自动控制理论 第5章-第4讲

0 Ⅳ 0

Ⅰ
R e j
e j
Ⅲ

Ⅱ
17
S平面
下面讨论增加的第Ⅳ部分小半圆在Gk(s) 平面的映射： 当s沿小半圆移动时，有

0 Ⅳ 0

Ⅰ
R e j
e j
s lim e
0
m
j
Ⅲ

Ⅱ
Gk ( s ) s lim e j

0
21
[例]某Ⅱ型系统的开环频率特性 如下图所示，且s右半平面 无开环极点，试用奈氏判据判断闭环系统稳定性。 [解]：首先画出完整的奈氏 曲线的映射曲线。如右图：
0
0

1

从图上可以看出：映射曲线顺时 针包围(-1,j0)两圈。因 P 0 ， 所以 Z P N 0 ( 2) 2 ， 闭环系统是不稳定的。
18
S平面
下面讨论增加的第Ⅳ部分小半圆在Gk(s) 平面的映射： (a)对于Ⅰ型系统： 这一段的映射为：半径为 ， 角度从 变到 的右半圆。
2 2

0 Ⅳ 0

Ⅰ
R e j
e j
Ⅲ

I m 0
Ⅱ
Gk(S)平面

Re


2 0
第1个问题：先假设F(s)在虚轴上没有零、极点。按顺时针方 向做一条曲线包围整个s右半平面，这条封闭曲线称为乃奎斯 特回线，简称奈氏回线。如下图：
Ⅰ 0Ⅲ jFra bibliotek e j

Ⅱ

它可分为三部分：Ⅰ部分是正虚轴， 0 Ⅱ部分是右半平面上半径为无穷大的半圆； s R e j , R ,从 ； 2 2 Ⅲ部分是负虚轴， 0 。
5
二、乃奎斯特稳定判据：
设负反馈系统的开环传递函数
G k ( s ) G( s ) H ( s ) K g M ( s) N ( s)
闭环特征多项式
F ( s ) 1 G( s ) H ( s ) 1 K g M ( s) N ( s) N ( s) K g M ( s) N ( s)

Re
20
[例]某系统的开环频率特性如下图所示。开环系统在s右半平 面没有极点，试用乃氏判据判断闭环系统稳定性。 [解]：显然这是Ⅰ型系统。先根据 乃氏回线画出完整的映射曲线。
0
从图上看出：映射曲线不包围 (-1,j0)点，所以 N = 0 ， 而 P 0 ，故闭环系统是稳定 的。
1
可见，F(s)的极点就是开环传递函数的极点（开环 极点）。
6
设负反馈系统的开环传递函数
G k ( s ) G( s ) H ( s ) K g M ( s) N ( s)
闭环传递函数
( s ) G( s ) G( s ) 1 G( s ) H ( s ) F ( s )
可见，F(s)的零点就是闭环传递函数的极点（闭环 极点）。
乃氏判据判断闭环系统的稳定性。 [解]：开环极点为 1 ，
1 j 2都在s左半平面， 所以 P。乃氏图如 0 右。
从图中可以看出：乃 氏图顺时针围绕 (-1,j0) 点2圈。所以闭环系统在s 右半极点数为：
Z P N 0 (2) 2
闭环系统是不稳定的。
14
上面讨论的乃奎斯特判据和例子，都是假设 虚轴上没有开环极点，即开环系统都是0型的， 这是为了满足幅角定理的条件。 对于Ⅰ、Ⅱ型的开环系统，由于在虚轴上 （原点）有极点，因此前述的乃氏路径不满足幅 角定理。为了解决这一问题，需要重构乃奎斯特 回线。
12
[例]开环传递函数 Gk ( s ) 判断闭环系统的稳定性。 [解]：开环系统的乃氏 图如右。
K ，试用乃氏判据 (T1 s 1)(T2 s 1)
系统在s右半平面没有 开环极点 乃氏图不包围(-1,j0) 点 故闭环系统是稳定的。
13
52 [例]设系统开环传递函数为：Gk ( s ) ，试用 2 ( s 1)(s 2 s 5)
7
对于一个控制系统，若其特征根处于s右半平面，则系统 F ( s ) 1 G( s ) H ( s ) 的零点恰好是闭环系统的极 是不稳定的。 点，因此，只要搞清F(s)的的零点在s右半平面的个数，就可 以给出稳定性结论。如果F(s)在s右半平面的零点个数为零， 则闭环系统是稳定的。 我们这里是应用开环频率特性研究闭环系统的稳定性， 因此开环频率特性是已知的。设想： 如果有一个s平面的封闭曲线能包围整个s右半平面，则 根据幅角定理知：该封闭曲线在F(s)平面上的映射逆时针包 围原点的次数应为： N F ( s ) |右半极点数 F ( s ) |右半零点数
0
K ( i s 1) s (Ti s 1)
i 1 j 1 n
K j e (lim e j )
0
s lim e j
0
当 从 变化到 ，在 G ( s ) 平面上的映射曲线将沿 k 2 2 着半径为无穷大的圆弧按顺时针方向从 变化到 。 2 2
9
第2个问题： 对于实际的系统，G(s)H(s)中n≥m，当 s→∞时， lim F ( s ) lim[1 G ( s ) H ( s )] 常数
s s
这意味着当s沿着半径为无穷大的半圆变化时， 函数始终为一常数。
由此可知，平面上的映射曲线CF是否包围 坐标原点，只取决于奈氏路径上虚轴部分的映射， 即由 j 轴的映射曲线来表征。
3
一、映射定理（幅角定理）：
F ( s) K1 ( s z j )
j 1 n
设
(s p )
i i 1
n
对于s平面上的每一点，在F(s)平面上必有唯 一的一个映射点与之对应；同理，对于 s平面上 的任意一条不通过极点和零点的闭合曲线 Cs，在 F(s)平面上必有唯一的一条闭合曲线CF与之对应。 若s平面上的闭合曲线Cs按顺时针方向运动，则其 在平面上的映射曲线CF的运动方向可能是顺时针， 也可能是逆时针，它完全取决于F(s)本身的特性。
开环系统右半极点数 闭环系统右半极点数
当已知开环右半极点数时，便可由N判断闭环右极点数。
8
这里需要解决两个问题：
1、如何构造一个能够包围整个s右半平面的封闭曲线，并且 它是满足幅角条件的？
2、如何确定相应的映射F(s)对原点的包围次数N，并将它和 开环频率特性 GK ( j ) 相联系？
10
乃奎斯特稳定判据： （1）如果开环系统是稳定的，即P=0，则闭环系统稳定的 充要条件是 Gk ( j )曲线不包围 ( 1，j 0) 点。 （Z P N 0 ）
（2）如果开环系统不稳定，且已知有P个开环极点位于s 的右半平面，则其闭环系统稳定的充要条件是Gk ( j ) 曲 线按逆时针方向围绕(-1,j0)点旋转P周。 （Z P N 0 ）
自动控制原理
第5章 第4讲 奈圭斯特稳定
荆楚理工学院电子信息工程学院
一、教学目标:
掌握乃奎斯特稳定判据
，能够熟练运用稳定判据判稳。
二、教学重点与难点: 乃奎斯特稳定判据、相对稳定性的计算 三、教学方法与手段：多媒体结合板书 四、教学时数：2课时
五、课后作业： P154 T6-13，T6-14 T6-17

( )
0
o

180o
奈氏图
Bode图
23
临界稳定点：(-1,j0)点 乃氏图中 (-1, j0)点以左负实轴的穿越点对应伯德图 中L(ω )> 0范围内的与-180°线的穿越点。 正穿越（相角增大）对应伯德图中L(ω )> 0范围内 随着ω的增加相频特性从下而上穿过-180°线。 负穿越（相角减小）对应伯德图中L(ω )> 0范围内 随着ω的增加相频特性从上而下穿过-180°线。
15
三、虚轴上有开环极点时的乃奎斯特稳定判据
具有积分环节的系统，其开环传递函数为：
Gk ( s ) K ( i s 1) s (T j s 1)
j 1 i 1 n m
可见，在坐标原点有 重极点。若取乃氏回线同上时 （通过虚轴的整个s右半平面），不满足映射定理。 为了使奈氏路径不经过原点而仍然能包围整个s右半 平面，对奈氏路径作如下修改：以原点为圆心，半径为无 穷小做右半圆，使乃氏回线沿着小半圆绕过原点。
2
5-4
乃奎斯特稳定性判据
为了保证系统稳定，特征方程 1 G( s ) H ( s ) 0 的全部根，都必须位于s左半平面。
乃奎斯特稳定判据正是一种将开环频率响 应 G( j ) H ( j ) 与 1 G( s ) H ( s ) 在s右半平面内的 零点数和极点数联系起来的判据。 因为闭环系统的稳定性可以由开环频率响 应曲线图解确定，无需实际求出闭环极点，所 以这种判据在控制工程中得到了广泛应用。
11
开环幅相频率特性 Gk ( j ) 曲线 从0 和 从 0 部分是关于实轴对称的，运用乃氏判 据时，可以利用对称性把乃氏曲线补全，再进行判 断；也可以只画出的部分来判断，如果系统稳定， 则应有 N P 。
2
当 Gk ( j )曲线恰好通过 ( 1，j 0) 时，说明闭环 系统有极点落在虚轴上，系统也是不稳定的。
22
临界稳定点：(-1,j0)点
五、根据伯德图判断系统的稳定性
开环系统的极坐标图（奈氏图）和对数坐标图（Bode 图）的对应关系： 1、奈氏图上单位圆对应于Bode图上的零分贝线； 单位圆以外对应
Im 0 -1 0 Re
L( ) 0dB
2、奈氏图上的负实轴对应于Bode图上的-1800线。