指数函数与对数函数经典讲义名师优质资料

指数函数与对数函数
重点:指数函数、对数函数的图像和性质;指、对数方程（含不等式）的解法;数学思想方法的运用．
难点:幂函数、指数函数和对数函数组成的复合函数的性质．
一、 指数与对数的运算法则 1、
指数的运算法则
①
m n m n a a a +=⋅
②
m m n
n
a a
a
-= ③
()()n
m
mn m n a a
a == ④
1n
a
=2、
对数式与指数式的互换
log b a a N b N =⇔=（0a >且1a ≠）、（上式中b R ∈，0N >）
3、
对数的运算法则
（1）对数运算法则 ① ()log log log a a a M N M N ⋅=+
②
log log log a
a a M
M N N
=- ③
log log n a a M n M =
④
1
log log a a M n
=
（2）几个常用的恒等式 ① log a N a N = ②
log N a a N
= ③
log log log b a b N N a
=
（换底公式）
④
1
log log a b b a =
⑤ log log m n a a n b b m
=
例1、 求：
82log 9
log 3
的值．
解：82lg 9
log 9lg 9lg 22lg 3lg 22lg8
lg 3log 3lg833lg 233
2
lg lg lg ==⋅=⋅=．
二、 指数函数与对数函数 1、
指数函数与对数函数的图像和性质
指数函数x y a =和对数函数log a y x =互为反函数，所以它们的图像关于y x =对称．
2、
指数函数与对数函数的图像的应用
例2、 在下列一次函数b ax y +=（10<<a ）与指数函数bx a y =的图像中，正
确的是 （ ）
解：由()A ，01b <<，则指数函数()x
bx
b y a
a
==中底数01b
a
<<，不吻合；
由()
B ，0b <，则指数函数(
)x
bx b y a a ==中底数1b a >，不吻合； 由()C ，1b >，则指数函数()x
bx b y a a ==中底数01b a <<，不吻合；
所以，应该选()D 。

例3、 当1a >时，在同一坐标系中，函数x y a -=与log a y x =的图像
是 （ ）
（A ）
（B ）
（C ）
（D ）
解：∵1a >，∴由log a y x =的图像可知只有A 、B 可选， 又∵1x
x
y a
a -⎛⎫== ⎪⎝⎭
的底数101a
<<，∴根据函数x y a -=的图像应选A ．
3、
指数函数与对数函数的性质的应用
例4、 比较三个数0.76，60.7，0.7log 6的大小关系．
解：0.70661>=，600.70.71<=，0.70.7log 6log 10<=， 所以0.760.760.7log 6>>．
例5、 已知12x ≤≤，求函数()13239x x f x +=+⋅-的最大值和最小值．
解：设3x t =，∵12x ≤≤，∴193
t ≤≤，则()2236312y t t t =+-=--+，
所以，当3t =即1x =时，()f x 取得最大值12； 当9t =即2x =时，()f x 取得最小值24-．
例6、 求函数22
21
x x y -=+的值域．
解：由22
21
x x y -=+，得()2122x x y +=-，即()122x y y -=--，
因为1y ≠，所以221
x y y --=-．又x R ∈，故20x >，因此201
y y -->-，解得21y -<<．
因此，函数的值域为()2,1-．
例7、 设函数()log a f x x =在区间[)2,+∞上总有()1f x >成立．求实数a 的取值
范围．
解：分1a >和01a <<两种情况讨论，于是有1log 21a a >⎧⎨>⎩或01log 21a
a <<⎧⎨<-⎩，
解得12a <<或112
a <<．
（A ）
（B ）
（C ）
（D ）
例8、 设函数()lg f x x =，若0a b <<，且()()f a f b >．求证：1ab <
证明：∵()()f a f b >，∴lg lg a b >．
上式等价于()()22lg lg a b >，即()()()lg lg lg lg 0lg lg 0a a b a b ab b
-+>⇔>，
由已知0a b <<．得01a b
<<，∴lg 0a b
<，所以()lg 0ab <，即1ab <．
例9、 已知函数()2log 2a
x b
f x x b
+=-（0a >，1a ≠，0b <） （１） 求函数()f x 的定义域；
（２） 判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由；
解：（１）由20
20
x b
x b b +⎧>⎪-⎨
⎪<⎩，解得2x b <或2x b >-， 所以函数的定义域为()(),22,b b -∞-+∞． （２）显然函数的定义域关于原点对称．
对函数()f x 的定义域()(),22,b b -∞-+∞内任意实数x ，有
()()222log log log 222a
a a x
b x b x b
f x f x x b x b x b
-+-+-===-=---+-，且函数()f x 不恒为零， 所以，函数()f x 是奇函数．
例10、 已知()log 2a y ax =-在[]0,1上是x 的减函数，求实数a 的取值范围．
解：∵0a >，∴2u ax =-在[]0,1上是减函数， 因此函数log a y x =在[]0,1上是增函数，即1a >，
根据题设有1
20a a >⎧⎨->⎩
，即12a <<．
4、
指数函数与对数函数的综合应用
例11、 已知函数()()()22lg 111f x a x a x ⎡⎤=-+++⎣⎦．若()f x 的定义域为
(),-∞+∞，求实数a 的取值范围；
解：由题意知，不等式()()221110a x a x -+++>对一切x R ∈恒成立，其充要条
件是()()2
22
10141a a a ⎧->⎪⎨∆=+--⎪⎩
或1a =-，解得1a ≤-或35a >． 例12、 已知函数2
33x x y a -+=，当[]1,3x ∈时有最小值8，求a 的值．
解：令2
2
33
3324u x x u ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝
⎭， 当[]31,32
x =∈时，u 取得最小值34
；
当3x =时，u 取得最小值３． 当1a >时，2333
4
8x x y a
a -+=≥=，∴16a =；
当01a <<时，2
3338x x y a a -+=≥=，∴2a =．。