1
sin |
y x y x y x y x y x ∆+∆∆+∆≤
∆+∆∆+∆∆∆ ε<∆+∆≤22)()(2
1
y x
∴ f (x , y )在点（0,0）处的可微
4. 证明函数
⎪⎩
⎪⎨⎧=+≠+++=0
001sin
)(),(22222
22
2y x y x y x y x y x f 在
点（0,0）连续且偏导数存在，但偏导数在（0,0）不连续，而f (x , y )在点（0,0）可微。 （1）连续
|1sin )(||)0,0(),(|2
22
2y x y x f y x f ++=-
ε<+≤||22y x ， 故f (x , y )在（0,0）点连续； （2）偏导数存在 由偏导数定义
0|
|1
sin
)(lim )0,0()0,(lim )0,0(2
0=∆∆∆=∆-∆='→∆→∆x x x x f x f f x x x
同理 0)0,0(='x
f ，偏导数存在；
（3）偏导数在（0,0）点不连续