圆锥曲线中求离心率题解

e
AF1
1 2
AB
1。
AD AD 2
方法 3：构造 a 、 c 的齐次方程，解出 e
根据题设条件建立 a, b, c 之间的等量关系，再借助椭圆中 b a2 c2 （或双曲线中 b c2 a2 ）消去 b ，从而构造 a 、 c 的 齐次方程，进而根据离心率的定义两边同时除以 a 的齐次得 到关于 e 的方程，便可解方程得到离心率 e 。
解析 1：（利用二次方程有实根建立不等式）据椭圆定义可知 PF1 PF2 2a ， 由 F1PF2 90 得 PF1 2 PF2 2 F1F2 2 4c 2 ， 则 PF1 PF2 2(a2 c2 ) 。
因此， PF1 , PF2 是方程 x2 2ax 2(a 2 c2 ) 0 的两个根，则有
a
题型二：求解离心率 e 的取值范围
方法 1：运用函数思想求解离心率的范围 通过已知条件分析，利用圆锥曲线的性质建立离心率的
函数关系，转换为求函数值域的问题。
例 6．[2008·全国卷Ⅱ(理)]
设a
1 ，则双曲线
x2 a2
y2 (a 1)2
1的
离心率 e 的取值范围是（ ）
A． ( 2，2) B． ( 2，5)
C． (2，5)
D． (2，5)
解析：根据题意可知 e2
( c )2 a
a2
(a 1)2 a2
1
(1
1)2 a
，则可把 e2
看
成是关于 a 的函数。又因对应函数在 a (1, ) 上单调递减，得
2 e2 5 ，即 2 e 5 ，故选B。
方法 2：构建关于 e 的不等式，求 e 的取值范围
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0)
，则
| |
AF2 AF2
|| ||
AF1 | AF1 |
4 2a
，得
| |
AF2 | 2 a AF1 | 2 a
。
在 RtF1AF2 中， F1AF2 90 ，由勾股定理：
(2 a)2 (2 a)2 (2 3)2 ，得 a 2 。故 e c 6 。
c)
y2
0
，得
x2
y2
c2
。
将之与椭圆方程联立，消去
y
可得
x2
a2c2 a2
a2b2 b2
，但由椭
圆范围及
F1PF2
90
知
0
x2
a2
，即
0
a2c2 a2b2 a2 b2
a2
，可
得
c2
c
2
b2 a2
c2
a2
c2
，解得
e e
c a c a
2 2
1
。
故 e [ 2 ,1) 。
2
例 8．[2013·重庆卷] 设双曲线 C 的中心为点 O，若有且只 有一对相交于点 O，所成的角为 60°的直线 A1B1 和 A2B2， 使|A1B1|＝|A2B2|，其中 A1，B1 和 A2，B2 分别是这对直线与 双曲线 C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( )
A． 5
B． 2
C． 3
D． 2
解析：设双曲线方程为 x2
a2
y2 b2
1(a 0,b
0) ，如图所示，AB
BM
，
ABM 1200 ，过点 M 作 MN x 轴，垂足为 N 。
在 RtBMN 中，BN a ，MN 3a ，故点 M 的坐标为 M (2a, 3a) ， 代入双曲线方程化简得 a2 b2 a2 c2 ，即 c2 2a2 ，两边同时除 以 a2 得 ( c )2 2 即 e2 2 ，所以 e 2 ，故选 D．
例3．设椭圆 x2
a2
y2 b2
1（ a
0wenku.baidu.com b
0 ）的右焦点为 F1，右准线为 l1 ，
若过 F1且垂直于 x 轴的弦的长等于点 F1到 l1 的距离，则椭圆的
离心率是
。
解析：如图所示， AB 是过 F1 且垂直于 x 轴的弦，由 AD l1 于 D 可 知 AD 为 F1 到 准 线 l1 的 距 离 ， 根 据 椭 圆 的 第 二 定 义 ，
a2
方法 2：采用圆锥曲线的统一定义求解 从“焦点-准线”的观点来看，到定点的距离与到定直线的距离的
比是常数 e 的点的轨迹是圆锥曲线（不包括一些退化情形）。 定义中提到的定点，称为圆锥曲线的焦点；定直线称为圆锥 曲线的准线；固定的常数（即圆锥曲线上一点到焦点与准线 的距离比）称为圆锥曲线的离心率。根据 e 的取值范围不同， 曲线也各不相同：当 e 0 时，轨迹为圆；当 0 e 1时，轨迹为 椭圆；当 e 1时，轨迹为抛物线；当 e 1时，轨迹为双曲线。
4a 2
8c 2
0
，又因
e
1，解得
e
2 2
,
1
。
解法 2：（利用 x 或 y 的有界性建立不等式）可知 F（1 c，0）F（2 c，0），
设
P（x，y），则有
F1P
(x
c,
y),
F2 P
(x
c,
y) 。由
F1PF2
90
知
F1P
F2 P
，
则
F1P
F2 P
0
，即 (x
c)( x
根据已知和潜在条件构建一个关于基本量 a, b, c 的齐次 不等式（通常要借助一些不等式性质、平面解析几何知识， 函数性质与数形结合思想等来探求），再化简为 e 形式，便可 求得离心率范围。
例
7．设
P
是椭圆
x a
2 2
y2 b2
1(a
b
0) 上一点，且 F1PF2
90 ，其
中 F1, F2 是椭圆的两个焦点，求椭圆离心率的范围。
例 4．[2014·江西卷] 过点 M(1，1)作斜率为 1 的直线与椭
2
圆
C： x2
a2
y2 b2
1(a
0, b
0)
相交于
A，B
两点，若
M
是线段
AB
的中点，则椭圆 C 的离心率等于________．
解析：设点 A(x1，y1)，点 B(x2，y2)，点 M 是线段 AB 的中
点，所以
x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，且
a5
例 2．[2013·浙江卷] 如图所示，F1，F2 是椭圆 C1：x2＋y2 4
＝1 与双曲线 C2 的公共焦点，A，B 分别是 C1，C2 在第二、 四象限的公共点．若四边形 AF1BF2 为矩形，则 C2 的离心率 是( )
A． 2
B． 3
3 C．
2
6 D．
2
解析：由椭圆方程知| F1F2 | 2 3 ，设双曲线方程为
1(a
0, b
0)
，
则由作图易知双曲线的渐近线的斜率 b 必须满足 3 b 3 ，
a
3a
所以 1 (b)2 3。又因双曲线的离心率为 e c
1
(
b
)2
2 e，所以
3a
a
a
3
3<e≤2。
AB
1 的斜率为－ ，
2
所以
b2 a2
1 2
。由
a2＝b2＋c2
可知 a2
2b2
2a2
2c2 ，即 a2
2c2
，
再两边同时除以 a2 得 ( c )2 1 即 e2 1 ，所以 e 2 ，故选 D．
a2
2
2
例 5．[2015·新课标卷Ⅱ(理)] 已知 A，B 为双曲线 E 的左， 右顶点，点 M 在 E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为 120°， 则 E 的离心率为（ ）
23 ，2
A． 3 23 ，＋∞
D． 3
23 ，2
B． 3
23 ，＋∞
C． 3
解析：由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关于
x 轴（或 y 轴）对称。由题意知有且只有一对这样的直线，故 该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是大于30°且小
于或等于60°，不失一般性，设双曲线方程
x2 a2
y2 b2
x12 a2
x22 a2
y12 b2
y22 b2
1
，两式作差可
1
得 x12 x22 y12 y22 ，即 (x1 x2 )(x1 x2 ) ( y1 y2 )( y1 y2 ) ，所以
a2
b2
a2
b2
y1 y2 x1 x2
b2 a2
，即 kAB
b2 a2
。由题意可知，直线
题型一：求离心率 e
方法 1：直接求出 a 、 c ，再求解离心率 e
当圆锥曲线的标准方程已知或者 a、c 易求时，可直接利
用率心率公式
e
c a
来解决。
例 1．[2013·高考陕西卷(文)] 双曲线 x2 y2 1 的离心率为
16 9
_______。
解析：由双曲线方程不难得出 a 4,b 3,c 5 ，故离心率 e c 4 。