上海好的数学补习班上海好的高中补习班-各章节知识点总结(大纲版)
(完整版)上海教材高中数学知识点总结(最全),推荐文档
目录一、集合与常用逻辑 二、不等式 三、函数概念与性质 四、基本初等函数 五、函数图像与方程 六、三角函数 七、数 列 八、平面向量九、复数与推理证明 十、直线与圆 十一、曲线方程十二、矩阵、行列式、算法初步 十三、立体几何 十四、计数原理 十五、概率与统计一、集合与常用逻辑1．集合概念 元素：互异性、无序性 2．集合运算 全集U ：如U=R 交集：}{B x A x x B A ∈∈=且I 并集：}{B x A x x B A ∈∈=⋃或补集：}{A x U x x A C U ∉∈=且 3．集合关系 空集A ⊆φ子集B A ⊆:任意B x A x ∈⇒∈B A B B A BA AB A ⊆⇔=⊆⇔=Y I注：数形结合---文氏图、数轴 4．四种命题原命题：若p 则q 逆命题：若q 则p 否命题：若p ⌝则q ⌝ 逆否命题：若q ⌝则p ⌝原命题⇔逆否命题 否命题⇔逆命题5．充分必要条件p 是q 的充分条件：q P ⇒ p 是q 的必要条件：q P ⇐ p 是q 的充要条件：p ⇔q 6．复合命题的真值①q 真（假）⇔“q ⌝”假（真） ②p 、q 同真⇔“p ∧q ”真 ③p 、q 都假⇔“p ∨q ”假 7.全称命题、存在性命题的否定∀∈M, p(x ）否定为: ∃∈M, )(X p ⌝ ∃∈M, p(x ）否定为: ∀∈M, )(X p ⌝二、不等式1．一元二次不等式解法若0>a ，02=++c bx ax 有两实根βα,)(βα<，则02<++c bx ax 解集),(βα02>++c bx ax 解集),(),(+∞-∞βαY注：若0<a ，转化为0>a 情况 2．其它不等式解法—转化a x a a x <<-⇔<⇔22a x <⇔>a x a x >或a x -<⇔22a x >0)()(>x g x f ⇔0)()(>x g x f ⇔>)()(x g x f a a )()(x g x f >（a >1）⇔>)(log )(log x g x f a a f x f x g x ()()()><⎧⎨⎪⎩⎪0（01<<a ）3．基本不等式 ①ab b a 222≥+ ②若+∈R b a ,，则ab ba ≥+2注：用均值不等式ab b a 2≥+、2)2(b a ab +≤求最值条件是“一正二定三相等”三、函数概念与性质1．奇偶性f(x)偶函数⇔()()f x f x -=⇔f(x)图象关于y 轴对称 f(x)奇函数⇔()()f x f x -=-⇔f(x)图象关于原点对称 注：①f(x)有奇偶性⇒定义域关于原点对称②f(x)奇函数,在x=0有定义⇒f(0)=0③“奇+奇=奇”（公共定义域内） 2．单调性f(x)增函数：x 1＜x 2⇒f(x 1)＜f(x 2)或x 1＞x 2⇒f(x 1) ＞f(x 2) 或0)()(2121>--x x x f x ff(x)减函数：？注：①判断单调性必须考虑定义域②f(x)单调性判断定义法、图象法、性质法“增+增=增”③奇函数在对称区间上单调性相同 偶函数在对称区间上单调性相反 3．周期性T 是()f x 周期⇔()()f x T f x +=恒成立（常数0≠T）4．二次函数解析式： f(x)=ax 2+bx+c ，f(x)=a(x-h)2+kf(x)=a(x-x 1)(x-x 2)对称轴：abx 2-= 顶点：)44,2(2a b ac a b -- 单调性：a>0，]2,(ab--∞递减，),2[+∞-a b 递增 当ab x 2-=，f(x)min a b ac 442-=奇偶性：f(x)=ax 2+bx+c 是偶函数⇔b=0闭区间上最值：配方法、图象法、讨论法--- 注意对称轴与区间的位置关系注：一次函数f(x)=ax+b 奇函数⇔b=0四、基本初等函数1．指数式 )0(10≠=a a nnaa 1=- m nmn a a = 2．对数式 b N a =log N a b=⇔（a>0,a ≠1）N M MN a a a log log log +=N M NM a a a log log log -=M n M a n a log log =a b b m m a log log log =ablg lg =n a a b b n log log =ab log 1=注：性质01log =a 1log =a a N aNa =log常用对数N N 10log lg =，15lg 2lg =+ 自然对数N N e log ln =，1ln =e 3．指数与对数函数 y=a x与y=log a x定义域、值域、过定点、单调性？注：y=a x与y=log a x 图象关于y=x 对称（互为反函数）4．幂函数 12132,,,-====x y x y x y x yαx y =在第一象限图象如下：α>101<<αα<0五、函数图像与方程1．描点法函数化简→定义域→讨论性质（奇偶、单调） 取特殊点如零点、最值点等 2．图象变换平移：“左加右减，上正下负”)()(h x f y x f y +=→=伸缩：)1()(x f y x f y ϖϖ=−−−−−−−−→−=倍来的每一点的横坐标变为原对称：“对称谁，谁不变，对称原点都要变”)()()()()()(x f y x f y x f y x f y x f y x f y y x --=−−→−=-=−→−=-=−→−=原点轴轴注：)(x f y =ax =→直线)2(x a f y -=翻折：→=)(x f y |()|y f x =保留x 轴上方部分，并将下方部分沿x 轴翻折到上方→=)(x f y (||)y f x =保留y 轴右边部分， 并将右边部分沿y 轴翻折到左边3．零点定理若0)()(<b f a f ，则)(x f y =在),(b a 内有零点 （条件：)(x f 在],[b a 上图象连续不间断）注：①)(x f 零点：0)(=x f 的实根②在],[b a 上连续的单调函数)(x f ，0)()(<b f a f 则)(x f 在),(b a 上有且仅有一个零点③二分法判断函数零点---0)()(<b f a f ？六、三角函数1．概念 第二象限角)2,22(ππππ++k k (Z k ∈)2．弧长 r l ⋅=α 扇形面积lr S 21=3．定义 r y =αsin r x =αcos xy=αtan 其中),(y x P 是α终边上一点，r PO =4．符号 “一正全、二正弦、三正切、四余弦” 5．诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限”如ααπsin )2(-=-Sin ，ααπsin )2/cos(-=+ 6．特殊角的三角函数值α6π 4π 3π 2π π23π sin α 0 21 22 231 0 1-cos α 1 23 2221 01-tg α33 13/ 0 / 7．基本公式同角1cos sin 22=+αααααtan cos sin = 和差()βαβαβαsin cos cos sin sin ±=±()βαβαβαsin sin cos cos cos μ=± ()βαβαβαtan tan 1tan tan tan μ±=±倍角 αααcos sin 22sin =ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=ααα2tan 1tan 22tan -=降幂cos 2α=22cos 1α+ sin 2α=22cos 1α- 叠加 )4sin(2cos sin πααα+=+)6sin(2cos sin 3πααα-=-)sin(cos sin 22ϕααα++=+b a b a )(tan ba=ϕ8．三角函数的图象性质 单调性： )2,2(ππ-增 ),0(π减 )2,2(ππ-增注：Z k ∈y=sinxy=cosxy=tanx图象sinx cosx tanx 值域 [-1，1] [-1，1] 无 奇偶 奇函数 偶函数 奇函数 周期 2π2ππ对称轴 2/ππ+=k xπk x =无中心()0,πk()0,2/ππk + ()0,2/πk9．解三角形基本关系：sin(A+B)=sinC cos(A+B)=-cosC tan(A+B)=-tanC 2cos 2sinCB A =+ 正弦定理：A a sin =B b sin =CcsinA R a sin 2= CB A c b a sin :sin :sin ::=余弦定理：a 2=b 2+c 2－2bc cos A （求边） cos A =bcac b 2222-+（求角）面积公式：S △＝21ab sin C注：ABC ∆中，A+B+C=？ B A B A sin sin <⇔<a 2＞b 2+c 2 ⇔ ∠A ＞2π七、数 列1、等差数列定义：d a a n n =-+1 通项：d n a a n )1(1-+= 求和：2)(1n n a a n S += d n n na )1(211-+= 中项：2ca b +=（c b a ,,成等差） 性质：若q p n m +=+，则qp n m a a a a +=+2、等比数列 定义：)0(1≠=+q q a a nn通项：11-=n n q a a求和：⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q qq a q na S nn中项：ac b =2（c b a ,,成等比）性质：若q p n m +=+ 则q p n m a a a a ⋅=⋅ 3、数列通项与前n 项和的关系⎩⎨⎧≥-===-)2()1(111n s s n a s a n nn4、数列求和常用方法公式法、裂项法、 错位相减法、倒序相加法八、平面向量1．向量加减 三角形法则，平行四边形法则=+BC AB AC 首尾相接，OC OB -=共始点中点公式：⇔=+AD AC AB 2D 是BC 中点 2． 向量数量积 ⋅=θcos ⋅⋅=2121y y x x +注：①b a ,夹角：00≤θ≤1800②b a ,同向：=⋅3．基本定理 2211e e a ρρρλλ+=（21,e e ρρ不共线--基底） 平行：⇔//b a λ=⇔1221y x y x =（0≠b ） 垂直：0=⋅⇔⊥02121=+⇔y y x x 模：a ρ＝22y x +Λ=+=+2)(夹角：=θcos ||||b a ba 注：①0ρ∥a ②()()c b a c b a ⋅⋅≠⋅⋅（结合律）不成立③c a b a ⋅=⋅c b =⇒（消去律）不成立九、复数与推理证明1．复数概念复数：bi a z +=(a,b )R ∈，实部a 、虚部b 分类：实数（0=b ），虚数（0≠b ），复数集C注：z 是纯虚数0=⇔a ，0≠b相等：实、虚部分别相等 共轭：bi a z -=模：22b a z +=2z z z =⋅复平面：复数z 对应的点),(b a 2．复数运算加减：（a+bi ）±(c+di)=？ 乘法：（a+bi ）（c+di ）=？ 除法：di c bi a ++=))(())((di c di c di c bi a -+-+==… 乘方：12-=i ，=n i rr k i i=+4 3．合情推理类比：特殊推出特殊归纳：特殊推出一般演绎：一般导出特殊（大前题→小前题→结论） 4．直接与间接证明综合法：由因导果比较法：作差—变形—判断—结论 反证法：反设—推理—矛盾—结论 分析法：执果索因分析法书写格式：要证A 为真，只要证B 为真，即证……， 这只要证C 为真，而已知C 为真，故A 必为真 注：常用分析法探索证明途径，综合法写证明过程5．数学归纳法：(1)验证当n=1时命题成立,(2)假设当n=k(k ∈N* ，k ≥1)时命题成立, 证明当n=k+1时命题也成立由(1)(2)知这命题对所有正整数n 都成立注：用数学归纳法证题时，两步缺一不可，归纳假设必须使用十、直线与圆1、倾斜角 范围[)0,π 斜率 2121tan y y k x x α-==-注：直线向上方向与x 轴正方向所成的最小正角倾斜角为90︒时，斜率不存在 2、直线方程点斜式)(00x x k y y -=-，斜截式b kx y += 两点式121121x x x x y y y y --=--， 截距式1=+bya x一般式0=++C By Ax注意适用范围：①不含直线0x x = ②不含垂直x 轴的直线③不含垂直坐标轴和过原点的直线 3、位置关系（注意条件） 平行⇔12k k = 且21b b ≠垂直⇔121k k =- 垂直⇔12120A A B B += 4、距离公式两点间距离：|AB|=221221)()(y y x x -+- 点到直线距离：d =5、圆标准方程：222)()(r b y a x =-+- 圆心),(b a ，半径r圆一般方程：022=++++F Ey Dx y x （条件是？）圆心,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭半径2r =6、直线与圆位置关系注：点与圆位置关系 ⇔>-+-22020)()(r b y a x 点()00,P x y 在圆外7、直线截圆所得弦长AB =十一、圆锥曲线一、定义椭圆： |PF 1|+|PF 2|=2a(2a>|F 1F 2|) 双曲线：|PF 1|-|PF 2|=±2a(0<2a<|F 1F 2|) 抛物线：与定点和定直线距离相等的点轨迹 二、标准方程与几何性质（如焦点在x 轴）椭圆12222=+b y a x ( a>b>0)双曲线12222=-by a x (a>0,b>0)中心原点 对称轴？ 焦点F 1(c,0)、F 2(-c,0) 顶点: 椭圆(±a,0),(0, ±b)，双曲线(±a,0) 范围: 椭圆-a ≤x ≤a,-b ≤y ≤b双曲线|x| ≥ a ，y ∈R 焦距：椭圆2c （c=22b a -）双曲线2c （c=22b a +） 2a 、2b :椭圆长轴、短轴长，双曲线实轴、虚轴长离心率：e=c/a 椭圆0<e<1,双曲线e>1注：双曲线12222=-by a x 渐近线x a by ±=方程122=+ny mx 表示椭圆n m n m ≠>>⇔.0,0 方程122=+ny mx 表示双曲线0<⇔mn 抛物线y 2=2px(p>0)顶点（原点） 对称轴（x 轴） 开口（向右） 范围x ≥0 离心率e=1焦点)0,2(p F准线2px -= 十二、矩阵、行列式、算法初步十、算法初步一．程序框图二．基本算法语句及格式1输入语句：INPUT “提示内容”；变量 2输出语句：PRINT “提示内容”；表达式 3赋值语句：变量=表达式 4条件语句“IF —THEN —ELSE ”语句 “IF —THEN ”语句IF 条件 THEN IF 条件 THEN 语句1 语句 ELSE END IF 语句2 END IF 5循环语句当型循环语句 直到型循环语句 WHILE 条件 DO 循环体 循环体 WEND LOOP UNTIL 条件 当型“先判断后循环” 直到型“先循环后判断”三．算法案例1、求两个数的最大公约数 辗转相除法：到达余数为0 更相减损术：到达减数和差相等2、多项式f(x)= a n x n +a n-1x n-1+….+a 1x+a 0的求值秦九韶算法： v 1=a n x+a n －1 v 2=v 1x+a n －2v 3=v 2x+a n －3 v n =v n －1x+a 0注：递推公式v 0=a n v k =v k －1X +a n －k (k=1,2,…n)求f(x)值，乘法、加法均最多n 次 3、进位制间的转换k 进制数转换为十进制数：111011.........)(.....a k a ka k a k a a a a n n nn n n +⨯++⨯+⨯=---十进制数转换成k 进制数：“除k 取余法”例1辗转相除法求得123和48最大公约数为3例2已知f(x)=2x 5－5x 4－4x 3+3x 2－6x+7，秦九韶算法求f(5)123＝2×48＋27 v 0=2 48＝1×27＋21 v 1=2×5－5=5 27＝1×21＋6 v 2=5×5－4=21 21＝3×6＋3 v 3=21×5+3=1086＝2×3+0 v 4=108×5－6=534v 5=534×5+7=2677十三、立体几何1．三视图 正视图、侧视图、俯视图2．直观图：斜二测画法'''X OY ∠=450平行X 轴的线段，保平行和长度平行Y 轴的线段，保平行，长度变原来一半 3．体积与侧面积V 柱=S 底h V 锥 =31S 底h V 球=34πR 3S 圆锥侧=rl π S 圆台侧=l r R )(+π S 球表=24R π 4．公理与推论 确定一个平面的条件：①不共线的三点 ②一条直线和这直线外一点③两相交直线 ④两平行直线公理：平行于同一条直线的两条直线平行定理：如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
闵行松江七宝寒假高中数学补习班-七宝新王牌
闵行松江七宝寒假高中数学补习班-七宝新王牌必修1第一章：集合与函数概念考点：1.集合的含义与表示2.集合间的基本关系3.集合的基本运算4.函数的定义域和值域5.了解并简单应用分段函数6.函数的单调性、最值及几何意义、奇偶性7.会利用函数图像表示并分析函数的性质。
易错点：做题目容易漏掉空集Φ这种情况，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；容易遗忘判断单调性以及奇偶性的方法。
难点：集合的运算、会利用韦恩图、补集思想、充要条件、函数的单调性、奇偶性。
第二章：基本初等函数考点：理解指数函数、对数函数的概念以及运算性质，会画图像并且了解相关性质。
了解幂函数的概念，结合图像了解变化情况。
易错点：容易遗忘指数、对数函数的图像性质，以及相关的运算性质。
难点：指数、对数函数的图像性质以及运算性质。
第三章：函数的应用考点：结合2次函数的图像，了解函数的零点和方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性和个数。
了解函数的增长特征，了解函数模型的广泛应用易错点：不了解函数零点与方程根之间的联系，不懂如何判断方程根是否存在以及个数。
难点：了解函数的零点和方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性和个数。
必修2第一章：空间几何体考点：能画出简单空间图形的三视图，能识别三视图所表示的立体模型，了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式。
易错点：识别不出三视图所表示的立体模型，忘记表面积和体积的计算公式。
难点：正确判断三视图所表示的立体模型，掌握表面积和体积的计算公式。
第二章：点、直线、平面之间的位置关系考点：理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理。
以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。
易错点：在判断线面位置关系的时候往往会遗漏掉一些特殊的情况，导致做错题目。
难点：掌握线面位置关系的相关性质和判定定理。
第三章：直线与方程考点：理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式。
(完整版)上海浦东高二数学补课圆锥曲线方程知识点总结
1。
圆锥曲线的两个定义：(1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ， 当常数等于21F F 时,轨迹是线段F 1F 2,当常数小于21F F 时,无轨迹；双曲线中,与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2｜，定义中的“绝对值"与2a ＜|F 1F 2｜不可忽视。
若2a ＝|F 1F 2｜，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线， 若2a ﹥｜F 1F 2｜，则轨迹不存在.若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
如（1)已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 A ．421=+PF PF B ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF (答:C ）;（2）方程8表示的曲线是_____（答:双曲线的左支）（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e 。
圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。
如(08宣武一模） 已知P 为抛物线221x y =上的动点,点P 在x 轴上的射影为M ，点A 的坐标是)217,6(，则PM PA +的最小值是 _____ (答:219）2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心(顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1)椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时2222bx a y +＝1(0a b >>)。
方程221Ax By +=表示椭圆 （A,B,同正,A ≠B)。
如（1)已知方程12322=-++ky k x 表示椭圆,则k 的取值范围为____（答：11(3,)(,2)22---）；(理科班)（2）若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____，22y x +的最小值是___(2)（2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，（3）焦点在y 轴上：2222bx a y -＝1（0,0a b >>).（4）方程221Ax By +=表示双曲线 （A ，B 异号）。
沪教数学高三知识点总结
沪教数学高三知识点总结在高三学习中，掌握好数学知识点是非常重要的。
下面是沪教数学高三知识点的总结。
1. 集合与函数在集合与函数的学习中，我们需要掌握集合的基本概念和运算，如并集、交集、差集等。
同时，函数的定义、性质和运算也是必须要熟悉的内容。
2. 数列与数列的极限数列是数学中非常重要的概念，高三数学中我们需要了解数列的基本性质以及数列的极限的定义和性质。
在数列的极限中，要掌握极限存在的条件以及求解极限的方法。
3. 函数的极限与连续性函数的极限也是高三数学中的重点内容。
我们需要理解函数的极限与数列的极限的关系，并掌握函数极限存在的条件以及计算函数极限的方法。
同时，也要熟悉函数的连续性的定义和判定条件。
4. 导数与微分导数是高三数学中的重难点，需要掌握导数的定义、性质和运算法则。
同时，要能够用导数来求解函数的极值、曲线的切线方程等应用题。
5. 不定积分与定积分在高三数学中，不定积分和定积分也是重要的内容。
我们需要掌握不定积分的定义及其运算法则，能够进行简单的不定积分计算。
同时，对定积分也要了解其定义和性质，能够应用定积分解决实际问题。
6. 向量与立体几何向量和立体几何是高三数学中的几何部分的重点内容。
我们需要掌握向量的基本性质和运算法则，能够进行向量的加法、减法、数量积和向量积等运算。
同时，要熟悉空间几何中的点、直线、平面的定义和性质，理解空间几何的基本概念。
7. 概率与统计概率与统计是高三数学中的重要应用部分。
我们需要掌握基本的概率知识，理解概率的定义、性质和计算方法。
同时，要了解统计学中的基本概念和统计分布，能够进行简单的统计分析和推断。
以上就是沪教数学高三知识点的总结。
希望这些内容能够帮助到你，顺利应对高三数学学习。
加油！。
上海教材高中数学知识点总结(最全)
目录一、集合与常用逻辑 二、不等式 三、函数概念与性质 四、基本初等函数 五、函数图像与方程 六、三角函数 七、数 列 八、平面向量九、复数与推理证明 十、直线与圆 十一、曲线方程十二、矩阵、行列式、算法初步 十三、立体几何 十四、计数原理 十五、概率与统计一、集合与常用逻辑1．集合概念 元素：互异性、无序性 2．集合运算 全集U ：如U=R 交集：}{B x A x x B A ∈∈=且 并集：}{B x A x x B A ∈∈=⋃或补集：}{A x U x x A C U ∉∈=且 3．集合关系 空集A ⊆φ子集B A ⊆:任意B x A x ∈⇒∈B A B B A BA AB A ⊆⇔=⊆⇔=注：数形结合---文氏图、数轴 4．四种命题原命题：若p 则q 逆命题：若q 则p 否命题：若p ⌝则q ⌝ 逆否命题：若q ⌝则p ⌝原命题⇔逆否命题 否命题⇔逆命题5．充分必要条件p 是q 的充分条件：q P ⇒ p 是q 的必要条件：q P ⇐ p 是q 的充要条件：p ⇔q 6．复合命题的真值①q 真（假）⇔“q ⌝”假（真） ②p 、q 同真⇔“p ∧q ”真 ③p 、q 都假⇔“p ∨q ”假 7.全称命题、存在性命题的否定∀∈M, p(x ）否定为: ∃∈M, )(X p ⌝ ∃∈M, p(x ）否定为: ∀∈M, )(X p ⌝二、不等式1．一元二次不等式解法若0>a ，02=++c bx ax 有两实根βα,)(βα<，则02<++c bx ax 解集),(βα02>++c bx ax 解集),(),(+∞-∞βα注：若0<a ，转化为0>a 情况 2．其它不等式解法—转化a x a a x <<-⇔<⇔22a x <⇔>a x a x >或a x -<⇔22a x >0)()(>x g x f ⇔0)()(>x g x f ⇔>)()(x g x f a a )()(x g x f >（a >1）⇔>)(log )(log x g x f a a f x f x g x ()()()><⎧⎨⎪⎩⎪0（01<<a ）3．基本不等式 ①ab b a 222≥+ ②若+∈R b a ,，则ab ba ≥+2注：用均值不等式ab b a 2≥+、2)2(b a ab +≤求最值条件是“一正二定三相等”三、函数概念与性质1．奇偶性f(x)偶函数⇔()()f x f x -=⇔f(x)图象关于y 轴对称 f(x)奇函数⇔()()f x f x -=-⇔f(x)图象关于原点对称 注：①f(x)有奇偶性⇒定义域关于原点对称②f(x)奇函数,在x=0有定义⇒f(0)=0③“奇+奇=奇”（公共定义域内） 2．单调性f(x)增函数：x 1＜x 2⇒f(x 1)＜f(x 2)或x 1＞x 2⇒f(x 1) ＞f(x 2) 或0)()(2121>--x x x f x ff(x)减函数：？注：①判断单调性必须考虑定义域②f(x)单调性判断定义法、图象法、性质法“增+增=增”③奇函数在对称区间上单调性相同 偶函数在对称区间上单调性相反 3．周期性T 是()f x 周期⇔()()f x T f x +=恒成立（常数0≠T）4．二次函数解析式： f(x)=ax 2+bx+c ，f(x)=a(x-h)2+kf(x)=a(x-x 1)(x-x 2)对称轴：abx 2-= 顶点：)44,2(2a b ac a b -- 单调性：a>0，]2,(ab--∞递减，),2[+∞-a b 递增 当ab x 2-=，f(x)min a b ac 442-=奇偶性：f(x)=ax 2+bx+c 是偶函数⇔b=0闭区间上最值：配方法、图象法、讨论法--- 注意对称轴与区间的位置关系注：一次函数f(x)=ax+b 奇函数⇔b=0四、基本初等函数1．指数式 )0(10≠=a a nnaa 1=- m nmn a a = 2．对数式 b N a =log N a b=⇔（a>0,a ≠1）N M MN a a a log log log +=N M NM a a a log log log -=M n M a n a log log =a b b m m a log log log =ablg lg =n a a b b n log log =ab log 1=注：性质01log =a 1log =a a N aNa =log常用对数N N 10log lg =，15lg 2lg =+ 自然对数N N e log ln =，1ln =e 3．指数与对数函数 y=a x与y=log a x定义域、值域、过定点、单调性？注：y=a x与y=log a x 图象关于y=x 对称（互为反函数）4．幂函数 12132,,,-====x y x y x y x yαx y =在第一象限图象如下：α>101<<αα<0五、函数图像与方程1．描点法函数化简→定义域→讨论性质（奇偶、单调） 取特殊点如零点、最值点等 2．图象变换平移：“左加右减，上正下负”)()(h x f y x f y +=→=伸缩：)1()(x f y x f y ϖϖ=−−−−−−−−→−=倍来的每一点的横坐标变为原对称：“对称谁，谁不变，对称原点都要变”)()()()()()(x f y x f y x f y x f y x f y x f y y x --=−−→−=-=−→−=-=−→−=原点轴轴注：)(x f y =ax =→直线)2(x a f y -=翻折：→=)(x f y |()|y f x =保留x 轴上方部分，并将下方部分沿x 轴翻折到上方→=)(x f y (||)y f x =保留y 轴右边部分， 并将右边部分沿y 轴翻折到左边3．零点定理若0)()(<b f a f ，则)(x f y =在),(b a 内有零点 （条件：)(x f 在],[b a 上图象连续不间断）注：①)(x f 零点：0)(=x f 的实根②在],[b a 上连续的单调函数)(x f ，0)()(<b f a f 则)(x f 在),(b a 上有且仅有一个零点③二分法判断函数零点---0)()(<b f a f ？六、三角函数1．概念 第二象限角)2,22(ππππ++k k (Z k ∈)2．弧长 r l ⋅=α 扇形面积lr S 21=3．定义 r y =αsin r x =αcos xy=αtan 其中),(y x P 是α终边上一点，r PO =4．符号 “一正全、二正弦、三正切、四余弦” 5．诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限”如ααπsin )2(-=-Sin ，ααπsin )2/cos(-=+ 6．特殊角的三角函数值α6π 4π 3π 2π π23π sin α 0 21 22 231 0 1-cos α 1 23 2221 01-tg α33 13/ 0 / 7．基本公式同角1cos sin 22=+αααααtan cos sin = 和差()βαβαβαsin cos cos sin sin ±=±()βαβαβαsin sin cos cos cos =± ()βαβαβαtan tan 1tan tan tan ±=±倍角 αααcos sin 22sin =ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=ααα2tan 1tan 22tan -=降幂cos 2α=22cos 1α+ sin 2α=22cos 1α- 叠加 )4sin(2cos sin πααα+=+)6sin(2cos sin 3πααα-=-)sin(cos sin 22ϕααα++=+b a b a )(tan ba=ϕ8．三角函数的图象性质 单调性： )2,2(ππ-增 ),0(π减 )2,2(ππ-增注：Z k ∈y=sinxy=cosxy=tanx图象sinx cosx tanx 值域 [-1，1] [-1，1] 无 奇偶 奇函数 偶函数 奇函数 周期 2π2ππ对称轴 2/ππ+=k xπk x =无中心()0,πk()0,2/ππk + ()0,2/πk9．解三角形基本关系：sin(A+B)=sinC cos(A+B)=-cosC tan(A+B)=-tanC 2cos 2sinCB A =+ 正弦定理：A a sin =B b sin =CcsinA R a sin 2= CB A c b a sin :sin :sin ::=余弦定理：a 2=b 2+c 2－2bc cos A （求边） cos A =bcac b 2222-+（求角）面积公式：S △＝21ab sin C注：ABC ∆中，A+B+C=？ B A B A sin sin <⇔<a 2＞b 2+c 2 ⇔ ∠A ＞2π七、数 列1、等差数列定义：d a a n n =-+1 通项：d n a a n )1(1-+= 求和：2)(1n n a a n S += d n n na )1(211-+= 中项：2ca b +=（c b a ,,成等差） 性质：若q p n m +=+，则qp n m a a a a +=+2、等比数列 定义：)0(1≠=+q q a a nn通项：11-=n n q a a求和：⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q qq a q na S nn中项：ac b =2（c b a ,,成等比）性质：若q p n m +=+ 则q p n m a a a a ⋅=⋅ 3、数列通项与前n 项和的关系⎩⎨⎧≥-===-)2()1(111n s s n a s a n nn4、数列求和常用方法公式法、裂项法、 错位相减法、倒序相加法八、平面向量1．向量加减 三角形法则，平行四边形法则=+BC AB AC 首尾相接，OC OB -=CB 共始点中点公式：⇔=+AD AC AB 2D 是BC 中点 2． 向量数量积 b a ⋅=θcos ⋅⋅=2121y y x x +注：①b a ,夹角：00≤θ≤1800②b a ,同向：b a =⋅3．基本定理 2211e e a λλ+=（21,e e不共线--基底） 平行：⇔b a //b a λ=⇔1221y x y x =（0≠b ） 垂直：0=⋅⇔⊥b a b a 02121=+⇔y y x x 模：a＝22y x +=+=+2)(b a夹角：=θcos ||||b a ba 注：①0∥a ②()()c b a c b a ⋅⋅≠⋅⋅（结合律）不成立③c a b a ⋅=⋅c b =⇒（消去律）不成立九、复数与推理证明1．复数概念复数：bi a z +=(a,b )R ∈，实部a 、虚部b 分类：实数（0=b ），虚数（0≠b ），复数集C注：z 是纯虚数0=⇔a ，0≠b相等：实、虚部分别相等 共轭：bi a z -=模：22b a z +=2z z z =⋅复平面：复数z 对应的点),(b a 2．复数运算加减：（a+bi ）±(c+di)=？ 乘法：（a+bi ）（c+di ）=？ 除法：di c bi a ++=))(())((di c di c di c bi a -+-+==… 乘方：12-=i ，=n i rr k i i=+4 3．合情推理类比：特殊推出特殊归纳：特殊推出一般演绎：一般导出特殊（大前题→小前题→结论） 4．直接与间接证明综合法：由因导果比较法：作差—变形—判断—结论 反证法：反设—推理—矛盾—结论 分析法：执果索因分析法书写格式：要证A 为真，只要证B 为真，即证……， 这只要证C 为真，而已知C 为真，故A 必为真 注：常用分析法探索证明途径，综合法写证明过程5．数学归纳法：(1)验证当n=1时命题成立,(2)假设当n=k(k ∈N* ，k ≥1)时命题成立, 证明当n=k+1时命题也成立由(1)(2)知这命题对所有正整数n 都成立注：用数学归纳法证题时，两步缺一不可，归纳假设必须使用十、直线与圆1、倾斜角 范围[)0,π 斜率 2121tan y y k x x α-==-注：直线向上方向与x 轴正方向所成的最小正角倾斜角为90︒时，斜率不存在 2、直线方程点斜式)(00x x k y y -=-，斜截式b kx y += 两点式121121x x x x y y y y --=--， 截距式1=+bya x一般式0=++C By Ax注意适用范围：①不含直线0x x = ②不含垂直x 轴的直线③不含垂直坐标轴和过原点的直线 3、位置关系（注意条件） 平行⇔12k k = 且21b b ≠垂直⇔121k k =- 垂直⇔12120A A B B += 4、距离公式两点间距离：|AB|=221221)()(y y x x -+- 点到直线距离：d =5、圆标准方程：222)()(r b y a x =-+- 圆心),(b a ，半径r圆一般方程：022=++++F Ey Dx y x （条件是？）圆心,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭半径2r =6、直线与圆位置关系注：点与圆位置关系 ⇔>-+-22020)()(r b y a x 点()00,P x y 在圆外7、直线截圆所得弦长AB =十一、圆锥曲线一、定义椭圆： |PF 1|+|PF 2|=2a(2a>|F 1F 2|) 双曲线：|PF 1|-|PF 2|=±2a(0<2a<|F 1F 2|) 抛物线：与定点和定直线距离相等的点轨迹 二、标准方程与几何性质（如焦点在x 轴）椭圆12222=+b y a x ( a>b>0)双曲线12222=-by a x (a>0,b>0)中心原点 对称轴？ 焦点F 1(c,0)、F 2(-c,0) 顶点: 椭圆(±a,0),(0, ±b)，双曲线(±a,0) 范围: 椭圆-a ≤x ≤a,-b ≤y ≤b双曲线|x| ≥ a ，y ∈R 焦距：椭圆2c （c=22b a -）双曲线2c （c=22b a +） 2a 、2b :椭圆长轴、短轴长，双曲线实轴、虚轴长离心率：e=c/a 椭圆0<e<1,双曲线e>1注：双曲线12222=-by a x 渐近线x a by ±=方程122=+ny mx 表示椭圆n m n m ≠>>⇔.0,0 方程122=+ny mx 表示双曲线0<⇔mn 抛物线y 2=2px(p>0)顶点（原点） 对称轴（x 轴） 开口（向右） 范围x ≥0 离心率e=1焦点)0,2(p F准线2px -= 十二、矩阵、行列式、算法初步十、算法初步一．程序框图二．基本算法语句及格式1输入语句：INPUT “提示内容”；变量 2输出语句：PRINT “提示内容”；表达式 3赋值语句：变量=表达式 4条件语句“IF —THEN —ELSE ”语句 “IF —THEN ”语句IF 条件 THEN IF 条件 THEN 语句1 语句 ELSE END IF 语句2 END IF 5循环语句当型循环语句 直到型循环语句 WHILE 条件 DO 循环体 循环体 WEND LOOP UNTIL 条件 当型“先判断后循环” 直到型“先循环后判断”三．算法案例1、求两个数的最大公约数 辗转相除法：到达余数为0 更相减损术：到达减数和差相等2、多项式f(x)= a n x n +a n-1x n-1+….+a 1x+a 0的求值秦九韶算法： v 1=a n x+a n －1 v 2=v 1x+a n －2v 3=v 2x+a n －3 v n =v n －1x+a 0注：递推公式v 0=a n v k =v k －1X +a n －k (k=1,2,…n)求f(x)值，乘法、加法均最多n 次 3、进位制间的转换k 进制数转换为十进制数：111011.........)(.....a k a ka k a k a a a a n n nn n n +⨯++⨯+⨯=---十进制数转换成k 进制数：“除k 取余法”例1辗转相除法求得123和48最大公约数为3例2已知f(x)=2x 5－5x 4－4x 3+3x 2－6x+7，秦九韶算法求f(5)123＝2×48＋27 v 0=2 48＝1×27＋21 v 1=2×5－5=5 27＝1×21＋6 v 2=5×5－4=21 21＝3×6＋3 v 3=21×5+3=1086＝2×3+0 v 4=108×5－6=534v 5=534×5+7=2677十三、立体几何1．三视图 正视图、侧视图、俯视图2．直观图：斜二测画法'''X OY ∠=450平行X 轴的线段，保平行和长度平行Y 轴的线段，保平行，长度变原来一半 3．体积与侧面积V 柱=S 底h V 锥 =31S 底h V 球=34πR 3S 圆锥侧=rl π S 圆台侧=l r R )(+π S 球表=24R π 4．公理与推论 确定一个平面的条件：①不共线的三点 ②一条直线和这直线外一点③两相交直线 ④两平行直线公理：平行于同一条直线的两条直线平行定理：如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
史上最全面-上海教材高中数学知识点总结(史上最全面)
史上最全面-上海教材高中数学知识点总结(史上最全面) 目录一、集合与常用逻辑 二、不等式 三、函数概念与性质 四、基本初等函数 五、函数图像与方程 六、三角函数 七、数 列 八、平面向量九、复数与推理证明 十、直线与圆 十一、曲线方程十二、矩阵、行列式、算法初步 十三、立体几何 十四、计数原理 十五、概率与统计一、集合与常用逻辑1．集合概念 元素：互异性、无序性 2．集合运算 全集U ：如U=R交集：}{B x A x x B A ∈∈=且并集：}{B x A x x B A ∈∈=⋃或 补集：}{A x U x x A C U ∉∈=且 3．集合关系 空集A ⊆φ子集B A ⊆:任意B x A x ∈⇒∈B A B B A BA AB A ⊆⇔=⊆⇔=注：数形结合---文氏图、数轴 4．四种命题原命题：若p 则q 逆命题：若q 则p 否命题：若p ⌝则q ⌝ 逆否命题：若q ⌝则p ⌝原命题⇔逆否命题 否命题⇔逆命题5．充分必要条件p 是q 的充分条件：q P ⇒ p 是q 的必要条件：q P ⇐ p 是q 的充要条件：p ⇔q6．复合命题的真值①q 真（假）⇔“q ⌝”假（真） ②p 、q 同真⇔“p ∧q ”真 ③p 、q 都假⇔“p ∨q ”假7.全称命题、存在性命题的否定 ∀∈M, p(x ）否定为: ∃∈M, )(X p ⌝∃∈M, p(x ）否定为: ∀∈M, )(X p ⌝二、不等式1．一元二次不等式解法若0>a ，02=++c bx ax 有两实根βα,)(βα<，则02<++c bx ax 解集),(βα02>++c bx ax 解集),(),(+∞-∞βα注：若0<a ，转化为0>a 情况 2．其它不等式解法—转化a x a a x <<-⇔<⇔22a x <⇔>a x a x >或a x -<⇔22a x >0)()(>x g x f ⇔0)()(>x g x f ⇔>)()(x g x f a a )()(x g x f >（a >1）⇔>)(log )(log x g x f a a f x f x g x ()()()><⎧⎨⎪⎩⎪0（01<<a ）3．基本不等式 ①ab b a 222≥+②若+∈R b a ,，则ab b a ≥+2注：用均值不等式ab b a 2≥+、2)2(b a ab +≤求最值条件是“一正二定三相等”三、函数概念与性质1．奇偶性f(x)偶函数⇔()()f x f x -=⇔f(x)图象关于y 轴对称 f(x)奇函数⇔()()f x f x -=-⇔f(x)图象关于原点对称 注：①f(x)有奇偶性⇒定义域关于原点对称②f(x)奇函数,在x=0有定义⇒f(0)=0 ③“奇+奇=奇”（公共定义域内）2．单调性f(x)增函数：x 1＜x 2⇒f(x 1)＜f(x 2)或x 1＞x 2⇒f(x 1) ＞f(x 2) 或0)()(2121>--x x x f x ff(x)减函数：？注：①判断单调性必须考虑定义域②f(x)单调性判断定义法、图象法、性质法“增+增=增” ③奇函数在对称区间上单调性相同 偶函数在对称区间上单调性相反 3．周期性T 是()f x 周期⇔()()f x T f x +=恒成立（常数0≠T）4．二次函数解析式： f(x)=ax 2+bx+c ，f(x)=a(x-h)2+k f(x)=a(x-x 1)(x-x 2)对称轴：abx 2-= 顶点：)44,2(2a b ac a b -- 单调性：a>0，]2,(ab--∞递减，),2[+∞-a b 递增 当ab x 2-=，f(x)min a bac 442-=奇偶性：f(x)=ax 2+bx+c 是偶函数⇔b=0 闭区间上最值：配方法、图象法、讨论法--- 注意对称轴与区间的位置关系注：一次函数f(x)=ax+b 奇函数⇔b=0四、基本初等函数1．指数式 )0(10≠=a a n na a 1=- m n m na a =2．对数式 b N a =log N a b=⇔（a>0,a ≠1）N M MN a a a log log log +=N M NM a a a log log log -=M n M a n a log log =a b b m m a log log log =ablg lg =n aa b b n l o g l o g =a bl o g 1= 注：性质01log =a 1log =a a N aNa =log常用对数N N 10log lg =，15lg 2lg =+ 自然对数N N e log ln =，1ln =e 3．指数与对数函数 y=a x与y=log a x定义域、值域、过定点、单调性？注：y=a x与y=log a x 图象关于y=x 对称（互为反函数）4．幂函数 12132,,,-====x y x y x y x yαx y =在第一象限图象如下：五、函数图像与方程1．描点法函数化简→定义域→讨论性质（奇偶、单调） 取特殊点如零点、最值点等 2．图象变换平移：“左加右减，上正下负”)()(h x f y x f y +=→=伸缩：)1()(x f y x f y ϖϖ=−−−−−−−−→−=倍来的每一点的横坐标变为原对称：“对称谁，谁不变，对称原点都要变”)()()()()()(x f y x f y x f y x f y x f y x f y y x --=−−→−=-=−→−=-=−→−=原点轴轴注：)(x f y =ax =→直线)2(x a f y -=翻折：→=)(x f y |()|y f x =保留x 轴上方部分，并将下方部分沿x 轴翻折到上方→=)(x f y (||)y f x =保留y 轴右边部分，并将右边部分沿y 轴翻折到左边3．零点定理若0)()(<b f a f ，则)(x f y =在),(b a 内有零点 （条件：)(x f 在],[b a 上图象连续不间断）注：①)(x f 零点：0)(=x f 的实根②在],[b a 上连续的单调函数)(x f ，0)()(<b f a f 则)(x f 在),(b a 上有且仅有一个零点③二分法判断函数零点---0)()(<b f a f ？六、三角函数1．概念 第二象限角)2,22(ππππ++k k (Z k ∈)2．弧长 r l ⋅=α 扇形面积lr S 21=3．定义 r y =αsin r x =αcos xy=αtan其中),(y x P 是α终边上一点，r PO =4．符号 “一正全、二正弦、三正切、四余弦” 5．诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限”如ααπsin )2(-=-Sin ，ααπsin )2/cos(-=+ 6．特殊角的三角函数值7．基本公式同角1cos sin 22=+αααααtan cos sin = 和差()βαβαβαsin cos cos sin sin ±=±()βαβαβαsin sin cos cos cos =± ()βαβαβαtan tan 1tan tan tan ±=±倍角 αααcos sin 22sin =ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=ααα2tan 1tan 22tan -=降幂cos 2α=22cos 1α+ sin 2α=22cos 1α- 叠加 )4sin(2cos sin πααα+=+)6sin(2cos sin 3πααα-=-)sin(cos sin 22ϕααα++=+b a b a )(tan ba=ϕ8．三角函数的图象性质单调性： )2,2(ππ-增 ),0(π减 )2,2(ππ-增注：Z k ∈9．解三角形基本关系：sin(A+B)=sinC cos(A+B)=-cosC tan(A+B)=-tanC 2cos 2sinCB A =+ 正弦定理：A a sin =B b sin =Ccsin A R a sin 2= C B A c b a s i n :s i n :s i n ::=余弦定理：a 2=b 2+c 2－2bc cos A （求边）cos A =bca cb 2222-+（求角）面积公式：S △＝21ab sin C注：ABC ∆中，A+B+C=？ B A B A sin sin <⇔<a 2＞b 2+c 2 ⇔ ∠A ＞2π七、数 列1、等差数列定义：d a a n n =-+1 通项：d n a a n )1(1-+= 求和：2)(1n n a a n S += d n n na )1(211-+= 中项：2ca b +=（c b a ,,成等差） 性质：若q p n m +=+，则q p n m a a a a +=+2、等比数列定义：)0(1≠=+q q a a nn通项：11-=n n q a a求和：⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q qq a q na S nn中项：ac b =2（c b a ,,成等比）性质：若q p n m +=+ 则q p n m a a a a ⋅=⋅ 3、数列通项与前n 项和的关系⎩⎨⎧≥-===-)2()1(111n s s n a s a n n n4、数列求和常用方法公式法、裂项法、 错位相减法、倒序相加法八、平面向量1．向量加减 三角形法则，平行四边形法则=+BC AB AC 首尾相接，-=CB 共始点中点公式：⇔=+AD AC AB 2D 是BC 中点 2． 向量数量积 ⋅θcos ⋅=2121y y x x +注：①,夹角：00≤θ≤1800②b a ,同向：=⋅3．基本定理 2211e e a λλ+=（21,e e不共线--基底） 平行：⇔//λ=⇔1221y x y x =（0≠b ） 垂直：0=⋅⇔⊥b a b a 02121=+⇔y y x x模：a ＝22y x +=+=+2)(夹角：=θcos ||||b a ba 注：①0∥a ②()()c b a c b a ⋅⋅≠⋅⋅（结合律）不成立③c a b a ⋅=⋅c b =⇒（消去律）不成立九、复数与推理证明1．复数概念复数：bi a z +=(a,b )R ∈，实部a 、虚部b 分类：实数（0=b ），虚数（0≠b ），复数集C注：z 是纯虚数0=⇔a ，0≠b相等：实、虚部分别相等 共轭：bi a z -= 模：22b a z +=2z z z =⋅复平面：复数z 对应的点),(b a 2．复数运算加减：（a+bi ）±(c+di)=？ 乘法：（a+bi ）（c+di ）=？ 除法：di c bi a ++=))(())((di c di c di c bi a -+-+==… 乘方：12-=i ，=n i rr k i i=+4 3．合情推理类比：特殊推出特殊归纳：特殊推出一般演绎：一般导出特殊（大前题→小前题→结论） 4．直接与间接证明综合法：由因导果比较法：作差—变形—判断—结论 反证法：反设—推理—矛盾—结论 分析法：执果索因分析法书写格式：要证A 为真，只要证B 为真，即证……， 这只要证C 为真，而已知C 为真，故A 必为真 注：常用分析法探索证明途径，综合法写证明过程 5．数学归纳法：(1)验证当n=1时命题成立,(2)假设当n=k(k ∈N* ，k ≥1)时命题成立, 证明当n=k+1时命题也成立由(1)(2)知这命题对所有正整数n 都成立注：用数学归纳法证题时，两步缺一不可，归纳假设必须使用十、直线与圆1、倾斜角 范围[)0,π斜率 2121tan y y k x x α-==-注：直线向上方向与x 轴正方向所成的最小正角倾斜角为90︒时，斜率不存在 2、直线方程点斜式)(00x x k y y -=-，斜截式b kx y += 两点式121121x x x x y y y y --=--， 截距式1=+bya x一般式0=++C By Ax注意适用范围：①不含直线0x x = ②不含垂直x 轴的直线③不含垂直坐标轴和过原点的直线3、位置关系（注意条件） 平行⇔12k k = 且21b b ≠垂直⇔121k k =- 垂直⇔12120A A B B += 4、距离公式两点间距离：|AB|=221221)()(y y x x -+- 点到直线距离：d =5、圆标准方程：222)()(r b y a x =-+- 圆心),(b a ，半径r圆一般方程：022=++++F Ey Dx y x （条件是？）圆心,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭半径2r =6、直线与圆位置关系注：点与圆位置关系 ⇔>-+-22020)()(r b y a x 点()00,P x y 在圆外7、直线截圆所得弦长AB =十一、圆锥曲线一、定义椭圆： |PF 1|+|PF 2|=2a(2a>|F 1F 2|) 双曲线：|PF 1|-|PF 2|=±2a(0<2a<|F 1F 2|) 抛物线：与定点和定直线距离相等的点轨迹 二、标准方程与几何性质（如焦点在x 轴）椭圆12222=+b y a x ( a>b>0)双曲线12222=-by a x (a>0,b>0)中心原点 对称轴？ 焦点F 1(c,0)、F 2(-c,0) 顶点: 椭圆(±a,0),(0, ±b)，双曲线(±a,0) 范围: 椭圆-a ≤x ≤a,-b ≤y ≤b双曲线|x| ≥ a ，y ∈R 焦距：椭圆2c （c=22b a -）双曲线2c （c=22b a +） 2a 、2b :椭圆长轴、短轴长，双曲线实轴、虚轴长离心率：e=c/a 椭圆0<e<1,双曲线e>1注：双曲线12222=-by a x 渐近线x a by ±=方程122=+ny mx 表示椭圆n m n m ≠>>⇔.0,0 方程122=+ny mx 表示双曲线0<⇔mn 抛物线y 2=2px(p>0)顶点（原点） 对称轴（x 轴） 开口（向右） 范围x ≥0 离心率e=1 焦点)0,2(p F准线2px -= 十二、矩阵、行列式、算法初步十、算法初步一．程序框图二．基本算法语句及格式1输入语句：INPUT “提示内容”；变量2输出语句：PRINT“提示内容”；表达式3赋值语句：变量=表达式4条件语句“IF—THEN—ELSE”语句“IF—THEN”语句IF 条件 THEN IF 条件 THEN 语句1 语句ELSE END IF语句2END IF5循环语句当型循环语句直到型循环语句WHILE 条件 DO循环体循环体WEND LOOP UNTIL 条件当型“先判断后循环”直到型“先循环后判断”三．算法案例1、求两个数的最大公约数辗转相除法：到达余数为0更相减损术：到达减数和差相等2、多项式f(x)= a n x n+a n-1x n-1+….+a1x+a0的求值秦九韶算法：v1=a n x+a n－1v2=v1x+a n－2v3=v2x+a n－3v n=v n－1x+a0注：递推公式v0=a n v k=v k－1X+a n－k(k=1,2,…n)求f(x)值，乘法、加法均最多n次3、进位制间的转换k进制数转换为十进制数：11111.........)(.....akakakakaaaa nnnnnn+⨯++⨯+⨯=---十进制数转换成k进制数：“除k取余法”例1辗转相除法求得123和48最大公约数为3例2已知f(x)=2x5－5x4－4x3+3x2－6x+7，秦九韶算法求f(5) 123＝2×48＋27 v0=248＝1×27＋21 v1=2×5－5=527＝1×21＋6 v2=5×5－4=2121＝3×6＋3 v3=21×5+3=1086＝2×3+0 v4=108×5－6=534v5=534×5+7=2677十三、立体几何1．三视图 正视图、侧视图、俯视图2．直观图：斜二测画法'''X OY ∠=450平行X 轴的线段，保平行和长度平行Y 轴的线段，保平行，长度变原来一半 3．体积与侧面积V 柱=S 底h V 锥 =31S 底h V 球=34πR 3S 圆锥侧=rl π S 圆台侧=l r R )(+π S 球表=24R π 4．公理与推论 确定一个平面的条件： ①不共线的三点 ②一条直线和这直线外一点 ③两相交直线 ④两平行直线公理：平行于同一条直线的两条直线平行定理：如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
上海教材高中数学知识点总结材料(全面)
文案大全目录一、集合与常用逻辑 二、不等式 三、函数概念与性质 四、基本初等函数 五、函数图像与方程 六、三角函数 七、数 列 八、平面向量九、复数与推理证明 十、直线与圆 十一、曲线方程十二、矩阵、行列式、算法初步 十三、立体几何 十四、计数原理 十五、概率与统计一、集合与常用逻辑1．集合概念 元素：互异性、无序性 2．集合运算 全集U ：如U=R 交集：}{B x A x x B A ∈∈=且 并集：}{B x A x x B A ∈∈=⋃或补集：}{A x U x x A C U ∉∈=且 3．集合关系 空集A ⊆φ子集B A ⊆:任意B x A x ∈⇒∈B A B B A BA AB A ⊆⇔=⊆⇔=注：数形结合---文氏图、数轴 4．四种命题原命题：若p 则q 逆命题：若q 则p 否命题：若p ⌝则q ⌝ 逆否命题：若q ⌝则p ⌝原命题⇔逆否命题 否命题⇔逆命题5．充分必要条件p 是q 的充分条件：q P ⇒ p 是q 的必要条件：q P ⇐ p 是q 的充要条件：p ⇔q 6．复合命题的真值①q 真（假）⇔“q ⌝”假（真） ②p 、q 同真⇔“p ∧q ”真 ③p 、q 都假⇔“p ∨q ”假7.全称命题、存在性命题的否定 ∀∈M, p(x ）否定为: ∃∈M, )(X p ⌝ ∃∈M, p(x ）否定为: ∀∈M, )(X p ⌝文案大全二、不等式1．一元二次不等式解法若0>a ，02=++c bx ax 有两实根βα,)(βα<，则02<++c bx ax 解集),(βα02>++c bx ax 解集),(),(+∞-∞βα注：若0<a ，转化为0>a 情况 2．其它不等式解法—转化a x a a x <<-⇔<⇔22a x <⇔>a x a x >或a x -<⇔22a x >0)()(>x g x f ⇔0)()(>x g x f ⇔>)()(x g x f a a )()(x g x f >（a >1）⇔>)(log )(log x g x f a a f x f x g x ()()()><⎧⎨⎪⎩⎪0（01<<a ）3．基本不等式 ①ab b a 222≥+②若+∈R b a ,，则ab b a ≥+2注：用均值不等式ab b a 2≥+、2)2(b a ab +≤ 求最值条件是“一正二定三相等”三、函数概念与性质1．奇偶性f(x)偶函数⇔()()f x f x -=⇔f(x)图象关于y 轴对称 f(x)奇函数⇔()()f x f x -=-⇔f(x)图象关于原点对称注：①f(x)有奇偶性⇒定义域关于原点对称②f(x)奇函数,在x=0有定义⇒f(0)=0 ③“奇+奇=奇”（公共定义域内） 2．单调性f(x)增函数：x 1＜x 2⇒f(x 1)＜f(x 2)或x 1＞x 2⇒f(x 1) ＞f(x 2) 或0)()(2121>--x x x f x ff(x)减函数：？注：①判断单调性必须考虑定义域②f(x)单调性判断定义法、图象法、性质法“增+增=增” ③奇函数在对称区间上单调性相同文案大全偶函数在对称区间上单调性相反 3．周期性T 是()f x 周期⇔()()f x T f x +=恒成立（常数0≠T）4．二次函数解析式： f(x)=ax 2+bx+c ，f(x)=a(x-h)2+k f(x)=a(x-x 1)(x-x 2)对称轴：abx 2-= 顶点：)44,2(2a b ac a b -- 单调性：a>0，]2,(ab--∞递减，),2[+∞-a b 递增 当ab x 2-=，f(x)min a b ac 442-=奇偶性：f(x)=ax 2+bx+c 是偶函数⇔b=0闭区间上最值：配方法、图象法、讨论法--- 注意对称轴与区间的位置关系注：一次函数f(x)=ax+b 奇函数⇔b=0四、基本初等函数1．指数式 )0(10≠=a a n n a a 1=- m nm na a =2．对数式 b N a =log N a b=⇔（a>0,a ≠1）N M MN a a a log log log +=N M NM a a a log log log -=M n M a n a log log =a b b m m a log log log =ablg lg =na ab b n log log =ab log 1=注：性质01log =a 1log =a a N aNa =log常用对数N N 10log lg =，15lg 2lg =+ 自然对数N N e log ln =，1ln =e 3．指数与对数函数 y=a x与y=log a x定义域、值域、过定点、单调性？注：y=a x与y=log a x 图象关于y=x 对称（互为反函数）4．幂函数 12132,,,-====x y x y x y x yαx y =在第一象限图象如下：文案大全五、函数图像与方程1．描点法函数化简→定义域→讨论性质（奇偶、单调） 取特殊点如零点、最值点等 2．图象变换平移：“左加右减，上正下负”)()(h x f y x f y +=→=伸缩：)1()(x f y x f y ϖϖ=−−−−−−−−→−=倍来的每一点的横坐标变为原对称：“对称谁，谁不变，对称原点都要变”)()()()()()(x f y x f y x f y x f y x f y x f y y x --=−−→−=-=−→−=-=−→−=原点轴轴注：)(x f y =ax =→直线)2(x a f y -=翻折：→=)(x f y |()|y f x =保留x 轴上方部分，并将下方部分沿x 轴翻折到上方→=)(x f y (||)y f x =保留y 轴右边部分， 并将右边部分沿y 轴翻折到左边3．零点定理若0)()(<b f a f ，则)(x f y =在),(b a 内有零点 （条件：)(x f 在],[b a 上图象连续不间断）注：①)(x f 零点：0)(=x f 的实根②在],[b a 上连续的单调函数)(x f ，0)()(<b f a f 则)(x f 在),(b a 上有且仅有一个零点③二分法判断函数零点---0)()(<b f a f ？六、三角函实用标准文档文案大全2．弧长 r l ⋅=α 扇形面积lr S 21=3．定义 r y =αsin r x =αcos xy=αtan其中),(y x P 是α终边上一点，r PO =4．符号 “一正全、二正弦、三正切、四余弦” 5．诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限”如ααπsin )2(-=-Sin ，ααπsin )2/cos(-=+ 6．特殊角的三角函数值7．基本公式 同角1cos sin22=+αααααtan cos sin = 和差sin cos cos sin sin ±=± sin sin cos cos cos =± ()βαβαβαtan tan 1tan tan tan ±=±倍角 αααcos sin 22sin =ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=ααα2tan 1tan 22tan -=降幂cos 2α=22cos 1α+ sin 2α=22cos 1α- 叠加 )4sin(2cos sin πααα+=+文案大全)6sin(2cos sin 3πααα-=-)sin(cos sin 22ϕααα++=+b a b a )(tan ba=ϕ8．三角函数的图象性质单调性： )2,2(ππ-增 ),0(π减 )2,2(ππ-增 注：Z k ∈9．解三角形基本关系：sin(A+B)=sinC cos(A+B)=-cosCtan(A+B)=-tanC 2cos 2sin CB A =+正弦定理：A a sin =B b sin =Ccsin A R a sin 2= C B A c b a sin :sin :sin ::=余弦定理：a 2=b 2+c 2－2bc cos A （求边） cos A =bcac b 2222-+（求角）面积公式：S △＝21ab sin C注：ABC ∆中，A+B+C=？ B A B A sin sin <⇔<a 2＞b 2+c 2 ⇔ ∠A ＞2π七、数 列1、等差数列定义：d a a n n =-+1 通项：d n a a n )1(1-+= 求和：2)(1n n a a n S += d n n na )1(211-+= 中项：2ca b +=（c b a ,,成等差） 性质：若q p n m +=+，则q p n m a a a a +=+2、等比数列 定义：)0(1≠=+q q a a nn通项：11-=n n q a a求和：⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q qq a q na S nn中项：ac b =2（c b a ,,成等比）性质：若q p n m +=+ 则q p n m a a a a ⋅=⋅ 3、数列通项与前n 项和的关系⎩⎨⎧≥-===-)2()1(111n s s n a s a n n n4、数列求和常用方法文案大全公式法、裂项法、 错位相减法、倒序相加法八、平面向量1．向量加减 三角形法则，平行四边形法则=+BC AB AC 首尾相接，-=CB 共始点中点公式：⇔=+AD AC AB 2D 是BC 中点 2． 向量数量积 ⋅θcos ⋅=2121y y x x +注：①b a ,夹角：00≤θ≤1800②,同向：=⋅ 3．基本定理 2211e e a λλ+=（21,e e不共线--基底） 平行：⇔//λ=⇔1221y x y x =（≠） 垂直：0=⋅⇔⊥b a b a 02121=+⇔y y x x模：a ＝22y x +=+=+2)(b a夹角：=θcos ||||b a ba 注：①0∥a ②()()⋅⋅≠⋅⋅（结合律）不成立③c a b a ⋅=⋅c b =⇒（消去律）不成立九、复数与推理证明1．复数概念复数：bi a z +=(a,b )R ∈，实部a 、虚部b 分类：实数（0=b ），虚数（0≠b ），复数集C注：z 是纯虚数0=⇔a ，0≠b相等：实、虚部分别相等 共轭：bi a z -= 模：22b a z +=2z z z =⋅复平面：复数z 对应的点),(b a 2．复数运算加减：（a+bi ）±(c+di)=？ 乘法：（a+bi ）（c+di ）=？ 除法：di c bi a ++=))(())((di c di c di c bi a -+-+==… 乘方：12-=i ，=n i rr k i i=+4 3．合情推理类比：特殊推出特殊归纳：特殊推出一般演绎：一般导出特殊（大前题→小前题→结论） 4．直接与间接证明综合法：由因导果比较法：作差—变形—判断—结论 反证法：反设—推理—矛盾—结论 分析法：执果索因分析法书写格式：文案大全要证A 为真，只要证B 为真，即证……， 这只要证C 为真，而已知C 为真，故A 必为真 注：常用分析法探索证明途径，综合法写证明过程 5．数学归纳法：(1)验证当n=1时命题成立,(2)假设当n=k(k ∈N* ，k ≥1)时命题成立, 证明当n=k+1时命题也成立由(1)(2)知这命题对所有正整数n 都成立注：用数学归纳法证题时，两步缺一不可，归纳假设必须使用十、直线与圆1、倾斜角 范围[)0,π斜率 2121tan y y k x x α-==-注：直线向上方向与x 轴正方向所成的最小正角倾斜角为90︒时，斜率不存在 2、直线方程点斜式)(00x x k y y -=-，斜截式b kx y +=两点式121121x x x x y y y y --=--， 截距式1=+bya x一般式0=++C By Ax注意适用范围：①不含直线0x x = ②不含垂直x 轴的直线③不含垂直坐标轴和过原点的直线 3、位置关系（注意条件）平行⇔12k k = 且21b b ≠垂直⇔121k k =- 垂直⇔12120A A B B += 4、距离公式两点间距离：|AB|=221221)()(y y x x -+- 点到直线距离：d =5、圆标准方程：222)()(r b y a x =-+- 圆心),(b a ，半径r圆一般方程：022=++++F Ey Dx y x （条件是？）圆心,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭半径2r =6、直线与圆位置关系 注：点与圆位置关系 ⇔>-+-22020)()(r b y a x 点()00,P x y 在圆外7、直线截圆所得弦长AB =文案大全十一、圆锥曲线一、定义椭圆： |PF 1|+|PF 2|=2a(2a>|F 1F 2|) 双曲线：|PF 1|-|PF 2|=±2a(0<2a<|F 1F 2|) 抛物线：与定点和定直线距离相等的点轨迹 二、标准方程与几何性质（如焦点在x 轴）椭圆12222=+by a x ( a>b>0)双曲线12222=-by a x (a>0,b>0)中心原点 对称轴？ 焦点F 1(c,0)、F 2(-c,0) 顶点: 椭圆(±a,0),(0, ±b)，双曲线(±a,0) 范围: 椭圆-a ≤x ≤a,-b ≤y ≤b双曲线|x| ≥ a ，y ∈R 焦距：椭圆2c （c=22b a -）双曲线2c （c=22b a +） 2a 、2b :椭圆长轴、短轴长，双曲线实轴、虚轴长离心率：e=c/a 椭圆0<e<1,双曲线e>1注：双曲线12222=-by a x 渐近线x a by ±=方程122=+ny mx 表示椭圆n m n m ≠>>⇔.0,0 方程122=+ny mx 表示双曲线0<⇔mn 抛物线y 2=2px(p>0)顶点（原点） 对称轴（x 轴） 开口（向右） 范围x ≥0 离心率e=1 焦点)0,2(p F准线2px -= 十二、矩阵、行列式、算法初步1. 矩阵是记录和管理批量数据的一种方法从具体问题人手，通过构造矩阵，利用矩阵的运算解决问题．由n m ⨯个数排成的m 行n 列的矩形表⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a .....................212222111211称为一个m 行n 列的矩阵，简称n m ⨯矩阵，用n m A ⨯表示，简记为n m ij a A ⨯=)(或),...2,1;,...2,1)((n j m i a A ij ===，数ij a 称为矩阵A 的元素。
上海教材高中数学知识点总结
解析式：f(x)=ax2+bx+c,f(x)=a(x-h)2+k
f(x)=a(x-x"(x-x2)
对称轴：x
b
2a
顶点：(
b
2a
4 ac
log
1
单调性:
a>0,(
2 a注：性质来自log当，f(x)4 ac
b
min
奇偶性：f(x)=ax2+bx+c是偶函数b=0
闭区间上最值:
配方法、图象法、讨论法---注意对称轴与区间的位置关系
Xa
a x
a
2 2x a
x ax
a或x
22
a x a
f(x)门
f(x)g(x)
0
g(x)
af(x)ag(x)
f(x)
g(x)(a
1)
f (X)
0
logaf (x)
loga
g(x)
(0 a 1)
f (x)
g(x)
3.基本不等式
①a2b2
2ab
②若a,b R
，则
a b
ab
2
注：用均值不等式
a b
2、ab、
和差
sin
sin
cos cos sin
倍角
tan 2
降幕
叠加
cos
ta n
sin2
2sin
cos cos sin
tan tan
1 tan tan
cos
sin
co2
2
cos
sirn2cos 1
1 2sir2
2ta n
1 tan2
cos2a=1 cos2
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上海高一数学知识点归纳总结
上海高一数学知识点归纳总结高一数学知识点归纳总结数学作为一门基础学科，对于学生来说十分重要。
在高一阶段，数学学科的知识点较多且复杂，为了方便同学们的学习和复习，我将对上海高一数学的知识点进行归纳和总结。
下面将按照高一数学教材的章节顺序，进行详细介绍。
第一章：函数函数是数学中的重要概念，它是一种特殊的关系。
在高一数学中，我们主要学习了以下几个方面的内容：1. 函数的概念和表示方法：函数是一个对应关系，通常用f(x)或y来表示。
2. 函数的性质：包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。
3. 一次函数和二次函数：研究了一次函数和二次函数的性质，学习了它们的图像和解析式。
4. 反函数和复合函数：学习了反函数的概念和性质，以及复合函数的运算法则。
第二章：平面坐标系与直线本章主要介绍平面坐标系和直线的相关知识，包括以下几个方面：1. 平面直角坐标系：了解了直角坐标系的构建和坐标表示。
2. 直线的方程：学习了点斜式、斜截式、截距式等不同形式的直线方程。
3. 直线的性质和相关定理：例如两直线垂直、平行的条件等。
第三章：平面向量在本章中，我们学习了平面向量的相关知识，包括以下几个方面：1. 向量的概念和表示方法：了解了向量的定义、表示、相等和相反等概念。
2. 向量的运算：包括向量的加法、减法、数量乘法等运算法则。
3. 平行四边形法则和三角形法则：了解了向量的几何意义和运算规律。
4. 向量的数量积和向量积：学习了向量的数量积和向量积的计算方法和性质。
第四章：平面解析几何在本章中，我们学习了平面解析几何的相关内容，包括以下几个方面：1. 点、直线和圆的方程：学习了点、直线和圆的解析几何方程。
2. 线段和角的性质：了解了线段的长度计算和角的度量单位。
3. 直线和圆的相交关系：包括直线与直线的相交、直线与圆的相交、圆与圆的相交等情况的判定。
第五章：三角函数三角函数是高一数学中的重点和难点之一，我们主要学习了以下几个方面的内容：1. 弧度制和角度制：学习了弧度制和角度制的相互转化和计算公式。
上海高中数学知识点总结
上海高中数学知识点总结（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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上海高三数学各章节知识点
上海高三数学各章节知识点在上海高三数学课程中，学生将接触到许多重要的章节和知识点。
本文将针对这些章节和知识点进行详细介绍，帮助学生更好地理解和掌握数学知识。
一、函数与极限1. 函数的定义与性质：介绍函数的概念、定义和常见的函数类型，包括一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
2. 极限与连续：讲解极限的概念与判断方法，以及函数的连续性与间断点的判定。
二、导数与微分1. 导数的定义与计算：介绍导数的概念、几何意义和计算方法，包括导数的四则运算、求导法则等。
2. 函数的单调性与极值：讲解函数的单调性、最大值和最小值的判定方法，以及应用题的解题思路。
三、数列与数学归纳法1. 等差数列和等比数列：介绍等差数列和等比数列的概念、通项公式、前n项和公式等。
2. 数列极限与无穷级数：讲解数列的极限概念与判定方法，以及无穷级数的收敛性与求和公式。
四、三角函数与向量1. 三角函数的定义与性质：介绍正弦函数、余弦函数、正切函数等的定义、周期性与图像。
2. 向量的基本概念与运算：讲解向量的定义、坐标表示、数量积、向量夹角等。
五、平面解析几何与立体几何1. 平面几何基础知识：介绍平面内的基本图形、相交关系、相似与全等等。
2. 空间几何基本知识：讲解空间内的基本图形、平行与垂直关系、投影等。
六、概率与统计1. 概率基本概念：介绍随机事件、样本空间、概率的定义与性质等。
2. 统计基本知识：讲解统计学中的样本调查、数据分析、频率分布等。
总结：上海高三数学课程中的各章节和知识点涵盖了函数与极限、导数与微分、数列与数学归纳法、三角函数与向量、平面解析几何与立体几何、概率与统计等方面。
通过学习这些内容，学生能够全面理解数学的基本概念与方法，提高数学解题能力，为高考和未来的学习打下坚实的数学基础。
上海高中数学知识点总结(18章+5个拓展专题)
第一章 集合与命题1.1集合与元素（1）集合的概念 我们常把能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合. （2）集合中的元素集合中的各个对象叫做这个集合的元素,集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. 元素的确定性如：世界上最高的山考点：判断下列能否构成集合，根据确定性来判断，比如班级里的高个子的同学不能构成集合 元素的互异性如：由HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P,Y}考点：当答案多解时，将解分别代入集合，不满足互异性的解舍去 元素的无序性: 如：{a, b, c}和{a, c, b}是表示同一个集合 （3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. {我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}，或者用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}②描述法：{x |x 具有的性质p}，其中x 为集合的代表元素.注意：竖线前面的代表元素，元素可以是点、数字（看清是x 还是y ）、甚至是集合.竖线后面代表的是元素的性质，如果看到，说明x 、y 是集合，则M 、N 代表的是由集合构成的集合；{}{}B y y N A x x M ⊆=⊆=|,|区分集合中元素的形式：如何表达奇数;重要性质及结论：①任何一个集合P都是它本身的子集，记为。
② 空集是任何集合P 的子集，记为P ⊆∅。
③ 空集是任何非空集合P 的真子集，记为P≠⊂∅。
④对数集来说，N≠⊂Z≠⊂Q≠⊂R注意：若条件为B A ⊆，在讨论的时候不要遗忘了∅=A 的情况。
已知集合有个元素，则它有n 个子集，它有21n n B {AA A =A ∅=∅A B A ⊆，A B B ⊆ B {AA A =A A ∅=AB A ⊇，A B B ⊇A C U{ ()()()U U U C A B C A C B = ()()()U U U C A B C A C B =()C B ；∅=⇔B C A A U 。
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⎬⎬ ⎩(3)a －b ＜0 ⇔ a ＜b ．(4) ＞1 ⇔ a ＞b ； b若 a 、b ∈ R +，则⎨(5) a b = 1 ⇔ a = b ；(9) a ＞b ＞0⎫ 0＜c ＜d ⎭ ⇒ c ＞ ( 异向正数不等式可除)d (10) a ＞b ＞0⎫(11) a ＞b ＞0⎫ a ＞ n b(正数不等式可开方)n ∈ N ⎬ ⇒(12)a ＞b ＞0 ⇒ 1 |b| (b ≠ 0) ．⎬⎬⎭[新王牌]高二数学复习知识点归纳总结不等式单元知识总结(7)a ＞b ⎫ ⇒ a －c ＞b －d( 异向不等式可减)c ＜d ⎭1．两个实数 a 与 b 之间的大小关系一、不等式的性质(8) a ＞b ＞0⎫ ⇒ ac ＞bd( 同向正数不等式可乘 )c ＞d ＞0⎭⎧(1)a －b ＞0 ⇔ a ＞b ； ⎪⎨(2)a －b = 0 ⇔ a = b ； ⎪⎧ a⎪⎪ ⎪⎪⎪ a ⎪⎩(6) b ＜1 ⇔ a ＜b ．2．不等式的性质(1)a ＞b ⇔ b ＜a( 对称性 )(2) a ＞b ⎫ ⇒ a ＞c(传递性 )b ＞c ⎭(3)a ＞b ⇔ a ＋c ＞b ＋c( 加法单调性 )a ＞b ⎫⎬ ⇒ ac ＞bcc ＞0⎭(4) (乘法单调性)a ＞b ⎫⎬ ⇒ ac ＜bcc ＜0 ⎭(5)a ＋b ＞c ⇒ a ＞c －b( 移项法则 )(6)a ＞b ⎫ ⇒ a ＋c ＞b ＋d( 同向不等式可加)c ＞d ⎭a b⎬n ∈ N ⎬ ⇒ a n ＞b n (正数不等式可乘方)n ⎭1a ＜b ( 正数不等式两边取倒数 )3．绝对值不等式的性质⎧a (a ≥0) ，(1)|a| ≥a ；|a|= ⎨⎩－a (a ＜0) ．(2)如果 a ＞0，那么|x| ＜a ⇔ x 2 ＜a 2 ⇔ －a ＜x ＜a ；|x| ＞a ⇔ x 2 ＞a 2 ⇔ x ＞a 或x ＜－a ．(3)|a ·b|＝|a|·|b|．a |a|(4)| | ＝ b(5)|a|－|b|≤|a ±b|≤|a|＋|b|．(6)|a 1＋a 2＋……＋a n |≤|a 1|＋|a 2|＋……＋|a n |．二、不等式的证明1．不等式证明的依据(1) 实数的性质：a 、b 同号 ⇔ ab ＞0；a 、b 异号 ⇔ ab ＜0 a －b ＞0 ⇔ a ＞b ；a －b ＜0 ⇔ a ＜b ；a －b = 0 ⇔ a = b(2)不等式的性质(略)2 ≥ ab(a 、b ∈ R +，当且仅当a = b 时取“ = ”号 )(4) f(x) ⎧f(x)＞0 g(x) ＜0与 ⎨g(x)＜0 或 g(x)＜0 同解．⎩g(x)≥0 f(x)≥ 0同解．⎩ f(x)＞0 同解． ⎪⎩g(x)＜0 或 ⎨ ⎩g(x)＞0同解．(3) f(x)⎧f(x)＞0⎩ ⎩(3)重要不等式：①|a|≥0；a 2≥0；(a －b)2≥0(a 、b ∈R) ②a 2＋b 2≥2ab(a 、b ∈R ，当且仅当 a=b 时取“=”号)③ a + b2．不等式的证明方法⎧f(x)＜0 ⎨ 同解． (g(x)≠0) ⎩g(x)＞0(5)|f(x)|＜g(x)与－g(x)＜f(x)＜g(x)同解．(g(x)＞0)(6)|f(x)|＞g(x)①与 f(x)＞g(x)或 f(x)＜－g(x)(其中 g(x)≥0)同解；②与 g(x)＜0 同解．法． (1)比较法：要证明 a ＞b(a ＜b)，只要证明 a －b ＞0(a －b ＜0)，这种证明不等式的方法叫做比较用比较法证明不等式的步骤是：作差——变形——判断符号．(2)综合法：从已知条件出发，依据不等式的性质和已证明过的不等式，推导出所要证明的不等⎧f(x)＞[g(x)]2 ⎪ ⎧f(x)≥0(7) f(x)＞g(x)与 ⎨f(x)≥0 或 ⎨⎪ ⎩式成立，这种证明不等式的方法叫做综合法．(3)分析法：从欲证的不等式出发，逐步分析使这不等式成立的充分条件，直到所需条件已判断为正确时，从而断定原不等式成立，这种证明不等式的方法叫做分析法．证明不等式除以上三种基本方法外，还有反证法、数学归纳法等．三、解不等式1．解不等式问题的分类(1)解一元一次不等式． (2)解一元二次不等式．(3)可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式． ①解一元高次不等式； ②解分式不等式； ③解无理不等式； ④解指数不等式； ⑤解对数不等式；⑥解带绝对值的不等式； ⑦解不等式组．2．解不等式时应特别注意下列几点：(1)正确应用不等式的基本性质．(2)正确应用幂函数、指数函数和对数函数的增、减性． (3)注意代数式中未知数的取值范围．3．不等式的同解性⎧f(x)＜[g(x)]2(8) f(x)＜g(x)与 ⎨⎩(9)当 a ＞1 时，a f(x)＞a g(x)与 f(x)＞g(x)同解，当 0＜a ＜1 时，a f(x)＞a g(x)与 f(x)＜g(x)同解．⎧f(x)＞g(x) (10) 当a ＞1时，log f(x)＞log g(x)与⎨ a a⎧f(x)＜g(x) ⎪当0＜a ＜1时，log f(x)＞log g(x)与 ⎨ f(x)＞0 同解．a a⎩g(x)＞0直线和圆的方程单元知识总结一、坐标法 1．点和坐标建立了平面直角坐标系后，坐标平面上的点和一对有序实数(x ，y)建立了一一对应的关系．2．两点间的距离公式设两点的坐标为 P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则两点间的距离|P P |= (x - x ) 2 + (y - y ) 21 2 2 1 2 1⎧f(x)＞0 (1)f(x)·g(x)＞0与 ⎨⎩ g(x)＞0 ⎧f(x)＜0或 ⎨ 同解． ⎩ g(x)＜0 特殊位置的两点间的距离，可用坐标差的绝对值表示： (1)当 x 1=x 2 时(两点在 y 轴上或两点连线平行于 y 轴)，则 |P 1P 2|=|y 2－y 1|⎧f(x)＞0 ⎧f(x)＜0(2)f(x)·g(x)＜0与 ⎨(2)当 y 1=y 2 时(两点在 x 轴上或两点连线平行于 x 轴)，则 |P 1P 2|=|x 2－x 1|3．线段的定比分点g(x)＞0与 ⎨g(x)＞0 或 ⎨g(x)＜0⎧f(x)＜0同解． (g(x)≠0)= x - x1 (x ≠x )⎪ x = 1 ⎪a + y则其参数式方程为 ⎨ (t 为参数)，特别地，当方向向量为⎪y = y 1 + y 2 (t 为参数 ) ⎨⎩2 )．一般方程时， A 1 = 1 =(1) 定义：设P 点把有向线段 P P 分成 P P 和 P P 两部分，那么有向1 2 1 2线段 P P 和 P P 的数量的比，就是P 点分 P P 所成的比，通常用λ 表示， 1 2 1 2P P即λ = 1 ，点P 叫做分线段 P P 为定比λ 的定比分点．PP1 2 2当P 点内分 P P 时， λ ＞ 0；当 P 点外分 P P 时， λ ＜ 0．1 21 2(2)公式：分 P 1(x 1，y 2)和 P 2(x 2，y 2)连线所成的比为λ 的分点坐标是⎧ x + λ x2⎨ 1 + λ( λ ≠ - 1) ⎪y = y 1 + λ y 2⎪⎩1 + λ(1)点斜式 已知直线过点(x 0，y 0)，斜率为 k ，则其方程为：y －y 0=k(x －x 0) (2)斜截式 已知直线在 y 轴上的截距为 b ，斜率为 k ，则其方程为：y=kx ＋b(3)两点式 已知直线过两点(x 1，y 1)和(x 2，y 2)，则其方程为：y - y1 y - y x - x 12 2 1 2 1(4)截距式 已知直线在 x ，y 轴上截距分别为 a 、b ，则其方程为：xb = 1(5)参数式 已知直线过点 P(x 0，y 0)，它的一个方向向量是(a ，b)，⎧x = x + at0 ⎩y = y 0 + bt公式特殊情况，当 P 是 P P 的中点时， λ = 1，得线段 P P 的中点坐标1 2 1 2⎧ x + x ⎪x = 1 2 2⎨ ⎪ 2 v(cos α ，sin α )(α 为倾斜角)时，则其参数式方程为⎧x = x + t cos α0 ⎩y = y 0 + t sin α这时，t 的几何意义是tv = p→p ，|t|=|p →p|=|p p|0 0 0(6)一般式 Ax ＋By ＋C=0 (A 、B 不同时为 0)． (7)特殊的直线方程二、直线1．直线的倾斜角和斜率(1)当直线和 x 轴相交时，把 x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角，叫做这条直线的倾斜角．①垂直于 x 轴且截距为 a 的直线方程是 x=a ，y 轴的方程是 x=0． ②垂直于 y 轴且截距为 b 的直线方程是 y=b ，x 轴的方程是 y=0．3．两条直线的位置关系(1)平行：当直线 l 1 和 l 2 有斜截式方程时，k 1=k 2 且 b 1≠b 2．当直线和 x 轴平行线重合时，规定直线的倾斜角为 0． 所以直线的倾斜角α ∈[0，π )．(2)倾斜角不是 90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜当l 和l 是一般式方程时， 1 2 A A 1 =2B 1 ≠ B2CC 1 2率，直线的斜率常用k 表示，即k = tan α (α ≠ π∴当 k ≥0 时，α =arctank ．(锐角)当 k ＜0 时，α =π －arctank ．(钝角)(2)重合：当 l 1 和 l 2 有斜截式方程时，k 1=k 2 且 b 1=b 2，当 l 1 和 l 2 是B C1A B C2 2 2(3)相交：当 l 1，l 2 是斜截式方程时，k 1≠k 2(3)斜率公式：经过两点 P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的直线的斜率为k= y 2 - y1 (x ≠x )x - x 12 21当l ，l 是一般式方程时， 1 2 A A 2≠B B21 22．直线的方程⎪交点： ⎨ 1的解 ① ⎪ ⎩ 2斜 ⎨到角：l 到l 的角 tan θ = 1 (1 + k k ≠0)交 ⎪ 1 + k k ⎪⎩ ⎪ 1 A 2 x ＋B 2 y ＋C 2≥0( 或≤0) (*)⎪…… ②垂直 ⎨ ⎪A x ＋B x ＋C ≥0( 或≤0) A 2 + B 2 l A⎧ ⎧A x + B y + C = 01 1 A x + B y + C = 02 2 ⎪⎪k - k 2 1 2 1 21 2 ⎪ k - k⎪夹角公式：l 和l 夹角 tan θ =| 2 1 |(1 + k k ≠0) 1 2 1 + k k1 2 1 2⎧当l 和l 有叙截式方程时，k k = －11 21 2 ⎩当l 1和l 2 是一般式方程时，A 1A 2 ＋B 1B 2 = 04．点 P(x 0，y 0)与直线 l ：Ax ＋By ＋C=0 的位置关系：Ax ＋By ＋C = 0 ⇔ P 在直线l 上( 点的坐标满足直线方程 ) 0Ax ＋By ＋C ≠0 ⇔ P 在直线l 外．二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，即各个不等式所表示的平面区域的公共部分．(2)线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题， 例如，z=ax ＋by ，其中 x ，y 满足下列条件：⎧A x ＋B y ＋C ≥0( 或≤0)1 1⎨⎩n n n求 z 的最大值和最小值，这就是线性规划问题，不等式组(*)是一组对变量 x 、y 的线性约束条件，z=ax ＋by 叫做线性目标函数．满足线性约束条件的解(x ，y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫 做可行域，使线性目标函数取得最大值和最小值的可行解叫做最优解． 三、曲线和方程 1．定义点P(x ，y ) 到直线 l 的距离为： d = |Ax 0 + By 0 + C|0 05．两条平行直线 l 1∶Ax ＋By ＋C 1=0，l 2∶Ax ＋By ＋C 2=0 间系： 在选定的直角坐标系下，如果某曲线C 上的点与一个二元方程 f(x ，y)=0 的实数解建立了如下关(1)曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x ，y)=0 的解(一点不杂)；(2)以方程 f(x ，y)=0 的解为坐标的点都是曲线 C 上的点(一点不漏)．的距离为： d = |C 1 - C 2 |A 2 +B 2．这时称方程 f(x ，y)=0 为曲线 C 的方程；曲线 C 为方程 f(x ，y)=0 的曲线(图形)．设 P={具有某种性质(或适合某种条件)的点}，Q={(x ，y)|f(x ，y)=0}，若设点 M 的坐标为(x 0，y 0)，则用集合的观点，上述定义中的两条可以表述为：6．直线系方程具有某一共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程的特点是除含坐标变量 x ，y 以外，还含有特定的系数(也称参变量)．确定一条直线需要两个独立的条件，在求直线方程的过程中往往先根据一个条件写出所求直线所在的直线系方程，然后再根据另一个条件来确定其中的参变量．(1)共点直线系方程：经过两直线 l 1∶A 1x ＋B 1y ＋C 1=0， 2∶A 2x ＋B 2y ＋C 2=0 的交点的直线系方程为：1x ＋B 1y ＋C 1＋λ (A 2x ＋B 2y ＋C 2)=0，其中λ 是待定的系数．在这个方程中，无论λ 取什么实数，都得不到 A 2x ＋B 2y ＋C 2=0，因此它不表示 l 2．当λ =0 时，即得 A 1x ＋B 1y ＋C 1=0，此时表示 l 1．(2)平行直线系方程：直线 y=kx ＋b 中当斜率 k 一定而 b 变动时，表示平行直线系方程．与直线Ax ＋By ＋C=0 平行的直线系方程是 Ax ＋By ＋λ =0(λ ≠C)，λ 是参变量．(3)垂直直线系方程：与直线 Ax ＋By ＋C=0(A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是：Bx －Ay ＋λ =0． 如果在求直线方程的问题中，有一个已知条件，另一个条件待定时，可选用直线系方程来求解．7．简单的线性规划(1)二元一次不等式 Ax ＋By ＋C ＞0(或＜0)表示直线 Ax ＋By ＋C=0 某一侧所有点组成的平面区域．(1)M ∈P ⇒ (x ，y ) ∈Q ，即P ⊆ Q ； 0 0(2)(x ，y ) ∈Q ⇒ M ∈P ，即Q ⊆ P ．0 0以上两条还可以转化为它们的等价命题(逆否命题)：(1)(x ，y ) ∉ Q ⇒ M ∉ P ； 0 0(2)M ∉ P ⇒ (x ，y ) ∉ Q ．0 0显然，当且仅当 P ⊆ Q 且Q ⊆ P ，即P = Q 时，才能称方程 f(x ，y) = 0为曲线 C 的方程；曲线 C 为方程 f(x ，y)=0 的曲线(图形)． 2．曲线方程的两个基本问题(1)由曲线(图形)求方程的步骤：①建系，设点：建立适当的坐标系，用变数对(x ，y)表示曲线上任意一点 M 的坐标； ②立式：写出适合条件 p 的点 M 的集合 p={M|p(M)}； ③代换：用坐标表示条件 p(M)，列出方程 f(x ，y)=0； ④化简：化方程 f(x ，y)=0 为最简形式；⎩ y = b + r sin θ ( θ 为参数) ⎩ y = 0 的解是曲线与x 轴交点的坐标；⎩y = r sin θ ( θ 为参数)⎩ x = 0 的解是曲线与y 轴交点的坐标；A 2 +B 2 ．△0 △02 ) 2 + (y + 2 ) 2 ，－ 2 + F = 0． 2 + x x = y y +2 ) ＋E( 0 2 ) ＋F = 0表示 2 ，－ 学习必备 欢迎下载⑤证明：以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．上述方法简称“五步法”，在步骤④中若化简过程是同解变形过程；或最简方程的解集与原始方程的解集相同，则步骤⑤可省略不写，因为此时所求得的最简方程就是所求曲线的方程．(2)由方程画曲线(图形)的步骤：①讨论曲线的对称性(关于 x 轴、y 轴和原点)； ②求截距：⎧f (x ，y) = 0 方程组⎨⎧f (x ，y) = 0 方程组⎨③讨论曲线的范围；④列表、描点、画线．3．交点求两曲线的交点，就是解这两条曲线方程组成的方程组．4．曲线系方程过两曲线 f 1(x ，y)=0 和 f 2(x ，y)=0 的交点的曲线系方程是 f 1(x ，y)＋λ f 2(x ，y)=0(λ ∈R)． 四、圆1．圆的定义平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆．2．圆的方程(1)标准方程(x －a)2＋(y －b)2=r 2．(a ，b)为圆心，r 为半径． 特别地：当圆心为(0，0)时，方程为 x 2＋y 2=r 2⎧x = a + r cos θ ⎨特别地，以(0，0)为圆心，以 r 为半径的圆的参数方程为⎧x = r cos θ ⎨3．点与圆的位置关系设点到圆心的距离为 d ，圆的半径为 r ．(1) 点在圆外 ⇔ d ＞r ； (2) 点在圆上 ⇔ d = r ； (3) 点在圆内 ⇔ d ＜r ．4．直线与圆的位置关系设直线 l ：Ax ＋By ＋C=0 和圆 C ：(x －a)2＋(y －b)2=r 2，则d = |Aa + Bb + C|(1)相交 ⇔ 直线与圆的方程组成的方程组有两解， ＞ 或d ＜r ；(2)相切 ⇔ 直线与圆的方程组成的方程组有一组解， △= 0或d = r ； (3)相离 ⇔ 直线与圆的方程组成的方程组无解， ＜ 或d ＞r ．5．求圆的切线方法(1)已知圆 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0．(2)一般方程 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0D E D 2+ E 2- 4F配方 (x + 2 =4当D 2 ＋E 2 －4F ＞0时，方程表示以 ( － D12 D 2 + E 2 - 4F 为半径的圆；当D 2＋E 2－4F = 0时，方程表示点 ( － DE2 ) 为圆心，以E2 )①若已知切点(x 0，y 0)在圆上，则切线只有一条，其方程是D(x + x ) E(y + y )0 0 0 0x + x y + y当(x ，y ) 在圆外时，x x ＋y y ＋D( 00 0 0 0过两个切点的切点弦方程．②若已知切线过圆外一点(x 0，y 0)，则设切线方程为 y －y 0=k(x －x 0)，再利用相切条件求 k ，这时 必有两条切线，注意不要漏掉平行于 y 轴的切线．③若已知切线斜率为 k ，则设切线方程为 y=kx ＋b ，再利用相切条件求 b ，这时必有两条切线． (2)已知圆 x 2＋y 2=r 2．①若已知切点 P 0(x 0，y 0)在圆上，则该圆过 P 0 点的切线方程为 x 0x ＋y 0y=r 2．当 D 2＋E 2－4F ＜0 时，方程无实数解，无轨迹．(3)参数方程 以(a ，b)为圆心，以 r 为半径的圆的参数方程为②已知圆的切线的斜率为k ，圆的切线方程为y = kx ±r k 2 + 1．6．圆与圆的位置关系{M|1= e ，0＜e ＜1}点M 到l 的距离 = 点M 到l 的距离 b 2 = 1(a ＞b ＞0)a 2 = 1(a ＞b ＞0) 离心率 e ＝ (0＜e ＜1)准线方程 l ：x ＝ - a 2c ；l ：x ＝c l ：y ＝ - c ；l ：y ＝ c的关系 a 2 + b 2 = 1 ⇔ (x , y )在椭圆上 a 2 ＋ 0 ＝1 b 2 ＋ 0 ＝1a 2 ＋b 2 ＋ 方 程 x x a 2 ＋ 0 ＝1 b 2 ＋ 0 ＝1 |x －x | 1 + k 2 或|y －y | 1 + k 2已知两圆圆心分别为 O 1、O 2，半径分别为 r 1、r 2，则(1) 两圆外切 ⇔|O O |= r ＋r ； 1212(2) 两圆内切 ⇔|O O |=|r －r | ；1212(3) 两圆相交 ⇔|r －r | ＜|O O | ＜r ＋r ．1 21212圆锥曲线单元知识总结一、圆锥曲线 1．椭圆(1)定义定义 1：平面内一个动点到两个定点 F 1、F 2 的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)，这个动点的轨迹叫 椭圆(这两个定点叫焦点)．定义 2：点 M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常c数e ＝ (0＜e ＜1) 时，这个点的轨迹是椭圆．a(2)图形和标准方程条件 {M|MF 1|+|MF 2|=2a ， 2a ＞|F 1F 2|}|MF | |MF |21 2标准方程 x 2 y 2 x 2 y 2a 2 + b2 + 顶点 A 1(－ a ， 0)， A 2(a ， 0) A 1(0 ，－ a)， A 2(0 ， a)B 1(0 ，－ b)， B 2(0 ， b) B 1(－ b ， 0)， B 2(b ， 0)轴 对称轴： x 轴， y 轴．长轴长|A 1A 2|=2a ，短轴长|B 1B 2|=2b 焦点 F 1(－ c ， 0)， F 2(c ， 0) F 1(0 ，－ c) ， F 2(0 ， c) 焦距 |F 1F 2|=2c(c ＞ 0)， c 2=a 2 － b 2caa 2 a 2 a 2 1 2 1 2 焦点半径 |MF 1|＝ a ＋ ex 0 ， |MF 1|＝ a ＋ ey 0 ，|MF 2|＝ a － ex 0 |MF 2|＝ a － ey 0＞ 外x 2 图8－1的标准方程为：图8－2的标准方程为： x 2y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)y 2a 2 ＝1(a ＞b ＞0)点和椭圆 x 2y 2 00 0＜ 内(k 为切线斜率)， (k 为切线斜率)，y ＝kx ± a 2 k 2 + b 2 y ＝kx ± b 2 k 2 + a 2切线方程 x x y y x x y y0 0b 2 a 2(x 0 ， y 0)为切点 (x 0 ， y 0)为切点切点弦 (x 0 ， y 0)在椭圆外 (x 0 ， y 0)在椭圆外y y x x y y0 0b 2 a 212 1 1 2(3)几何性质弦长公式 其中(x 1 ， y 1)，(x 2 ， y 2)为割弦端点坐标， k 为割弦所在直线的斜率2．双曲线P ＝{M| |MF | |MF |点M 到l 的距离 ＝ ＝e ，e ＞1}．条件标准方程 x 2y 2 y 2 x 2b 2＝1(a ＞ 0，b ＞ 0) a 2 － b 2 ＝1(a ＞ 0，b ＞ 0) 离心率e ＝ (e ＞1) c ；l ：y ＝ cb 2 ＝0) b x(或a 2 －b 2 ＝ 0)b 2 ＝k(k ≠0) a 2 － b 2 ＝k(k ≠ 0)k ＞ ba 或k ＜－ a k ＞b 或k ＜－a 2－0 ＝1a 2 － 0 ＝1切线方程 x x y y y y x x xy ＝a 2 的切线方程：0 2 ＝a 2 ((x ，y ) 为切点(1)定义定义 1：平面内与两个定点 F 1、F 2 的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线(这两个定点叫双曲线的焦点)．定义 2：动点到一定点的距离与它到一条定直线的距离之比是常数 e(e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线(这定点叫做双曲线的焦点)．(2)图形和标准方程P ＝{M|MF 1|－|MF 2|＝ 2a ， a ＞ 0 ， 2a ＜|F 1F 2|}．1 2 点M 到l 的距离1 2－ a 2顶点 A 1(－ a ， 0)， A 2(a ， 0) A 1(0 ，－ a)， A 2(0 ， a)轴 对称轴： x 轴， y 轴，实轴长|A 1A 2|＝ 2a ，虚轴长|B 1B 2|＝ 2b 焦点 F 1(－ c ， 0)， F 2(c ， 0) F 1(0 ，－ c) ， F 2(0 ， c)焦距 |F 1F 2|＝ 2c(c ＞ 0)， c 2 ＝ a 2 ＋ b 2c a准线方程 l 1：x ＝－ a 2 c ；l ：x ＝2 a 2cl ：y ＝－1 a2 a 22图 8－3 的标准方程为：渐近线 y ＝± b x(或 x 2方 程 a a 2－ y 2 y ＝± a y 2 x 2x 2 a 2 － y 2b 2 ＝1(a ＞ 0，b ＞ 0)共渐近线 x 2 的双曲线 a 2 －y 2 y 2 x 2图 8－4 的标准方程为：y 2 x 2a 2 －b 2 ＝1(a ＞ 0，b ＞ 0)(3)几何性质系方程焦点半径 |MF 1|＝ ex 0 ＋ a ， |MF 1|＝ ey 0 ＋ a ，|MF 2|＝ ex 0 － a |MF 2|＝ ey 0 － ay ＝kx ± a 2 k 2 - b 2 y ＝kx ± b 2 k 2 - a 2(k 为切线斜率) (k 为切线斜率)b a a b0 0 b 2 b 2((x 0 ， y 0)为切点 ((x 0 ， y 0)为切点x y + y x 00 0(x 0 ， y 0)在双曲线外(x 0 ， y 0)在双曲线外 a 2 － 0 ＝1a 2－＝1方 程|x －x | 1 + k 2 或|y －y | 1 + 弦长公式k 2(x - h) 2 (y - k) 2 (x - h) 2 (y - k) 2a 2 ＋b 2 ＝1或 b 2 ＋ a 2 ＝1 k 2 |y －y |切点弦x x y y y y x x0 0b 2 b 2 1 2 1 1 2 其中(x 1 ， y 1)，(x 2 ， y 2)为割弦端点坐标， k 为 割弦所在直线的斜率学习必备 欢迎下载A 与 C 中仅有一个为 0 是方程※为抛物线方程的必要条件．2．对于缺 xy 项的二元二次方程：Ax 2＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(A ，C 不同时为 0)利用平移变换，可把圆锥曲线的一般方程化为标准方程，其方法有：①待定系数法；②配方法．椭圆：中心 O ′(h ，k)3．抛物线(1)定义双曲线：(x - h) 2 (y - k) 2 (y - k) 2 (x - h) 2 a 2 － b 2 ＝1或 a 2 － b 2 ＝1平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线．(2)抛物线的标准方程，类型及几何性质，见下表：①抛物线的标准方程有以下特点：都以原点为顶点，以一条坐标轴为对称轴；方程不同，开口方向不同；焦点在对称轴上，顶点到焦点的距离等于顶点到准线距离．②p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离．③弦长公式：设直线为y ＝kx ＋b 抛物线为y 2 ＝2px ，|AB| ＝ 1 + k 2中心 O ′(h ，k)抛物线：对称轴平行于 x 轴的抛物线方程为 (y －k)2＝2p(x －h)或(y －k)2＝－2p(x －h)， 顶点 O ′(h ，k)．对称轴平行于 y 轴的抛物线方程为：(x －h)2＝2p(y －k)或(x －h)2＝－2p(y －k) 顶点 O ′(h ，k)．以上方程对应的曲线按向量 a ＝(－h ，－k)平移，就可将其方程化为圆锥曲线的标准方程的形式．|x －x | ＝ 1 + 2 1 12 1焦点弦长公式：|AB|＝p ＋x 1＋x 24．圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线)的统一定义与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线，定点叫做焦点，定直线叫做准线、常数叫做离心率，用 e 表示，当 0＜e ＜1 时，是椭圆，当 e ＞1 时，是双曲线，当 e ＝ 1 时，是抛物线．二、利用平移化简二元二次方程 1．定义缺 xy 项的二元二次方程 Ax 2＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(A 、C 不同时为 0)※，通过配方和平移，化为圆型或椭圆型或双曲线型或抛物线型方程的标准形式的过程，称为利用平移化简二元二次方程．A ＝C 是方程※为圆的方程的必要条件．A 与 C 同号是方程※为椭圆的方程的必要条件． A 与 C 异号是方程※为双曲线的方程的必要条件．。