线性代数维向量空间
向量空间的基底与维数
向量空间的基底与维数在线性代数中，向量空间是一个具有特定运算规则的集合。
在向量空间中，基底是一组线性无关的向量，它们可以生成该向量空间中的任意向量。
维数则是指向量空间中基底的个数。
本文将介绍向量空间的基底与维数的概念及其相关性质。
一、基底的定义与性质基底是向量空间中的一组线性无关的向量。
具体来说，如果向量空间V中的向量集合B={b1, b2, ..., bn}满足以下两个条件：1. B中的向量相互独立，即对于任意不全为0的标量c1, c2, ..., cn，有c1b1 + c2b2 + ... + cnbn ≠ 0；2. B中的向量可以生成向量空间V中的任意向量，即对于向量v∈V，存在标量c1, c2, ..., cn，使得v = c1b1 + c2b2 + ... + cnbn。
根据基底的定义，我们可以得出一些基本性质：1. 基底中的向量个数是唯一的。
换言之，一个向量空间只有一个维数。
2. 基底中的向量个数与向量空间中的任意一组基底的向量个数相等。
3. 如果一个向量空间有有限维，则其基底中的向量个数也是有限的。
二、维数的定义与性质维数是指向量空间中基底的个数。
记作dim(V)。
如果向量空间V中存在一组基底包含m个向量，那么V的维数就是m。
维数具有以下性质：1. 维数是向量空间的基本属性，不依赖于具体的表示方式。
2. 同一个向量空间中的不同基底具有相同的维数。
3. 对于向量空间R^n，其维数为n。
三、基底和维数的关系与应用基底和维数在线性代数中具有重要的应用价值。
首先，基底的存在性保证了向量空间中的向量可以用基底中的向量线性表示出来，这对于求解线性方程组、解决线性相关与线性无关的问题非常有帮助。
其次，维数在研究向量空间的结构和性质时起到了关键作用。
例如，两个向量空间V和W的维数相等，则它们同构；若维数不相等，则它们不同构。
此外，在计算机科学、信号处理以及物理学等领域中，基底和维数的概念也被广泛应用，如图像压缩、数据降维等。
线性代数第3章向量空间
表示, 又 m>n, 由表示不等式
r(Blm ) r( Aln ) n m 从而 B 必相关.
-26-
(6) “短的无关, 则长的也无关.等价地… ” P101推论3
无穷多种表示, 并求所有表示方法.
解 记 A [1,2 ,3 ] 只需讨论 Ax 解的情况.
具体解方程组过程略。
0 时,方程组无解, 不能由 A 表示. 0 且 3时, 方程组有唯一解, 可由 A 唯一表示.
-12-
3 时, 方程组有无穷多解, 可由 A 无穷多种表示.
1
1 2
,
2
3 4
是无关的.
1
3
n r( Amn ) r(Bln ) n
1 , 2 也是无关的.
2
4
r(Bln ) n
1
再如：1
2 0 0
,
0
2
101,
0
3
9 0 1
.
-27-
(7)含有n个向量的n元向量组线性相关（无关）
由它构成的n阶矩阵的行列式 | A | 0 (| A | 0) 例4 t 取何值时,下列向量组线性相关 ? P101推论2
(用矩阵的秩) r( A) n
把向量组排成矩阵，如果矩阵的秩等于向量的个数就线性 无关，否则如果矩还阵是的转秩换小！于转向换量线的性个无数关就…线性相关。
-18-
例1
1
0
2
1 1,2 2,3 4,
1
5
7
问向量组 {1,2 ,3 } 和 {1,2 }的线性相关性?
线性代数53向量空间的基和维
例 设A a1(2 2 1)T a2(2 1 2)T a3(1 2 2)T B b1(1 0 4)T b2(4 3 2)T 验证a1 a2 a3是R3的一 个基 并求b1 b2在这个基中的坐标
解 要说明a1, a2, a3是R3的一个基，只要证a1, a2, a3线性无关， 即A E
设b1 x11a1 x21a2 x31a3, b2 x12a1x22a2 x32a3, 则
r1 r2
由基的定义知两组向量组都线性无关，即
r1 s, r2 t 从而 s t
定义 向量空间V 的任一基向量的个数, 称为空间V 的维 （dimension）, 记这个数为 dimV
由于Rn有一组明显的自然基，
1 0
0
e1
0,
e2
1,
en
0
0
0
1
故有 dim Rn = n , 即Rn是n维向量空间.
Ax O
的解集 N(A) 是向量空间，现在进一步指出：它的通解中 元素的一般式中所含有任意常数的个数 n- r(A) 就是 N(A) 的维数 dimN(A), 即
dim N( A) n r( A)
dim N( A) dim R( A) n
基础解系就是N(A)的一组基，它们线性无关，并生成N(A).
即
A
y1 y2 y3
B
z1 z2 z3
于是
z1 z2 z3
B1A
y1 y2 y3
这就是从旧坐标到新坐标的坐标变换公式
定理 设b1、…、bs 及 f1、…、ft 是向量空间的任两 组基，则必有 s=t. 证 利用等价向量组 根据向量空间基的定义可知两组基等价的，从而其秩相等：
注 （1）只有零向量的向量空间没有基 规定其维数为0 （2）若把向量空间V看作向量组 则向量空间V的基就是
北京工业大学线性代数第四章第一节 n 维向量空间
n
向量组 1 , 2 , , n 称为矩阵A 的列向量组．
10
类似地, 矩阵A (aij )mn 又有m个n维行向量
a11 a12 a 21 a 22 A ai1 ai 2 a m1 am 2 a1n 1 1 a 2 n 2 2 ， a in i m a mn m
23
例4 已知
1 1, 4, 0, 2，2 2, 7, 1, 3， 3 0, 1, 1, a , 3, 10, b, 4 , 不能由1 ,2 ,3 线性表出? ⑴ a , b为何值时， 能由1 ,2 ,3 线性表出且表示法 ⑵ a , b 为何值时，
, n
n xn 是否有解。
n xn
,n 线 性表出.
19
＊若方程组 1 x1 2 x2
有解，则 可以由1 ,2 ,
n xn
,n 线 性表出.
且方程组的一组解就是表出系数． ① 若方程组有唯一解，则 可以由1 ,2 , ,n 线性表出且表示法唯一. ② 若方程组有无穷多解，则
1
第一节 n 维向量空间
一． n 维向量空间的概念 二．向量与矩阵的关系 三．向量的线性组合与线性表出
2
一． n 维向量空间的概念 一个mn矩阵的每一行都是由n个数组成 的有序数组,其每一列都是由m个数组成的有序 数组。 n元线性方程组的一个解也是由n个数 组成的有序数组。所以研究线性方程组解的结 构离不开有序数组。 1.定义:由数域P 中n 个数组成的有序数组称为 数域P 上的一个n 维向量，用小写的希腊字母 , , …表示．
线性代数--向量空间
dx4 0 d 2 x4
0
a 3 x1 b3 x2 c 3 x3 d 3 x4 0
该方程组的系数行列式
1111 abcd a2 b2 c2 d 2 (b a)(c a)(c b)(d a)(d b)(d c) a3 b3 c3 d 3
由于a，b，c，d各不相同.，所以行列式不等于零
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 am1 x1 am2 x2 amn xn bm
含n个未知量m个方程的线性非齐次方程组可写成矩阵形式
a11 a12 a1n
x1 b1
AX
b
其中
A
a21
a22
a2n
,
a a 3 = (1,c,c2 , c3 , )T , 4 = (1,d, d2 , d3 )T
（其中a，b，c，d各不相同）
解 考察 x1a1 x2a2 x3a3 x4a4 0
x1 x2 x3 x4 0
按分量写出来，即为
a
2
ax1 x1
b
bx2 2 x2
cx3 c2 x
3
线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由 其余向量线性表示。
k1a1 k2a2 ksas 0 (1) 则称向量组a1,a2, as 线性相关；
否则称之为线性无关。
即当且仅当 k1 k2 ks 0 时，(1)式才成立，
则称向量组 a1,a2 , as , 线性无关。
注意
(1) 任何含有零向量的向量组都线性相关. （2） 仅含两个向量的向量组，它线性相关的充分
X
x2
,
b
b2
am1
am2
线性代数与空间解析几何01-第34节 向量空间的基、维数与向量的坐标_34
T
T
,
n
中任一向量都可由这个向量组ε1,ε2 ,,εn线性表
示,
所以
ε ,ε 12
, ,εn是Rn的一个基,
dim
Rn
n.
而向量空间
V1
x
0,
x 2
, ,
x n
T
|
x2
, ,
xn
∈R
的维数是n-1, dimV1 n 1.
4.3 向量组的秩
4.3.4 向量空间的基、维数与向量的坐标 1. 向量空间的基与维数概念 说明（:1）规定零空间的维数是0.
（2）若把向量空间V看作向量组, 那末V 的基就是向量组的极大无关组, V 的维数就是 向量组的秩.
（3）由 1,2,,m所生成的向量空间
V x 1122mm|1,,mR
与向量组1,2,,m等价, 向量组1,2,,m
的极大无关组是V的一个基, 其秩就是V的维数.
4.3 向量组的秩
4.3.4 向量空间的基、维数与向量的坐标
称向量组 1,2, ,r是向量空间 V 的一个基， 数r
称为向量空间V的维数, 记为dimV ，并称V为
r 维向量空间.
4.3 向量组的秩
4.3.4 向量空间的基、维数与向量的坐标
1. 向量空间的基与维数概念
ε2
(例0,1如,, ,R0)n中,的,基ε 本 (单0,位0,向,1量) 组线性ε1 无(1关,0,,且,0R)nT
但这两个坐标向量有着必然联系.
4.3 向量组的秩
4.3.4 向量空间的基、维数与向量的坐标
3. 基变换公式和过渡矩阵
设1,2, ,n及1,2, ,n为 n维向量
空间 Rn 的两个基，并且
线性代数N维向量空间基与维数
§ 4.4 向量空间
12 解: 0 1
1 0
1 1 1
1 1 1
初等 行变换
1 0 0
2 1 0
1 1 0
1 1 0
可见dim L(A1, A2, A3, A4) = 2, A1, A2是L(A1, A2, A3, A4)的一组基.
注: 此外A1, A3也是L(A1, A2, A3, A4)的一组基. 还有A1, A4.
分别为x, y, 则
x = Py, y = P1x.
证明: = (1, 2, …, r)x = (1, 2, …, r)y = (1, 2, …, r)Py
(1, 2, …, r)(x Py) = 0. 又因为1, 2, …, r线性无关,
所以x Py = 0, 即x = Py, 进而y = P1x.
L(A1, A2, …, As)——A的列空间(column space) dimL(A1, A2, …, As) = 秩(A).
1 2 1 1Biblioteka 例3. 设A = [A1, A2, A3, A4] = 0 1 1 1 ,
1 0 1 1
求L(A1, A2, A3, A4)的一组基和维数.
第四章 n维列向量空间
事实上, 对于这个例子, 除了A3, A4以外, A1, A2, A3, A4中任意两个向量都构成 L(A1, A2, A3, A4)的一组基.
第四章 n维列向量空间
三. 向量在基下的坐标
1, 2, …, r——V 的一组基,
§ 4.4 向量空间
由定义, 对V, 唯一的一组有序实数 k1, k2, …, kr使得 = k11+k22+…+krr .
则称V是Rn的一个子空间(subspace), 或直接 称为一个(实)向量空间(real vector space). 仅含有零向量0的集合{0}关于向量的线性运 算也构成一个向量空间.
线性代数-向量空间
二、子空间
定义2 设有向量空间 V1及V2，若向量空间V1 ⊂ V2， 就说 V1 是 V2 的子空间． 实例
设V 是由 n维向量所组成的向量空间， 显然V ⊂ Rn 所以V总是 Rn的子空间.
三、向量空间的基与维数
定义3 设 V是向量空间，如果 r 个向量 α1,α2, ,αr ∈V，且满足
一般地，由向量组a1, a2 ,, am所生成的向量空 间为
V = {x = λ1a1 + λ2a2 + + λmam λ1 ,λ2 ,,λm ∈ R}
例5 设向量组a1 ,,am与向量组b1 ,,bs等价， 记
V1 = {x = λ1a1 + λ2a2 + + λmam λ1 ,λ2 ,,λm ∈ R} V2 = {x = µ1b1 + µ2b2 + + µ sbs µ1 , µ2 ,µ s ∈ R}
（2）若把向量空间 V看作向量组，那末V的基 就是向量组的最大无关组, V 的维数就是向量组的 秩.
（3）若向量组 α1 ,α 2 , ,α r是向量空间V的一
个基，则 V 可表示为
V = {x = λ1α1 + λ2α 2 + + λrα r λ1 , ,λr ∈ R}
例6 设矩阵 2 2 − 1
0
1
0
−2 3
1
0
1
1
−5 3
5 3
1 0 0 2 4
0
1
0
3 −2
3
3
1
0
0
1
−1
2 3
1 0 0 2 4
线性代数中的基与维数
线性代数中的基与维数线性代数是数学的一个分支，主要研究向量空间和线性映射的性质。
而在线性代数中，基与维数是两个重要的概念，它们扮演着关键的角色。
本文将详细讨论线性代数中的基与维数，并探讨它们的应用。
一、基与线性无关性在线性代数中，我们将向量空间中的一组向量称为基（basis），它们具有以下两个性质：1. 生成性：基中的向量可以通过线性组合生成向量空间中的任意向量。
2. 线性无关性：基中的向量不能通过线性组合得到零向量。
具体来说，设V是一个向量空间，若存在向量组B={v₁, v₂, ..., vₙ}满足以下两个条件，则称该向量组为V的基：1. 所有的向量v∈V都可以由B中的向量线性表出。
2. 如果B中的向量进行线性组合时等于零向量，那么必须其中的所有系数都等于零。
基的一个重要性质是线性无关性。
线性无关的向量组意味着每个向量都是独立的，不能由其他向量线性表示出来。
当一组向量线性无关时，它们的个数称为向量空间的维数。
二、维数的概念及性质在线性代数中，维数（dimension）是向量空间中独立向量的最大个数，记作dim(V)。
维数是衡量向量空间复杂程度的一个指标，它具有以下性质：1. 如果向量空间V中存在有限个向量使得它们线性无关，那么V的维数是有限的。
2. 如果在V中存在无穷多个向量，且它们线性无关，那么V的维数是无穷大。
3. 如果V的维数为n，那么V的任意一个基都包含n个向量。
4. 如果V的维数为n，那么V中的任意n+1个向量必然线性相关。
维数的计算方法也有一些常见的技巧。
对于有限维向量空间V而言，可以通过求解线性方程组的方法来求解维数。
另外，对于一些特殊的向量空间，也可以直接通过观察其内部的向量性质来确定维数。
三、基与维数的应用基与维数在线性代数中有广泛的应用，下面简要介绍几个常见的应用领域：1. 基变换与坐标系：在向量空间中，不同的基可以产生不同的坐标系，基变换就是在不同的基之间进行坐标的转换。
向量空间的基与维数
向量空间的基与维数在线性代数中，向量空间是一个具有特定性质的数学结构，它由一组向量组成，并满足一些线性运算规则。
在向量空间中，我们经常讨论两个重要的概念，即基和维数。
一、基的定义和性质向量空间的基是指一组线性无关的向量，它们能够生成该向量空间中的所有向量。
具体而言，设V是一个向量空间，S={v1,v2,...,vn}为V 中的向量组，如果满足以下两个条件：1. 向量组S中的向量线性无关；2. 向量空间V中的每一个向量都可以由向量组S线性表示，则称S 为向量空间V的基。
基的性质包括：1. 基的向量个数是确定的。
如果两个基包含的向量个数不同，那么它们所在的向量空间也是不同的。
2. 基的向量组中的向量个数是向量空间的维数。
二、维数的定义和性质在向量空间中，维数是指该向量空间的基中所含向量的个数。
通常用符号dim(V)表示，其中V是一个向量空间。
维数的性质包括：1. 如果V是一个向量空间，那么V的两个基所含向量的个数相同。
也就是说，向量空间的维数是唯一确定的。
2. 一个向量空间的维数是非负整数。
3. 如果向量空间的维数是有限的，则称该向量空间为有限维向量空间。
否则，称该向量空间为无限维向量空间。
三、例子和应用1. 二维平面上的向量空间R^2，其基可以选择为{(1,0),(0,1)}，其中(1,0)和(0,1)分别是R^2的两个标准单位向量。
因此，R^2的维数为2。
2. 三维空间中的向量空间R^3，其基可以选择为{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}，其中(1,0,0)、(0,1,0)和(0,0,1)分别是R^3的三个标准单位向量。
因此，R^3的维数为3。
基和维数的概念不仅在线性代数中有着重要的应用，也在其他数学领域和物理学、工程学等各个领域得到广泛应用。
它们帮助我们更好地理解和描述向量空间的结构和性质，为解决实际问题提供了强有力的工具和方法。
总结起来，向量空间的基是一组线性无关的向量，它们能够生成该向量空间中的所有向量；维数是该向量空间基所含向量的个数。
线性代数中的向量空间的基与维数计算与应用
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特征值分解（EVD）：用于主成分 分析和图像处理
矩阵分解在推荐系统中的应用：通 过分解用户-物品交互矩阵，推荐 相关物品
数据降维案例
数据降维的背景：高维数据难以处理，需要降低维度以便分析
基与维数的概念：基是向量空间的一组线性无关的向量，维数是向量空 间的秩，即基向量的个数
响，例如小波变换、中值滤波等。
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向量空间在解析几何、线性代数等领域中有着广泛的应用。
向量空间的基的定义
基是向量空间中线性无关的 向量组
向量空间是由同维线性组合 生成的向量集合
基的个数是向量空间的维数
基可以用来描述向量空间中 的任意向量
基的个数与向量空间的维数的关系
基的个数必须 等于向量空间
的维数
基的个数不能 超过向量空间
的维数
06 基 与 维 数 的 计 算 注 意事项
Part One
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Part Two
向量空间与基的定 义
向量空间的定义
向量空间是一个由向量构成的集合，满足加法和数乘封闭性、加法的结合律和交换律、数乘的 结合律和分配律。
向量空间中的向量可以进行加法、数乘等运算，且满足一定的性质。
向量空间中的向量可以表示为坐标系中的点或矢量，具有方向和大小。
迭代法：利用迭 代算法求解基
维数的计算方法
定义：基与维数是线性代数中描述向量空间的重要概念，维数等于向量空间的基中向量的个数。 计算方法：通过求解线性方程组，可以得到向量空间的基，从而计算出维数。 应用：维数的计算在解决实际问题中具有广泛的应用，如机器学习、图像处理等领域。 注意事项：在计算维数时，需要注意线性相关性的问题，避免出现计算错误。
线性代数 空间向量的基和维
2 0 −5 −7 α1 = β1 − β 3 = 1 , α 2 = β 2 − β 3 = 0 −1 3 0 −1
容易验证他们线性无关， 容易验证他们线性无关，从而构成基础解系． 从而构成基础解系． 对应齐次方程组通解： 对应齐次方程组通解： c1α1 + c2α 2 非齐次方程组通解： 非齐次方程组通解： x = β1 + c1α1 + c2α 2
2 3 = + , x1 7 x 3 7 x 4 便得 令x3 = c1 , x4 = c2 , =5 +4 . x x x 2 7 3 7 4
x1 2 7 3 7 x2 = c 5 7 + C 4 7 1 2 x 1 0 3 0 1 x4
∴ r ( A) = r ( A).
反之， 反之，若 r ( A) = r ( A) ，则方程组（ 则方程组（2-12” 12”）有解， 有解，因 此 b∈R(A) .
定理8 设m × n相容非齐次方程组(2(2-12′)的解集 为S，对应齐次方程组的解空间为N(A),则有 若已知 x1、x2 ∈ S , 则 (1) A( x1 + x2 ) = 2b
dim N ( A) = n − r ( A)
dim N ( A) + dim R ( A) = n
或 （5-20）
例1 求齐次线性方程组 x1 + x2 − x3 − x4 = 0 2 x1 − 5 x2 + 3 x3 + 2 x4 = 0 7 x − 7 x + 3 x + x = 0 2 3 4 1 的基础解系与通解. 解 对系数矩阵 A 作初等行变换， 作初等行变换，变为行最简矩阵， 变为行最简矩阵，有
向量空间的维数与基底的选择
向量空间的维数与基底的选择向量空间是线性代数中一个重要的概念，它描述了一组具备加法和数乘运算的向量的集合。
在向量空间中，维数与基底是两个相互关联的概念，它们在向量空间的研究和应用中具有重要的作用。
一、向量空间的维数向量空间的维数是指向量空间中一组线性无关的基向量的个数，用n表示。
一般情况下，向量空间的维数等于基向量的个数。
向量空间的维数决定了向量空间的性质和特征。
二、基底的选择在向量空间中，基底是指一组线性无关的向量，通过它们可以表示向量空间中的任意向量，并且表示方式是唯一的。
基底的选择对于向量空间的研究和应用具有重要的影响。
1. 基底的存在性和唯一性对于任意一个向量空间，都存在一个基底。
但是，基底并不唯一，可以有多组不同的基底表示同一个向量空间。
例如二维平面中，可以选择{(1, 0), (0, 1)}或者{(2, 0), (0, 2)}作为基底。
2. 基底的选择原则在选择基底时，有一些原则可以遵循：a. 线性无关性：基底中的向量必须线性无关，即不能由其中的其他向量线性表出。
b. 极小性：基底中的任意一个向量都不能由其他向量组成，即基底是极小集合。
c. 覆盖性：基底中的向量能够覆盖整个向量空间，即向量空间中的任意向量都可以由基底线性表示。
d. 简洁性：基底的个数应该尽可能地少，以便于计算和理解。
基于以上原则，我们可以选择不同的基底来表示向量空间，但是一组合适的基底应具备线性无关性、极小性、覆盖性和简洁性。
三、维数与基底的关系在向量空间中，维数与基底有以下关系：1. 维数等于基底的个数：对于一个n维向量空间，它具有n个线性无关的基向量。
2. 基变换：对于同一个向量空间，不同的基底之间可以进行线性变换。
基变换可以通过矩阵乘法实现，使得在不同基下的向量能够进行相互转化。
3. 基底的扩充和缩减：当基底的个数小于维数时，可以通过向量的线性组合扩充基底；当基底的个数大于维数时，可以通过去掉冗余向量缩减基底。
线性代数2.2n维向量
06
单位元存在性
存在一个零向量，使得对任意向量a，都有 a+0=a；同时存在一个单位元e，使得对任意 标量k和任意向量a，都有 ke=k(a+0)=ka+0=ka。
向量空间的性质
1 2
线性组合
向量空间中的任意两个向量可以线性组合成一个 新的向量，且结果仍属于该向量空间。
线性无关
向量空间中的一组向量是线性无关的，当且仅当 这组向量不能被其他向量线性表示。
3
子空间
如果一个向量空间的非空子集满足向量的加法和 标量乘法的封闭性，则称这个子集为子空间。
向量空间的应用
几何学
向量空间是几何学中研究图形和变换的基础，例 如向量的加法对应于图形的平移和旋转。
工程学
向量空间在工程学中广泛应用于信号处理、图像 处理、控制系统等领域。
物理学
向量空间在物理学中用于描述物理量的方向和大 小，例如力、速度和加速度等。
要点二
详细描述
向量的点积是将两个向量对应分量相乘后求和，得到一个 标量。点积的结果可以用来判断两个向量的相似程度，如 果两个向量的点积为零，则它们垂直；如果点积为正，则 两个向量方向相同；如果点积为负，则两个向量方向相反 。
向量的叉积
总结词
叉积是向量的另一种基本运算，它表示两个向量的垂直 关系。
详细描述
03
向量空间的基
如果一个向量组是线性无关的，并且 该向量组可以生成整个向量空间，则 该向量组被称为该向量空间的基。
线性组合的应用
矩阵运算
矩阵运算中经常涉及到向量的线性组合，如矩阵乘法、 向量点乘等。
线性方程组
通过向量的线性组合，可以将线性方程组转化为矩阵 形式，便于求解。
有限维向量空间同构的充要条件
有限维向量空间同构的充要条件在线性代数中，向量空间是研究向量及其线性组合和运算的一种数学结构。
而向量空间的同构是指两个向量空间之间存在一种一一对应关系，使得这两个向量空间之间的线性结构保持不变。
本文将探讨有限维向量空间同构的充要条件，并给出相应的解释和例子。
一、有限维向量空间的定义一个向量空间是由一组向量组成的集合，这些向量可以进行线性组合和数乘运算。
具体地说，一个向量空间必须满足以下几个条件：1. 向量的加法运算满足结合律和交换律；2. 存在一个零向量，使得任何向量与零向量相加得到其本身；3. 对于每个向量，都存在一个负向量，使得它们的和为零向量；4. 向量的数乘运算满足结合律和分配律；5. 向量的加法和数乘运算都封闭在向量空间内。
二、有限维向量空间的维数有限维向量空间的维数是指该向量空间的基的个数。
基是指一个向量空间中的一组线性无关的向量，通过线性组合可以表示该向量空间中的任意向量。
具体地说，如果一个有限维向量空间的维数为n，那么它的任意一组基就包含n个向量。
三、有限维向量空间同构的充要条件两个有限维向量空间之间的同构是指它们之间存在一个一一对应的线性映射，使得这个映射既是线性的又是双射的。
同构的充要条件如下：1. 维数相等：两个向量空间的维数必须相等，即它们的基的个数相同。
2. 向量空间的结构相同：两个向量空间之间的线性运算（加法和数乘）必须保持不变。
3. 存在一一对应的线性映射：存在一个双射的线性映射，将一个向量空间中的任意向量映射到另一个向量空间中，并且这个映射保持向量空间的线性结构。
四、例子及解释下面通过一个例子来说明有限维向量空间同构的充要条件。
例子1：考虑两个二维向量空间V和W，它们的基分别为{(1, 0), (0, 1)}和{(2, 1), (-1, 3)}。
我们想要判断这两个向量空间是否同构。
解释：首先，我们可以看到这两个向量空间的维数都是2，满足维数相等的条件。
其次，我们可以定义一个线性映射f：V → W，将V 中的向量(1, 0)映射到W中的向量(2, 1)，将V中的向量(0, 1)映射到W中的向量(-1, 3)。
线性代数第四章-向量空间
第四章 向量的线性相关性§1n 维向量一个含有0，1的数集P ，如果对于P 中任意两个数的四则运算结果仍在这个数集中（除数不为0），则称该数集P 为一数域。
容易验证整数集不是数域；有理数集Q 、实数集R 、复数集C 均为数域，以后分别称之为有理数域、实数域和复数域。
对于任一数域P ，有Q P C ⊂⊂。
定义1：数域P 中n 个数构成的有序数组12(,,,)n a a a L 称为数域P 上的n 维向量，向量常用希腊字母,,αβγ等表示。
其中i a 称为向量的第i 个分量。
若n 维向量12(,,,)n a a a α=L 和12(,,,)n b b b β=L 的对应分量相等，即i ia b =（1,2,i n =L ），称向量α与β相等，记为αβ=。
向量12(,,,)n a a a α=L 也称为n 维行向量。
n 维行向量可视为1n ⨯矩阵来定义加法与数乘。
矩阵中关于加法与数乘的性质也适合向量的加法与数乘。
向量有时为了方便也写成列的形式()1212,,,nn a a a a a a ⎛⎫ ⎪' ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭L M 。
称为n 维列向量。
作为列向量时可视为1n ⨯矩阵来定义加法与数乘。
数域P 上全体n 维向量的集合对于线性运算称为数域P 上的n 维向量空间，记为n P 。
§2 线性相关性一、线性表示定义2：设12,,,s αααL 是一组n 维向量，12,,,s k k k L 是一组数，称向量1122s s k k k ααα+++L 为向量组12,,,s αααL 的一个线性组合。
如果某一向量α可表示成1122s s k k k αααα=+++L ，则称向量α可由12,,,s αααL 线性表示。
例如向量组()11,2,1α=-，()22,3,1α=-，()30,1,1α=-，有3122ααα=-，称3α可由12,αα线性表示。
注意：线性方程组AX B =的增广矩阵可写成分块矩阵形式12(,,,|)s αααβL 。
线性代数 基、维数与坐标
基、维数与坐标⏹基、维数的概念⏹坐标的概念基、维数与坐标定义2(1) α1,α2, …,αm 线性无关；(2) V 中任一向量都能由α1,α2, …,αm 表示，则称α1,α2, …,αm 为空间V 的一组基(或基底), 基与维数m 称为向量空间V 的维数，记为dim V ＝m ,设V 是数域p 上的向量空间，向量α1,α2, …,αm V ，如果并称V 是数域p 上的m 维向量空间.零空间的维数规定为零.基、维数与坐标2. 将向量空间V 的基的定义与向量组的极大线性无关组的定义相比较，不难看出，1. 向量空间的维数和该空间中向量的维数是两个不同的概念.若把向量空间V 看作一个向量组，那么它的基就是V 的一个极大线性无关组，dim V 就是V 的秩.3. 容易证明，若向量空间V 的维数是m ，那么V 中任意m 个线性无关的向量都是V 的一组基；对于向量空间V 的任一子空间V 1,dim V 1≤dim V .基、维数与坐标对于向量空间R n ，基本单位向量ε1, ε2, …, εn 就是它的一组基，有dim R n =n , 则称R n 为n 维实向量空间.在四维向量空间R 4中，向量组α1=(0, 0,0,1),α2=(0,1,0,1), α3=(-1,2,0,1),α4=(1,0,2,1)线性无关，所以它们也是R 4的一组基.基、维数与坐标定义3设α1,α2, …,αm 为向量空间V 的一组基，1122m m x x x ,则称有序数组由定理3.2.2,向量α的表示也是唯一的， α V , 有因此α基下α1,α2, …,αm 的坐标也是唯一的.坐标的概念x 1,x 2, …,x m 为向量α在基α1,α2, …,αm 下的坐标.记为(x 1,x 2, …,x m ).基、维数与坐标例4证明111002210A设α1=( 1,0,2),α2=(1,0,1), α3=(-1,2,0),证明α1,α2, α3是向量空间R 3的一组基，并求向量α=( 2,-3,5)在这组基下的坐标.以向量α1T ,α2 T , α3 T 为列向量做矩阵基、维数与坐标因为A 的行列式|A |＝2≠0，,把α1,α2, α3代入，比较等式两端向量的对应分量，可得线性方程组112233x x x 设所以α1,α2, α3线性无关, 故它们是R 3的一组基.12331222325x x x x x x基、维数与坐标解之，得于是向量在α基α1,α2, α3下的坐标为12393,4,22x x x 93,4,22 （）。
线性代数第五习题答案详解
第五章n 维向量空间习题一1． 解：a-b = a+(-b)= (1,1,0)T +(0,-1,-1)T = (1,0,-1)T3a+2b-c = 3a+2b+(-c)= (3,3,0)T +(0,2,2)T +(-3,-4,0)T = (0,1,2)T2． 解： 3(a 1-a)+2(a 2+a) = 5(a 3+a) 3a 1+2a 2+(-3+2)a = 5a 3+5a 3a 1+2a 2+(-a) = 5a 3+5a3a 1+2a 2+(-a)+a+(-5)a 3 = 5a 3+5a+a+(-5)a 3 3a 1+2a 2+(-5)a 3 = 6a61[3a 1+2a 2+(-5)a 3] = 61⨯6a 21a 1+31a 2+(-65)a 3 = a将a 1=(2,5,1,3)T ,a 2=(10,1,5,10)T ,a 3=(4,1,-1,1)T 代入a =21a 1+31a 2+(-65)a 3 中可得： a=(1,2,3,4)T .3． (1) V 1是向量空间.由(0,0,…,0)∈V 1知V 1非空.设a=(x 1,x 2,…,x n )∈V 1,b=(y 1,y 2,…,y n )∈V 1,则有x 1+x 2+…+x n =0，y 1+y 2+…+y n =0.因为(x 1+y 1)+(x 2+y 2)+…+(x n +y n )= (x 1+x 2+…+x n )+( y 1+y 2+…+y n )=0所以a+b=( x 1+y 1,x 2+y 2,…,x n +y n )∈V 1.对于k ∈R ，有 kx 1+kx 2+…+kx n =k(x 1+x 2+…+x n )=0所以ka=( kx 1,kx 2,…,kx n ) ∈V 1.因此V 1是向量空间.(2) V 2不是向量空间.因为取a=(1, x 2,…,x n )∈V 2 ,b=(1, y 2,…,y n )∈V 2,但a+b=(2, x 2+y 2,…,x n +y n )∉V 2.因此V 2不是向量空间.习 题 二1． 求向量b 关于向量组a 1,a 2,a 3,a 4的线性组合表达式：(1) 解：设向量b 关于向量组a 1,a 2,a 3,a 4的线性组合表达式为： b=k 1a 1+k 2a 2+k 3a 3+k 4a 4其中, k 1,k 2,k 3,k 4为待定常数.则将b=(0,2,0,-1)T ,a 1=(1,1,1,1)T ,a 2=(1,1,1,0)T ,a 3=(1,1,0,0)T ,a 4=(1,0,0,0)T 向量b 关于向量组a 1,a 2,a 3,a 4的线性组合表达式中可得： (0,2,0,-1)T =k 1(1,1,1,1)T +k 2(1,1,1,0)T +k 3(1,1,0,0)T +k 4(1,0,0,0)T根据对分量相等可得下列线性方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-====++++++1201213214321k k k k k k k k k k解此方程组可得：k 1=－1,k 2=1,k 3=2,k 4=－2.因此向量b 关于向量组a 1,a 2,a 3,a 4的线性组合表达式为： b=－a 1+a 2+2a 3－2a 4 .(2) 与(1)类似可有下列线性方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===-=+++++++++121332223212143214321k k k k k k k k k k k k k由方程组中的第一和第二个方程易解得：k 2=4,于是依次可解得：k 1=-2,k 3=-9, k 4=2.因此向量b 关于向量组a 1,a 2,a 3,a 4的线性组合表达式为： b=－2a 1+4a 2－9a 3+2a 4 .2．(1) 解：因为向量组中向量的个数大于每个向量的维数，由推论2知a 1,a 2 ,a 3,a 4线性相关.(2) 解：()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=400510111220510111331621111321a a a因为()3321=a a a R所以a 1,a 2,a 3线性无关.(3) 解：()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=00021011142012601117131442111321a a a因为()32321<=a a a R所以a 1,a 2,a 3线性相关. (4) 解：()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=500410111320410111211301111321a a a因为()3321=a a a R所以a 1,a 2,a 3线性无关.3. 证明：假设有常数k 1,k 2,k 3,使 k 1b 1+k 2b 2+k 3b 3=0又由于b 1=a 1,b 2=a 1+a 2,b 3=a 1+a 2+a 3,于是可得 k 1a 1+k 2(a 1+a 2)+k 3(a 1+a 2+a 3)=0 即(k 1+k 2+k 3)a 1+ (k 2+k 3)a 2+k 3a 3=0 因为a 1,a 2,a 3线性无关，所以有⎪⎩⎪⎨⎧==+=++000332321k k k k k k 解得⎪⎩⎪⎨⎧===000321k k k因此向量组b 1,b 2,b 3线性无关.4. 设存在常数k 1,k 2,k 3,k 4使k 1b 1+k 2b 2+k 3b 3+k 4b 4=0因为b 1=a 1+a 2,b 2= a 2+a 3,b 3=a 3+a 4,b 4= a 4+a 1 于是可得：k 1 (a 1+a 2)+k 2(a 2+a 3)+k 3(a 3+a 4)+k 4(a 4+a 1)=0 整理得：(k 1+k 4)a 1+ (k 2+k 1)a 2+(k 2+k 3)a 3+(k 3+k 4)a 4=0， （下用两种方法解）法 一：因为a 1,a 2,a 3,a 4为同维向量，则 (1) 当向量组a 1,a 2,a 3,a 4线性无关时，k 1+k 4=0， k 2+k 1=0，k 2+k 3=0，k 3+k 4=0可解得：k 2=- k 1，k 4=- k 1，k 3=k 1取k 1≠0可得不为0的常数k 1,k 2,k 3,k 4使k 1b 1+k 2b 2+k 3b 3+k 4b 4=0 因此b 1,b 2,b 3,b 4线性相关。
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试判断集合是否为向量空间.
解
因为若 x1 1a 1b,
x 2 2 a 2 b，
则有
x1 x 2 (1 2 )a ( 1 2 )b V ,
kx1 ( k1 )a ( k 1 )b V .
则 1 , 2 , 3 , 4 线性无关 所以 1 , 2 , 3 , 4 是 R4 的一个最大无关 组，从而也是 R4 的一组基
例6 设矩阵
2 2 1 A ( 1 , 2 , 3 ) 2 1 2 , 1 2 2
则 X A1 B.
对矩阵( A B )施行初等行变换，若A能变为E， 则a1 , a 2 , a 3为R 3的一个基，且当A变为E时，B变为 X A 1 B .
2 1 1 4 2 ( A B ) 2 1 2 0 3 1 2 2 4 2
x11 x2 2 L xn n
这组有序的数 x1 , x2 ,..., xn 称为向量 在基 1 , 2 ,L , n 下的坐标，记作 ( x1 , x2 ,..., xn )
1 (1,0, ,0), (0,1, ,0), 2 例如 单位坐标向量组 n (0,0, ,1),
4 3 1 2 3
2 3 2 1 , 2 (1 , 2 , 3 ) 3 1
2 2 4 2 1 1 2 3 , 2 1 2 3 3 3 3 3
V x 1 1 2 2 r r 1 , , r R
（4）向量空间的维数与组成向量空间的向量 的维数是两个不同的概念。
定义5： 设 1 , 2 ,L , n 是向量空间V的一个基， 对于任一向量 V ，总有唯一的一组数 x1 , x2 ,..., xn， 使得
初等行变换
( A B)
2 1 0 0 3 0 1 0 2 3 0 0 1 1
4 3 1 2 3
初等行变换
( A B)
因有A ; E，
故 1 , 2 , 3为R3的一个基，且
4 3 1 . 2 3
2 1 0 0 3 0 1 0 2 3 0 0 1 1
第四章 向量空间
一、n维向量空间
二、向量的内积
§4.1
n维向量空间
一、向量空间的概念
定义1 设V为n维向量的非空集合，若集合V 满 足条件， V对于加法
运算封闭
（1）对于任意 V , V , 总有 V ;
（2）对于任意的数 和任意的 V , 总有 V .
例3 判别下列集合是否为向量空间.
V2 x 1, x2 , , xn x2 , , xn R
T
解
因为若 1, a 2 ,, a n V2 ,
T
则2 2,2a 2 ,,2a n V2 .
T
所以V2不是向量空间 .
例4 设a, b为两个已知的n维向量，集合
(1) 1 , 2 ,, r 线性无关; ( 2) V中任一向量都可由 1 , 2 ,, r 线性表示 .
那末，向量组 1 , 2 , , r 就称为向量空间V的 一个基， r称为向量空间V的维数，记作 dimV r 并称V 为r维向量空间．
说明 （1）只含有零向量的向量空间称为0维向量空 间，因此它没有基． （2）若把向量空间 V看作向量组，那末 V 的基 就是向量组的最大无关组, V 的维数就是向量组的 秩.由于最大无关组不唯一，所以基也是不唯一的。 （3）若向量组 1 , 2 , , r是向量空间 V 的一 个基，则 V 可表示为
设
即
1 x111 x21 2 x31 3 , 2 x12 1 x22 2 x32 3，
x12 x22 , x32
x11 ( 1 , 2 ) (1 , 2 , 3 ) x21 x 31
记作B AX .
证明它们是 R 的一个基。 证明
1 0 0 1 A [ 1 , 2 , 3 , 4 ] 1 1 0 2 0 1 2 0 2 0 1 1
4
初等行变换
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
R(1 , 2 , 3 , 4 ) 4
T
解
因为对于V1的任意两个元素
0, a2 , , an , 0, b2 , , bn V1 ,
T T
有
0, a 2 b2 ,, a n bn V1
T
0, a2 , , an V1 .
T
所以V1是向量空间 .
R n 的一个基，我们把它称为 R n 的自然基， 是 R n 中的任一向量 (a1 , a2 ,L , an ) 在该基下的坐
标正好是 的n个分量 a1 , a2 ,L , an
例5 给定四个4维向量
1 0 0 1 0 1 2 0 1 , 2 , 3 , 4 1 1 2 0 0 2 1 1
那么就称集合V为向量空间．
V对于数乘 运算封闭
例1 3 维向量的全体R 3 , 是一个向量空间.
因为任意两个3维向量之和仍然是3维向量, 数
乘3维向量仍然是3维向量，它们都属于R 3 .
类似地，n维向量的全体R n，也是一个向量空 间.
例2 判别下列集合是否为向量空间.
V1 x 0, x2 , , xn x2 , , xn R
1 4 B (1 , 2 ) 0 3 , 4 2
验证1 , 2 , 3 , 是R 的一个基，并把 1 , 2用这个基
3
线性表示.
解
要证1 , 2 , 3是R 3的一个基，只要证1 , 2 , 3
线性无关，即只要证A ~ E .
所以V 是一个向量空间Fra bibliotek二、子空间
定义2 设V是一个向量空间， S是V的一个非空子集，
若S也是一个向量空间，则称S是V 的子空间． 实例 设V 是任意一个由n 维向量所构成的向量空间，
显然V R n
所以V总是 Rn的子空间.
定义3 设V是一个向量空间，如果 1 , 2 , , m V 则由 1 , 2 , , m 的一切线性组合所构成的集合 S x 11 2 2 m m 1 , , m R
称为由向量 1 , 2 , , m 生成的子空间，
或称为V 的一个生成子空间。 V 中只有零向量的子集也构成子空间， 该子空间称为零子空间；另外V 本身也是 V 的子空间。 因此任何一个向量空间至少有两个子空间： 一个是其本身，另一个是零子空间。
三、向量空间的基、维数与坐标
定义4 设 V 是向量空间，如果 r 个向量 1 , 2 , , r V ，且满足