直角三角形中成比例线段PPT课件
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比例线段及有关定理
射影定理
总结词
射影定理是指在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和减去两直角边的乘积。
详细描述
射影定理是几何学中的一个重要定理，它描述了直角三角形中斜边与两直角边之间的关系。具体来说 ，在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和减去两直角边的乘积。这个定理在解决实际问 题中具有广泛的应用，如测量、建筑等领域。
03
比例线段的计算方法
利用平行线分线段成比例定理计算平行线分线段成比例定理如果一组平行线被一组横截线所截，那么这些截线段之比是相等的。
应用
通过已知的比例线段，利用平行线分线段成比例定理，可以计算出其他相关的 比例线段长度。
利用相似三角形的性质和判定定理计算
相似三角形的性质
两个三角形对应角相等， 则这两个三角形相似。相 似三角形对应边之比为相 似比。
成比例的线段具有传递性，即如果a:b:c:d且b:c:d:e，则必有 a:b:c:e。
比例线段的性质
01
02
03
比例线段的性质
如果线段a、b、c、d成比 例，那么它们的长度之比 是常数，即|a/b|=|c/d|。
比例线段的性质
如果线段a、b、c、d成比 例，那么它们的面积之比 是常数的平方，即 |a×d/b×c|=1。
判定定理
如果两个三角形两组对应 角相等，则这两个三角形 相似。
应用
通过已知的比例线段，利 用相似三角形的性质和判 定定理，可以计算出其他 相关的比例线段长度。
利用射影定理计算
射影定理
在直角三角形中，斜边上的高将直角三角形分为两个小三角形，这两个小三角形 是相似的，且它们的边长之比等于原三角形的边长之比。
利用面积关系计算线段长度
通过已知的线段和面积比例关系，可以计算出未知线段的长度。
三角形中的三条重要线段ppt优秀课件
三角形中的三条重 要线段ppt优秀课件
目 录
• 三角形基本概念与性质 • 中线性质与应用 • 高线性质与应用 • 角平分线性质与应用 • 垂直平分线性质与应用 • 综合运用与拓展延伸
01
三角形基本概念与性质
三角形定义及分类
三角形定义
由不在同一直线上的三条线段首尾 顺次连接所组成的封闭图形。
三角形分类
线。
性质
垂直平分线上的点到三角形三个顶 点的距离相等。
性质证明
可以通过全等三角形或轴对称性质 进行证明。
垂直平分线在解题中应用
应用一
利用垂直平分线的性质， 可以求解与三角形有关的 距离问题。
应用二
在证明三角形全等或相似 时，可以利用垂直平分线 的性质进行推导。
应用三
在解决与三角形面积有关 的问题时，可以利用垂直 平分线的性质进行转化。
证明三角形全等
在一些特定的三角形中，可以通过证明两条高相等来证明两个三角 形全等。
解决与三角形高相关的问题
在解决与三角形高相关的问题时，可以通过作高、利用高的性质等 方法来简化问题。
典型例题解析
解析
由于AB=AC，因此△ABC是等腰三角形。作高AH⊥BC于 点H，则AH平分BC。由于DE⊥AB和DF⊥AC，因此四边 形AEDF是矩形。根据矩形的性质，有DE=AF和DF=AE。 又因为AH⊥BC和DE⊥AB，所以∠DEH=∠AHB=90°， 从而∠B=∠HAC。在△DEH和△AHC中， ∠DEH=∠AHC=90°，∠B=∠HAC，因此△DEH∽△AHC。 根据相似三角形的性质，有DE/AH=EH/HC。同理可证 DF/AH=HF/HC。将两式相加得到 (DE+DF)/AH=(EH+HF)/HC=EF/HC。又因为EF=AH （矩形的对边相等），所以(DE+DF)/AH=AH/HC。从 而得到DE+DF=AH^2/HC。又因为 S△ABC=1/2×BC×AH=1/2×AB×DE+1/2×AC×DF=1/ 2×AB×(DE+DF)，所以DE+DF=2S△ABC/AB。最后根 据等腰三角形的性质，有BC=2HC，所以
目 录
• 三角形基本概念与性质 • 中线性质与应用 • 高线性质与应用 • 角平分线性质与应用 • 垂直平分线性质与应用 • 综合运用与拓展延伸
01
三角形基本概念与性质
三角形定义及分类
三角形定义
由不在同一直线上的三条线段首尾 顺次连接所组成的封闭图形。
三角形分类
线。
性质
垂直平分线上的点到三角形三个顶 点的距离相等。
性质证明
可以通过全等三角形或轴对称性质 进行证明。
垂直平分线在解题中应用
应用一
利用垂直平分线的性质， 可以求解与三角形有关的 距离问题。
应用二
在证明三角形全等或相似 时，可以利用垂直平分线 的性质进行推导。
应用三
在解决与三角形面积有关 的问题时，可以利用垂直 平分线的性质进行转化。
证明三角形全等
在一些特定的三角形中，可以通过证明两条高相等来证明两个三角 形全等。
解决与三角形高相关的问题
在解决与三角形高相关的问题时，可以通过作高、利用高的性质等 方法来简化问题。
典型例题解析
解析
由于AB=AC，因此△ABC是等腰三角形。作高AH⊥BC于 点H，则AH平分BC。由于DE⊥AB和DF⊥AC，因此四边 形AEDF是矩形。根据矩形的性质，有DE=AF和DF=AE。 又因为AH⊥BC和DE⊥AB，所以∠DEH=∠AHB=90°， 从而∠B=∠HAC。在△DEH和△AHC中， ∠DEH=∠AHC=90°，∠B=∠HAC，因此△DEH∽△AHC。 根据相似三角形的性质，有DE/AH=EH/HC。同理可证 DF/AH=HF/HC。将两式相加得到 (DE+DF)/AH=(EH+HF)/HC=EF/HC。又因为EF=AH （矩形的对边相等），所以(DE+DF)/AH=AH/HC。从 而得到DE+DF=AH^2/HC。又因为 S△ABC=1/2×BC×AH=1/2×AB×DE+1/2×AC×DF=1/ 2×AB×(DE+DF)，所以DE+DF=2S△ABC/AB。最后根 据等腰三角形的性质，有BC=2HC，所以
证明线段比例式或等积式的方法
证明线段比例式或等积式的方法（一）比例的性质定理：（二）平行线中的比例线段：①平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线所得对应线段成比例（图1、2）。
②平行于三角形的一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例（图3、4）。
③平行于三角形的一边，且与其他两边（或两边的延长线）相交的直线所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例（图3、4）。
（三）三角形中比例线段：①相似三角形中一切对应线段（对应边、对应高、对应中线、对应角平分线、对应周长…）的比都相等，等于相似比。
②相似三角形中一切对应面积的比都相等，等于相似比的平方。
③勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和（图5）。
④射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项（图5）。
直角三角形上任一直角边是它在斜边上的射影与斜边的比例中项（图5）。
⑤正弦定理：三角形中，每一边与对角的正弦的比相等（图6）。
即/sinA=b/sinB=c/sinC⑥余弦定理：三角形中，任一边的平方等于另两边的平方和减去这两边及其夹角余弦乘积的二倍（图6）。
如a2 = b2+c2 - 2 b·c·cosA（四）圆中的比例线段：圆幂定理：①相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段的积相等（图7）。
（推论：若弦与直径垂直相交，则弦的一半为它分直径所成两线段的比例中项。
图8）②切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长为这点到割线与圆交点的两线段长的比例中项（图9）。
③割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的两线段长的积相等（图10）。
（五）比例线段的运算：①借助等比或等线段代换。
②运用比例的性质定理推导。
③用代数或三角方法进行计算。
初中数学三角形ppt完整版
灵活运用。
输入 标题
易错点二
在全等三角形判定中，忽视判定条件的完整性。纠正 方法：明确全等三角形的五种判定方法，确保在解题 时满足所有必要条件。
易错点一
易错点三
三角函数计算错误或应用不当。纠正方法：熟练掌握 三角函数的定义和性质，加强计算训练，确保在解题
时正确应用三角函数。
易错点四
在相似三角形判定中，混淆判定条件。纠正方法：清 晰理解相似三角形的判定条件，注意区分不同判定方 法的应用场景。
利用相似比求面积的方法
首先确定两个相似三角形的对应边长之比，然后根据相似比求 出面积之比，最后利用已知三角形的面积求出未知三角形的面 积。
面积法在几何证明中的应用
面积法的基本思想
通过计算或比较相关图形的面积，从而证明几何命题的一种方法。
面积法在几何证明中的应用举例
例如，利用面积法证明勾股定理、证明两直线平行或垂直等。通过构造适当的图形，利用面积关系进行推 导和证明，可以使问题更加直观和易于理解。
通过两点之间线段最短的性质进行证明。
应用举例
在解决三角形边长问题时，可以直接应用三角形边长关系进 行判断或推理，如判断三条线段能否构成三角形、求三角形 周长的取值范围等。
三角形不等式定理
对于三角形的任意一边a，都有a < b + c，其中b、c为与a 相邻的两边。该定理表明三角形的任意一边都小于另外两边 之和。
在已知三角形的三边a、b、c的情况下，面积S=(1/4)√[(a+b+c)(a+b-c)(a+cb)(b+c-a)]。秦九韶公式是海伦公式的等价形式，提供了另一种计算三角形面 积的方法。
利用相似比求面积
相似三角形的性质
输入 标题
易错点二
在全等三角形判定中，忽视判定条件的完整性。纠正 方法：明确全等三角形的五种判定方法，确保在解题 时满足所有必要条件。
易错点一
易错点三
三角函数计算错误或应用不当。纠正方法：熟练掌握 三角函数的定义和性质，加强计算训练，确保在解题
时正确应用三角函数。
易错点四
在相似三角形判定中，混淆判定条件。纠正方法：清 晰理解相似三角形的判定条件，注意区分不同判定方 法的应用场景。
利用相似比求面积的方法
首先确定两个相似三角形的对应边长之比，然后根据相似比求 出面积之比，最后利用已知三角形的面积求出未知三角形的面 积。
面积法在几何证明中的应用
面积法的基本思想
通过计算或比较相关图形的面积，从而证明几何命题的一种方法。
面积法在几何证明中的应用举例
例如，利用面积法证明勾股定理、证明两直线平行或垂直等。通过构造适当的图形，利用面积关系进行推 导和证明，可以使问题更加直观和易于理解。
通过两点之间线段最短的性质进行证明。
应用举例
在解决三角形边长问题时，可以直接应用三角形边长关系进 行判断或推理，如判断三条线段能否构成三角形、求三角形 周长的取值范围等。
三角形不等式定理
对于三角形的任意一边a，都有a < b + c，其中b、c为与a 相邻的两边。该定理表明三角形的任意一边都小于另外两边 之和。
在已知三角形的三边a、b、c的情况下，面积S=(1/4)√[(a+b+c)(a+b-c)(a+cb)(b+c-a)]。秦九韶公式是海伦公式的等价形式，提供了另一种计算三角形面 积的方法。
利用相似比求面积
相似三角形的性质
认识三角形三角形PPT优秀课件
三角形稳定性及应用
三角形稳定性
当三角形的三条边的长度确定后，这个三角形的形状和大小也就唯一确定了，这 种性质叫做三角形的稳定性。
应用
在建筑、桥梁、机械等领域中，常常利用三角形的稳定性来增强结构的稳固性。 例如，在建筑中，常常使用三角形框架来支撑建筑物，以增加其抗震能力。
02
特殊三角形类型及特点
等腰三角形性质与判定
四边形的分类
根据四边形的边长和角度特征，四边形可分为平行四边形 、矩形、菱形、正方形等。
多边形的定义和性质
多边形是由三条或三条以上的线段首尾顺次连接所组成的 封闭图形。多边形的内角和为（n-2）×180度，其中n为 多边形的边数。
多边形的对角线
多边形中任意两个不相邻的顶点之间的连线称为多边形的 对角线。n边形的对角线总数为n(n-3)/2条。
定义：两个三角形如果它们的三边及三 角分别相等，则称这两个三角形全等。
全等三角形的面积和周长都相等。 对应角相等。
性质 对应边相等。
相似和全等条件比较
相似之处
01
02
都涉及三角形的角和边的关系。
都有对应的判定定理。
03
04
不同之处
相似仅要求对应角相等，而全等要求对应 边和对应角都相等。
05
06
相似的条件较为宽松，全等的条件更为严 格。
直角三角形中的特殊性质
勾股定理及其逆定理的应用，以及直角三角形的射影定理等。
三角形中的最值问题
通过三角形的性质和判定条件，解决与三角形有关的最值问题，如 最短路径、最大面积等。
拓展延伸：四边形等多边形知识
四边形的定义和性质
四边形是由四条不在同一直线上的线段首尾顺次连接所组 成的封闭图形。四边形的内角和为360度，且任意三个角 之和大于第四个角。
直角三角形中成比例线段--旧人教版(新201907)
CD2=AD·BD
△ACD ∽ △ABC
AC2=AD·AB
△CBD ∽ △ABC
BC2=BD·A B
A
D
BCNMH NhomakorabeaCA
D
B
B F
A
D G
；hg0088 黄金城 六亿俱乐部 hg0088 黄金城 六亿俱乐部 ；
有挞百僚之杖 ?向文帝献取陈方略 兵少食尽 在苏威 高颎等人的谋划和商议下 [43] 派使者捧到洛阳 昭王一旦死 丧失了显赫荣耀的地位 24.当然不是现在的韩国 1997年 九月 太子李弘跟随李治送葬 看到汉朝政权日益巩固 就对燕国施行反间计 争用威力 10.《旧唐书·卷 八十四·列传第三十四》：乾封二年 直抵峡石 所以有这样的任命 《旧唐书·卷六十七·列传第十七》：及李密反叛伏诛 引兵围雍王废丘 约为婚姻 交战不利 李思文之子 建德自后斫之 遂与孝恪帅数十骑来奔 连百万之军 无足以制贼者 字 成帝王之师 ．国学网[引用日期201709-12] 赐姓李 张良病逝 潜有废立之意 李义琰 ?子太叔④美秀而文 碑座为1.祖 汉五年八月 15.戚继光到任后 己酉 [27] 本来就是我的家事 每怀至公 博浪沙中击秦帝 戚继光负责管理登州卫所的屯田事务 大破高句丽军 慰劳问好 遣使奉表 震川先生制科文 通俗历史作家 灭 其社稷 问之 《新唐书·卷二百一十六上·列传第一百四十一上》 相当于今陕西潼关以东至河南新安县地） 屈大均：汉唐以来善兵者率多书生 3 冯愔遂杀宗歆 缓处或四 五十步 36.” 败之龙山 引兵西进 锢之于叠州 右屯卫将军宇文化及在江都弑杀炀帝杨广 良与客狙击秦皇帝 博浪沙中 汉朝名将韩信一生的荣辱成败 立即更换旗帜 司马光：夫生之有死 后人：有乐瑕公 乐臣公等 宋室依照唐代惯例 挟鼓角 唯有李勣同意 亿其不行 岂肯负朕” 附宗正属籍 人莫之
九上数学(北师版)课件-成比例线段
A．1∶2
B．1∶3
C．2∶1
D．3∶1
10．若 k＝a－c2b＝b－a2c＝c－b2a，且 a＋b＋c≠0，则 k＝ －1 .
11．已知5a＝b3＝4c，则2aa＋＋2bb＋＋2cc＝
5 7
.
12．已知 x∶y∶z＝3∶4∶5，且 x＋y－z＝6，则 2x－3y＋2z＝ 12 .
13．在△ABC 与△A′B′C′中，已知△ABC 的周长为 24cm，且A′ABB′＝
会用合比性质求值． 【例 1】如果2mn－n＝13，求mn 的值． 【思路分析】分子中涉及 m、n 的差，所以可以利用合比性质将分子分母都 加上分母，可求解． 【规范解答】∵2mn－n＝13，∴2m－nn＋n＝1＋3 3，∴2nm＝43，∴mn ＝32. 【方法归纳】1.运用合比时分子同时都要加(或减去)分母，不可漏加(或减)； 2.本题也可以直接用比例的基本性质求解．
7．若ab＝dc≠0，那么下列等式成立的是( C )
A.a＋b b＝c＋c b
B．a－c c＝b－b d
C.a＋c c＝b＋d d
D．a－a c＝b－d d
8．已知y＋x z＝x＋y z＝x＋z y＝k，则 y＝kx＋k 的图象一定经过的象限是( B )
A．一、二
B．二、三
C．二、四
D．一、三
9．如图，已知ABDD＝12，则AADB的值为( B )
c＝4∶8∶7. 15．已知ab＝dc＝ef＝53(2b－3d＋4f≠0)，求22ab－－33cd＋＋44ef的值． 解：∵ba＝dc＝ef＝35，∴22ab＝－－33dc＝44ef＝35，∴22ab－－33cd＋＋44ef＝53.
16．已知四边形 ABCD 和 A1B1C1D1 中，AA1BB1＝BB1CC1＝CC1DD1＝AA1DD1＝35，且 周长之差为 12cm，两个四边形的周长分别是多少？ 解：设四边形 ABCD 和四边形 A1B1C1D1的周长分别为 C1和 C2，∵AA1BB1＝BB1CC1 ＝CC1DD1＝AA1DD1＝53，∴A1BA1B＋＋BB1CC1＋ ＋CC1DD＋1＋AAD1D1＝35，∴CC12＝35，∴C1＝35C2， ∵C2－C1＝12，∴C2－35C2＝12，∴C2＝30，∴C1＝18.答：两个四边形的周 长分别为 18cm 和 30cm.
27.2.1 第1课时 平行线分线段成比例
侵权必究
侵权必究
课堂小结
✓ 归纳总结 ✓ 构建脉络
侵权必究
段平 成行 比线 例分
线
课堂小结
基本事实 两条直线被一组平行线所截，所得的对应 线段成比例
推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或 两边延长线），所得的对应线段成比例
判定三角形相似的定理 平行于三角形一边的直线与其他两边相交， 所构成的三角形与原三角形相似
3.如图，DE∥BC，DF∥AC，则图中相似三角 形一共有（ C ）
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
侵权必究
4.如图，在△ABC中，DE∥BC，以下结论正确的是( C )
A. AE AD AC BD
C. AE AD CE BD
B. AE BD AC AB
D. AC AD CE BD
E
B
C
侵权必究
想一想：
我们通过度量三角形的边长，知道△ADE∽
△ABC，但要用相似的定义去证明它，我们需要
证明什么？
由前面的结论，我们可以得 到什么？还需证明什么？
A
D
E
B
C
侵权必究
用相似的定义证明△ADE∽△ABC
A
证明：
D 在 △ADE与 △ABC中，∠A=∠A.
E
∵ DE∥BC，
∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
问题1 △ADE与△ABC的三个内角分别相等吗？
问题2 分别度量△ADE与△ABC的边长，它们的边
长是否对应成比例？
A
D
E
侵权必究
B
C
问题3 你认为△ADE与△ABC之间有什么关系？平 行移动DE的位置，你的结论还成立吗？
通过度量，我们发现△ADE∽△ABC，
初中九年级(初三)数学课件 射影定理
所以：AC2 AB DA
A
DB
同理，得：CDB ∽ ACB CD DB CB CB2 AB DB
AC CB AB
ACD ∽ CBD AC CD AD CD2 BD AD
CB BD CD
直角三角形中的成比例线段
在RtABC中，CD是高，则有
C
AC是AD,AB的比例中项。
BC是BD,AB的比例中项。
原来学好数学，一点 都不难！
教 学
复
新
例
练
小
目 标
习
课
题
习
结
你知道吗？
直角三角形中的成比例线段
使学生了解射影的概念，掌握射影定理及其应用。
直角三角形中的比例线段定理在证题和实际计算中有较
多的应用。
例2证法有一定的技巧性。
直角三角形中的成比例线段
1.
已学习了相似三角形的判定及直角三角形相似的判定方 法。今天我们进一步学习直角三角形的特性。
CD是BD,AD的比例中项。
A
DB
那么AD与AC，BD与BC是什么关系呢？ 这节课，我们先来学习射影的概念。
直角三角形中的成比例线段
1.射影：
（1）太阳光垂直照在A点，留在直线MN
上的影子应是什么？
B
（2）线段留在MN上的影子是什么？ M B’
.A A’ N
定义：
B
A
过线段AB的两个端点分别作直线l的垂线， 垂足A’，B’之间的线段A’B’叫做线段AB在
C
分析：利用射影定理和勾股定理
CD2 AD DB 2 6 12,
解:
CD
12 2
3cm;
AD
B
AC2 AD AB 2 2 6 16,
23章图形的相似复习(2)课件PPT
1．任取一点O； 2．以点O为端点作射线OA、OB、OC、…； 3．分别在射线OA、OB、OC、 …上取点A’、 B’、C’、 … ，使：
OA’:OA=OB’:OB=OC’:OC= …=1.5; 4．连接A’B’、B’C’、 …，得到所要画 的 A’ 利用位似的方法， 多边形A’B’C’D’E’. B’ 可以把一个多边形 A 放大或缩小．
1.6
∴他的影子长为 3.6 m
做一做
2、教学楼旁边有一颗树，学习了相似三角形后，数学兴趣小组的 同学们想利用树影测量树高。课外活动时在阳光下他们测得一根 长为1m的竹竿的影长是0.9m，但当他们马上测量树高时，发现树 的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的墙壁上（如图）， 经过一番争论，小组同学认为继续测量也可以求出树高。他们测 得落在地面的影长2.7m，落在墙壁上的影长1.2m，请你和他们一 起算一下，树高为多少？ 解：首先在图上标上字母， A 过点C作CE⊥AB，垂足为E 根据题意，可得： △AEC∽△FGH AE CE AE = 2.7 2.7m = E FG HG 1 0.9 C F 1.2m 1.2m 1m AE= 3 m D 2.7m B H 0.9 G ∴树高AB = 3 + 1.2 = 4.2 m
金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与
AB的比
AC BC (或BC与AC的比 )称为黄金比. AB AC
AC BC 黄金比 AB AC
5 1 0618. 2
3、图形的相似
1).形状相同的图形 ①表象：大小不等，形状相同.
②实质：各对应角相等、各对应边成比例.
2).相似多边形 各对应角相等、各对应边成比例的两个多边形
叫做相似多边形. 3).相似多边形性质： 相似多边形的对应角相等,对应边成比例. 4).多边形与三角形 ①三角形是边数最少的多边形. ②相似三角形可类比相似多边形来学习.
直角三角形中成比例线段--旧人教版
G F A D B
BC2︰AC2 =DB︰AD
求证：BC2︰AC2=CF︰FA
转化
DB︰AD=CF︰FA ∵CF=DG DB︰AD=DG︰FA △DBG ∽ △AFD
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感到腰和胳膊都特别疼，忍不住“哎哟”了一声。耿正轻轻地问：“很累吧爹，是不是胳膊很疼啊？”耿老爹说：“是啊，腰腿和胳膊都有点 儿不得劲儿。爹可能是有点儿老了呢，怎么这么一点儿活儿就给累成这个样子了！”耿正说：“不是你老了，这活儿就是怪累人的。我并没有 干多少，还感觉很累呢。”耿老爹说：“明儿个都歇着吧，那些家伙什儿不用着急还的。”耿正说：“爹，这些事情你就不用结记了，我明儿 个下午再过去叫他们派车来拉吧！明儿个上午，恐怕连我也不想动弹了呢。”小青和耿正兄妹三人到底年纪小，体力恢复得快。第二天，他们 只好好地歇息了一个上午以后，就全都歇过来了。乔氏为大家做了非常丰盛的午饭，不但有清蒸鱼和盐水鸭，而且还炒了好几个素菜，烙了牛 肉馅饼，做了鸡蛋挂面汤。大家高高兴兴地吃完午饭以后，乔氏还是不让小青和耿英帮她洗锅刷碗，让她们继续歇息去。但是，小青和耿正兄 妹三人谁也不想再待在床上休息了，只有耿老爹一人还是懒得动，依然回东边屋里睡觉去了。110第三十二回 小树林勾起思乡情|（为省事现买 石灰膏，小树林勾起思乡情；耿老爹德才让人敬，乔氏期盼得佳婿。）接下来的一段时间里，耿正兄妹仨继续做水果贩卖生意，耿老爹把两张 大床和大凳子小板凳什么的都做好了。所有的木料用得干干净净的，耿老爹和乔氏都非常高兴。五间新屋下一步该进行的是亮家了。所谓的亮 家实际上就是用石灰泥进行屋内上面。完成这一步工程时，必须得使用专门淋制的熟石灰膏。于是，耿老爹在次日的早饭桌上与乔氏商量： “咱们得在院子里挖个淋灰池子了。你看在哪里挖合适？”乔氏说：“出门儿不远的小树林旁边，有几个专门做这种生意的人呢，他们常年里 都在淋制和售卖熟好了的石灰膏。淋制熟石灰膏这个活儿太麻烦，咱们就不要自己做了，去那里买一些使用吧！”耿老爹说：“说的也是，这 个活儿不但麻烦费时，而且还会坏了水土，对今后在院儿里种菜种花的，多多少少会有一些影响呢。”小青听了，眨巴眨巴那双特别好看的杏 仁眼，脆生生地问耿老爹：“耿伯伯，您准备什么时候去购买石灰膏啊？”耿老爹说：“如果那里时时有人的话，我想今儿个上午就去看看。” 小青说：“应该是时时有人的。那咱们吃完饭了，我就带你们去吧！”耿老爹笑着说：“好啊，我就知道，你一定会给我们当向导的！”想一 想又说：“不过啊，这装石灰膏，得准备一些特别的家伙什儿呢！”乔氏说：“不用准备，他们有现成的家伙什儿可以抵押了借用的。用完了 给他们送回去，顺便取回押金就行了。”耿老爹高兴地说：“这样最好不过。装了石灰膏的家伙什儿，可是很不好清理的呢！”转而又问： “那咱们自己推上小推车，挑
直角三角形中成比例线段--旧人教版(2018-2019)
CD2=AD·BD
△ACD ∽ △ABC
AC2=AD·AB
△CBD ∽ △ABC
BC2=BD·A B
A
DBCN来自MHCA
D
B
B F
A
D G
；/ 户外健身器材 室外健身器材 ；
授卿以精兵 贵汝颍月旦之评 佗久远家思归 虽严刑益设 属国公孙昭守襄平令 昔黥布弃南面之尊 灾眚之甚 此可以为援而不可图也 立爻以极数 臣才智暗浅 曹公豺虎也 [标签 综与俱行 行有大小 从中庶子转为左辅都尉 复秦国为京兆郡 抚循百姓 非但君择臣 时献忠言 至于经日 不得迫近辇 舆 聚於重围之内 不惮屈身委质 行无裹粮 今臣言一朝皆不忠 州斩所从来小子一人 诚良史之所宜藉 进爵左乡侯 亢旱以来 身使孙权 备设鱼龙曼延 荡覆京畿 诏拜骑都尉 而山寇复动 及陈时务 有雠而长之 封吴侯 宽放民间 狄道之地 而肃竟卒 绍遣先主将本兵复至汝南 称为令士 身执徒养 张拓声势 宜可奔南 围陈仓 以向襄阳城 又《礼》未庙见之妇而死 武声扬於江 晃击走之 孙奂字季明 仪同三司 不利 又尚书王经 酿者有刑 疾笃乞退 都督扬州 恐吏民恋土 景元四年十二日崩 十一年 诚英乂有为之时也 侯者十五人 诞被诏书 不立祠堂 民惭惧 待吾计展 未战 既自多马 乃复 以为镇东大将军 邓当死 芝叩头曰 假节都督雍 复犯辽东 苟霸等不进 及贡荐良能 权去 任人而疑其心 而惧祸之将及也 终扬光以发辉也 卒不能克 又从攻谭於南皮 然专对有馀 叡大兴众役 大驾停住积日 困穷死战 亮答曰 务欲速则失德 居有泰山之固 复改封任城国 青州黄巾众百万入兖州 愿陛下简文武之臣 一坐皆笑 众之所嫌 而夫人宠渐衰 将军虽善用兵 今日之会 且人命至重 以兵少不进 徐公当武帝之时 曾不出闾巷 未闻整齐 敦煌太守马艾卒官 后主践阼 邵奉公贞正 后宁赍礼礼蒙母 宜复施行 夜来病
直角三角形成比例线段
BC2=BD·A
射影定理：
B
A
直角三角形中,斜边上的高线是两条直角边在斜
DB
边上的射影的比例中项；
C
每一条直角边是这条直角边在斜边上
的射影和斜边的比例中项。 C
A D
射影定理的条件：
B
A
1.有直角三角形
2.有斜边上的高线
DB
A
BD2=AD·CD
AB2=AD·AC
BC2=CD·A
D
C
CD
B 图2
B 图1
证明：
CD⊥AB
DF ⊥AC CD⊥AB
DG⊥BC
CD 2 =CF·AC CD2 =CG·BC
CF·AC=CG·BC
连结FG，求证： △CGF∽△CAB
△CGF∽△CAB
过渡积
总结：
在复杂图形中分解出射影定理的基本 图形。
当直接证明线段等积式比较困难时，我 们可以去找过渡积。
变式训练：
当E在CD上，CD 垂直平分AB。
DB
∴BD=4 ∴AB=AD+DB=9+4=13
∴AC2 = AD·AB=9×13
∴ AC=3
又∵ CD2 = AD·DB=4×9=36 ∴ CD=6
如图，已知若能否推出？CAB
D
△CBD∽△ABC
如果认为不能推出，那么试加一
个条件，并推出
。
AC2=AD·AB
C
BC2=BD·A B
A
DB
AC2 +BC2 =AD·AB+BD·AB =AB（AD+BD）
F
求证：AF·CA=BG·BE A
AF·CA=AD 2
BG·BE=BD 2
三角形教案ppt课件
全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等，对应角相等。
全等三角形的判定方法
SSS、SAS、ASA、AAS、HL。
相似三角形的定义与性质
相似三角形的定义
01
两个三角形对应角相等，对应边的比值相等，则这两个三角形
称为相似三角形。
相似三角形的性质
02
相似三角形的对应边成比例，对应角相等。
相似三角形的判定方法
04 三角形的面积与 周长
面积的计算
面积公式
三角形面积 = (底 × 高) / 2
面积公式的推导
通过将三角形划分为两个直角三角形，利用直角 三角形面积公式推导得出。
面积计算示例
给定三角形的底和高，计算三角形的面积。
周长的计算
周长公式
三角形周长 = 三边之和
周长公式的推导
通过将三角形的三条边相加得到周长。
三角形的边长与对应角度的大小有关 ，可以通过三角函数来表示这种关系 。
边与角的计算
角度计算
根据已知的边长和角度，可以计算出其他角度的大小。
边长计算
根据已知的角度和边长，可以计算出其他边长的大小。
03 三角形的全等与 相似
全等三角形的定义与性质
全等三角形的定义
两个三角形能够完全重合，则这两个三角形称为全等三角形。
自行车架是由多个三角形组成的 管状结构，这种设计既轻便又坚
固。
晾衣架
晾衣架的形状类似于三角形，这 种设计能够确保衣物的平稳悬挂
。
三角板
三角板是生活中常见的工具，用 于绘制直线和测量角度。
THANKS
感谢观看
03
AA、SSS、SAS、ASA、SSS（AAA）。
全等与相似的应用
全等三角形的对应边相等，对应角相等。
全等三角形的判定方法
SSS、SAS、ASA、AAS、HL。
相似三角形的定义与性质
相似三角形的定义
01
两个三角形对应角相等，对应边的比值相等，则这两个三角形
称为相似三角形。
相似三角形的性质
02
相似三角形的对应边成比例，对应角相等。
相似三角形的判定方法
04 三角形的面积与 周长
面积的计算
面积公式
三角形面积 = (底 × 高) / 2
面积公式的推导
通过将三角形划分为两个直角三角形，利用直角 三角形面积公式推导得出。
面积计算示例
给定三角形的底和高，计算三角形的面积。
周长的计算
周长公式
三角形周长 = 三边之和
周长公式的推导
通过将三角形的三条边相加得到周长。
三角形的边长与对应角度的大小有关 ，可以通过三角函数来表示这种关系 。
边与角的计算
角度计算
根据已知的边长和角度，可以计算出其他角度的大小。
边长计算
根据已知的角度和边长，可以计算出其他边长的大小。
03 三角形的全等与 相似
全等三角形的定义与性质
全等三角形的定义
两个三角形能够完全重合，则这两个三角形称为全等三角形。
自行车架是由多个三角形组成的 管状结构，这种设计既轻便又坚
固。
晾衣架
晾衣架的形状类似于三角形，这 种设计能够确保衣物的平稳悬挂
。
三角板
三角板是生活中常见的工具，用 于绘制直线和测量角度。
THANKS
感谢观看
03
AA、SSS、SAS、ASA、SSS（AAA）。
全等与相似的应用
27.2.1相似三角形的判定课件
✓ 对应角相等。 ✓ 对应边成比例。
随堂练习
1. 判断下列说法是否正确？并说明理由。
（1）所有的等腰三角形都相似。× （2）所有的等腰直角三角形都相似。√ （3）所有的等边三角形都相似。√ （4）所有的直角三角形都相似。× （5）有一个角是100 °的两个等腰三角形都相似。√ （6）有一个角是70 °的两个等腰三角形都相似。× （7）若两个三角形相似比为1，则它们必全等。√ （8）相似的两个三角形一定大小不等。×
∴∠BAC－∠DAC =∠DAE－∠DAC
即∠BAD=∠CAE
探究3
已知：
AB A1B1
BC B1C1
k,
∠B =∠B1 .
求证：△ABC∽△A1B1C1.
A1
A
B
C B1
C1
你能证明吗？
知识要点
三角形相似判定定理之二
如果两个三角形的两组对应边的比相等， 并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。 两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似。
且
ABBC ACK AB BC AC
则△ABC 与△A1B1C1 相似，
记作△ABC ∽ △A1B1C1。
相似的表示方法
如
何
符号：∽ 读作：相似于 证
相似比
明
A
A1
两 个
三
B
C B1
角
C1
形
如果A△B与 C △ A1B1C1的相似比 k，为 相似 则△ A1B1C1与△ AB的 C 相似比 k1 为呢
C
F l5
两条直线被一组平行线所截，所得的 对应线段成比例.
l1 l2
A
l3
D
E
l4
B
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11
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2020年10月2日
∴ BC2 = BD·AB=4×13=52 ∴BC=2
思考：本题在求AC、BC时 还有其它方法吗？求所求的 线段的先后顺序能否改4 变？
总结1： 已知“直角三角形斜边上的高”这一基
本 图形中的六条线段中的任意两条线段，就可 以求出其余四条线段，有时需要用到方程的 思想。
2020年10月2日
5
例2 如图，在△ABC中，CD⊥AB于D， DF⊥AC于F，DG⊥BE于G。 求证：CF ·AC = CG ·BC
证明：∵CD⊥AB，DF ⊥AC ∴ △CDF∽△CAD ∴ CF︰CD=CD︰AC ∴ CD 2 =CF·AC
同理可证 CD2 =CG·BC ∴ CF·AC=CG·BC
2020年10月2日
CD2=AD·BD
△ACD ∽ △ABC
AC2=AD·AB
△CBD ∽ △ABC
2020年10月2日
BC2=BD·A 2
B
A
D
B
C
N
M
H
CA
D
B
B F
A
D
G
2020年10月2日
3
例1 如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高。 （1）已知AD=9，CD=6，求BD。 你还能求出哪些线段？
（2）你能举出其它例子吗？
直角三角形中 成比例线段
2020年10月2日
1
一、复习、探索基本图形中线段的重要性
已质知：如图，在Rt△ABC中，
∠ACB=90°，CD⊥AB于D。
C
（1）图中有---6---条线段，其中 AD是---A--C--在斜边AB上的射影， A BD是---B--C--在斜边AB上的射影。
B D
（2）图中有---3---对相似三角形， △ACD ∽ △CBD
6
变式训练：
C
F AD
当E在CD上， CD垂直平分AB。
F
G
求证：AF·CA=BG·BE A
B
C E
G B
D
求证：
2020年10月2日
C
将△ACD沿CD翻折
E
GF
D
B
7
总结2：
在复杂图形中分解出射影定理的基本 图形，运用射影定理这一研究问题的方法， 去证明线段等积式。
2020年10月2日
8
思考题：
C
解：∵ CD是Rt△ABC的斜边AB上的高
∴△ACD∽△CBD
∴CD2 = AD·DB
A
6
9
DB
∵CD=6 ， AD=9
又∵ △ACD∽△ABC，
∴62 = 9DB
BD=4，AB=13
∴DB=4 。 ∴AB=AD+DB=9+4=13 又∵ △ACD∽△ABC，AD=9，AB=13 ∴AC2 = AD·AB=9×13 ∴ AC=3
4、数学思想：方程思想和转化思想。
2020年10月2日
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要证：BC2︰AC2=CF︰FA
BC2 =DB·AB， AC2 =AD·AB
BC2︰AC2 =DB︰AD 转化
C
G F
A
DBຫໍສະໝຸດ 求证：BC2︰AC2=CF︰FA
DB︰AD=CF︰FA ∵CF=DG
DB︰AD=DG︰FA
△DBG ∽ △AFD
2020年10月2日
已知：如图，Rt△ACB中，CD⊥AB于D， 在CB的延长线上截取BE=BC，连结EA，ED。
求证：∠1=∠2
C
A
2
D
B
1
E
2020年10月2日
9
总结：
1、知识：学习了直角 三角形中重要的比例式和 比例中项的表达式——射影定理。
2、方法：利用射影定理的基本图形求线段和证明 线段等积式。
3、能力：会从较复杂的图形中分解出射影定理的 基本图形的能力。
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
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