新教材苏教版高中数学必修第二册课件百分位数
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(1)求某户居民用电费用 y(单位：元)关于月用电量 x(单位：千瓦 时)的函数解析式．
(2)为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年 1 月份 100 户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方 图．若这 100 户居民中，今年 1 月份用电费用不超过 260 元的占 80%， 求 a，b 的值．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若一组样本数据各不相等，则其 75%分位数大于第 25%分位
数．
()
(2) 若一组样本数据的 10%分位数是 23，则在这组数据中有
10%的数据大于 23．
()
(3)若一组样本数据的第 24%分位数是 24，则在这组数据中至少
有 76%的数据大于或等于 24．
(3)根据(2)中求得的数据计算用电量的 75%分位数．
[解] (1)当 0≤x≤200 时，y＝0.5x； 当 200<x≤400 时，y＝0.5×200＋0.8×(x－200)＝0.8x－60； 当 x>400 时，y＝0.5×200＋0.8×200＋1.0×(x－400)＝x－140. 所以 y 与 x 之间的函数解析式为
[样本数据低于 10 的比例为(0.08＋0.02)×4＝0.40，样本数
据低于 14 的比例为 0.40＋0.09×4＝0.76，所以此样本数据的第 50
百分位数在[10,14)内，估计此样本数据的 50 百分位数为 10＋00..316×4
＝1090.]
合作 探究 释疑 难
百分位数的计算
【例 1】 从某珍珠公司生产的产品中，任意抽取 12 颗珍珠， 得到它们的质量(单位：g)如下：
A．3.2 B．3.0
C．4.4
D．2.5
A [把这组数据按照由小到大排列，可得：
2.1,3.0,3.2,3.4,3.8, 4.0,4.2,4.4,5.3,5.6，
由 i＝10×25%＝2.5，不是整数，则第 3 个数据 3.2，是第 25 百
分位数．]
3．已知 100 个数据的 75 百分位数是 9.3，则下列说法正确的是( ) A．这 100 个数据中一定有 75 个数小于或等于 9.3 B．把这 100 个数据从小到大排列后，9.3 是第 75 个数据 C．把这 100 个数据从小到大排列后，9.3 是第 75 个数据和第 76 个数 据的平均数 D．把这 100 个数据从小到大排列后，9.3 是第 75 个数据和第 74 个数 据的平均数
因为 x 为这组数据的一个众数，所以 x 的取值集合 {164,165,168,170}．
(2)因为 20×90%＝18，所以 90 百分位数是第 18 项和第 19 项数 据的平均数，
【例 2】 某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价， 将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过 200 千瓦时 的部分按 0.5 元/千瓦时收费，超过 200 千瓦时但不超过 400 千瓦时的 部分按 0.8 元/千瓦时收费，超过 400 千瓦时的部分按 1.0 元/千瓦时收 费．
根据频率分布直方图计算样本数据的百分位数，首先要理解频率 分布直方图中各组数据频率的计算，其次估计百分位数在哪一组，再 应用方程的思想方法，设出百分位数，解方程可得．
[跟进训练] 2．某年级 120 名学生在一次百米测试中， 成绩全部介于 13 秒与 18 秒之间．将测试结果 分成 5 组：[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17)， [17,18]，得到如图所示的频率分布直方图．如 果从左到右的 5 个小矩形的面积之比为 1∶3∶7∶6∶3，那么成绩的 70%分位数约为 ________秒．
(1) 若 x 为这组数据的一个众数，求 x 的取值集合； (2) 若样本数据的 90 百分位数是 173，求 x 的值．
[解] (1)其余十九个数据 152,155,158, 164, 164, 165, 165, 165, 166, 167, 168, 168, 169, 170, 170, 170, 171,174, 175 中，数据出现的频 数为 3 的数有 165,170，出现频数为 2 的数据有 164,168
第14章 统计
14.4 用样本估计总体 14.4.4 百分位数
学习目标
核心素养
1.结合实例，能用样本估计百分 1.通过对百分位数概念的学习，培
位数．(重点)
养学生数学抽象素养．
2．理解百分位数的统计含 2．通过计算样本的百分位数，培
义．(重点、难点)
养学生数学运算素养.
情景 导学 探新 知
班级人数为 50 的班主任老师说“90%的同学能够考取本科院 校”，这里的“90%”是百分位数吗？数学老师说 “这次数学测试 成绩的第 70 百分位数是 85 分”这句话是什么意思？
16.5 [设成绩的 70%分位数为 x，因为1＋13＋＋37＋＋76＋3＝0.55， 1＋1＋3＋3＋7＋7＋6＋6 3＝0.85，
所以 x∈ [16,17)，所以 0.55＋(x－16)×1＋3＋67＋6＋3＝0.70， 解得 x＝16.5 秒．]
课堂 小结 提素 养
求一组数据的百分位数时，掌握其步骤：①按照从小到大排列原 始数据；②计算 i＝n×p%；③若 i 不是整数，大于 i 的最小整数为 j， 则第 p 百分位数为第 j 项数据；若 i 是整数，则第 p 百分位数为 i 项 与第(i＋1)项数据的平均数．
0.5x，0≤x≤200，
y＝0.8x－60，200＜x≤400， x－140，x>400.
(2)由(1)可知，当 y＝260 时，x＝400，即用电量不超过 400 千瓦 时的占 80%，
结合频率分布直方图可知 0.001×100＋2×100b＋0.003×100＝0.8， 100a＋0.000 5×100＝0.2， 解得 a＝0.001 5，b＝0.002 0.
[解] (1)将所有数据从小到大排列，得 7.8,7.9,8.0,8.3,8.4,8.5,8.5,8.5,8.6,8.9,9.0,9.9， 因为共有 12 个数据，所以 12×25%＝3,12×75%＝9,12×95%＝ 11.4， 则 25 百分位数是8.0＋2 8.3＝8.15， 75 百分位数是8.6＋2 8.9＝8.75， 95 百分位数是第 12 个数据为 9.9.
7.9,9.0,8.9,8.6,8.4,8.5,8.5,8.5,9.9,7.8,8.3,8.0. (1)分别求出这组数据的 25,75,95 百分位数． (2)请你找出珍珠质量较小的前 15%的珍珠质量． (3)若用 25,50,95 百分位数把公司生产的珍珠划分为次品、合格 品、优等品和特优品，依照这个样本的数据，给出该公司珍珠等级的 划分标准．
C [因为 100×75%＝75 为整数，所以第 75 个数据和第 76 个数 据的平均数为第 75 百分位数，是 9.3，选 C．]
4．从某校高一新生中随机抽取一个容量为 20 的身高样本，数据 排序如下(单位：cm)，
152,155,158, 164, 164, 165, 165, 165, 166, 167, 168, 168, 169, 170, 170, 170, 171，x, 174, 175.
()
[解析] (1)正确． (2)错误．若一组样本数据的 10%分位数是 23，则在这组数据中 有 10%的数据小于或等于 23. (3)正确． [答案] (1)√ (2)× (3)√
2．下列一组数据的 25 百分位数是( )
2.1,3.0,3.2,3.8,3.4,4.0,4.2,4.4,5.3,5.6
[跟进训练]
1．以下数据为参加数学竞赛决赛的 15 人的成绩：
Βιβλιοθήκη Baidu
78,70,72,86,88,79,80,81,94,84,56,98,83,90,91，
则这 15 人成绩的 80 百分位数是( )
A．90 B．90.5
C．91
D．91.5
B [把成绩按从小到大的顺序排列为： 56,70,72,78,79,80,81,83,84,86,88,90,91,94,98， 因为 15×80%＝12，所以这 15 人成绩的第 80 百分位数是90＋2 91 ＝90.5.]
计算一组 n 个数据的 k 百分位数的一般步骤 (1)排列：按照从小到大排列原始数据； (2)计算 i：计算 i＝n×k%； (3)定数：若 i 不是整数，大于 i 的最小整数为 j，则第 k 百分位 数为第 j 项数据；若 i 是整数，则第 k 百分位数为第 i 项与第(i＋1)项 数据的平均数．
百分位数的综合应用
[探究问题] 1．第 p 百分位数有什么特点？ [提示] 总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是 p.
2．某组数据的第 p 百分位数在此组数据中一定存在吗？为什 么？
[提示] 不一定．因为按照计算第 p 百分位数的步骤，第 2 步计 算所得的 i＝n×p%如果是整数，则第 p 百分位数为第 i 项与第(i＋1) 项数据的平均数，若第 i 项与第(i＋1)项数据不相等，则第 p 百分位 数在此组数据中就不存在．
(2)因为共有 12 个数据，所以 12×15%＝1.8，则 15 百分位数是 第 2 个数据为 7.9.
即产品质量较小的前 15%的产品有 2 个，它们的质量分别为 7.8 g,7.9 g.
(3)由(1)可知样本数据的 25 百分位数是 8.15 g, 50 百分位数为 8.5 g, 95 百分位数是 9.9 g，所以质量小于或等于 8.15 g 的珍珠为次品， 质量大于 8.15 g 且小于或等于 8.5 g 的珍珠为合格品，质量大于 8.5 g 且小于等于 9.9 g 的珍珠为优等品，质量大于 9.9 g 的珍珠为特优品．
3．四分位数
我们把_中__位__数_、__2_5_百__分__位__数__和__75_百__分__位__数___称为四分位数．
1．下列关于一组数据的 50 百分位数的说法正确的是( ) A．50 百分位数就是中位数 B．总体数据中的任意一个数小于它的可能性一定是 50% C．它一定是这组数据中的一个数据 D．它适用于总体是离散型的数据 A [由百分位数的意义可知选项 B，C，D 错误．]
(3)设 75%分位数为 m， 因 为 用 电 量 低 于 300 千 瓦 时 的 所 占 比 例 为 (0.001 ＋ 0.002 ＋ 0.003)×100＝60%， 用电量不超过 400 千瓦时的占 80%， 所以 75%分位数为 m 在[300,400)内，所以 0.6＋(m－300)×0.002 ＝0.75， 解得 m＝375 千瓦时，即用电量的 75%分位数为 375 千瓦时．
2．数据 7.0,8.4,8.4,8.4,8.6,8.7,9.0,9.1 的 30 百分位数是________． 8.4 [因为 8×30%＝2.4，故 30%分位数是第三项数据 8.4.]
3．一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数 据的 50 百分位数为________．
100 9
1．一组数据的 k 百分位数的含义
一般地，一组数据的 k 百分位数是这样一个值 pk，它使得有_k_%_
的数据小于或等于 pk.
2．计算有 n 个数据的大样本的 k 百分位数的步骤
第 1 步，将所有数值按__从__小__到_大___的顺序排列．
第 2 步，计算 k·10n0； 第 3 步，如果结果为整数，那么 k 百分位数位于第 k·1n00位和下 一位数之间，通常取两个位置上数值的平均数为 k 百分位数； 第 4 步，如果 k·10n0不是整数，那么将其向上取整(即其整数部分 加上 1)，在该位置上的数值为 k 百分位数．
思考：数据 1,2,2,3,4 的 50 百分位数是 2 吗？数据 1,2,2,3,4,6 的
50 百分位数是 3 吗？为什么？这两组数据的中位数又分别是什么？
与相应的 50 百分位数有什么关系？ 提示：①正确，因为 5×15000＝2.5，所以这组 50 百分位数是 2. ②错误，因为 6×15000＝3，所以这组 50 百分位数是2＋2 3＝2.5≠3. ③这两组数据的中位数分别为 2,2.5. ④一组数据的中位数为 50 百分位数．
(2)为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年 1 月份 100 户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方 图．若这 100 户居民中，今年 1 月份用电费用不超过 260 元的占 80%， 求 a，b 的值．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若一组样本数据各不相等，则其 75%分位数大于第 25%分位
数．
()
(2) 若一组样本数据的 10%分位数是 23，则在这组数据中有
10%的数据大于 23．
()
(3)若一组样本数据的第 24%分位数是 24，则在这组数据中至少
有 76%的数据大于或等于 24．
(3)根据(2)中求得的数据计算用电量的 75%分位数．
[解] (1)当 0≤x≤200 时，y＝0.5x； 当 200<x≤400 时，y＝0.5×200＋0.8×(x－200)＝0.8x－60； 当 x>400 时，y＝0.5×200＋0.8×200＋1.0×(x－400)＝x－140. 所以 y 与 x 之间的函数解析式为
[样本数据低于 10 的比例为(0.08＋0.02)×4＝0.40，样本数
据低于 14 的比例为 0.40＋0.09×4＝0.76，所以此样本数据的第 50
百分位数在[10,14)内，估计此样本数据的 50 百分位数为 10＋00..316×4
＝1090.]
合作 探究 释疑 难
百分位数的计算
【例 1】 从某珍珠公司生产的产品中，任意抽取 12 颗珍珠， 得到它们的质量(单位：g)如下：
A．3.2 B．3.0
C．4.4
D．2.5
A [把这组数据按照由小到大排列，可得：
2.1,3.0,3.2,3.4,3.8, 4.0,4.2,4.4,5.3,5.6，
由 i＝10×25%＝2.5，不是整数，则第 3 个数据 3.2，是第 25 百
分位数．]
3．已知 100 个数据的 75 百分位数是 9.3，则下列说法正确的是( ) A．这 100 个数据中一定有 75 个数小于或等于 9.3 B．把这 100 个数据从小到大排列后，9.3 是第 75 个数据 C．把这 100 个数据从小到大排列后，9.3 是第 75 个数据和第 76 个数 据的平均数 D．把这 100 个数据从小到大排列后，9.3 是第 75 个数据和第 74 个数 据的平均数
因为 x 为这组数据的一个众数，所以 x 的取值集合 {164,165,168,170}．
(2)因为 20×90%＝18，所以 90 百分位数是第 18 项和第 19 项数 据的平均数，
【例 2】 某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价， 将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过 200 千瓦时 的部分按 0.5 元/千瓦时收费，超过 200 千瓦时但不超过 400 千瓦时的 部分按 0.8 元/千瓦时收费，超过 400 千瓦时的部分按 1.0 元/千瓦时收 费．
根据频率分布直方图计算样本数据的百分位数，首先要理解频率 分布直方图中各组数据频率的计算，其次估计百分位数在哪一组，再 应用方程的思想方法，设出百分位数，解方程可得．
[跟进训练] 2．某年级 120 名学生在一次百米测试中， 成绩全部介于 13 秒与 18 秒之间．将测试结果 分成 5 组：[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17)， [17,18]，得到如图所示的频率分布直方图．如 果从左到右的 5 个小矩形的面积之比为 1∶3∶7∶6∶3，那么成绩的 70%分位数约为 ________秒．
(1) 若 x 为这组数据的一个众数，求 x 的取值集合； (2) 若样本数据的 90 百分位数是 173，求 x 的值．
[解] (1)其余十九个数据 152,155,158, 164, 164, 165, 165, 165, 166, 167, 168, 168, 169, 170, 170, 170, 171,174, 175 中，数据出现的频 数为 3 的数有 165,170，出现频数为 2 的数据有 164,168
第14章 统计
14.4 用样本估计总体 14.4.4 百分位数
学习目标
核心素养
1.结合实例，能用样本估计百分 1.通过对百分位数概念的学习，培
位数．(重点)
养学生数学抽象素养．
2．理解百分位数的统计含 2．通过计算样本的百分位数，培
义．(重点、难点)
养学生数学运算素养.
情景 导学 探新 知
班级人数为 50 的班主任老师说“90%的同学能够考取本科院 校”，这里的“90%”是百分位数吗？数学老师说 “这次数学测试 成绩的第 70 百分位数是 85 分”这句话是什么意思？
16.5 [设成绩的 70%分位数为 x，因为1＋13＋＋37＋＋76＋3＝0.55， 1＋1＋3＋3＋7＋7＋6＋6 3＝0.85，
所以 x∈ [16,17)，所以 0.55＋(x－16)×1＋3＋67＋6＋3＝0.70， 解得 x＝16.5 秒．]
课堂 小结 提素 养
求一组数据的百分位数时，掌握其步骤：①按照从小到大排列原 始数据；②计算 i＝n×p%；③若 i 不是整数，大于 i 的最小整数为 j， 则第 p 百分位数为第 j 项数据；若 i 是整数，则第 p 百分位数为 i 项 与第(i＋1)项数据的平均数．
0.5x，0≤x≤200，
y＝0.8x－60，200＜x≤400， x－140，x>400.
(2)由(1)可知，当 y＝260 时，x＝400，即用电量不超过 400 千瓦 时的占 80%，
结合频率分布直方图可知 0.001×100＋2×100b＋0.003×100＝0.8， 100a＋0.000 5×100＝0.2， 解得 a＝0.001 5，b＝0.002 0.
[解] (1)将所有数据从小到大排列，得 7.8,7.9,8.0,8.3,8.4,8.5,8.5,8.5,8.6,8.9,9.0,9.9， 因为共有 12 个数据，所以 12×25%＝3,12×75%＝9,12×95%＝ 11.4， 则 25 百分位数是8.0＋2 8.3＝8.15， 75 百分位数是8.6＋2 8.9＝8.75， 95 百分位数是第 12 个数据为 9.9.
7.9,9.0,8.9,8.6,8.4,8.5,8.5,8.5,9.9,7.8,8.3,8.0. (1)分别求出这组数据的 25,75,95 百分位数． (2)请你找出珍珠质量较小的前 15%的珍珠质量． (3)若用 25,50,95 百分位数把公司生产的珍珠划分为次品、合格 品、优等品和特优品，依照这个样本的数据，给出该公司珍珠等级的 划分标准．
C [因为 100×75%＝75 为整数，所以第 75 个数据和第 76 个数 据的平均数为第 75 百分位数，是 9.3，选 C．]
4．从某校高一新生中随机抽取一个容量为 20 的身高样本，数据 排序如下(单位：cm)，
152,155,158, 164, 164, 165, 165, 165, 166, 167, 168, 168, 169, 170, 170, 170, 171，x, 174, 175.
()
[解析] (1)正确． (2)错误．若一组样本数据的 10%分位数是 23，则在这组数据中 有 10%的数据小于或等于 23. (3)正确． [答案] (1)√ (2)× (3)√
2．下列一组数据的 25 百分位数是( )
2.1,3.0,3.2,3.8,3.4,4.0,4.2,4.4,5.3,5.6
[跟进训练]
1．以下数据为参加数学竞赛决赛的 15 人的成绩：
Βιβλιοθήκη Baidu
78,70,72,86,88,79,80,81,94,84,56,98,83,90,91，
则这 15 人成绩的 80 百分位数是( )
A．90 B．90.5
C．91
D．91.5
B [把成绩按从小到大的顺序排列为： 56,70,72,78,79,80,81,83,84,86,88,90,91,94,98， 因为 15×80%＝12，所以这 15 人成绩的第 80 百分位数是90＋2 91 ＝90.5.]
计算一组 n 个数据的 k 百分位数的一般步骤 (1)排列：按照从小到大排列原始数据； (2)计算 i：计算 i＝n×k%； (3)定数：若 i 不是整数，大于 i 的最小整数为 j，则第 k 百分位 数为第 j 项数据；若 i 是整数，则第 k 百分位数为第 i 项与第(i＋1)项 数据的平均数．
百分位数的综合应用
[探究问题] 1．第 p 百分位数有什么特点？ [提示] 总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是 p.
2．某组数据的第 p 百分位数在此组数据中一定存在吗？为什 么？
[提示] 不一定．因为按照计算第 p 百分位数的步骤，第 2 步计 算所得的 i＝n×p%如果是整数，则第 p 百分位数为第 i 项与第(i＋1) 项数据的平均数，若第 i 项与第(i＋1)项数据不相等，则第 p 百分位 数在此组数据中就不存在．
(2)因为共有 12 个数据，所以 12×15%＝1.8，则 15 百分位数是 第 2 个数据为 7.9.
即产品质量较小的前 15%的产品有 2 个，它们的质量分别为 7.8 g,7.9 g.
(3)由(1)可知样本数据的 25 百分位数是 8.15 g, 50 百分位数为 8.5 g, 95 百分位数是 9.9 g，所以质量小于或等于 8.15 g 的珍珠为次品， 质量大于 8.15 g 且小于或等于 8.5 g 的珍珠为合格品，质量大于 8.5 g 且小于等于 9.9 g 的珍珠为优等品，质量大于 9.9 g 的珍珠为特优品．
3．四分位数
我们把_中__位__数_、__2_5_百__分__位__数__和__75_百__分__位__数___称为四分位数．
1．下列关于一组数据的 50 百分位数的说法正确的是( ) A．50 百分位数就是中位数 B．总体数据中的任意一个数小于它的可能性一定是 50% C．它一定是这组数据中的一个数据 D．它适用于总体是离散型的数据 A [由百分位数的意义可知选项 B，C，D 错误．]
(3)设 75%分位数为 m， 因 为 用 电 量 低 于 300 千 瓦 时 的 所 占 比 例 为 (0.001 ＋ 0.002 ＋ 0.003)×100＝60%， 用电量不超过 400 千瓦时的占 80%， 所以 75%分位数为 m 在[300,400)内，所以 0.6＋(m－300)×0.002 ＝0.75， 解得 m＝375 千瓦时，即用电量的 75%分位数为 375 千瓦时．
2．数据 7.0,8.4,8.4,8.4,8.6,8.7,9.0,9.1 的 30 百分位数是________． 8.4 [因为 8×30%＝2.4，故 30%分位数是第三项数据 8.4.]
3．一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数 据的 50 百分位数为________．
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1．一组数据的 k 百分位数的含义
一般地，一组数据的 k 百分位数是这样一个值 pk，它使得有_k_%_
的数据小于或等于 pk.
2．计算有 n 个数据的大样本的 k 百分位数的步骤
第 1 步，将所有数值按__从__小__到_大___的顺序排列．
第 2 步，计算 k·10n0； 第 3 步，如果结果为整数，那么 k 百分位数位于第 k·1n00位和下 一位数之间，通常取两个位置上数值的平均数为 k 百分位数； 第 4 步，如果 k·10n0不是整数，那么将其向上取整(即其整数部分 加上 1)，在该位置上的数值为 k 百分位数．
思考：数据 1,2,2,3,4 的 50 百分位数是 2 吗？数据 1,2,2,3,4,6 的
50 百分位数是 3 吗？为什么？这两组数据的中位数又分别是什么？
与相应的 50 百分位数有什么关系？ 提示：①正确，因为 5×15000＝2.5，所以这组 50 百分位数是 2. ②错误，因为 6×15000＝3，所以这组 50 百分位数是2＋2 3＝2.5≠3. ③这两组数据的中位数分别为 2,2.5. ④一组数据的中位数为 50 百分位数．