15 广义逆的计算及应用
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x 0 是极小范数解 [得证]
由证明可知，方程 AX b 在 R(A H ) 的解必定是极小范数解。 引理 2. A 1, 4 由如下方程的通解构成 XA A (1,4) A ，其中 A (1,4) 是 A 的某一个{1,4}-逆。
[证明]一方面：上述方程的解一定是 A 的某一个{1,4}-逆,设 X 为其解 (ⅰ ) (ⅳ ) AXA AA (1,4) A A XA A (1,4) A 是厄米矩阵
I M A 1, 2 P r E KN 0, L NM N L nm
二、 由满秩分解求广义逆
n mr n 对 A 进行满秩分解： A FG ， A Cm ， F Cr ， G Cr r r n ，其满秩分解为 A FG ，则 [定理] 设 A Cm r
XA A (1,4) A
由引理 2 知 X A 1, 4 定理 3. 设 A Cmn ，则 A 1, 4 A (1,4) Z(I AA (1,4) ) | Z Cmn 该定理的证明可由引理 2 结合定理 1 给出。
作业：P334
2
3(1)，3(2)
132
128
K 1 P 0
I M X P r E ， P 、 E 为满秩方阵 N L I M rankX rank r rankA r N L Ir M Ir N L ~ 0 M L NM 0 L NM
D AXB AA (1) AXBB(1) B AA (1) DB (1) B
现在证明通解： “通解”有两个含义： （1）解集合中的任何元素 为方程的解； （2）方程的任何解均可由集合中的元素表现出来。 （1） 令 X A (1) DB(1) Y A (1) AYBB(1) ，代入 AXB D
A
XA
H
H
XA
[得证]
以上引理说明，对于 X A 1, 4 ， XA 是个不变量。 定理 2. 设方程 Ax b 相容，则 X A (1,4) b 是方程的极小范数解；反 之，若对任意 b R (A) ，存在 X 使得 Xb 成为该方程的极小范数 解，则 X A 1, 4 。
AXB D AYB AYB D
集合中的元素为方程的解
（2） 设 X 为方程的解，即 AXB D
X A (1) DB (1) X A (1) DB(1) A (1) DB(1) X A (1) AXBB (1)
对应于集合中 Y X 的情况。 [得证] 由上述证明可见： （ 1） 通解中两个 A (1) 及两个 B(1) 完全可以不同。 （ 2） 通解集合中， 不同的 Y 完全可能对应同一个解。 推论 1. 线性方程组 AX b 有解的充要条件为： AA (1) b b 且通解为 A (1) b (I n A (1) A)y | y为列向量 推论 2. A 1 (AXA A的解) 为如下集合：
三、 矩阵方程 AXB D 的相容性条件及通解 定理 1. 矩阵方程 AXB D 相容 （有解） 的充要条件： AA (1) DB(1) B D 在相容情况下矩阵方程的通解为：
129
A
(1)
DB(1) Y A (1) AYBB(1) | Y为阶数合适的任意矩阵
[证明] 相容性条件的充分性： 已知 AA (1) DB(1) B D ，显然有解 X A (1) DB(1) 相容性条件的必要性：已知 AXB D 有解，设某个解为 X ，即
第十五讲 广义逆的计算及应用
一、 由 Hermite 标准形求{1}-逆
mn 任何矩阵都可由初等变换化为 Hermite 标准形。设 A Cr ，存 m 在满秩矩阵 E Cm ， 是 EA B（Hermite 标准形） ,采用置换矩阵 P ： m
P e l1
e l 2 | 其它e i nn
[证明] 先证前半部分。推论 1 A (1) b 是 Ax b 的解
A (1,4) A 1 x A (1,4) b是方程的解 (1,4) (1,4) (1,4) (1) (1,4) A A 4 x A b A AA b A A
H
A (1) b
A H (A (1,4) ) H A (1) b R(A H )
由引理 1 知， A (1,4) b 是极小范数解。 后半部分： ，存在对于任意 b R(A) ，均有 Xb 为 Ax b 的极小 范数解，即 Xb ＝ A (1,4) b 为极小范数解。 因为 b R(A) ，上式都成立，将 b 依次取为 A 的各列，合起来 得
I EAP r 0 I A E 1 r 0 1. 求{1}-逆的方法
K 0 K 1 P 0
I M A 1 P r E KN 0 N L n m
（取阶数合适的 M、L）
I M [证明]令 X P r E ，则 N L I AXA E1 r 0 K 1 I r M 1 I r P P EE 0 0 N L K 1 P 0 K 1 P 0
I KN M KL Ir E 1 r 0 0 0
I KN (Ir KN)K 1 E 1 r P 0 0 I E 1 r 0 A 2. {1,2}-逆
当 X A 1 时，由定理可知：rankX rankA 是 X A 1, 2 的充 要条件。
（1） G (i ) F(1) A i （2） G (1) F( i ) A i
i 1, 2, 4 i 1, 2, 3
（3） G (1) F A 1, 2, 3 ， G F(1) A 1, 2, 4 （4） A G F(1,3) G(1,4) F （5） A G F G H (GG H ) 1 (F H F) 1 F H G H (F H AG H ) 1 FH 证明思路： （ 1） （2）代入相应的 Penrose 方程即可证之， 由（1） （ 2） （ 3） （ 4） （ 5）
A
(1)
AA (1) Y A (1) AYAA (1)
（四个 A (1) 可互不相同）
四、 极小范数解 在方程有解时， 完全可能是具有无穷多个解， 实际中常常希望研 究其中具有特定性质的解，例如范数最小的解，即极小范数解。
130
引理 1. 方程 AX b 若有解，则必存在唯一的极小范数解（对 2-范 数） ，且该解在 R(A H ) 中。 [证明] 设 x 是方程 AX b 的解，可将其分解为 x x 0 y ，其中 x 0 R(A H ) N (A) x 0 N(A) ， y N(A)
Ax1 Ax 2 0 (x1 x 2 ) N(A)
同时 (x1 x 2 ) N (A)
(x1 x 2 ) N(A) N (A) 0
x1 ＝ x 2
也就是说在 R(A H ) 中方程 AX b 只有唯一的解（若方程有解）
方程的任何其它解的 2-范数均大于 x 0 的 2-范数
另一方面：A 的任何{1,4}-逆均满足上述方程，设 X 是 A 的{1,4}-逆，
131
A (1,4) 是某个给定的{1,4}-逆，X 满足(ⅰ) (ⅳ)Penrose 方程
A
(1,4)
AA
(i)
Βιβλιοθήκη Baidu
(1,4)
AXA A (1,4) A
( iv )
XA XAA
H H
(1,4)
H x 2 x0 y 2 (x0 y)H (x0 y) x0 x0 y H y x0 2 y 2 x0 2 2 2 2 2 2
而 Ax Ax 0 Ay Ax 0 0 Ax 0 b 即： x 0 也是方程的解，也就是 R(A H ) 中存在 AX b 的解。 假设 R(A H ) 中存在方程 AX b 的两个解 x1 和 x 2 ，即 Ax1 Ax 2 b
由证明可知，方程 AX b 在 R(A H ) 的解必定是极小范数解。 引理 2. A 1, 4 由如下方程的通解构成 XA A (1,4) A ，其中 A (1,4) 是 A 的某一个{1,4}-逆。
[证明]一方面：上述方程的解一定是 A 的某一个{1,4}-逆,设 X 为其解 (ⅰ ) (ⅳ ) AXA AA (1,4) A A XA A (1,4) A 是厄米矩阵
I M A 1, 2 P r E KN 0, L NM N L nm
二、 由满秩分解求广义逆
n mr n 对 A 进行满秩分解： A FG ， A Cm ， F Cr ， G Cr r r n ，其满秩分解为 A FG ，则 [定理] 设 A Cm r
XA A (1,4) A
由引理 2 知 X A 1, 4 定理 3. 设 A Cmn ，则 A 1, 4 A (1,4) Z(I AA (1,4) ) | Z Cmn 该定理的证明可由引理 2 结合定理 1 给出。
作业：P334
2
3(1)，3(2)
132
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K 1 P 0
I M X P r E ， P 、 E 为满秩方阵 N L I M rankX rank r rankA r N L Ir M Ir N L ~ 0 M L NM 0 L NM
D AXB AA (1) AXBB(1) B AA (1) DB (1) B
现在证明通解： “通解”有两个含义： （1）解集合中的任何元素 为方程的解； （2）方程的任何解均可由集合中的元素表现出来。 （1） 令 X A (1) DB(1) Y A (1) AYBB(1) ，代入 AXB D
A
XA
H
H
XA
[得证]
以上引理说明，对于 X A 1, 4 ， XA 是个不变量。 定理 2. 设方程 Ax b 相容，则 X A (1,4) b 是方程的极小范数解；反 之，若对任意 b R (A) ，存在 X 使得 Xb 成为该方程的极小范数 解，则 X A 1, 4 。
AXB D AYB AYB D
集合中的元素为方程的解
（2） 设 X 为方程的解，即 AXB D
X A (1) DB (1) X A (1) DB(1) A (1) DB(1) X A (1) AXBB (1)
对应于集合中 Y X 的情况。 [得证] 由上述证明可见： （ 1） 通解中两个 A (1) 及两个 B(1) 完全可以不同。 （ 2） 通解集合中， 不同的 Y 完全可能对应同一个解。 推论 1. 线性方程组 AX b 有解的充要条件为： AA (1) b b 且通解为 A (1) b (I n A (1) A)y | y为列向量 推论 2. A 1 (AXA A的解) 为如下集合：
三、 矩阵方程 AXB D 的相容性条件及通解 定理 1. 矩阵方程 AXB D 相容 （有解） 的充要条件： AA (1) DB(1) B D 在相容情况下矩阵方程的通解为：
129
A
(1)
DB(1) Y A (1) AYBB(1) | Y为阶数合适的任意矩阵
[证明] 相容性条件的充分性： 已知 AA (1) DB(1) B D ，显然有解 X A (1) DB(1) 相容性条件的必要性：已知 AXB D 有解，设某个解为 X ，即
第十五讲 广义逆的计算及应用
一、 由 Hermite 标准形求{1}-逆
mn 任何矩阵都可由初等变换化为 Hermite 标准形。设 A Cr ，存 m 在满秩矩阵 E Cm ， 是 EA B（Hermite 标准形） ,采用置换矩阵 P ： m
P e l1
e l 2 | 其它e i nn
[证明] 先证前半部分。推论 1 A (1) b 是 Ax b 的解
A (1,4) A 1 x A (1,4) b是方程的解 (1,4) (1,4) (1,4) (1) (1,4) A A 4 x A b A AA b A A
H
A (1) b
A H (A (1,4) ) H A (1) b R(A H )
由引理 1 知， A (1,4) b 是极小范数解。 后半部分： ，存在对于任意 b R(A) ，均有 Xb 为 Ax b 的极小 范数解，即 Xb ＝ A (1,4) b 为极小范数解。 因为 b R(A) ，上式都成立，将 b 依次取为 A 的各列，合起来 得
I EAP r 0 I A E 1 r 0 1. 求{1}-逆的方法
K 0 K 1 P 0
I M A 1 P r E KN 0 N L n m
（取阶数合适的 M、L）
I M [证明]令 X P r E ，则 N L I AXA E1 r 0 K 1 I r M 1 I r P P EE 0 0 N L K 1 P 0 K 1 P 0
I KN M KL Ir E 1 r 0 0 0
I KN (Ir KN)K 1 E 1 r P 0 0 I E 1 r 0 A 2. {1,2}-逆
当 X A 1 时，由定理可知：rankX rankA 是 X A 1, 2 的充 要条件。
（1） G (i ) F(1) A i （2） G (1) F( i ) A i
i 1, 2, 4 i 1, 2, 3
（3） G (1) F A 1, 2, 3 ， G F(1) A 1, 2, 4 （4） A G F(1,3) G(1,4) F （5） A G F G H (GG H ) 1 (F H F) 1 F H G H (F H AG H ) 1 FH 证明思路： （ 1） （2）代入相应的 Penrose 方程即可证之， 由（1） （ 2） （ 3） （ 4） （ 5）
A
(1)
AA (1) Y A (1) AYAA (1)
（四个 A (1) 可互不相同）
四、 极小范数解 在方程有解时， 完全可能是具有无穷多个解， 实际中常常希望研 究其中具有特定性质的解，例如范数最小的解，即极小范数解。
130
引理 1. 方程 AX b 若有解，则必存在唯一的极小范数解（对 2-范 数） ，且该解在 R(A H ) 中。 [证明] 设 x 是方程 AX b 的解，可将其分解为 x x 0 y ，其中 x 0 R(A H ) N (A) x 0 N(A) ， y N(A)
Ax1 Ax 2 0 (x1 x 2 ) N(A)
同时 (x1 x 2 ) N (A)
(x1 x 2 ) N(A) N (A) 0
x1 ＝ x 2
也就是说在 R(A H ) 中方程 AX b 只有唯一的解（若方程有解）
方程的任何其它解的 2-范数均大于 x 0 的 2-范数
另一方面：A 的任何{1,4}-逆均满足上述方程，设 X 是 A 的{1,4}-逆，
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A (1,4) 是某个给定的{1,4}-逆，X 满足(ⅰ) (ⅳ)Penrose 方程
A
(1,4)
AA
(i)
Βιβλιοθήκη Baidu
(1,4)
AXA A (1,4) A
( iv )
XA XAA
H H
(1,4)
H x 2 x0 y 2 (x0 y)H (x0 y) x0 x0 y H y x0 2 y 2 x0 2 2 2 2 2 2
而 Ax Ax 0 Ay Ax 0 0 Ax 0 b 即： x 0 也是方程的解，也就是 R(A H ) 中存在 AX b 的解。 假设 R(A H ) 中存在方程 AX b 的两个解 x1 和 x 2 ，即 Ax1 Ax 2 b