人教版高中数学同步解析与测评学考练数学A版选修4-5不等式选讲3.3

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高中文科数学练习第11章选修4-5不等式选讲含解析人教版A版.docx

2019 届高考高三数学文科复习同步创新训练题课时规范练A 组基础对点练11．设函数 f(x)＝ |x ＋ a |＋ |x － a|(a>0) ．(1) 证明： f(x)≥ 2；(2) 若 f(3)<5 ，求 a 的取值范围．1 1 1解析： (1)证明：由 a>0，有 f(x)＝ x ＋a＋ |x － a|≥ x ＋a － x － a ＝ a ＋ a ≥ 2.所以 f(x)≥ 2.(2) f(3) ＝ 3＋ 1 ＋ |3－ a|.当 a>3 时， f(3) ＝ a ＋ 1，由 f(3)<5 得 3< a<5＋ 21.a a2 当 0<a ≤3 时， f(3) ＝ 6－a ＋ 1，由 f(3)<5 ，得 1＋ 5<a ≤ 3.a 2 综上， a 的取值范围是1＋ 5， 5＋ 21 .2 22．设不等式 |x － 2|<a(a ∈ N *)的解集为 A ，且 3∈A ， 1?A.2 2(1) 求 a 的值；(2) 求函数 f(x)＝ |x ＋ a|＋ |x － 2|的最小值；(3) 解不等式 f(x)≤ 5.解析： (1)∵ 32∈ A ， 12?A ，12<a ，a ∈ N *，∴ a ＝ 1.∴32≥ a ，2x － 1， x ≥ 2，(2) 当 a ＝1 时， f(x)＝ |x ＋ 1|＋ |x － 2|＝ 3，－ 1≤ x<2，－ 2x ＋ 1， x<－ 1.如图，由函数图象可知f(x)min ＝ 3.(3) 由②可知， f(x)＝5 时，有 2x － 1＝ 5， x ＝ 3，－2x ＋ 1＝ 5， x ＝－ 2，∴f(x)≤ 5 的解集为 [－ 2,3] ．3． (2018 ·田模拟莆 )设 a ， b 是非负实数．求证： a 2＋b 2≥ ab(a ＋ b)．2019 届高考高三数学文科复习同步创新训练题证明：因为 (a 2＋ b 2 )－ ab(a ＋ b)＝ ( a 2－ a ab) ＋ (b 2－ b ab)＝ a a( a － b)＋ b b( b － a)＝( a － b)(aa －b b)1 1 3 3)＝( a－ b )(a － b 2222因为 a ≥ 0，b ≥ 0，所以不论 a ≥ b ≥ 0，还是 0≤ a ≤ b ，都有 a 1－b 1与 a 3－b 3同号，所以 (a 12 2 2 2 21 33－ b 2)(a 2－ b 2)≥ 0，所以 a 2＋ b 2≥ ab(a ＋ b)．4．已知 a>0， b>0，求证： a ＋ b≥ a ＋ b.b a解析：因为 a ＋ b－(a ＋ b)baa 3＋b 3－a ＋b ab＝aba ＋ ba －b 2 ＝ab又因为 a>0， b>0，所以a ＋ b>0， ab>0 ， ( a － b)2≥0，所以 a ＋ b－ (a ＋ b)≥ 0，ba 所以 a ＋ b≥ a ＋ b.baB 组能力提升练1． (2018 ·州模拟温 )已知 f(x)＝ |ax ＋ 1|(a ∈ R)，不等式 f(x)≤ 3 的解集为 { x|－ 2≤ x ≤1} ．(1) 求 a 的值；x(2) 若 f x －2f 2≤ k 恒成立，求 k 的取值范围．解析： (1)由 |ax ＋ 1|≤3 得－ 4≤ ax ≤ 2.又 f(x)≤ 3 的解集为 { x|－ 2≤ x ≤ 1} ，所以当 a ≤0 时，不合题意．当 a>0 时，有－ 4≤ x ≤2，得 a ＝2.a ax(2) 记 h(x)＝ f(x) －2f 2 ，则2019 届高考高三数学文科复习同步创新训练题1， x ≤－ 1，－ 4x － 3，－ 1<x<－ 1，h(x)＝2－ 1， x ≥ －1，2所以 |h(x)|≤1，因此 k ≥1.2． (2018 ·州模拟泉 )已知函数 f(x)＝ |x － 1|＋ |x ＋1|.(1) 求不等式 f(x)≥ 3 的解集；2a 的取值范围．(2) 若关于 x 的不等式 f( x)≥ a － a 在 R 上恒成立，求实数解析： (1) 原不等式等价于x ≤ － 1，－ 1<x ≤ 1，或 x>1，解得 x ≤ － 3或 x ∈ ?或或－ 2x ≥ 3 2≥ 32x ≥ 3， 23x ≥2.3 3所以不等式的解集为 x x ≤ －2或 x ≥ 2 .(2) 由题意得，关于 x 的不等式 |x － 1|＋ |x ＋ 1|≥ a 2－ a 在 R 上恒成立．因为 |x － 1|＋ |x ＋ 1|≥ |(x － 1)－(x ＋ 1)|＝2，所以 a 2－ a ≤ 2，即 a 2－ a －2≤ 0，解得－ 1≤ a ≤2.所以实数 a 的取值范围是 [－ 1,2] ．3． (2018 ·南模拟淮 )设不等式－ 2<|x － 1|－ |x ＋2|<0 的解集为M ， a ， b ∈M .11 1(1) 证明： 3a ＋ 6b <4；(2) 比较 |1－ 4ab|与 2|a － b|的大小．解析： (1)证明：记 f(x)＝ |x － 1|－ |x ＋ 2|3， x ≤ － 2，＝－ 2x － 1，－ 2< x ≤ 1，－ 3， x>1 ，11由－ 2<－ 2x －1<0 解得－ 2<x<2，即 M ＝－ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2， 2 ，所以 3a ＋ 6b ≤ 3|a|＋ 6|b|<3× 2＋6× 2＝ 4.2 1 2 1(2) 由 (1)得 a <，b < ，4 4因为 |1－ 4ab|2 － 4|a － b|2＝ (1 －8ab ＋ 16a 2b 2 )－ 4(a 2－ 2ab ＋ b 2) ＝(4a 2－ 1)(4 b 2－1)>0 ，故 |1－ 4ab|2>4|a － b|2，即 |1－4ab|>2|a － b|. 4．已知函数 f(x)＝ |3x ＋ 2|.(1) 解不等式 f(x)<4－|x － 1|；2019 届高考高三数学文科复习同步创新训练题(2) 已知 m＋ n＝ 1(m，n>0) ，若 |x－ a|－ f(x)≤11恒成立，求实数 a 的取值范围．＋ (a>0)m n解析： (1)不等式 f(x)<4 － |x－ 1|，即 |3x＋ 2|＋ |x－ 1|<4.当 x<－2时，即－ 3x－ 2－ x＋ 1<4，解得－5<x<－2；343当－2≤ x≤1 时，即3x＋ 2－ x＋ 1<4，解得－2≤ x<1；当 x>1 时，即 3x＋ 2＋ x－1<4 ，无解．3325 1综上所述， x∈－4，2 .(2)1＋1＝1＋1(m＋ n)＝ 1＋1＋n＋m≥ 4，m n m nm n令g(x) ＝ |x－ a|－ f(x)＝ |x－ a|－ |3x＋ 2|＝22x＋ 2＋ a， x<－3－4x－2＋ a，－23≤ x≤ a，－2x－2－ a， x>a∴x＝－23时， g(x)max＝23＋ a，要使不等式恒成立，210只需 g(x)max＝3＋ a≤ 4，即 0<a≤3.4。

《选修4-5-不等式选讲》知识点详解+例题+习题(含详细答案)(K12教育文档)

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选修4－5不等式选讲最新考纲：1。

理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：(1）|a＋b｜≤|a｜＋｜b｜（a,b∈R)．（2）|a－b|≤|a－c｜＋|c－b｜（a，b∈R）。

2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：｜ax＋b|≤c，｜ax＋b｜≥c，｜x－c|＋｜x－b｜≥a。

3。

了解柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.4.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法．1．含有绝对值的不等式的解法(1)｜f(x)｜〉a(a>0)⇔f（x)>a或f(x）<－a;(2)|f(x）｜<a(a〉0)⇔－a<f(x)〈a；（3）对形如｜x－a｜＋|x－b|≤c，|x－a|＋｜x－b｜≥c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．2．含有绝对值的不等式的性质|a｜－｜b|≤｜a±b|≤｜a|＋｜b｜。

问题探究：不等式｜a|－|b|≤｜a±b｜≤|a｜＋|b｜中，“＝”成立的条件分别是什么?提示：不等式｜a|－｜b｜≤｜a＋b｜≤｜a｜＋｜b｜，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝"成立的条件是ab≤0且|a｜≥｜b｜；不等式｜a|－|b｜≤｜a －b｜≤｜a|＋｜b｜，右侧“＝"成立的条件是ab≤0,左侧“＝"成立的条件是ab≥0且|a|≥｜b|。

2018年人教A版高中数学选修4-5全册同步检测试题

人教A版高中数学选修4-5全册同步检测题目录第一章不等式和绝对值不等式1.1.1不等式的基本性质试题1.1.2基本不等式试题1.1.3三个正数的算术_几何平均不等式试题1.2.1绝对值三角不等式试题1.2.2绝对值不等式的解法试题第1章不等式和绝对值不等式测评第二章证明不等式的基本方法2.1比较法试题2.2综合法与分析法试题2.3反证法与放缩法试题第2章证明不等式的基本方法测评第三章柯西不等式与排序不等式3.1二维形式的柯西不等式试题3.2一般形式的柯西不等式试题3.3排序不等式试题第3章柯西不等式与排序不等式测评第四章用数学归纳法证明不等式4.1数学归纳法试题4.2用数学归纳法证明不等式举例试题第4章用数学归纳法证明不等式测评选修4-5模块综合测评1.不等式的基本性质课后篇巩固探究A组1.(2017广东深圳一模)已知a>b>0,c<0,下列不等关系正确的是()A.ac>bcB.a c>b cC.log a(a-c)>log b(b-c)D.aa-c >bb-cc<0,∴-c>0.又a>b>0,∴a-c>b-c>0,ac<bc.故aa-c −bb-c=ab-ac-ab+bc(a-c)(b-c)=c(b-a)(a-c)(b-c)>0.即aa-c >bb-c.2.(2017广东潮州二模)若a>b,则下列各式正确的是()A.a²lg x>b²lg xB.ax2>bx2C.a2>b2D.a²2x>b²2xa>b,当lg x≤0时,a²lg x>b²lg x不成立,故A错误.当x=0时,ax2=bx2,故B错误.若a=0,b=-1,则a2<b2,故C错误.∵2x>0,∴a²2x>b²2x,故D正确.3.若角α,β满足-π2<α<β<3π2,则α-β的取值范围是()A.(-2π,2π)B.(-2π,0)C.(-π,0)D.(-π,π)-π<β<3π,所以-3π<-β<π.又α-β=α+(-β),且α<β,所以-2π<α-β<0.4.若a>1,b<1,则下列结论中正确的是()A.1a >1bB.ba>1C.a2>b2D.ab<a+b-1a>1,b<1得a-1>0,b-1<0,所以(a-1)(b-1)<0,展开整理,得ab<a+b-1.5.已知1≤a+b≤5,-1≤a-b≤3,则3a-2b的取值范围是()A.[-6,14]B.[-2,14]C.[-6,10]D.[-2,10]3a-2b=m(a+b)+n(a-b),则m+n=3,m-n=-2,所以m=1,n=5.因为1≤a+b≤5,-1≤a-b≤3,所以12≤12(a+b)≤52,-52≤52(a-b)≤152,故-2≤3a-2b≤10.6.已知0<a<1,则a,1a,a2的大小关系是.(从小到大)a-1=(a+1)(a-1)<0,∴a<1.又a-a2=a(1-a)>0,∴a>a2.∴a2<a<1.2<a<17.已知-3<b<a<-1,-2<c<-1,则(a-b)c2的取值范围是.0<a-b<2,1<c2<4,则0<(a-b)c2<8.8.设a>b>c>0,若x=a2+(b+c)2,y=b2+(c+a)2,z=c2+(a+b)2,则x,y,z之间的大小关系是.(从小到大)x2-y2=a2+(b+c)2-b2-(c+a)2=2c(b-a)<0,所以x<y.同理可得y<z,故x,y,z之间的大小关系是x<y<z.9.若3<a<7,1<b<10,试求a+b,3a-2b,b2的取值范围.3<a<7,1<b<10,所以4<a+b<17,即a+b∈(4,17).因为9<3a<21,-20<-2b<-2,所以-11<3a-2b<19,即3a-2b∈(-11,19).因为9<a2<49,所以1<12<1.又1<b<10,所以1<b2<10,即b2∈1,10.10.导学号26394000在等比数列{a n}中,若a1>0,q>0,前n项和为S n,试比较S3 a3与S5a5的大小.q=1时,S33=3,S55=5,所以S33<S55.当q>0,且q ≠1时,S 3a 3−S 5a 5=a 1(1-q 3)a 1q 2(1-q )−a 1(1-q 5)a 1q 4(1-q )=q2(1-q 3)-(1-q 5)q 4(1-q )=q 2-1q 4(1-q )=-q -1q 4<0,所以有S33<S55.综上可知有S33<S55.B 组1.(2017河北衡水模拟)已知0<a<b<1,c>1,则( ) A.log a c<log b c B. 1 c< 1 cC.ab c <ba cD.a log c 11,则1a >1b >1,logc x 在定义域上单调递增.故a log c 1b b 成立的必要不充分条件是( ) A.a>b-1 B.a>b+1 C.|a|>|b| D.3a >3b 解析因为a>b ⇒a>b-1,但a>b-1a>b ,所以“a>b-1”是“a>b ”的必要不充分条件;“a>b+1”是“a>b ”的充分不必要条件;“|a|>|b|”是“a>b ”的既不充分也不必要条件;“3a >3b ”是“a>b ”的充要条件.3.导学号26394001已知实数a ,b ,c 满足b+c=3a 2-4a+6,c-b=a 2-4a+4,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A.c ≥b>a B.a>c ≥b C.c>b>a D.a>c>bc-b=a 2-4a+4=(a-2)2≥0易知c ≥b ,又由已知可解得b=a 2+1>a ,所以c ≥b>a.4.若a ,b ∈R ,且a 2b 2+a 2+5>2ab+4a ,则a ,b 应满足的条件是 .(ab-1)2+(a-2)2>0,则a ≠2或b ≠1.≠2或b ≠15.设x>5,P= x -4− x -5,Q= x -2− x -3,试比较P 与Q 的大小关系.P= x -4− x -5=x -4+ x -5,Q= x -2− x -3=x -2+ x -3,又 x -4+ x -5< x -2+ x -3,所以Q<P. 6.导学号26394002已知θ∈ 0,π6 ,且a=2sin 2θ+sin 2θ,b=sin θ+cos θ,试比较a 与b 的大小.θ∈ 0,π6 ,所以a=2sin 2θ+sin 2θ>0,b=sin θ+cos θ>0.因为a=2sin 2θ+sin2θ=2sin θ(sin θ+cos θ)=2sin θ,又θ∈ 0,π6 ,所以sin θ∈ 0,12 ,2sin θ∈(0,1), 即0<ab <1,故a<b.2.基本不等式课后篇巩固探究A 组1.下列结论正确的是( ) A.若3a +3b ≥2 a b ,则a>0,b>0 B.若b+a≥2,则a>0,b>0C.若a>0,b>0,且a+b=4,则1a +1b ≤1 D.若ab>0,则 ab ≥2aba +ba ,b ∈R 时,则3a >0,3b >0,所以3a +3b ≥2 a b (当且仅当a=b 时,等号成立),故选项A 错误.要使b+a≥2成立,只要b>0,a>0即可,这时只要a ,b 同号,故选项B 错误.当a>0,b>0,且a+b=4时,则1a +1b=4ab.因为ab ≤ a +b 2 2=4,所以1a +1b=4ab ≥1(当且仅当a=b=2时,等号成立),故选项C 错误.当a>0,b>0时,a+b ≥2 ab ,所以2aba +b ≤2 ab = ab .而当a<0,b<0时,显然有 ab ≥2ab a +b ,所以当ab>0时,一定有 ab ≥2aba +b(当且仅当a=b ,且a ,b>0时,等号成立),故选项D 正确.2.若a<1,则a+1a -1的最大值是( )A.3B.aC.-1D.2 aa -1a<1,所以a-1<0,所以a+1a -1=a-1+1a -1+1≤-2 (1-a ) 1-a +1=-1,当且仅当1-a=11-a ,即a=0时,取最大值-1,故选C .3.(2017全国模拟)已知x>0,y>0,lg 2x +lg 8y =lg 2,则1x +13y 的最小值是( ) A.2B.2C.4D.2 3lg 2x +lg 8y =lg 2,∴lg(2x ²8y )=lg 2,∴2x+3y =2,∴x+3y=1. ∵x>0,y>0,∴1x +13y =(x+3y ) 1x +13y=2+3y +x ≥2+2 3y ·x=4, 当且仅当x=3y=12时,等号成立.故选C .4.函数f (x )=x+4-1的值域是( ) A.(-∞,-3]∪[5,+∞) B.[3,+∞)C.(-∞,-5]∪[3,+∞)D.(-∞,-4]∪[4,+∞)x>0时,x+4x -1≥2 x ·4x-1=3(当且仅当x=2时,等号成立);当x<0时,x+4x -1=- (-x )+ -4-1≤-2 (-x )· -4-1=-5(当且仅当x=-2时,等号成立),故函数f (x )的值域为(-∞,-5]∪[3,+∞).5.若正数x ,y 满足x+4y=4,则xy 的最大值为 .x+4y ≥2 =4 xy (当且仅当x=4y 时,等号成立),又x+4y=4,所以4 xy ≤4,即xy ≤1,故xy 的最大值为1.6.(2017山东高考)若直线xa +yb =1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b 的最小值为 .直线xa +yb =1过点(1,2),∴1a +2b =1.∵a>0,b>0,∴2a+b=(2a+b ) 1a +2b =4+ b a +4a b ≥4+2 b a ·4ab=8. 当且仅当b=2a 时“=”成立.7.(2017江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x 吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x 的值是 .4x+600³6=4 x +900≥4³2 900=240,当且仅当x=900,即x=30时等号成立.8.已知x>1,y>1,且xy=1 000,求lg x²lg y的最大值.x>1,y>1,所以lg x>0,lg y>0,所以lg x²lg y≤lg x+lg y22=lg xy22=lg100022=322=94,当且仅当lg x=lg y,即x=y时,等号成立, 故lg x²lg y的最大值等于9.9.已知x>0,y>0,x+y=1,求证1+1x 1+1y≥9.=1+11+1 =1+x+y1+x+y=2+yx 2+xy=5+2yx+xy≥5+4=9,当且仅当yx =xy,即x=y=12时,等号成立,所以1+1x1+1y≥9.10.某单位建造一间地面面积为12平方米的背面靠墙的长方体房屋,由于地理位置的限制,房屋侧面的长度x不得超过5米.房屋正面的造价为400元/平方米,房屋侧面的造价为150元/平方米,屋顶和地面的造价费用合计为5 800元.如果墙高为3米,且不计房屋背面的费用,当侧面的长度为多少时,总造价最低?x米(0<x≤5).由题意可得,总造价y=32x×150+12×400+5 800=900 x+16+5 800(0<x≤5).由基本不等式可知y=900 x+16+5 800≥900³2x×16x+5 800=13 000(元),当且仅当x=16x,即x=4时,等号成立.由上可知,当侧面的长度为4米时,总造价最低.B组1.若a≥0,b≥0,且a+b=2,则下列不等式正确的是()A.ab≤1B.ab≥1C.a2+b2≥4D.a2+b2≤4ab≤a+b2=1(当且仅当a=b时,等号成立),而a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2ab ≥2,故选项A正确.2.爬山是一种简单有趣的户外运动,有益于身心健康,但要注意安全,准备好必需物品,控制好速度.现有甲、乙两人相约爬山,若甲上山的速度为v 1,下山的速度为v 2(v 1≠v 2),乙上山和下山的速度都是v 1+v 22(甲、乙两人中途不停歇),则甲、乙两人上山下山所用的时间t 1,t 2的关系为( )A.t 1>t 2B.t 1<t 2C.t 1=t 2D.不能确定h ,则依题意有t 1=ℎ1+ℎ2=h ²v 1+v212>h ²2 v 1v 212=h ²v v , t 2=2ℎv 1+v 22=h ²412<h ²2v v =h ²v v ,故t 1>t 2.3.(2017天津高考)若a ,b ∈R ,ab>0,则a 4+4b 4+1ab 的最小值为.a ,b ∈R ,且ab>0,∴a 4+4b 4+1≥4a 2b 2+1=4ab+1≥4 当且仅当 a 2=2b 2,4ab =1ab ,即 a 2= 2,b 2=2时取等号 .4.导学号26394006已知关于x 的二次不等式ax 2+2x+b>0的解集为x x ≠-1a,且a>b ,则a 2+b2a -b的最小值为 .x 的方程ax 2+2x+b=0有两个相等的实数根,于是Δ=4-4ab=0,则ab=1,所以a 2+b2a -b =(a -b )2+2ab a -b =(a-b )+2a -b ≥2 (a -b )·2a -b=2 2 当且仅当a -b =2a -b时,等号成立 ,故a 2+b 2a -b的最小值为2 .25.已知a>2,求证log (a-1)a>log a (a+1).log (a-1)a-log a (a+1)=lg a lg (a -1)−lg (a +1)lg a =lg 2a -lg (a -1)lg (a +1)lg a lg (a -1),而lg(a-1)lg(a+1)< lg (a -1)+lg (a +1)2= lg (a 2-1)22<lg a 222=lg 2a ,即lg 2a-lg(a-1)lg(a+1)>0. 又a>2,∴lg a lg(a-1)>0,∴lg2a-lg(a-1)lg(a+1)lg a lg(a-1)>0,即log(a-1)a-loga(a+1)>0,∴log(a-1)a>loga(a+1).6.导学号26394007某水晶制品厂去年的年产量为10万件,每件水晶产品的销售价格为100元,固定成本为80元.从今年起,工厂投入100万元进行技术革新,并计划以后每年比上一年多投入100万元进行技术革新.预计产量每年递增1万件,每件水晶产品的固定成本g(n)(单位:元)与进行技术革新的投入次数n的关系是g(n)=n+1.若水晶产品的销售价格不变,第n次投入后的年利润为f(n)万元.(1)求出f(n)的表达式;(2)求从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元?第n次投入后,产量为(10+n)万件,销售价格为100元,固定成本为n+1元,进行技术革新投入为100n万元.所以,年利润为f(n)=(10+n)100n+1-100n(n∈N+).(2)由(1)知f(n)=(10+n)100n+1-100n=1 000-80n+1n+1≤520.当且仅当=n+1,即n=8时,利润最高,最高利润为520万元.所以,从今年算起第8年利润最高,最高利润为520万元.3.三个正数的算术-几何平均不等式课后篇巩固探究A 组1.若a>0,则2a+12的最小值为( )A.2 2B.3 23C.1D.3a+12=a+a+12≥3 a ·a ·123=3,当且仅当a=12,即a=1时,2a+12取最小值3.2.设x ,y ,z ∈R +,且x+y+z=6,则lg x+lg y+lg z 的取值范围是( )A.(-∞,lg 6]B.(-∞,3lg 2]C.[lg 6,+∞)D.[3lg 2,+∞)x ,y ,z ∈R +,所以6=x+y+z ≥3 xyz 3,即xyz ≤8,所以lg x+lg y+lg z=lg xyz ≤lg 8=3lg 2(当且仅当x=y=z=2时,等号成立).3.已知x+2y+3z=6,则2x +4y +8z 的最小值为( ) A.3 63B.2 2C.12D.12 532x >0,4y >0,8z >0,所以2x +4y +8z =2x +22y +23z ≥3 x 2y 3z 3=3 x +2y +3z 3=3³4=12.当且仅当2x =22y =23z ,即x=2y=3z ,即x=2,y=1,z=2时,等号成立.4.若a ,b ,c 为正数,且a+b+c=1,则1a +1b +1c 的最小值为( ) A.9B.8C.3D.13a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,∴1+1+1=a +b +c +a +b +c +a +b +c=3+b +c +a +c +a +b ≥3+6 b a ·c a ·a b ·c b ·a c ·bc6=3+6=9 当且仅当b a =c a =a b =c b =a c =b c, 即a =b =c =1时,等号成立 .5.用一张钢板制作一个容积为4 m 3的无盖长方体水箱,可用的长方形钢板有四种不同规格(长³宽的尺寸如各选项所示,单位:m).若既要够用,又要所剩最少,则应选择钢板的规格是( ) A.2³5 B.2³5.5 C.2³6.1 D.3³5长方体水箱长、宽、高分别为x m,y m,z m,则xyz=4.水箱的表面积S=xy+2xz+2yz=xy+2x ²4+2y ²4=xy+8+8≥3 xy ··3=12当且仅当xy =8y=8x,即x =y =2,z =1时,等号成立 .故要制作容积为4 m 3的无盖水箱,所需的钢板面积最小为12 m 2,所以选项A,B 排除,而选项C,D 均够用,但选项D 剩较多,故选项C 正确.6.若a ,b ,c 同号,则b a +c b +ac ≥k ,则k 的取值范围是 .a ,b ,c 同号,所以b a ,c b ,a c >0,于是b a +c b +ac ≥3 b a ·c b ·ac 3=3(当且仅当a=b=c 时,等号成立),因此k 的取值范围是k ≤3.≤37.若x<0,则2-x 2的最大值为 .2=- x 2-2x =- x 2+ -2x ,因为x 2+ -2x =x 2+ -1x + -1x≥3 x 2· -1 · -13=3 当且仅当x 2=-1,即x =-1时,等号成立 ,所以2-x 2≤-3,即2-x 2的最大值为-3.38.若a>b>0,则a+1(a -b )b 的最小值为 .a>b>0,所以a-b>0,于是a+1(a -b )b =(a-b )+b+1(a -b )b ≥3 (a -b )·b ·1(a -b )b3=3,当且仅当a-b=b=1(a -b )b ,即a=2,b=1时,a+1(a -b )b的最小值为3.9.已知实数a ,b ,c ∈R ,a+b+c=1,求4a +4b +4c 2的最小值,并求出取最小值时a ,b ,c 的值.-几何平均不等式,得4a +4b +4c 2≥3 4a ·4b ·4c 23=3 4a+b+c 23(当且仅当a=b=c 2时,等号成立).∵a+b+c=1, ∴a+b=1-c.则a+b+c 2=c 2-c+1= c -12 2+34,当c=12时,a+b+c 2取得最小值34. 从而当a=b=14,c=12时,4a +4b +4c 2取最小值,最小值为3 2. 10.导学号26394008已知x ,y 均为正数,且x>y ,求证2x+1x 2-2xy +y 2≥2y+3.x>0,y>0,x-y>0,所以2x+1x 2-2xy +y 2-2y=2(x-y )+1(x -y )2=(x-y )+(x-y )+1(x -y )2≥3 (x -y )·(x -y )·1(x -y )23=3,所以2x+1x 2-2xy+y 2 ≥2y+3当且仅当x -y =1(x -y )2时,等号成立.B 组1.若log x y=-2,则x+y 的最小值为( )A.3 232B.2 333C.3 32D.2 23log x y=-2得y=1x 2,因此x+y=x+1x 2=x 2+x 2+1x 2≥3 x 2·x 2·1x 23=3 232 当且仅当x2=1x 2,即x = 23时,等号成立 .2.设x>0,则f (x )=4-x-12x 2的最大值为( ) A.4- 2B.4- 2C.不存在D.5x>0,∴f (x )=4-x-12=4- x +x +12≤4-3 x 2·x 2·12x 23=4-32=52 当且仅当x2=12x 2时,等号成立 .3.已知圆柱的轴截面周长为6,体积为V ,则下列不等式正确的是( ) A.V ≥πB.V ≤πC.V ≥πD.V ≤π,设圆柱的半径为R ,高为h ,则4R+2h=6,即2R+h=3.V=S ²h=πR 2²h=π²R ²R ²h ≤π R +R +ℎ 3=π,当且仅当R=R=h=1时,等号成立.4.设三角形的三边长为3,4,5,P 是三角形内的一点,则P 到这个三角形三边距离乘积的最大值是 .P 到长度为3,4,5的三角形三边的距离分别是x ,y ,z ,三角形的面积为S ,则S=12(3x+4y+5z ). 因为32+42=52,所以这个三角形为直角三角形,其面积S=12³3³4=6,所以3x+4y+5z=2³6=12,所以12=3x+4y+5z ≥3 3x ·4y ·5z 3=3 60xyz 3,所以xyz ≤16,当且仅当3x=4y=5z ,即x=4,y=1,z=4时,等号成立.5.导学号26394009设x ,y ,z>0,且x+3y+4z=6,求x 2y 3z 的最大值.6=x+3y+4z=x2+x2+y+y+y+4z ≥6 2·2·y ·y ·y ·4z 6=6 x 2y 3z 6,所以x 2y 3z ≤1. 当且仅当x 2=y=4z ,即x=2,y=1,z=14时,等号成立,所以x 2y 3z 的最大值为1. 6.导学号26394010设a 1,a 2,…,a n 为正实数,求证a 1n +a 2n +…+a n n+1a 1a 2…a n≥2 n .a 1,a 2,…,a n 为正实数,∴a 1n +a 2n +…+a n n ≥n a 1n a 2n …a n n n=na 1a 2…a n ,当且仅当a 1=a 2=…=a n 时,等号成立. 又na 1a 2…a n +1a 1a 2…a n≥2 n ,当且仅当na 1a 2…a n =1a 1a 2…a n时,等号成立,∴a1n+a2n+…+a n n+1≥2n.a1a2…a n1.绝对值三角不等式课后篇巩固探究A组1.设ab>0,下面四个不等式:①|a+b|>|a|;②|a+b|<|b|;③|a+b|<|a-b|;④|a+b|>|a|-|b|.其中正确的是()A.①②B.①③C.①④D.②④ab>0,∴a,b同号.∴|a+b|=|a|+|b|>|a|-|b|.∴①④正确.2.函数f(x)=|3-x|+|x-7|的最小值等于()A.10B.3C.7D.4|3-x|+|x-7|≥|(3-x)+(x-7)|=4,所以函数f(x)的最小值为4.3.已知|a|≠|b|,m=|a|-|b||a-b|,n=|a|+|b||a+b|,则m,n之间的大小关系是()A.m>nB.m<nC.m=nD.m≤n,知|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.∴|a|-|b||a-b|≤1≤|a|+|b||a+b|.∴m≤n.4.若|a|<1,|b|<1,则|a+b|+|a-b|与2的大小关系是()A.|a+b|+|a-b|>2B.|a+b|+|a-b|<2C.|a+b|+|a-b|=2D.不确定(a+b)(a-b)≥0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)+(a-b)|=2|a|<2;当(a+b)(a-b)<0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)-(a-b)|=2|b|<2,综上有|a+b|+|a-b|<2.5.若关于x的不等式|x|+|x-1|<a(a∈R)的解集为⌀,则a的取值范围是()A.[-1,1]B.(-1,1)C.(-∞,1]D.(-∞,1)|x|+|x-1|≥|x-(x-1)|=1,∴若关于x的不等式|x|+|x-1|<a的解集为⌀,则a的取值范围是a≤1.6.若a,b∈R,且|a|≤3,|b|≤2,则|a+b|的最大值是,最小值是.|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|,所以1=3-2≤|a+b|≤3+2=5.17.若不等式|x-4|-|x-3|≤a对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是.f(x)=|x-4|-|x-3|,则f(x)≤a对一切x∈R恒成立的充要条件是a大于等于f(x)的最大值.∵|x-4|-|x-3|≤|(x-4)-(x-3)|=1,即f(x)max=1,∴a≥1.+∞)8.不等式|a+b||a|-|b|≥1成立的充要条件是.1⇔|a+b|-(|a|-|b|)|a|-|b|≥0⇔(|a|-|b|)[|a+b|-(|a|-|b|)]≥0(且|a|-|b|≠0).而|a+b|≥|a|-|b|,∴|a+b|-(|a|-|b|)≥0.∴|a|-|b|>0,即|a|>|b|.9.设m等于|a|,|b|和1中最大的一个,当|x|>m时,求证a+b2<2.m等于|a|,|b|和1中最大的一个,|x|>m,∴|x|>m≥|a|,|x|>m≥|b|,|x|>m≥1,∴|x|>|a|,|x|2>|b|.∴ax +bx2≤ax+bx2=|a| |x|+|b||x|2<|x||x|+|x|2|x|2=2.故原不等式成立.10.导学号26394011已知函数f(x)=log2(|x-1|+|x-5|-a).(1)当a=2时,求函数f(x)的最小值;(2)当函数f(x)的定义域为R时,求实数a的取值范围.函数的定义域满足|x-1|+|x-5|-a>0,即|x-1|+|x-5|>a.设g(x)=|x-1|+|x-5|,由|x-1|+|x-5|≥|x-1+5-x|=4,当a=2时,∵g(x)min=4,∴f(x)min =log2(4-2)=1.(2)由(1)知,g(x)=|x-1|+|x-5|的最小值为4.∵|x-1|+|x-5|-a>0,∴a<g(x)min时,f(x)的定义域为R.∴a<4,即a的取值范围是(-∞,4).B组1.对任意x,y∈R,|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为()A.1B.2C.3D.4|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|=(|1-x|+|x|)+(|1-y|+|1+y|)≥|(1-x)+x|+|(1-y)+(1+y)|=1+2=3,当且仅当(1-x)²x≥0,(1-y)²(1+y)≥0,即0≤x≤1,-1≤y≤1时等号成立,∴|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为3.2.函数f(x)=|2x+1|-|x-4|的最小值等于.y=|2x+1|-|x-4|,则y=-x-5,x≤-12,3x-3,-1<x<4, x+5,x≥4.作出函数y=|2x+1|-|x-4|的图象(如图),由函数的图象可知,当x=-12时,函数取得最小值-9.-923.已知a和b是任意非零实数,则|2a+b|+|2a-b||a|的最小值为.≥|2a+b+2a-b||a|=4.4.下列四个不等式:①logx10+lg x≥2(x>1);②|a-b|<|a|+|b|;③b+a≥2(ab≠0);④|x-1|+|x-2|≥1,其中恒成立的是.(把你认为正确的序号都填上)x>1,∴lg x>0,∴logx10+lg x=1+lg x≥2,①正确;当ab≤0时,|a-b|=|a|+|b|,②不正确;∵ab≠0,b与a同号,∴ba +ab=ba+ab≥2,③正确;由|x-1|+|x-2|的几何意义知|x-1|+|x-2|≥1恒成立,④也正确;综上,①③④正确.5.导学号26394012已知函数f(x)=x2-x+13,|x-a|<1,求证|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).|f(x)-f(a)|=|x2-x+13-(a2-a+13)|=|x2-a2-x+a|=|(x-a)(x+a-1)|=|x-a||x+a-1|<|x+a-1|=|x-a+2a-1|≤|x-a|+|2a-1|<1+|2a|+1=2(|a|+1),∴|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).6.导学号26394013已知a,b,c是实数,函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1,求证:(1)|c|≤1;(2)当-1≤x≤1时,|g(x)|≤2.∵当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1,∴|f(0)|≤1,即|c|≤1.(2)当a>0时,g(x)=ax+b在[-1,1]上是增函数,∴g(-1)≤g(x)≤g(1).∵当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1,且|c|≤1,∴g(1)=a+b=f(1)-c≤|f(1)|+|c|≤2,g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≥-(|f(-1)|+|c|)≥-2,∴|g(x)|≤2.当a<0时,g(x)=ax+b在[-1,1]上是减函数, ∴g(-1)≥g(x)≥g(1).∵当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1,且|c|≤1,∴g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≤|f(-1)|+|c|≤2. g(1)=a+b=f(1)-c≥-(|f(1)|+|c|)≥-2.∴|g(x)|≤2.当a=0时,g(x)=b,f(x)=bx+c,且-1≤x≤1, ∴|g(x)|=|f(1)-c|≤|f(1)|+|c|≤2.综上可知,|g(x)|≤2.2.绝对值不等式的解法课后篇巩固探究A组1.已知集合A={x|x2-5x+6≤0},B={x||2x-1|>3},则A∩B等于()A.{x|2≤x≤3}B.{x|2≤x<3}C.{x|2<x≤3}D.{x|-1<x<3}{x|2≤x≤3},B={x|x>2或x<-1},则A∩B={x|2<x≤3}.2.若a>2,则关于x的不等式|x-1|+a>2的解集为()A.{x|x>3-a}B.{x|x>a-1}C.⌀D.R|x-1|+a>2可化为|x-1|>2-a,因为a>2,所以2-a<0,故原不等式的解集为R.3.不等式|3x-4|>x2的解集为()A.(-4,1)B.(-1,4)C.⌀D.(-∞,-4)∪(1,+∞)|3x-4|>x2可得3x-4>x2或3x-4<-x2,解3x-4>x2得无解;解3x-4<-x2得-4<x<1,故原不等式的解集为(-4,1).<0的解集是()4.不等式|x-1|-4|x-2|A.{x|-3<x<5}B.{x|-3<x<5,且x≠2}C.{x|-3≤x≤5}D.{x|-3≤x≤5,且x≠2}分母|x-2|>0,且x≠2,所以原不等式等价于|x-1|-4<0,即|x-1|<4,所以-4<x-1<4,即-3<x<5.又x≠2,故原不等式的解集为{x|-3<x<5,且x≠2}.5.不等式|2x-log 2x|<|2x|+|log 2x|的解集为( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(1,+∞) D.(2,+∞)|a-b|≤|a|+|b|中,“=”成立的条件是ab ≤0,“<”成立的条件是ab>0,所以2x ²log 2x>0.又x>0,所以log 2x>0,解得x>1.6.不等式|2x-1|<3的解集为 .2x-1|<3⇔-3<2x-1<3⇔-1<x<2.-1,2)7.不等式|x+3|>|2-x|的解集是 .|x+3|>|2-x|得(x+3)2>(2-x )2,整理得10x>-5,即x>-12,故原不等式的解集为 x x >-1.x >-18.若关于x 的不等式|ax+2|<6的解集为(-1,2),则实数a= .0明显不符合题意.由|ax+2|<6得-8<ax<4. 当a>0时,有-8<x<4,因为不等式的解集为(-1,2),所以 -8=-1,4a =2,解得 a =8,a =2,两值相矛盾舍去.当a<0时,有4a <x<-8a ,则 4a=-1,-8a=2,解得a=-4.综上,a=-4.49.已知函数f (x )= |x +1|+|x -a |-2(a ∈R ). (1)若a=3,解不等式:f (x )≥2;(2)若f (x )的定义域为R ,求实数a 的取值范围.当a=3时,不等式f (x )≥2即为 |x +1|+|x -3|-2≥2,所以|x+1|+|x-3|-2≥4,所以|x+1|+|x-3|≥6.于是 x +1+x -3≥6,x ≥3,或-(x +1)-(x -3)≥6,x ≤-1,或(x +1)-(x -3)≥6,-1<x <3,从而x ≥4,或x ≤-2.故原不等式解集为{x|x ≥4或x ≤-2}.(2)f (x )的定义域为R ,即不等式|x+1|+|x-a|-2≥0恒成立, 所以|x+1|+|x-a|≥2恒成立.而g (x )=|x+1|+|x-a|的最小值为|a+1|, 于是|a+1|≥2,解得a ≥1,或a ≤-3.故实数a 的取值范围是(-∞,-3]∪[1,+∞). 10.已知函数f (x )=|x+a|+|2x-1|(a ∈R ). (1)当a=1时,求不等式f (x )≥2的解集;(2)若f (x )≤2x 的解集包含 12,1 ,求a 的取值范围.当a=1时,不等式f (x )≥2可化为|x+1|+|2x-1|≥2.①当x ≥12时,不等式为3x ≥2,解得x ≥23,故x ≥23; ②当-1≤x<12时,不等式为2-x ≥2,解得x ≤0,故-1≤x ≤0; ③当x<-1时,不等式为-3x ≥2,解得x ≤-2,故x<-1. 综上,原不等式的解集为 x x ≤0或x ≥2. (2)因为f (x )≤2x ,所以|x+a|+|2x-1|≤2x ,所以不等式可化为|x+a|≤1,解得-a-1≤x ≤-a+1.由已知得 -a -1≤12,-a +1≥1,解得-3≤a ≤0.故a 的取值范围是 -32,0 .B 组1.不等式 xx -1 >xx -1的解集为( ) A.[0,1) B.(0,1)C.(-∞,0)∪(1,+∞)D.(-∞,0]∪(1,+∞)xx -1 >xx -1,所以xx -1<0,解得0<x<1.2.导学号26394014关于x 的不等式|x+3|-|x-1|≤a 2-3|a|对任意实数x 恒成立,则实数a的取值范围为()A.(-∞,-4]∪[4,+∞)B.(-∞,-1]∪[4,+∞)C.[-1,4]D.(-∞,1]∪[2,+∞)|x+3|-|x-1|≤4,又|x+3|-|x-1|≤a2-3|a|对任意实数x恒成立, 所以a2-3|a|≥4,即a2-3|a|-4≥0,解得|a|≥4或|a|≤-1(舍去).故选A.3.在实数范围内,不等式||x-2|-1|≤1的解集为.-1≤|x-2|-1≤1,即0≤|x-2|≤2,解得0≤x≤4.4.若不等式|3x-b|<4的解集中的整数有且仅有1,2,3,则b的取值范围为.|3x-b|<4得-4<3x-b<4,即-4+b<x<4+b.因为不等式|3x-b|<4的解集中的整数有且仅有1,2,3,则0≤-4+b3<1,3<4+b3≤4⇒4≤b<7,5<b≤8,故5<b<7.5.导学号26394015解不等式|2x+1|+|x-2|+|x-1|>4.x≤-1时,原不等式化为-2x-1+2-x+1-x>4,解得x<-1.当-12<x≤1时,原不等式化为2x+1+2-x+1-x>4,4>4,矛盾.当1<x≤2时,原不等式化为2x+1+2-x+x-1>4,解得x>1.由1<x≤2,则1<x≤2.当x>2时,原不等式化为2x+1+x-2+x-1>4,解得x>32.由x>2,则x>2.综上所述,原不等式的解集为 x x<-12或x>1.6.导学号26394016已知函数f(x)=|x-a|,其中a>1.(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4-|x-4|的解集;(2)已知关于x的不等式|f(2x+a)-2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2},求a的值.当a=2时,f(x)+|x-4|=-2x+6,x≤2, 2,2<x<4, 2x-6,x≥4.当x≤2时,由f(x)≥4-|x-4|得-2x+6≥4,解得x≤1;当2<x<4时,f(x)≥4-|x-4|无解;当x≥4时,由f(x)≥4-|x-4|得2x-6≥4,解得x≥5.所以f(x)≥4-|x-4|的解集为{x|x≤1或x≥5}.(2)记h(x)=f(2x+a)-2f(x),则h(x)=-2a,x≤0,4x-2a,0<x<a,2a,x≥a.由|h(x)|≤2,解得a-1≤x≤a+1.因为|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2},所以a-12=1,a+12=2,于是a=3.第一讲不等式和绝对值不等式测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.若1<1<0,给出下列不等式:①a+b<ab ;②|a|>|b|;③a2.其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个b<a<0,所以a+b<ab ,|a|<|b|,ba >0,从而ba +ab >2,因此①④正确.2.设集合A={x||x-a|<1,x ∈R },B={x||x-b|>2,x ∈R }.若A ⊆B ,则实数a ,b 必满足( ) A.|a+b|≤3 B.|a+b|≥3 C.|a-b|≤3 D.|a-b|≥3A={x|a-1<x<a+1},集合B={x|x<b-2或x>b+2},又A ⊆B ,所以有a+1≤b-2或b+2≤a-1,即a-b ≤-3或a-b ≥3,因此选D .3.对于x ∈R ,不等式|x+10|-|x-2|≥8的解集为( ) A.[0,+∞) B.(0,2) C.[0,2) D.(0,+∞),|BC|=2-(-10)=12,|AB|=10,|AC|=2,当点P 在点A 右侧时|PB|-|PC|>8,故x ≥0.4.下列函数中,最小值为2的是( ) A.y=x+1x B.y=x 2-2x+4 C.y=x 2+1x 2 D.y= x 2+2+2y=x 2+12中,x 2>0,所以y=x 2+12≥2 x 2·12=2,当且仅当x=±1时,函数的最小值为2.5.若不等式|ax+2|<4的解集为(-1,3),则实数a 等于 ( )A.8B.2C.-4D.-2-4<ax+2<4,则-6<ax<2,所以(ax-2)(ax+6)<0,其解集为(-1,3),故a=-2.6.“a=2”是“关于x 的不等式|x+1|+|x+2|<a 的解集非空”的( ) A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件|x+1|+|x+2|≥|x+1-(x+2)|=1,所以由不等式|x+1|+|x+2|<a 的解集非空得a>1,故必要性不成立.又当a=2时,不等式|x+1|+|x+2|<a 有解,所以充分性成立,所以“a=2”是“关于x 的不等式|x+1|+|x+2|<a 的解集非空”的充分不必要条件,故选C .7.已知f (x )=2x+3(x ∈R ),若|f (x )-1|<a 的必要条件是|x+1|0),则a ,b 之间的关系是( ) A.b ≥aB.b<aC.a ≤bD.a>b|f (x )-1|<a 可得-a -22<x<a -22, 由|x+1|<b 可得-b-1<x<b-1,由题意可得 -b -1≤-a -22,b -1≥a -22,解得b ≥a 2.8.若x ∈(0,π),则y=sin x cos 2x的最大值等于( ) A.4B.2 3C.23D.492=sin 2xcos 4x=1²2sin 2x ²cos 2x ²cos 2x ≤1 2sin 2x 2+cos 2x2+cos 2x 2 3=4 当且仅当sin 2x 2=cos 2x 2时,等号成立 ,所以y ≤2 39,故所求最大值为2 39.9.若|x-1|<3,|y+2|<1,则|2x+3y|的取值范围是( ) A.[0,5) B.[0,13) C.[0,9) D.[0,4)2x+3y|=|2(x-1)+3(y+2)-4|≤2|x-1|+3|y+2|+|-4|<6+3+4=13.10.若不等式x 2<|x-1|+a 的解集是区间(-3,3)的子集,则实数a 的取值范围是( ) A.(-∞,7) B.(-∞,7] C.(-∞,5) D.(-∞,5]x 2<|x-1|+a 等价于x 2-|x-1|-a<0,设f (x )=x 2-|x-1|-a ,若不等式x 2<|x-1|+a 的解集是区间(-3,3)的子集,则 f (-3)=5-a ≥0,f (3)=7-a ≥0,解得a ≤5,故选D .11.(2017陕西宝鸡一模)在正项等比数列{a n }中,a 2 016=a 2 015+2a 2 014,若a m a n =16a 12,则4+1的最小值等于( ) A.1B.32C.53D.136{a n }的公比为q (q>0),由a 2 016=a 2 015+2a 2 014,得q 2=q+2, 解得q=2或q=-1(舍去).又因为a m a n =16a 12,即a 12²2m+n-2=16a 12,所以m+n=6. 因此4+1=1(m+n ) 4+1=16 5+4n m +m n ≥16 5+2 4n m ·m n =32, 当且仅当m=4,n=2时,等号成立.故选B .12.设0<x<1,a ,b 都为大于零的常数,若a 2x+b21-x≥m 恒成立,则m 的最大值是( )A.(a-b )2B.(a+b )2C.a 2b 2D.a 2+b 21-x=a 2x +b21-x[x+(1-x )]=a 2+b2+a 2(1-x )+b 2x 1-x≥a 2+b 2+2ab =(a+b )2,当且仅当x1-x =ab 时,等号成立.由a 2x+b21-x≥m 恒成立,可知m ≤(a+b )2.故m 的最大值是(a+b )2.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.若x>-2,且x ≠0,则1x 的取值范围是 .x>-2,且x ≠0,所以当x>0时,有1x >0;当-2<x<0时,有1x <-12,综上,1x 的取值范围是-∞,-1∪(0,+∞).-∞,-12 ∪(0,+∞)14.(2017山东淄博模拟)已知f (x )=lg x2-x ,若f (a )+f (b )=0,则4+1的最小值是 .(x )=lg x2-x ,f (a )+f (b )=0,∴lg a 2-a +lg b2-b=0,∴ab (2-a )(2-b )=1, 整理,得a+b=2(a ,b ∈(0,2)), 则4a +1b =12(a+b ) 4a +1b=12 5+4b a +ab ≥1 5+2 4b ×a =9. 当且仅当a=2b=4时,等号成立.15.若关于x 的不等式|x+1|+|x-3|≥a+4对任意的实数x 恒成立,则实数a 的取值范围是 .a+4a ≤4,所以(a -2)2a ≤0,解得a 的取值范围为(-∞,0)∪{2}.-∞,0)∪{2}16.“蛟龙号”载人深潜器是我国首台自主设计、自主集成研制的作业型深海载人潜水器,“蛟龙号”如果按照预计下潜的深度s (单位:米)与时间t (单位:分)之间的关系满足关系式为s=0.2t 2-14t+2 000,则平均速度的最小值是米/分.v (t )=s=0.2t 2-14t +2000=0.2t+2000-14≥2 0.2t ·2000-14=2³20-14=26,当且仅当0.2t=2000t,即t=100时,取得最小值.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)设不等式|x-2|<a (a ∈N +)的解集为A ,且32∈A ,12∉A. (1)求a 的值;(2)求函数f (x )=|x+a|+|x-2|的最小值.因为3∈A ,且1∉A ,所以 32-2 <a ,且 12-2 ≥a ,解得12<a ≤32.又因为a ∈N +,所以a=1.(2)因为|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3, 当且仅当(x+1)(x-2)≤0, 即-1≤x ≤2时取到等号. 所以f (x )的最小值为3.18.(本小题满分12分)已知函数f (x )=m-|x-2|,m ∈R +,且f (x+2)≥0的解集为[-1,1]. (1)求m 的值;(2)若a ,b ,c ∈R +,且1+1+1=m ,求证a+2b+3c ≥9.f (x+2)=m-|x|,所以f (x+2)≥0等价于|x|≤m.由|x|≤m 有解,得m ≥0,且其解集为{x|-m ≤x ≤m }, 又f (x+2)≥0的解集为[-1,1],所以m=1.(1)知1a +12b +13c =1,又a ,b ,c ∈R +,所以a+2b+3c=(a+2b+3c ) 1+1+1=3+a 2b +3c 2b +2b a +3c a +a 3c +2b3c =3+ a +2b + 3c +2b + 3c +a ≥3+2 a 2b ·2b a +2 3c 2b ·2b 3c +2 3c a ·a3c=3+6=9(当且仅当a=2b=3c 时,等号成立).故a+2b+3c ≥9.。

(新课标)高考数学总复习不等式选讲教案理新人教A版选修4-5

【创新方案】（新课标）2017届高考数学总复习不等式选讲教案理新人教A版选修4-5第一节绝对值不等式考纲要求：1.理解绝对值不等式的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|；(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.1．绝对值不等式的解法(1)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c.②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(2)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．2．绝对值三角不等式(1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b －c)≥0时，等号成立．[自我查验]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若|x|＞c的解集为R，则c≤0.()(2)不等式|x－1|＋|x＋2|<2的解集为∅.( )(3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a＞b＞0时等号成立．( )(4)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立．( )(5)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立．( )答案：(1)×(2)√(3)×(4)×(5)√2．若关于x的不等式|x－a|<1的解集为(1,3)，则实数a的值为________．解析：由|x－a|＜1，则－1＜x－a＜1，∴a －1<x ＜a ＋1，∴a ＝2. 答案：23．设不等式|x ＋1|－|x －2|>k 的解集为R ，则实数k 的取值范围为____________．解析：∵||x ＋1|－|x －2||≤3， ∴－3≤|x ＋1|－|x －2|≤3， ∴k ＜(|x ＋1|－|x －2|)的最小值，即k ＜－3. 答案：(－∞，－3)4．f (x )＝|2－x |＋|x －1|的最小值为________．解析：∵|2－x |＋|x －1|≥|2－x ＋x －1|＝1, ∴f (x )min ＝1. 答案：15．若|x －1|≤1，|y －2|≤1，则|x －2y ＋1|的最大值为________．解析：|x －2y ＋1|＝|(x －1)－2(y －2)－2|≤|x －1|＋2|y －2|＋2＝5. 答案：5[典题1] (2015·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围． [听前试做] (1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0.当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解；当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得23<x <1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2. (2)由题设可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝⎛⎭⎪⎫2a －13，0，B (2a ＋1,0)，C (a ，a ＋1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2.由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2.所以a 的取值范围为(2，＋∞)．含绝对值不等式的常用解法(1)基本性质法：对a ∈(0，＋∞)，|x |<a ⇔－a <x <a ，|x |>a ⇔x <－a 或x >a . (2)平方法：两边平方去掉绝对值符号．(3)零点分区间法(或叫定义法)：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．(4)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解．(5)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解．(2016贵阳模拟)已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|. (1)求不等式f (x )≤6的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )<|a －1|的解集非空，求实数a 的取值范围．解：(1)不等式f (x )≤6，即|2x ＋1|＋|2x －3|≤6， ∴①⎩⎪⎨⎪⎧x <－12，－2x －1＋3－2x ≤6，或②⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤32，2x ＋1＋3－2x ≤6，或③⎩⎪⎨⎪⎧x >32，2x ＋1＋2x －3≤6，解①得－1≤x ＜－12，解②得－12≤x ≤32，解③得32<x ≤2，即不等式的解集为[－1,2]．(2)∵f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|≥|(2x ＋1)－(2x －3)|＝4，即f (x )的最小值等于4，∴|a －1|>4，解此不等式得a <－3或a >5. 故实数a 的取值范围为(－∞，－3)∪(5，＋∞)．[典题2] 设不等式－2＜|x －1|－|x ＋2|＜0的解集为M ，a ，b ∈M .(1)证明：⎪⎪⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ＜14；(2)比较|1－4ab |与2|a －b |的大小，并说明理由． [听前试做] (1)证明：记f (x )＝|x －1|－|x ＋2| ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，x ≤－2，－2x －1，－2＜x ＜1，－3，x ≥1.由－2＜－2x －1＜0，解得－12＜x ＜12，则M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12.所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ≤13|a |＋16|b |＜13×12＋16×12＝14.(2)由(1)得a 2＜14，b 2＜14.因为|1－4ab |2－4|a －b |2＝(1－8ab ＋16a 2b 2)－4(a 2－2ab ＋b 2) ＝(4a 2－1)(4b 2－1)＞0，所以|1－4ab |2＞4|a －b |2，故|1－4ab |＞2|a －b |.证明绝对值不等式的三种方法(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明． (2)利用三角不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |进行证明． (3)转化为函数问题，利用数形结合进行证明．已知x ，y ∈R ，且|x ＋y |≤16，|x －y |≤14，求证：|x ＋5y |≤1.证明：∵|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|. ∴由绝对值不等式的性质，得|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|≤|3(x ＋y )|＋|2(x －y )| ＝3|x ＋y |＋2|x －y |≤3×16＋2×14＝1.即|x ＋5y |≤1.[典题3] 设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x－a |(a >0)．(1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)<5，求a 的取值范围．[听前试做] (1)证明：由a >0，有f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a－x －a ＝1a ＋a ≥2.当且仅当“a ＝1”时等号成立．所以f (x )≥2.(2)f (3)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋1a ＋|3－a |.当a >3时，f (3)＝a ＋1a，由f (3)<5得3<a <5＋212.当0＜a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a，由f (3)<5得1＋52<a ≤3.综上，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋212.解决含参数的绝对值不等式问题，常将参数分类讨论，将原问题转化为分段函数问题进行解决．已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3. (1)当a ＝－2时，求不等式f (x )<g (x )的解集；(2)设a >－1，且当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f (x )≤g (x )，求 a 的取值范围．解：(1)当a ＝－2时，不等式f (x )<g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3<0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x ，x <12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x >1.其图象如图所示．从图象可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y <0.所以原不等式的解集是(0,2)．(2)当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f (x )＝1＋a . 不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3.所以x ≥a －2对x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12都成立．故－a 2≥a －2，即a ≤43.从而a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，43.—————————————[课堂归纳——感悟提升]——————————————[方法技巧]1．|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c (c >0)型不等式的解法(1)若c ＞0，则|ax ＋b |≤c 等价于－c ≤ax ＋b ≤c ，|ax ＋b |≥c 等价于ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c ，然后根据a ，b 的值解出即可．(2)若c ＜0，则|ax ＋b |≤c 的解集为∅，|ax ＋b |≥c 的解集为R .2．|x －a |＋|x －b |≥c (或≤c )(c ＞0)，|x －a |－|x －b |≤c (或≥c )(c ＞0)型不等式的解法(1)可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解．零点分区间法的一般步骤： ①令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根； ②将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间；③由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集； ④取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集． (2)利用绝对值的几何意义由于|x －a |＋|x －b |与|x －a |－|x －b |分别表示数轴上与x 对应的点到a ，b 对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|x －a |＋|x －b |≤c (c ＞0)或|x －a |－|x －b |≥c (c ＞0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观．3．|f (x )|＞g (x )，|f (x )|＜g (x )(g (x )＞0)型不等式的解法 (1)|f (x )|＞g (x )⇔f (x )＞g (x )或f (x )＜－g (x )． (2)|f (x )|＜g (x )⇔－g (x )＜f (x )＜g (x )．[易错防范]在分类讨论含多个绝对值的不等式时，分类应做到不重不漏；在某个区间上解出不等式后，不要忘了与前提条件求交集．1．(2016·沈阳模拟)设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|. (1)解不等式f (x )>0；(2)若f (x )＋3|x －4|>m 对一切实数x 均成立，求实数m 的取值范围．解：(1)当x ≥4时，f (x )＝2x ＋1－(x －4)＝x ＋5>0，得x >－5，所以x ≥4. 当－12≤x ＜4时，f (x )＝2x ＋1＋x －4＝3x －3>0，得x >1，所以1<x <4.当x <－12时，f (x )＝－x －5>0，得x <－5，所以x <－5.综上，原不等式的解集为(－∞，－5)∪(1，＋∞)．(2)f (x )＋3|x －4|＝|2x ＋1|＋2|x －4|≥|2x ＋1－(2x －8)|＝9，当－12≤x ≤4时等号成立，所以m <9，即m 的取值范围为(－∞，9)． 2．(2016·南宁模拟)已知函数f (x )＝|x －a |. (1)若f (x )≤m 的解集为[－1,5]，求实数a ，m 的值；(2)当a ＝2且0≤t ≤2时，解关于x 的不等式f (x )＋t ≥f (x ＋2)．解：(1)∵|x －a |≤m ，∴－m ＋a ≤x ≤m ＋a . ∵－m ＋a ＝－1，m ＋a ＝5， ∴a ＝2，m ＝3.(2)f (x )＋t ≥f (x ＋2)可化为|x －2|＋t ≥|x |.当x ∈(－∞，0)时，2－x ＋t ≥－x,2＋t ≥0，∵0≤t ≤2，∴x ∈(－∞，0)；当x ∈[0,2)时，2－x ＋t ≥x ，x ≤1＋t 2，0≤x ≤1＋t2，∵1≤1＋t 2≤2，∴0≤t ＜2时，0≤x ≤1＋t2，t ＝2时，0≤x ＜2；当x ∈[2，＋∞)时，x －2＋t ≥x ，t ≥2，当0≤t ＜2时，无解，当t ＝2时，x ∈[2，＋∞)，∴当0≤t ＜2时原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，t2＋1；当t ＝2时x ∈R .3．(2016·辽宁联考)已知函数f (x )＝log 2(|x ＋1|＋|x －2|－m )． (1)当m ＝7时，求函数f (x )的定义域；(2)若关于x 的不等式f (x )≥2的解集是R ，求m 的取值范围．解：(1)由题设知：|x ＋1|＋|x －2|>7，不等式的解集是以下不等式组解集的并集；⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ＋1＋x －2>7或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＜2，x ＋1－x ＋2＞7或⎩⎪⎨⎪⎧x <－1，－x －1－x ＋2>7，解得函数f (x )的定义域为(－∞，－3)∪(4，＋∞)． (2)不等式f (x )≥2，即|x ＋1|＋|x －2|≥m ＋4，∵x ∈R 时，恒有|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，不等式|x ＋1|＋|x －2|≥m ＋4的解集是R ， ∴m ＋4≤3，m 的取值范围是(－∞，－1]．4．(2016·九江模拟)已知函数f (x )＝|x －3|－|x －a |. (1)当a ＝2时，解不等式f (x )≤－12；(2)若存在实数a ，使得不等式f (x )≥a 成立，求实数a 的取值范围．解：(1)∵a ＝2，∴f (x )＝|x －3|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤2，5－2x ，2<x <3，－1，x ≥3，∴f (x )≤－12等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，1≤－12或⎩⎪⎨⎪⎧2<x <3，5－2x ≤－12或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3，－1≤－12，解得114≤x ＜3或x ≥3，∴不等式的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫114，＋∞.(2)由不等式性质可知f (x )＝|x －3|－|x －a |≤|(x －3)－(x －a )|＝|a －3|， ∴若存在实数x ，使得不等式f (x )≥a 成立，则|a －3|≥a ，解得a ≤32，∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，32. 5．(2016·兰州模拟)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a .(1)若不等式f (x )≤6的解集为[－2,3]，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若存在实数n 使f (n )≤m －f (－n )成立，求实数m 的取值范围．解：(1)由|2x －a |＋a ≤6得|2x －a |≤6－a ， ∴a －6≤2x －a ≤6－a ，即a －3≤x ≤3， ∴a －3＝－2，∴a ＝1.(2)由(1)知f (x )＝|2x －1|＋1，令φ(n )＝f (n )＋f (－n )，则φ(n )＝|2n －1|＋|2n ＋1|＋2＝⎩⎪⎨⎪⎧2－4n ，n ≤－12，4，－12＜n ≤12，2＋4n ，n >12，∴φ(n )的最小值为4，故实数m 的取值范围是[4，＋∞)．6．(2016·郑州模拟)已知函数f (x )＝|3x ＋2|. (1)解不等式f (x )<4－|x －1|；(2)已知m ＋n ＝1(m ，n >0)，若|x －a |－f (x )≤1m ＋1n(a >0)恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)不等式f (x )<4－|x －1|，即|3x ＋2|＋|x －1|<4. 当x <－23时，即－3x －2－x ＋1<4，解得－54<x <－23；当－23≤x ≤1时，即3x ＋2－x ＋1<4，解得－23≤x ＜12；当x >1时，即3x ＋2＋x －1<4，无解．综上所述，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，12.(2)1m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n (m ＋n )＝1＋1＋n m ＋mn≥4，令g (x )＝|x －a |－f (x )＝|x －a |－|3x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2＋a ，x <－23，－4x －2＋a ，－23≤x ≤a ，－2x －2－a ，x >a ，∴x ＝－23时，g (x )max ＝23＋a ，要使不等式恒成立，只需g (x )max ＝23＋a ≤4，即0<a ≤103.故实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤0，103.第二节不等式证明的基本方法考纲要求：1.了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明． (1)柯西不等式的向量形式：|α|·|β|≥|α·β|. (2)(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2. (3)x 1－x 22＋y 1－y 22＋x 2－x 32＋y 2－y 32≥x 1－x 32＋y 1－y 32(通常称为平面三角不等式)．2．会用向量递归方法讨论排序不等式．3．了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题． 4．会用数学归纳法证明贝努利不等式：(1＋x )n>1＋nx (x >－1，x ≠0，n 为大于1的正整数)，了解当n 为大于1的实数时贝努利不等式也成立．5．会用上述不等式证明一些简单问题．能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值．6．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法．1．比较法作差比较法与作商比较法的基本原理： (1)作差法：a －b >0⇔a >b . (2)作商法：ab>1⇔a >b (a >0，b >0)． 2．综合法与分析法(1)综合法：证明不等式时，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过推理论证而得出命题成立，综合法又叫顺推证法或由因导果法．(2)分析法：证明命题时，从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立．这是一种执果索因的思考和证明方法．3．反证法先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法．4．放缩法证明不等式时，通过把所证不等式的一边适当地放大或缩小，以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得出原不等式成立，这种方法称为放缩法．5．数学归纳法数学归纳法证明不等式的一般步骤：(1)证明当n＝n0时命题成立；(2)假设当n＝k(k∈N*，且k≥n0)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立．综合(1)(2)可知，结论对于任意n≥n0，且n0，n∈N*都成立．6．柯西不等式设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，等号当且仅当ad＝bc时成立．[自我查验]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)用反证法证明命题“a，b，c全为0”时假设为“a，b，c全不为0”．( )(2)若实数x、y适合不等式xy>1，x＋y>－2，则x>0，y>0.( )答案：(1)×(2)√2．若m＝a＋2b，n＝a＋b2＋1，则m与n的大小关系为________．解析：∵n－m＝a＋b2＋1－a－2b＝b2－2b＋1＝(b－1)2≥0，∴n≥m.答案：n≥m[典题1] (2015·新课标全国卷Ⅱ)设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d.证明：(1)若ab>cd，则a＋b>c＋d；(2)a＋b>c＋d是|a－b|<|c－d|的充要条件．[听前试做] (1)因为(a＋b)2＝a＋b＋2ab，(c＋d)2＝c＋d＋2cd，由题设a＋b＝c＋d，ab>cd，得(a＋b)2>(c＋d)2.因此a＋b>c＋d.(2)①必要性：若|a－b|<|c－d|，则(a－b)2<(c－d)2，即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.由(1)，得a＋b>c＋d.②充分性：若a ＋b >c ＋d ，则(a ＋b )2>(c ＋d )2，即a ＋b ＋2ab >c ＋d ＋2cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2. 因此|a －b |<|c －d |.综上，a ＋b >c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件．作差比较法证明不等式的步骤(1)作差；(2)变形；(3)判断差的符号；(4)下结论．其中“变形”是关键，通常将差变形成因式连乘积的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断出差的正负．设a ，b 是非负实数，求证：a 3＋b 3≥ab (a 2＋b 2)．证明：由a ，b 是非负实数，作差得a 3＋b 3－ab (a 2＋b 2)＝a2a (a －b )＋b 2b (b －a )＝(a －b )((a )5－(b )5)．当a ≥b 时，a ≥ b ，从而(a )5≥(b )5，得(a －b )((a )5－(b )5)≥0；当a 0. 所以a 3＋b 3≥ab (a 2＋b 2)．[典题2] 若a >0，b >0，且1a ＋1b＝ab .(1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由． [听前试做] (1)由ab ＝1a ＋1b≥2ab，得ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立．故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立．所以a 3＋b 3的最小值为4 2.(2)由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3.由于43>6，从而不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6.综合法证明不等式的技巧综合法证明不等式，主要从目标式的结构特征探索思路．如果这种特征不足以明确解题方法时，就应从目标式开始，通过“倒推”探索解题思路．已知a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c≥9.解：1a ＋1b ＋1c＝(a ＋b ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c ≥3·3abc ·3·31abc ＝9当且仅当a ＝b ＝c ＝13时等号成立．[典题3] (2015·陕西高考)已知关于x 的不等式|x ＋a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4}． (1)求实数a ，b 的值；(2)求at ＋12＋bt 的最大值．[听前试做] (1)由|x ＋a |＜b ，得－b －a ＜x ＜b －a ，则⎩⎪⎨⎪⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝1.(2)－3t ＋12＋t ＝3·4－t ＋t ≤ [32＋12][4－t2＋t2]＝24－t ＋t ＝4，当且仅当4－t 3＝t1，即t ＝1时等号成立，故(－3t ＋12＋t )max ＝4.柯西不等式的常见类型及解题策略(1)求表达式的最值．依据已知条件，利用柯西不等式求最值，注意等号成立的条件； (2)求解析式的值．利用柯西不等式的条件，注意等号成立的条件，进而求得各个量的值，从而求出解析式的值；(3)证明不等式．注意所证不等式的结构特征，寻找柯西不等式的条件，然后证明．已知定义在R 上的函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为a .(1)求a 的值；(2)若p ，q ，r 是正实数，且满足p ＋q ＋r ＝a ，求证：p 2＋q 2＋r 2≥3. 解：(1)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当－1≤x ≤2时，等号成立，所以f (x )的最小值等于3，即a ＝3. (2)证明：由(1)知p ＋q ＋r ＝3，又因为p ，q ，r 是正实数，所以(p 2＋q 2＋r 2)(12＋12＋12)≥(p ×1＋q ×1＋r ×1)2＝(p ＋q ＋r )2＝9，即p 2＋q 2＋r 2≥3.—————————————[课堂归纳——感悟提升]——————————————[方法技巧]证明不等式的方法和技巧(1)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”等方式给出或是否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法；如果待证不等式与自然数有关，则考虑用数学归纳法等．(2)在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．尤其是对含绝对值不等式的解法或证明，其简化的基本思路是化去绝对值号，转化为常见的不等式(组)求解．多以绝对值的几何意义或“找零点、分区间、逐个解、并起来”为简化策略，而绝对值三角不等式，往往作为不等式放缩的依据．[易错防范]比较法证明不等式最常用的是差值比较法，其基本步骤是：作差—变形—判断差的符号—下结论．其中“变形”是证明的关键，一般通过因式分解或配方将差式变形为几个因式的积或配成几个代数式平方和的形式，当差式是二次三项式时，有时也可用判别式来判断差值的符号．个别题目也可用柯西不等式来证明．1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边的长分别为a ，b ，c ，证明： (1)1a 3＋1b 3＋1c3＋abc ≥23；(2)πA ＋πB ＋πC≥9.证明：(1)因为a ，b ，c 为正实数，由基本(均值)不等式可得1a 3＋1b 3＋1c 3≥331a3·1b 3·1c3，即1a 3＋1b 3＋1c 3≥3abc，所以1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥3abc＋abc ，而3abc ＋abc ≥23abc·abc ＝23，所以1a3＋1b 3＋1c3＋abc ≥2 3.当且仅当a ＝b ＝c ＝63时取等号． (2)1A ＋1B ＋1C ≥331ABC＝33ABC≥3A ＋B ＋C 3＝9π，所以πA ＋πB ＋πC≥9，当且仅当A ＝B ＝C ＝π3时取等号．2．(2016·云南模拟)已知a 是常数，对任意实数x ，不等式|x ＋1|－|2－x |≤a ≤|x ＋1|＋|2－x |都成立．(1)求a 的值；(2)设m >n >0，求证：2m ＋1m 2－2mn ＋n 2≥2n ＋a .解：(1)设f (x )＝|x ＋1|－|2－x |，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－1，2x －1，－1<x <2，3，x ≥2，∴f (x )的最大值为3.∵对任意实数x ，|x ＋1|－|2－x |≤a 都成立，即f (x )≤a ，∴a ≥3. 设h (x )＝|x ＋1|＋|2－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，x ≤－1，3，－1<x <2，2x －1，x ≥2，则h (x )的最小值为3.∵对任意实数x ，|x ＋1|＋|2－x |≥a 都成立，即h (x )≥a ，∴a ≤3.∴a ＝3. (2)由(1)知a ＝3. ∵2m ＋1m 2－2mn ＋n 2－2n ＝(m －n )＋(m －n )＋1m －n2，且m >n >0，∴(m －n )＋(m －n )＋1m －n2≥33m －n m －n1m －n2＝3，∴2m ＋1m 2－2mn ＋n 2≥2n ＋a .3．设函数f (x )＝|x －4|＋|x －3|，f (x )的最小值为m . (1)求m 的值；(2)当a ＋2b ＋3c ＝m (a ，b ，c ∈R )时，求a 2＋b 2＋c 2的最小值．解：(1)法一：f (x )＝|x －4|＋|x －3|≥|(x －4)－(x －3)|＝1，故函数f (x )的最小值为1，即m ＝1.法二：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －7，x ≥4，1，3≤x ＜4，7－2x ，x <3.当x ≥4时，f (x )≥1；当x <3时，f (x )>1；当3≤x ＜4时，f (x )＝1，故函数f (x )的最小值为1，即m ＝1.(2)(a 2＋b 2＋c 2)(12＋22＋32)≥(a ＋2b ＋3c )2＝1，故a 2＋b 2＋c 2≥114，当且仅当a ＝114，b ＝17，c ＝314时取等号．故a 2＋b 2＋c 2的最小值为114.4．设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1.证明： (1) ab ＋bc ＋ac ≤13；(2) a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.证明：(1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1.所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13.(2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )，即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c .所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1. 5．(2016·长春质检)(1)已知a ，b 都是正数，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2；(2)已知a ，b ，c 都是正数，求证：a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2a ＋b ＋c≥abc .证明：(1)(a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2)＝(a ＋b )(a －b )2. 因为a ，b 都是正数，所以a ＋b >0. 又因为a ≠b ，所以(a －b )2>0.于是(a ＋b )(a －b )2>0，即(a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2)>0，所以a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2.(2)因为b 2＋c 2≥2bc ，a 2>0，所以a 2(b 2＋c 2)≥2a 2bc .① 同理，b 2(a 2＋c 2)≥2ab 2c .②c 2(a 2＋b 2)≥2abc 2.③①②③相加得2(a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2)≥2a 2bc ＋2ab 2c ＋2abc 2，从而a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2≥abc (a＋b ＋c )．由a ，b ，c 都是正数，得a ＋b ＋c >0，因此a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2a ＋b ＋c≥abc .6．设a ，b ，c 为正数且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c 2≥1003.证明：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2＋c ＋1c2＝13(12＋12＋12)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c 2≥131×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋1×b ＋1b ＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c 2＝131＋1a ＋1b ＋1c 2＝131＋(a ＋b ＋c )1a ＋1b ＋1c 2≥13×(1＋9)2＝1003. 即原不等式成立．。

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数学选修4-5《不等式选讲》综合测试题B （含答案）一、选择题1．设,a b c n N >>∈，且ca nc b b a -≥-+-11恒成立，则n 的最大值是 A ．2 B ．3 C ．4 D ．62．若(,1)x ∈-∞，则函数22222x x y x -+=-有A ．最小值1B ．最大值1C ．最大值1-D ．最小值1- 3．设2P =，73Q =-，62R =-，则,,P Q R 的大小顺序是A ．P Q R >>B ．P R Q >>C ．Q P R >>D ．Q R P >> 4．设不等的两个正数,a b 满足3322a b a b -=-，则a b +的取值范围是 A ．(1,)+∞ B ．4(1,)3 C ．4[1,]3D ．(0,1)5．设,,a b c R +∈，且1a b c ++=，若111(1)(1)(1)M a b c=---，则必有 A ．108M ≤ B ．M N < C ．M N ≥ D ．M N ≤二、填空题1．设0x >，则函数133y x x=--的最大值是__________. 2．比较大小：36log 4______log 73．若实数,,x y z 满足23()x y z a a ++=为常数，则222x y z ++的最小值为__________. 4．若,,,a b c d 是正数，且满足4a b c d +++=，用M 表示,,,a b c a b d a c d b c d ++++++++中的最大者，则M 的最小值为__________.5．若1,1,1,10x y z xyz ≥≥≥=，且lg lg lg 10xy z x y z ⋅⋅≥，则_____x y z ++=。

人教A版高中数学选修45同步不等式和绝对值不等式

式两端同乘以一个正数,不等号的方向不改变.
人教A 版高中数学选修4 5 同步不等式和绝对值不等式
人教A 版高中数学选修4 5 同步不等式和绝对值不等式
3.若a,b是任意实数,且a>b,则 ( )
A.a2>b2 C.lg(a-b)>0
B. a >1
b
D. (1)a< (1)b
22
人教A 版高中数学选修4 5 同步不等式和绝对值不等式
【解析】(a3+b3)-(a2b+ab2)=a3+b3-a2b-ab2 =a2(a-b)-b2(a-b)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b). 因为a>0,b>0,且a≠b,所以(a-b)2>0,a+b>0. 所以(a3+b3)-(a2b+ab2)>0,即a3+b3>a2b+ab2.
人教A 版高中数学选修4 5 同步不等式和绝对值不等式
人教A 版高中数学选修4 5 同步不等式和绝对值不等式
2.已知实数a,b,c满足c<b<a且ac<0,那么下列选项中一
定成立的是 ( )
A.ab>ac
B.c(b-a)<0
C.ab2>cb2
D.a(a-c)<0
【解析】选A.由题意,知a>0,c<0,b的符号不确定.不等
人教A 版高中数学选修4 5 同步不等式和绝对值不等式
人教A 版高中数学选修4 5 同步不等式和绝对值不等式
提示:(1)√.不等式a≤b表示a<b或a=b.所以若a<b或 a=b中有一个正确,则a≤b一定正确. (2)×.同乘以一个负数或0时不等号改变. (3)×.取a=4,c=5,b=6,d=2,满足a+c>b+d,但不满足 a>b,所以此说法错误.

高中数学选修4-5不等式选讲导学案及课后作业加答案

第一节不等式和绝对值不等式第一课时不等式基本性质一、知识要点1．实数大小的比较（1）数轴上的点与实数一一对应，可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的．在数轴上，右边的数总比左边的数．（2）如果a －b ＞0，则；如果a －b ＝0，则；如果a －b ＜0，则 . （3）比较两个实数a 与b 的大小，归结为判断它们的；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的 2．不等式的基本性质由两数大小关系的基本事实，可以得到不等式的一些基本性质：（1）如果a ＞b ，那么b ＜a ；如果b ＜a ，那么a ＞b .即 . （2）如果a ＞b ，b ＞c ，那么 .即a ＞b ，b ＞c ⇒ . （3）如果a ＞b ，那么a ＋c > .（4）如果a ＞b ，c >0，那么ac bc ；如果a >b ，c <0，那么ac bc . （5）如果a ＞b ，d c >，那么d b c a +>+ （6）如果0,0>>>>d c b a ，那么bd ac > （7）如果a >b >0，那么a n b n (n ∈N ，n ≥2)．（8）如果a >b >0n ∈N ，n ≥2)．3．对上述不等式的理解使用不等式的性质时，一定要清楚它们成立的前提条件，不可强化或弱化它们成立的条件，盲目套用，例如：（1）等式两边同乘以一个数仍为等式，但不等式两边同乘以同一个数c (或代数式)结果有三种：①c ＞0时得不等式；②c ＝0时得；③c <0时得不等式．（2）a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c >b ＋d ，即两个同向不等式可以相加，但不可以；而a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ，即已知的两个不等式同向且两边为时，可以相乘，但不可以．（3）性质(5)、(6)成立的条件是已知不等式两边均为，并且n ∈N ，n ≥2，否则结论不成立．而当n 取正奇数时可放宽条件，a >b ⇒a n >b n (n ＝2k ＋1，k ∈N)，a >b ⇒n a >nb (n ＝2k ＋1，k ∈N ＋)．二、考点例题考点一实数大小的比较[例1] 已知x ，y 均为正数，设m ＝1x ＋1y ，n ＝4x ＋y，试比较m 和n 的大小．方法规律小结比较两个数(式子)的大不，一般用作差法，其步骤是：作差—变形—判断差的符号—结论，其中“变形”是关键，常用的方法是分解因式、配方等跟踪训练 1．已知a ，b ∈R ，比较44b a +与33ab b a +的大小．2．在数轴的正半轴上，A 点对应的实数为6a 29＋a 4，B 点对应的实数为1，试判别A 点在B 点的左边，还是在B 点的右边？考点二不等式的证明[例2] 已知a >b >0，c <d <0，e <0. 求证：e a －c >eb －d.方法规律小结进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上，如果不能直接由不等式的性质得到，可以先分析需要证明的不等式的结构，利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件．跟踪训练 1．判断下列命题的真假，并简述理由．（1）若a >b ，c >d ，则ac >bd ；（2）若a >b >0，c >d >0，则a c >bd ；（3）若a >b ，c <d ，则a －c >b －d ；（4）若a >b ，则a n ＞b n ，n a >nb (n ∈N 且n ≥2)．2．已知a ，b ，x ，y 都是正数，且1a >1b ，x >y ，求证：x x ＋a >yy ＋b.考点三利用不等式的性质求范围[例3] （1）已知：－π2≤α<β≤π2，求α－β的范围．（2）已知：－1≤a ＋b ≤1,1≤a －2b ≤3，求a ＋3b 的范围．方法规律小结求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行运算，是解答此类问题的基础，在使用不等式的性质中，如果是由两个变量的范围求其差的范围，一定不能直接作差，而要转化为同向不等式后作和．跟踪训练 1．“已知－π2≤α≤π2，－π2≤β≤π2”，求α＋β2，α－β2的取值范围．2．已知1≤α＋β≤4，－2≤α－β≤－1，求2α－β的取值范围．三、课后作业1．设R d c b a ∈,,,，且d c b a >>,，则下列结论正确的是 ( ) A ．d b c a +>+ B ．d b c a ->- C ．bd ac > D ．cb d a > 2．下列不等式成立的是 ( )A ．log 32<log 25<log 23B ．log 32<log 23<log 25C ．log 23<log 32<log 25D ．log 23<log 25<log 32 3．设R b a ∈,,若0>-b a ，则下列不等式正确的是( )A ．0>-a bB ．033<+b a C ．022<-b a D ．0>+b a 4．若11<<<-βα，则下列各式中恒成立的是 ( )A ．02<-<-βαB ．12-<-<-βαC ．01<-<-βαD ．11<-<-βα 5．设11.->>>b a ，则下列不等式中恒成立的是 ( ) A ．ba 11 C ．2b a > D ．b a 22>6．若0,0<<<<c d a b ，则下列不等式中必成立的是( ) A ．bd ac > B ．dbc a > C ．d b c a +>+ D ．a-c>b-d 7．已知3328,8460<<<<y x ，则y x -的取值范围是 . 8．已知c b a ,,为三角形的三边长，则2a 与ac ab +的大小关系是 . 9．若b a Rc b a >∈,,,，则下列不等式成立的是 (填上正确的序号). ①b a 11< ②22b a > ③1122+>+c b c a ④c b c a > 10．已知{}正实数∈b a ,且b a ≠,比较ba ab 22+与b a +的大小. 11．已知31<+<-b a 且42<-<b a ，求b a 32+的取值范围.12．实数z y x ,,满足122-=+-z y x x 且012=++y x ,试比较z y x ,,的大小.第二课时基本不等式一、知识要点1．基本不等式的理解重要不等式a 2＋b 2≥2ab 和基本不等式a ＋b2≥ab ，成立的条件是不同的．前者成立的条件是 a 与b 都为实数，并且a 与b 都为实数是不等式成立的；而后者成立的条件是a 与b 都为正实数，并且a 与b 都为正实数是不等式成立的，如a ＝0，b ≥0仍然能使a ＋b2≥ab 成立．两个不等式中等号成立的充要条件都是2．由基本不等式可推出以下几种常见的变形形式（1）a 2＋b 2≥2)(2b a +；（2）ab ≤a 2＋b 22；（3）ab ≤(a ＋b 2)2；（4）(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22；（5）(a ＋b )2≥4ab .二、考点例题[例1] 已知a 、b 、c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1.求证：1a ＋1b ＋1c≥9.方法规律小结用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式进行证明．跟踪训练 1．已知a 、b 、c 是不全相等的正数，求证：abc b a c a c b c b a 6)()()(222222>+++++2．已知a ，b ，c >0，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c .考点二利用基本不等式求最值 [例2] （1）求当x >0时，f (x )＝2xx 2＋1的值域．（2）设0<x <32，求函数y ＝4x (3－2x )的最大值；（3）已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值方法规律小结在应用基本不等式求最值时，分以下三步进行：（1）首先看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值；（2）其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取(－1)变为同正；（3）利用已知条件对取等号的情况进行验证．若满足，则可取最值，若不满足，则可通过函数单调性或导数解决．跟踪训练 1．若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是 ( )A ．245B ．285C ．5D ．62．已知x >0，y >0且5x ＋7y ＝20，求xy 的最大值． 3．若正数a 、b 满足ab ＝a ＋b ＋3，（1）求ab 的取值范围；（2）求a ＋b 的取值范围．考点三利用基本不等式解决实际问题[例3] 某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2012年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x 万件与年促销费t 万元之间满足3－x 与t ＋1成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2012年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完（1）将2012年的利润y (万元)表示为促销费t (万元)的函数．（2）该企业2012年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？方法规律小结利用不等式解决实际应用问题时，首先要仔细阅读题目，弄清要解决的实际问题，确定是求什么量的最值；其次，分析题目中给出的条件，建立y 的函数表达式y ＝f (x )(x 一般为题目中最后所要求的量)；最后，利用不等式的有关知识解题．求解过程中要注意实际问题对变量x 的范围制约．跟踪训练 1．一商店经销某种货物，根据销售情况，年进货量为5万件，分若干次等量进货(设每次进货x 件)，每进一次货运费50元，且在销售完该货物时，立即进货，现以年平均x2件货储存在仓库里，库存费以每件20元计算，要使一年的运费和库存费最省，每次进货量x 应是多少？ 2．围建一个面积为3602m 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙的长度为x (单位：元)．（1）将y 表示为x 的函数；（2）试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．三、课后作业1．设+∈R y x ,，且满足404=+y x ，则y x lg lg +的最大值为 ( ) A ．40 B ．10 C ．4 D ．22．设+∈R y x ,且5=+y x ，则yx33+的最小值为 ( ) A ．10 B ．6C ．4D ．183．等比数列{}n a 的各项均为正数，公比1≠q ，设7593,2a a Q a a P =+=，则P 与Q 的大小关系是 ( ) A ．Q P > B ．Q P < C ．Q P = D ．无法确定 4．已知0,0≥≥b a ，且2=+b a 则 ( ) A ．21≤ab B ．21≥ab C ．222≥+b a D ．322≤+b a 5．已知在ABC ∆中，2,1==BC B ，则C 的最大值是 ( )A ．6π B ．2π C ．4π D ．3π 6．“1=a ”是“对任意正数12,≥+xax x ”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 7．若正数b a ,满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是 .8．已知0,0>>b a ，且12=+b a ，则2242b a ab S --=的最大值为 . 9．已知0,0>>y x 且满足6=+y x ，则使不等式m yx ≥+91恒成立的实数m 的取值范围为 . 10．已知y x b a ,,,都是正数,且1=+b a ，求证:xy ay bx by ax ≥++))((11．已知y x R y x b a ,,,,,+∈为变量，b a ,为常数,且y x ybx a b a +=+=+,1,10的最小值为18，求b a , 12．(能力挑战题)某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ,公园由长方形休闲区1111D C B A 和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区1111D C B A 的面积为4000平方米,人行道的宽分别为4米和10米(如图所示). （1）若设休闲区的长和宽的比x C B B A =1111,求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数解析式.（2）要使公园所占面积最小,休闲区1111D C B A 的长和宽应如何设计?第三课时三个数的算术几何不等式一、知识要点1．定理3如果a ，b ，c ∈R ＋，那么a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当时，等号成立，用文字语言可叙述为：三个正数的不小于它们的．（1）不等式a ＋b ＋c 3≥3abc 成立的条件是：，而等号成立的条件是：当且仅当 .（2）定理3可变形为：①abc ≤(a ＋b ＋c 3)3；②a 3＋b 3＋c 3≥3abc .（3）三个及三个以上正数的算术－几何平均值不等式的应用条件与前面基本不等式的应用条件是一样的，即“一正，二定，三相等”． 2．定理3的推广对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即，当且仅当时，等号成立．二、考点例题考点一用平均不等式证明不等式[例1] 已知a ，b ，c ∈R ＋，求证：b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc≥3.方法规律小结（1）不等式的证明方法较多，关键是从式子的结构入手进行分析．（2）运用三个正数的平均值不等式证明不等式时，仍要注意“一正、二定、三相等”，在解题中，若两次用平均值不等式，则只有在“相等”条件相同时，才能取到等号．跟踪训练 1. 设a 、b 、c ∈R ＋，求证：(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c ≥9.2．已知n a a a ,,,21⋅⋅⋅都是正数，且121=⋅⋅⋅n a a a ，求证：n a a a n 3)2()2)(2(21≥+⋅⋅⋅++考点二用平均不等式求最值[例2] （1）求函数y ＝(x －1)2(3－2x )(1<x <32)的最大值．（2）求函数)1()1(42>-+=x x x y 的最小值．方法规律小结（1）利用三个正数的算术－几何平均不等式定理求最值，可简记为“积定和最小，和定积最大”．（2）应用平均不等式定理，要注意三个条件“即一正二定三相等”同时具备时，方可取得最值，其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如：配系数、拆项、分离常数、平方变形等．跟踪训练 1．设x >0，则f (x )＝4－x －12x 2的最大值为 ( )A ．4－22 B ．4－ 2 C ．不存在 D ．522．已知x ，y +∈R 且42=y x ，试求x ＋y 的最小值及达到最小值时x 、y 的值．考点三用平均不等式解应用题 [例3] 如图所示，在一张半径是2米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理学知道，桌子边缘一点处的照亮度E 和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r 的平方成反比，即E ＝k sin θr2.这里k 是一个和灯光强度有关的常数，那么究竟应该怎样选择灯的高度h ，才能使桌子边缘处最亮？方法规律小结本题获解的关键是在获得了k E =·sin θcos2θ4后，对E 的表达式进行变形求得E 的最大值．解应用题时必须先读懂题意，建立适当的函数关系式，若把问题转化为求函数的最值问题，常配凑成可以用平均不等式的形式，若符合条件“一正、二定、三相等”即可求解．跟踪训练 1．已知长方体的表面积为定值S ，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值．三、课后作业1．设+∈R z y x ,,且6=++z y x ，则lgx+lgy+lgz 的取值范围是 ( ) A ．(∞-,lg6] B ．(∞-,3lg2] C ．[lg6,+∞) D ．[3lg2,+∞)2．若实数y x ,满足0>xy ，且22=y x ，则2x xy +的最小值是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．43．若c b a ,,为正数，且1=++c b a ，则cb a 111++的最小值为 ( ) A ．9 B ．8 C ．3 D ．314．已知632=++z y x ，则zyx842++的最小值为 ( ) A ．3B ．2C ．12D ．125．当510≤≤x 时，函数)51(2x x y -=的最大值为 ( ) A ．251 B ．31 C ．6754 D ．无最大值6．设+∈R c b a ,,，且1=++c b a ，若)11)(11)(11(---=cb a M ，则必有 ( )A ．810<≤MB ．181<≤M C ．81<≤M D ．8≥M7．若0,0>>y x 且42=xy ，则y x 2+的最小值为 . 8．若记号“*”表示求两个实数a 与b 的算术平均的运算,即2ba b a +=*,则两边均含有运算“*”和“+”,且对任意3个实数c b a ,,都能成立的一个等式可以是 .9．设正数c b a ,,满足1=++c b a ，则231,231,231+++c b a 的最小值为 . 10．求函数)250()25()(2<<-=x x x x f 的最大值.11．已知y x ,均为正数，且y x >求证：3221222+≥+-+y y xy x x12．如图(1)所示,将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器,如图(2)所示,求这个正六棱柱容器容积的最大值.第四课时绝对值三角不等式一、知识要点绝对值三角不等式（1）定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当时，等号成立．几何解释：用向量a ，b 分别替换a ，b .①当a 与b 不共线时，有|a ＋b|<|a |＋|b |，其几何意义为：．②若a ，b 共线，当a 与b 时，|a ＋b |＝|a |＋|b |，当a 与b 时，|a ＋b |<|a |＋|b |. 由于定理1与三角形之间的这种联系，故称此不等式为绝对值三角不等式． ③定理1的推广：如果a ，b 是实数，则||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.（2）定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |.当且仅当时，等号成立．几何解释：在数轴上，a ，b ，c 所对应的点分别为A ，B ，C ，当点B 在点A ，C 之间时，|a －c | |a －b |＋|b －c |. 当点B 不在点A ，C 之间时：①点B 在A 或C 上时，|a －c | |a －b |＋|b －c |； ②点B 不在A ，C 上时，|a －c | |a －b |＋|b －c |. 应用：利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值．二、考点例题考点一含绝对值不等式的判断与证明[例1] 已知|A －a |<s 3，|B －b |<s 3，|C －c |<s3.求证：|(A ＋B ＋C )－(a ＋b ＋c )|<s .方法规律小结含绝对值不等式的证明题主要分两类：一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用绝对值三角不等式||a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明跟踪训练 1．设a 、b 是满足ab <0的实数，则下列不等式中正确的是 ( ) A ．|a ＋b |>|a －b | B ．|a ＋b |<|a －b | C ．|a －b |<||a |－|b || D ．|a －b |<|a |＋|b |2．设ε>0，|x －a |<ε4，|y －a |<ε6.求证：|2x ＋3y －2a －3b |<ε.考点二绝对值不等式三角形的应用[例2] （1）求函数y ＝|x －3|－|x ＋1|的最大值和最小值．（2）设a ∈R ，函数)11()(2≤≤--+=x a x ax x f ．若|a |≤1，求|f (x )|的最大值．方法规律小结（1）利用绝对值不等式求函数最值，要注意利用绝对值的性质进行转化，构造绝对值不等式的形式．（2）求最值时要注意等号成立的条件，它也是解题的关键．跟踪训练 1．若a ，b ∈R ，且|a |≤3，|b |≤2则|a ＋b |的最大值是________，最小值是________2．求函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|的最小值．3．若对任意实数，不等式|x ＋1|－|x －2|>a 恒成立，求a 的取值范围．三、课后作业1．已知实数b a ,满足0<ab ，下列不等式成立的是 ( )A ．b a b a ->+B ．b a b a -<+C ．b a b a -<-D ．b a b a +<- 2．设1,1<-++b a b aB ．2<-++b a b aC ．2=-++b a b aD ．不能比较大小 3．若关于x 的不等式a x x <++-32的解集为∅,则实数a 的取值范围为( ) A ．(∞-,1] B ．(∞-,1) C ．(∞-,5] D ．(∞-,5)4．不等式a a x x 3132-≥-++对任意实数x 恒成立,则实数a 的取值范围为 ( ) A ．[1-,4] B ．(∞-,1-]∪[4,+∞) C ．(∞-,2-]∪[5,+∞) D ．[2-,5] 5．若不等式a x x ≥-+622对于一切实数x 均成立,则实数a 的最大值是 ( ) A ．7 B ．9 C ．5 D ．116．对于实数y x ,，若12,11≤-≤-y x ，则12+-y x 的最大值为 ( ) A ．5 B ．4 C ．8 D ．77．已知13)(+=x x f ，若当b x <-1时，有),0(,,4)(+∞∈<-b a a x f ，则b a ,满足的关系为 . 8．若N n x ∈<,5，则下列不等式:①1lg 51lg+<+n n n n x ②1lg 51lg +<+n nn n x ③1lg 51lg+<+n n n n x ④1lg 51lg +<+n nn n x 其中能够成立的有 .(填序号) 9．若关于x 的不等式21-++≥x x a 存在实数解,则实数a 的取值范围是 .10．已知函数41)(,23)(++-=--=x x g x x f ，若函数1)()(+≥-m x g x f 的解集为R ，求m 的取值范围.11．已知函数1,13)(2<-+-=a x x x x f .求证:)1)((2)()(+<-a f a f x f .12．两个加油站B A ,位于某城市东akm 和bkm 处(b a <),一卡车从该城市出发,由于某种原因,它需要往返B A ,两加油站,问它行驶在什么情况下到两加油站的路程之和是一样的?第五课时绝对值不等式的解法一、知识要点1．|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c (c >0)型不等式的解法只需将ax ＋b 看成一个整体，即化成|x |≤a ，|x |≥a (a >0)型不等式求解．|ax ＋b |≤c (c >0)型不等式的解法：先化为，再由不等式的性质求出原不等式的解集．不等式|ax ＋b |≥c (c >0)的解法：先化为或，再进一步利用不等式性质求出原不等式的解集 2．|x －a |＋|x －b |≥c 和|x －a |＋|x －b |≤c 型不等式的解法①利用绝对值不等式的求解，体现数形结合思想，理解绝对值的几何意义，给绝对值不等式以准确的几何解释是解题关键．②以绝对值的为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想．确定各个绝对值符号内多项式的正、负性，进而去掉绝对值符号是解题关键．③通过构造函数，利用函数的图像求解，体现函数与方程的思想，正确求出函数的零点并画出函数图像(有时需要考查函数的增减性)是解题关键．二、考点例题考点一 c b ax ≤+和)0(>≥+c c b ax 型不等式的解法[例1] 解下列不等式：（1）|5x －2|≥8；（2）2≤|x －2|≤4.方法规律小结 |ax ＋b |≥c 和|ax ＋b |≤c 型不等式的解法：①当c >0时，|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c ，|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c . ②当c ＝0时，|ax ＋b |≥c 的解集为R ，|ax ＋b |<c 的解集为∅. ③当c <0时，|ax ＋b |≥c 的解集为R ，|ax ＋b |≤c 的解集为∅. 跟踪训练 1．解下列不等式：（1）|3－2x |<9；（2）|x －2x －2|>2x －3x －4；（3）|2x －3x －4|>x ＋1（4）213+<-x x （5）x x ->-213 （6） |2||1|x x -<+ （7）4|23|7x <-≤ （8）01222<---x x x2．已知{23}A x x a =-<，{B x x =≤10}，且A B ⊂≠，求实数a 的范围.考点二 c b x a x ≤-+-和c b x a x ≥-+-型不等式的解法[例2] 解不等式|x －3|－|x ＋1|<1.方法规律小结 |x －a |＋|x －b |≥c 、|x －a |＋|x －b |≤c (c >0)型不等式的三种解法：分区间(分类)讨论法、图像法和几何法．分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图像法直观，但只适用于数据较简单的情况跟踪训练1．解不等式|x －2|－|x ＋7|≤3 2．解不等式|2x －1|＋|3x ＋2|≥8. 3．解不等式512≥-+-x x 考点三含绝对值不等式恒成立的问题 [例3] 已知不等式|x ＋2|－|x ＋3|>m .（1）若不等式有解；（2）若不等式解集为R ；（3）若不等式解集为∅，分别求出m 的范围．方法规律小结问题(1)是存在性问题，只要求存在满足条件的x 即可；不等式解集为R 或为空集时，不等式为绝对不等式或矛盾不等式，属于恒成立问题，恒成立问题f (x )<a 恒成立⇔a x f <max )(，f (x )>a 恒成立⇔a x f >min )(跟踪训练 1．把本例中的“>”改成“<”，即|x ＋2|－|x ＋3|<m 时，分别求出m 的范围．2．把本例中的“－”改成“＋”，即|x ＋2|＋|x ＋3|>m 时，分别求出m 的范围．3．不等式 31++-x x >a ，对一切实数x 都成立，则实数a 的取值范围是 4．已知关于x 的不等式|x +2|+|x -3|<a 的解集是非空集合，则实数a 的取值范围是_________.课堂练习1．.1122>-x 2．01314<--x 3．423+≤-x x . 4．x x -≥+21. 5．1422<--x x 6．212+>-x x . 7．42≥-+x x8．.631≥++-x x 9．21<++x x 10．.24>--x x 11．已知不等式a x ≤-2)0(>a 的解集为{}c x R x <<-∈1|，求c a 2+的值12．解关于x 的不等式2||x a a -<（a R ∈）13．解关于x 的不等式：① 解关于x 的不等式31<-mx ；② a x <-+132)(R a ∈三、课后作业1．若11+>+x xx x ，则实数x 的取值范围是 ( ) A ．(1-,0) B ．[1-,0] C ．(∞-, 1-)∪(0,∞+) D ．(,∞-1-]∪[0,∞+ 2．若1>a ，则不等式1>+a x 的解集是 ( )A ．{}a x a x -<<-11B ．{}a x a x x ->-<11或 C ．∅ D ．R 3．已知集合{}{}312,0652>-=≤+-=x x B x x x A ，则B A 等于 ( ) A ．[]3,2 B ．[)3,2 C ．(]3,2 D ．)3,1(- 4．若规定bc ad dc b a -=，则不等式0111log2<x的解集为 ( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(0, 2)D ．(0,1)∪(1,2)5．不等式a xax >-1的解集为M ，且M ∉2，则a 的取值范围为 ( ) A ．⎪⎭⎫⎝⎛+∞,41 B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,41 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0 D ．⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0 6．已知)2(log ax y a -=在(0,1)上是增函数,则不等式3log 1log ->+x x a a 的解集为 ( ) A ．{}1-<x x B ．{}1<x x C ．{}11-≠<x x x 且 D ．{}1>x x7．设2,,>-∈b a R b a ，则关于实数x 的不等式2>-+-b x a x 的解集是 . 8．在实数范围内,不等式112≤--x |的解集为 .9．若关于x 的不等式0212<++-a x ax 的解集为空集,则实数a 的取值范围是 . 10．已知R a ∈，设关于x 的不等式4232+≥++-x x a x 的解集为A （1）若1=a ，求A（2）若R A =，求a 的取值范围.11．已知实数b a ,满足：关于x 的不等式164222--≤++x x b ax x 对一切R x ∈均成立. （1）请验证8,2-=-=b a 满足题意.（2）求出所有满足题意的实数b a ,，并说明理由.（3）若对一切2>x ，均有不等式15)2(2--+≥++m x m b ax x 成立,求实数m 的取值范围. 12．已知关于x 的不等式1+>ax a 的解集为{}0≤x x 的子集,求a 的取值范围.第二节证明不等式的基本方法第一课时比较法一、知识要点1．作差比较法（1）作差比较法的理论依据a －b >0⇔ ，a －b <0⇔ ，a －b ＝0⇔ . （2）作差比较法解题的一般步骤：①作差；②变形整理，③判定符号，④得出结论．其中变形整理是解题的关键，变形整理的目的是为了能够直接判定，常用的手段有：因式分解，配方，通分，分子或分母有理化等． 2．作商比较法（1）作商比较法的理论依据是不等式的基本性质：①b >0，若，则a >b ；若则a b .（2）作商比较法解题的一般步骤：①判定a ，b 符号；②作商；③变形整理；④判定；⑤得出结论．二、考点例题考点一作差比较法证明不等式[例1] 设△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，求证：2)()(4c b a ac bc ab ++>++方法规律小结（1）作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少．（2）变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法．（3）因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，常用配方法判断符号．有时会遇到结果符号不能确定，这时候要对差式进行分类讨论．跟踪训练 1．求证：)1(222--≥+b a b a2．已知a ，b ∈R ＋，n ∈N ＋，求证：)(2))((11+++≤++n n nnb ab a b a考点二作商比较法证明不等式 [例2] 设a >0，b >0，求证：2)(b a baab b a +≥方法规律小结当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数形式时，常采用作商比较法，用作商比较法时，如果需要在不等式两边同乘某个数，要注意该数的正负，且最后结果与1比较．跟踪训练 1．设0>>b a ，求证：b a ba ba b a +->+-2222.2．如果a ，b 都是正数，且a ≠b ，求证422466b a b a b a +>+考点三比较法的实际应用[例3] 甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m 行走，另一半以速度n 行走；乙有一半路程以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走．如果m ≠n ，问甲、乙二人谁先到达指定地点？方法规律小结应用不等式解决实际问题时，关键是如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决．也即建立数学模型是解应用题的关键，最后利用不等式的知识来解．在实际应用不等关系问题时，常用比较法来判断数的大小关系，若是选择题或填空题则可用特殊值加以判断．跟踪训练5．某人乘出租车从A 地到B 地，有两种方案；第一种方案：乘起步价为10元．每千米1.2元的出租车，第二种方案：乘起步价为8元，每千米1.4元的出租车．按出租车管理条例，在起步价内．不同型号的出租车行驶的路程是相等的，则此人从A 地到B 地选择哪一种方案比较合适？三、课后作业1．设m b a ,,都是正数,且b a <,则下列不等式中恒成立的是 ( )A ．1<++<m b m a b a B ．m b m a b a ++≥ C ．1≤++≤m b m a b a D ．bam b m a <++<12．“1>a ”是“11<a”的 ( )A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．设b a B b a A R b a +=+=∈+,,,，则B A ,的大小关系是 ( )A ．B A ≥ B ．B A ≤C ．B A >D ．B A <4．已知下列不等式：①x x 232>+;②322355b a b a b a +>+;③)1(222--≥+b a b a .其中正确的个数为 ( )A ．0B ．1C ．2D ．3 5．设0,0>>b a ，下列不等式中不正确的是 ( )A ．ab b a 222≥+ B ．2≥+b a a b C ．b a b a a b +≥+22D ．ba b a +≤+111 6．在等比数列{}n a 和等差数列{}n b 中，313311,0,0a a b a b a ≠>=>=则5a 与5b 的大小关系为 ( ) A ．55b a > B ．55b a < C ．55b a = D ．不确定 7．已知xc x b x a x -=+==<<11,1,2,10，则其中最大的是 . 8．若x 是正数，且23=-x x ，则x 与45的大小关系为 .9．设)0,0(2,2121>>+=+=b a ba Bb a A 则B A ,的大小关系为 .10．已知0,0>>b a ，求证：b a ab ba +≥+11．若n m b a ,,,都为正实数，且1=+n m 求证：b n a m nb ma +≥+12．已知函数b ax x x f ++=2)(，当q p ,满足1=+q p 时,证明：)()()(qy px f y qf x pf +≥+对于任意实数y x ,都成立的充要条件是10≤≤p .第二课时综合法与分析法一、知识要点1．综合法（1）证明的特点：综合法又叫顺推证法或法，是由和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的，最后推出所要证明的结论成立．（2）证明的框图表示：用P 表示已知条件或已有的不等式，用Q 表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为 P ⇒Q 1→Q 1⇒Q 2→Q 2⇒Q 3→……→Q n ⇒Q2．分析法（1）证明的特点：分析法又叫逆推证法或法，是从要证明的不等式出发，逐步寻找使它成立的条件．直到最后把要证明的不等式转化为判定一个已知或明显成立的不等式为止．（2）证明过程的框图表示：用Q 表示要证明的不等式，则分析法可用框图表示为Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→P 1⇐P 3→……→得到一个明显成立的条件二、考点例题[例1] 已知x >0，y >0，且x ＋y ＝1，求证：(1＋1x )·(1＋1y)≥9.方法规律小结综合法证明不等式，揭示出条件和结论之间的因果联系，为此要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系．合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键跟踪训练 1．已知a ，b ，c ∈R ＋，证明不明式：a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca ，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号．2．已知a ，b ，c 都是实数，求证：a 2＋b 2＋c 2≥13(a ＋b ＋c )2≥ab ＋bc ＋ca .考点二用分析法证明不等式[例2] 已知x >0，y >0，求证31332122)()(y x y x +>+方法规律小结（1）当所证不等式与重要不等式、基本不等式没有什么直接联系，或条件与结论之间的关系不明显时，可用分析法来寻找证明途径．（2）分析法证明的关键是推理的每一步都必须可逆．跟踪训练 1．求证：3＋7<2 52．a ，b ∈R ＋，且2c >a ＋b .求证：c －c 2－ab <a <c ＋c 2－ab .考点三综合法和分析法的综合应用[例3] 设a >0，b >0，且a ＋b ＝1，求证：a ＋1＋b ＋1≤ 6.方法规律小结（1）通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式易于证明．（2）有些不等式的证明，需要一边分析一边综合，称之为分析综合法，或称“两头挤”法，如本例，这种方法充分表明了分析法与综合法之间互为前提，互相渗透，相互转化的辩证统一关系．跟踪训练1．已知a ，b ，c 都是正数，求证：2⎝⎛⎭⎫a ＋b 2－ab ≤3⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c 3－3abc . 三、课后作业。

选修4-5 不等式选讲

选修4－5不等式选讲第一节绝对值不等式一、基础知识1．绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．↓|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当|a|≥|b|且ab≥0时，左边等号成立，当且仅当ab≤0时，右边等号成立.2．绝对值不等式的解法(1)|x|<a与|x|>a型不等式的解法(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法及体现数学思想①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.考点一绝对值不等式的解法[典例] (2016·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|.(1)画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式|f (x )|>1的解集．[解] (1)由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x ≤32，－x ＋4，x >32，故y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由f (x )的函数表达式及图象可知，当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3；当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5.故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}，f (x )<－1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <13或x >5. 所以|f (x )|>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <13或1<x <3或x >5.[题组训练]1．解不等式|x ＋1|＋|x －1|≤2. 解：当x <－1时，原不等式可化为－x －1＋1－x ≤2，解得x ≥－1，又因为x <－1，故无解；当－1≤x ≤1时，原不等式可化为x ＋1＋1－x ＝2≤2，恒成立；当x >1时，原不等式可化为x ＋1＋x －1≤2，解得x ≤1，又因为x >1，故无解；综上，不等式|x ＋1|＋|x －1|≤2的解集为[－1,1]． 2．(2019·沈阳质检)已知函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a ∈R . (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋|2x ＋1|的解集； (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x －1|＋3x .法一：由f (x )≥3x ＋|2x ＋1|，得|x －1|－|2x ＋1|≥0，当x >1时，x －1－(2x ＋1)≥0，得x ≤－2，无解；当－12≤x ≤1时，1－x －(2x ＋1)≥0，得－12≤x ≤0；当x <－12时，1－x －(－2x －1)≥0，得－2≤x <－12.∴不等式的解集为{x |－2≤x ≤0}．法二：由f (x )≥3x ＋|2x ＋1|，得|x －1|≥|2x ＋1|，两边平方，化简整理得x 2＋2x ≤0，解得－2≤x ≤0，∴不等式的解集为{x |－2≤x ≤0}．(2)由|x －a |＋3x ≤0，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，4x －a ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，2x ＋a ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，x ≤－a 2.当a >0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－a 2. 由－a2＝－1，得a ＝2.当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤0}，不合题意．当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤a 4.由a4＝－1，得a ＝－4. 综上，a ＝2或a ＝－4.考点二绝对值不等式性质的应用[典例] (2019·湖北五校联考)已知函数f (x )＝|2x －1|，x ∈R . (1)解不等式f (x )<|x |＋1；(2)若对x ，y ∈R ，有|x －y －1|≤13，|2y ＋1|≤16，求证：f (x )<1.[解] (1)∵f (x )<|x |＋1，∴|2x －1|<|x |＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥12，2x －1<x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧0<x <12，1－2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，1－2x <－x ＋1，得12≤x <2或0<x <12或无解．故不等式f (x )<|x |＋1的解集为{x |0<x <2}．(2)证明：f (x )＝|2x －1|＝|2(x －y －1)＋(2y ＋1)|≤|2(x －y －1)|＋|2y ＋1|＝2|x －y －1|＋|2y ＋1|≤2×13＋16＝56<1.故不等式f (x )＜1得证．[解题技法] 绝对值不等式性质的应用利用不等式|a ＋b |≤|a |＋|b |(a ，b ∈R )和|a －b |≤|a －c |＋|c －b |(a ，b ∈R)，通过确定适当的a ，b ，利用整体思想或使函数、不等式中不含变量，可以求最值或证明不等式．[题组训练]1．求函数f (x )＝|x ＋2 019|－|x －2 018|的最大值．解：因为f (x )＝|x ＋2 019|－|x －2 018|≤|x ＋2 019－x ＋2 018|＝4 037，所以函数f (x )＝|x ＋2 019|－|x －2 018|的最大值为4 037. 2．若x ∈[－1,1]，|y |≤16，|z |≤19，求证：|x ＋2y －3z |≤53.证明：因为x ∈[－1,1]，|y |≤16，|z |≤19，所以|x ＋2y －3z |≤|x |＋2|y |＋3|z |≤1＋2×16＋3×19＝53，所以|x ＋2y －3z |≤53成立．考点三绝对值不等式的综合应用[典例] (2018·合肥质检)已知函数f (x )＝|2x －1|. (1)解关于x 的不等式f (x )－f (x ＋1)≤1；(2)若关于x 的不等式f (x )<m －f (x ＋1)的解集不是空集，求m 的取值范围． [解] (1)f (x )－f (x ＋1)≤1⇔|2x －1|－|2x ＋1|≤1，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥12，2x －1－2x －1≤1或⎩⎪⎨⎪⎧ －12<x <12，1－2x －2x －1≤1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－12，1－2x ＋2x ＋1≤1，解得x ≥12或－14≤x <12，即x ≥－14，所以原不等式的解集为⎣⎡⎭⎫－14，＋∞. (2)由条件知，不等式|2x －1|＋|2x ＋1|<m 有解，则m >(|2x －1|＋|2x ＋1|)min 即可．由于|2x －1|＋|2x ＋1|＝|1－2x |＋|2x ＋1|≥|1－2x ＋(2x ＋1)|＝2，当且仅当(1－2x )(2x ＋1)≥0，即x ∈⎣⎡⎦⎤－12，12时等号成立，故m >2.所以m 的取值范围是(2，＋∞)． [解题技法] 两招解不等式问题中的含参问题 (1)转化①把存在性问题转化为求最值问题；②不等式的解集为R 是指不等式的恒成立问题；③不等式的解集为∅的对立面也是不等式的恒成立问题，此类问题都可转化为最值问题，即f (x )＜a 恒成立⇔a ＞f (x )max ，f (x )＞a 恒成立⇔a ＜f (x )min .(2)求最值求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种： ①利用绝对值的几何意义；②利用绝对值三角不等式，即|a |＋|b |≥|a ±b |≥||a |－|b ||； ③利用零点分区间法． [题组训练]1．(2018·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝5－|x ＋a |－|x －2|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集； (2)若f (x )≤1，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4，x <－1，2，－1≤x ≤2，－2x ＋6，x >2.当x <－1时，由2x ＋4≥0，解得－2≤x <－1，当－1≤x ≤2时，显然满足题意，当x >2时，由－2x ＋6≥0，解得2<x ≤3，故f (x )≥0的解集为{x |－2≤x ≤3}． (2)f (x )≤1等价于|x ＋a |＋|x －2|≥4.而|x ＋a |＋|x －2|≥|a ＋2|，且当x ＝2时等号成立．故f (x )≤1等价于|a ＋2|≥4. 由|a ＋2|≥4可得a ≤－6或a ≥2.所以a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．2．(2018·广东珠海二中期中)已知函数f (x )＝|x ＋m |＋|2x －1|(m ∈R )，若关于x 的不等式f (x )≤|2x ＋1|的解集为A ，且⎣⎡⎦⎤34，2⊆A ，求实数m 的取值范围．解：∵⎣⎡⎦⎤34，2⊆A ，∴当x ∈⎣⎡⎦⎤34，2时，不等式f (x )≤|2x ＋1|恒成立，即|x ＋m |＋|2x －1|≤|2x ＋1|在x ∈⎣⎡⎦⎤34，2上恒成立， ∴|x ＋m |＋2x －1≤2x ＋1，即|x ＋m |≤2在x ∈⎣⎡⎦⎤34，2上恒成立， ∴－2≤x ＋m ≤2，∴－x －2≤m ≤－x ＋2在x ∈⎣⎡⎦⎤34，2上恒成立， ∴(－x －2)max ≤m ≤(－x ＋2)min ，∴－114≤m ≤0，故实数m 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－114，0. [课时跟踪检测]1．求不等式|2x －1|＋|2x ＋1|≤6的解集．解：原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x <－12，1－2x －2x －1≤6或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤12，1－2x ＋2x ＋1≤6或⎩⎪⎨⎪⎧x >12，2x －1＋2x ＋1≤6.解得－32≤x ≤32，即原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－32≤x ≤32. 2．已知函数f (x )＝|x －4|＋|x －a |(a ∈R )的最小值为a . (1)求实数a 的值； (2)解不等式f (x )≤5.解：(1)f (x )＝|x －4|＋|x －a |≥|a －4|＝a ，从而解得a ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝|x －4|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6，x ≤2，2，2＜x ≤4，2x －6，x ＞4.故当x ≤2时，由－2x ＋6≤5，得12≤x ≤2；当2<x ≤4时，显然不等式成立；当x >4时，由2x －6≤5，得4<x ≤112，故不等式f (x )≤5的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤x ≤112. 3．(2018·全国卷Ⅰ)已知f (x )＝|x ＋1|－|ax －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若x ∈(0,1)时不等式f (x )>x 成立，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|－|x －1|，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x ≤－1，2x ，－1<x <1，2，x ≥1.故不等式f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >12. (2)当x ∈(0,1)时|x ＋1|－|ax －1|>x 成立等价于当x ∈(0,1)时|ax －1|<1成立．若a ≤0，则当x ∈(0,1)时，|ax －1|≥1；若a >0，则|ax －1|<1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x <2a ，所以2a ≥1，故0<a ≤2.综上，a 的取值范围为(0,2]． 4．设函数f (x )＝|3x －1|＋ax ＋3. (1)若a ＝1，解不等式f (x )≤4；(2)若f (x )有最小值，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|3x －1|＋x ＋3≤4，即|3x －1|≤1－x ，x －1≤3x －1≤1－x ，解得0≤x ≤12，所以f (x )≤4的解集为⎣⎡⎦⎤0，12. (2)因为f (x )＝⎩⎨⎧(3＋a )x ＋2，x ≥13，(a －3)x ＋4，x <13，所以f (x )有最小值的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3≥0，a －3≤0，解得－3≤a ≤3，即实数a 的取值范围是[－3,3]．5．(2019·贵阳适应性考试)已知函数f (x )＝|x －2|－|x ＋1|. (1)解不等式f (x )>－x ；(2)若关于x 的不等式f (x )≤a 2－2a 的解集为R ，求实数a 的取值范围．解：(1)原不等式等价于f (x )＋x ＞0，不等式f (x )＋x >0可化为|x －2|＋x >|x ＋1|，当x <－1时，－(x －2)＋x >－(x ＋1)，解得x >－3，即－3<x <－1；当－1≤x ≤2时，－(x －2)＋x >x ＋1，解得x <1，即－1≤x <1；当x >2时，x －2＋x >x ＋1，解得x >3，即x >3，综上所述，不等式f (x )＋x >0的解集为{x |－3<x <1或x >3}． (2)由不等式f (x )≤a 2－2a 可得|x －2|－|x ＋1|≤a 2－2a ，∵|x －2|－|x ＋1|≤|x －2－x －1|＝3，当且仅当x ∈(－∞，－1]时等号成立， ∴a 2－2a ≥3，即a 2－2a －3≥0，解得a ≤－1或a ≥3. ∴实数a 的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 6．已知函数f (x )＝|x －a |＋|x ＋1|.(1)若a ＝2，求不等式f (x )＞x ＋2的解集；(2)如果关于x 的不等式f (x )＜2的解集不是空集，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，x ＜－1，3，－1≤x ＜2，2x －1，x ≥2，不等式f (x )＞x ＋2等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ＜－1，－2x ＋1＞x ＋2或⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x ＜2，3＞x ＋2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，2x －1＞x ＋2，解得x ＜1或x ＞3，故原不等式的解集为{x |x ＜1或x ＞3}．(2)∵f (x )＝|x －a |＋|x ＋1|≥|(x －a )－(x ＋1)|＝|a ＋1|，当(x －a )(x ＋1)≤0时取等号． ∴若关于x 的不等式f (x )＜2的解集不是空集，只需|a ＋1|＜2，解得－3＜a ＜1，即实数a 的取值范围是(－3,1)． 7．已知函数f (x )＝|2x －a |＋a .(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2. 解不等式|2x －2|＋2≤6，得－1≤x ≤3. 因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}．(2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥3，即⎪⎪⎪⎪x －a 2＋⎪⎪⎪⎪12－x ≥3－a 2. 又⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪x －a 2＋⎪⎪⎪⎪12－x min ＝⎪⎪⎪⎪12－a 2，所以⎪⎪⎪⎪12－a 2≥3－a 2，解得a ≥2. 所以a 的取值范围是[2，＋∞)．8．(2018·福州质检)设函数f (x )＝|x －1|，x ∈R . (1)求不等式f (x )≤3－f (x －1)的解集；(2)已知关于x 的不等式f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |的解集为M ，若⎝⎛⎭⎫1，32⊆M ，求实数a 的取值范围．解：(1)因为f (x )≤3－f (x －1)，所以|x －1|≤3－|x －2|⇔|x －1|＋|x －2|≤3⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x <1，3－2x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤2，1≤3或 ⎩⎪⎨⎪⎧x >2，2x －3≤3，解得0≤x <1或1≤x ≤2或2<x ≤3，所以0≤x ≤3，故不等式f (x )≤3－f (x －1)的解集为[0,3]． (2)因为⎝⎛⎭⎫1，32⊆M ，所以当x ∈⎝⎛⎭⎫1，32时，f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |恒成立，而f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |⇔|x －1|－|x |＋|x －a |≤0⇔|x －a |≤|x |－|x －1|，因为x ∈⎝⎛⎭⎫1，32，所以|x －a |≤1，即x －1≤a ≤x ＋1，由题意，知x －1≤a ≤x ＋1对于任意的x ∈⎝⎛⎭⎫1，32恒成立，所以12≤a ≤2，故实数a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤12，2.第二节不等式的证明一、基础知识1．基本不等式(1)定理1：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． (2)定理2：如果a ，b ＞0，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均．(3)定理3：如果a ，b ，c ∈R ＋，那么a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．2．比较法(1)作差法的依据是：a －b ＞0⇔a ＞b .(2)作商法：若B ＞0，欲证A ≥B ，只需证AB ≥1.3．综合法与分析法(1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立．(2)分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立．考点一比较法证明不等式[典例] 已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )＜2的解集． (1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |＜|1＋ab |.[解] (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12＜x ＜12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时，由f (x )＜2，得－2x ＜2，解得x ＞－1；当－12＜x ＜12时，f (x )＜2恒成立；当x ≥12时，由f (x )＜2，得2x ＜2，解得x ＜1.所以f (x )＜2的解集M ＝{x |－1＜x ＜1}．(2)证明：由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1＜a ＜1，－1＜b ＜1，从而(a ＋b )2－(1＋ab )2 ＝a 2＋b 2－a 2b 2－1 ＝(a 2－1)(1－b 2)＜0. 因此|a ＋b |＜|1＋ab |. [题组训练]1．当p ，q 都是正数且p ＋q ＝1时，求证：(px ＋qy )2≤px 2＋qy 2. 解：(px ＋qy )2－(px 2＋qy 2) ＝p 2x 2＋q 2y 2＋2pqxy －(px 2＋qy 2) ＝p (p －1)x 2＋q (q －1)y 2＋2pqxy .因为p ＋q ＝1，所以p －1＝－q ，q －1＝－p . 所以(px ＋qy )2－(px 2＋qy 2) ＝－pq (x 2＋y 2－2xy )＝－pq (x －y )2. 因为p ，q 为正数，所以－pq (x －y )2≤0，所以(px ＋qy )2≤px 2＋qy 2.当且仅当x ＝y 时，不等式中等号成立． 2．求证：当a >0，b >0时，a a b b≥(ab )+2a b .证明：∵a ab b(ab )+2a b ＝⎝⎛⎭⎫a b -2a b ，∴当a ＝b 时，⎝⎛⎭⎫a b -2a b ＝1，当a >b >0时，ab >1，a －b 2>0，∴⎝⎛⎭⎫a b -2a b>1，当b >a >0时，0<ab <1，a －b 2<0，∴⎝⎛⎭⎫a b -2a b>1，∴a a b b≥(ab )+2a b.考点二综合法证明不等式[典例] (2017·全国卷Ⅱ)已知a >0，b >0，a 3＋b 3＝2.证明： (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4；(2)a ＋b ≤2.[证明] (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6 ＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4) ＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4.(2)∵(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3 ＝2＋3ab (a ＋b )≤2＋3(a ＋b )24(a ＋b )＝2＋3(a ＋b )34，∴(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2.[解题技法] 综合法证明不等式的方法(1)综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系，合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键；(2)在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的．在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件．[题组训练]1．设a ，b ，c ，d 均为正数，若a ＋b ＝c ＋d ，且ab >cd ，求证：a ＋b >c ＋d . 证明：因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd . 由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab >cd 得(a ＋b )2>(c ＋d )2. 因此 a ＋b >c ＋d .2．(2018·湖北八校联考)已知不等式|x |＋|x －3|<x ＋6的解集为(m ，n )． (1)求m ，n 的值；(2)若x >0，y >0，nx ＋y ＋m ＝0，求证：x ＋y ≥16xy . 解：(1)由|x |＋|x －3|<x ＋6，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥3，x ＋x －3<x ＋6或⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <3，3<x ＋6或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，－x ＋3－x <x ＋6，解得－1<x <9，∴m ＝－1，n ＝9.(2)证明：由(1)知9x ＋y ＝1，又x >0，y >0， ∴⎝⎛⎭⎫1x ＋1y (9x ＋y )＝10＋y x ＋9xy≥10＋2y x ×9xy＝16，当且仅当y x ＝9x y ，即x ＝112，y ＝14时取等号，∴1x ＋1y ≥16，即x ＋y ≥16xy . 考点三分析法证明不等式[典例] (2019·长春质检)设不等式||x ＋1|－|x －1||<2的解集为A . (1)求集合A ；(2)若a ，b ，c ∈A ，求证：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－abc ab －c >1.[解] (1)由已知，令f (x )＝|x ＋1|－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ≥1，2x ，－1<x <1，－2，x ≤－1，由|f (x )|<2，得－1<x <1，即A ＝{x |－1<x <1}． (2)证明：要证⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－abc ab －c >1，只需证|1－abc |>|ab －c |，即证1＋a 2b 2c 2>a 2b 2＋c 2，即证1－a 2b 2>c 2(1－a 2b 2)，即证(1－a 2b 2)(1－c 2)>0，由a ，b ，c ∈A ，得－1<ab <1，c 2<1，所以(1－a 2b 2)(1－c 2)>0恒成立．综上，⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－abc ab －c >1.[解题技法] 分析法证明不等式应注意的问题(1)注意依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论． (2)注意从要证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式．(3)注意恰当地用好反推符号“⇐”或“要证明”“只需证明”“即证明”等词语． [题组训练]1．已知a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a . 证明：由a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，知a >0，c <0. 要证b 2－ac <3a ，只需证b 2－ac <3a 2.∵a ＋b ＋c ＝0，∴只需证b 2＋a (a ＋b )<3a 2，即证2a 2－ab －b 2>0，即证(a －b )(2a ＋b )>0，即证(a －b )(a －c )>0.∵a >b >c ，∴a －b >0，a －c >0， ∴(a －b )(a －c )>0显然成立，故原不等式成立． 2．已知函数f (x )＝|x ＋1|.(1)求不等式f (x )＜|2x ＋1|－1的解集M ；(2)设a ，b ∈M ，求证：f (ab )＞f (a )－f (－b )．解：(1)由题意，|x ＋1|<|2x ＋1|－1， ①当x ≤－1时，不等式可化为－x －1＜－2x －2，解得x ＜－1； ②当－1＜x ＜－12时，不等式可化为x ＋1＜－2x －2，此时不等式无解； ③当x ≥－12时，不等式可化为x ＋1＜2x ，解得x ＞1. 综上，M ＝{x |x ＜－1或x ＞1}．(2)证明：因为f (a )－f (－b )＝|a ＋1|－|－b ＋1|≤|a ＋1－(－b ＋1)|＝|a ＋b |，所以要证f (ab )＞f (a )－f (－b )，只需证|ab ＋1|＞|a ＋b |，即证|ab ＋1|2＞|a ＋b |2，即证a 2b 2＋2ab ＋1＞a 2＋2ab ＋b 2，即证a 2b 2－a 2－b 2＋1＞0，即证(a 2－1)(b 2－1)＞0.因为a ，b ∈M ，所以a 2＞1，b 2＞1，所以(a 2－1)(b 2－1)＞0成立，所以原不等式成立．[课时跟踪检测]1．已知△ABC 的三边a ，b ，c 的倒数成等差数列，试用分析法证明：∠B 为锐角．证明：要证∠B 为锐角，只需证cos B >0，所以只需证a 2＋c 2－b 2>0，即a 2＋c 2>b 2，因为a 2＋c 2≥2ac ，所以只需证2ac >b 2，由已知得2ac ＝b (a ＋c )．所以只需证b (a ＋c )>b 2，即a ＋c >b ，显然成立．所以∠B 为锐角．2．若a >0，b >0，且1a ＋1b＝ab .(1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由．解：(1)由ab ＝1a ＋1b ≥2ab，得ab ≥2，仅当a ＝b ＝2时等号成立．故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，仅当a ＝b ＝2时等号成立．所以a 3＋b 3的最小值为4 2. (2)由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3.由于43>6，从而不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6. 3．(2019·南宁模拟)(1)解不等式|x ＋1|＋|x ＋3|<4； (2)若a ，b 满足(1)中不等式，求证：2|a －b |<|ab ＋2a ＋2b |.解：(1)当x <－3时，|x ＋1|＋|x ＋3|＝－x －1－x －3＝－2x －4<4，解得x >－4，所以－4<x <－3；当－3≤x <－1时，|x ＋1|＋|x ＋3|＝－x －1＋x ＋3＝2<4恒成立，所以－3≤x <－1；当x ≥－1时，|x ＋1|＋|x ＋3|＝x ＋1＋x ＋3＝2x ＋4<4，解得x <0，所以－1≤x <0. 综上，不等式|x ＋1|＋|x ＋3|<4的解集为{x |－4<x <0}． (2)证明：因为4(a －b )2－(ab ＋2a ＋2b )2 ＝－(a 2b 2＋4a 2b ＋4ab 2＋16ab ) ＝－ab (b ＋4)(a ＋4)<0，所以4(a －b )2<(ab ＋2a ＋2b )2，所以2|a －b |<|ab ＋2a ＋2b |.4．(2018·武昌调研)设函数f (x )＝|x －2|＋2x －3，记f (x )≤－1的解集为M . (1)求M ；(2)当x ∈M 时，求证：x [f (x )]2－x 2f (x )≤0.解：(1)由已知，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≤2，3x －5，x >2.当x ≤2时，由f (x )＝x －1≤－1，解得x ≤0，此时x ≤0；当x >2时，由f (x )＝3x －5≤－1，解得x ≤43，显然不成立．故f (x )≤－1的解集为M ＝{x |x ≤0}． (2)证明：当x ∈M 时，f (x )＝x －1，于是x [f (x )]2－x 2f (x )＝x (x －1)2－x 2(x －1)＝－x 2＋x ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14. 令g (x )＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14，则函数g (x )在(－∞，0]上是增函数， ∴g (x )≤g (0)＝0. 故x [f (x )]2－x 2f (x )≤0.5．(2019·西安质检)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|. (1)解不等式f (x )≤3；(2)记函数g (x )＝f (x )＋|x ＋1|的值域为M ，若t ∈M ，求证：t 2＋1≥3t＋3t .解：(1)依题意，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ≤－1，2－x ，－1<x <12，3x ，x ≥12，∴f (x )≤3⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，－3x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <12，2－x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，3x ≤3，解得－1≤x ≤1，即不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤1}．(2)证明：g (x )＝f (x )＋|x ＋1|＝|2x －1|＋|2x ＋2|≥|2x －1－2x －2|＝3，当且仅当(2x －1)(2x ＋2)≤0，即－1≤x ≤12时取等号，∴M ＝[3，＋∞)．t 2＋1－3t －3t ＝t 3－3t 2＋t －3t ＝(t －3)(t 2＋1)t ，∵t ∈M ，∴t －3≥0，t 2＋1>0， ∴(t －3)(t 2＋1)t ≥0，∴t 2＋1≥3t＋3t .6．(2019·长春质检)已知函数f (x )＝|2x －3|＋|3x －6|. (1)求f (x )<2的解集；(2)若f (x )的最小值为T ，正数a ，b 满足a ＋b ＝12，求证：a ＋b ≤T .解：(1)f (x )＝|2x －3|＋|3x －6|＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x ＋9，x <32，－x ＋3，32≤x ≤2，5x －9，x >2.作出函数f (x )的图象如图所示．由图象可知，f (x )<2的解集为⎝⎛⎭⎫75，115. (2)证明：由图象可知f (x )的最小值为1，由基本不等式可知a ＋b2≤ a ＋b2＝ 14＝12，当且仅当a ＝b 时，“＝”成立，即a ＋b ≤1＝T . 7．已知函数f (x )＝|2x －1|－⎪⎪⎪⎪x ＋32. (1)求不等式f (x )<0的解集M ；(2)当a ，b ∈M 时，求证：3|a ＋b |<|ab ＋9|.解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧52－x ，x <－32，－3x －12，－32≤x ≤12，x －52，x >12.当x <－32时，f (x )<0，即52－x <0，无解；当－32≤x ≤12时，f (x )<0，即－3x －12<0，得－16<x ≤12；当x >12时，f (x )<0，即x －52<0，得12<x <52.综上，M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－16<x <52. (2)证明：要证3|a ＋b |<|ab ＋9|，只需证9(a 2＋b 2＋2ab )<a 2b 2＋18ab ＋81，即证a 2b 2－9a 2－9b 2＋81＞0，即证(a 2－9)(b 2－9)＞0.因为a ，b ∈M ，所以－16<a <52，－160，所以3|a ＋b |<|ab ＋9|.8．已知函数f (x )＝m －|x ＋4|(m >0)，且f (x －2)≥0的解集为[－3，－1]． (1)求m 的值；(2)若a ，b ，c 都是正实数，且1a ＋12b ＋13c ＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.解：(1)法一：依题意知f (x －2)＝m －|x ＋2|≥0，即|x ＋2|≤m ⇔－m －2≤x ≤－2＋m .由题意知不等式的解集为[－3，－1]，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m －2＝－3，－2＋m ＝－1，解得m ＝1.法二：因为不等式f (x －2)≥0的解集为[－3，－1]，所以－3，－1为方程f (x －2)＝0的两根，即－3，－1为方程m －|x ＋2|＝0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －|－3＋2|＝0，m －|－1＋2|＝0，解得m ＝1.(2)证明：由(1)可知1a ＋12b ＋13c＝1(a ，b ，c >0)，所以a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )⎝⎛⎭⎫1a ＋12b ＋13c ＝3＋⎝⎛⎭⎫a 2b ＋2b a ＋⎝⎛⎭⎫a 3c ＋3c a ＋⎝⎛⎭⎫2b 3c ＋3c2b ≥9，当且仅当a ＝2b ＝3c ，即a ＝3，b ＝32，c ＝1时取等号。

高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案：选修4-5 不等式选讲 Word版含答案

选修4－5不等式选讲1．不等式的性质和绝对值不等式(1)能利用三个正数的算术平均—几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最大(小)值的问题；了解基本不等式的推广形式(n个正数的形式)．(2)理解绝对值三角不等式的代数证明和几何意义，能利用绝对值三角不等式证明一些简单的绝对值不等式．(3)掌握|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c型不等式的解法．2．不等式的证明(1)了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法，并能利用它们证明一些简单不等式．(2)能够利用三维的柯西不等式证明一些简单不等式，解决最大(小)值问题．(3)理解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题．知识点一绝对值不等式1．绝对值三角不等式(1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立；(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解集(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集：不等式a>0a＝0a<0|x|<a {x|－a<x<a}∅∅|x|>a {x|x>a或x<－a}{x∈R|x≠0}R(2)|ax＋b|≤①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)|x－a|＋|x－b|≥c、|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解．②利用零点分段法求解．③构造函数，利用函数的图象求解．易误提醒1．对形如|f (x )|>a 或|f (x )|<a 型的不等式求其解集时，易忽视a 的符号直接等价转化造成失误．2．绝对值不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |中易忽视等号成立条件．如|a －b |≤|a |＋|b |当且仅当ab ≤0时成立，其他类似推导．[自测练习]1．设a ，b 为满足ab <0的实数，那么( ) A ．|a ＋b |>|a －b | B ．|a ＋b |<|a －b | C ．|a －b |<||a |－|b ||D ．|a －b |<|a |＋|b |解析：∵ab <0，∴|a －b |＝|a |＋|b |>|a ＋b |. 答案：B2．若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________．解析：∵|x －a |＋|x －1|≥|(x －a )－(x －1)|＝|a －1|，要使|x －a |＋|x －1|≤3有解，可使|a －1|≤3， ∴－3≤a －1≤3，∴－2≤a ≤4. 答案：[－2,4]3．不等式|x ＋1|－|x －2|≥1的解集是________．解析：f (x )＝|x ＋1|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3(x ≤－1)，2x －1(－1<x <2)，3(x ≥2).当－1<x <2时，由2x －1≥1，解得1≤x <2.又当x ≥2时，f (x )＝3>1.所以解集为{x |x ≥1}．答案：[1，＋∞) 知识点二不等式的证明 1．基本不等式定理1：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理2：如果a ，b >0，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均．定理3：如果a ，b ，c 全为正实数，那么a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．2．比较法(1)比差法的依据是：a －b >0⇔a >b .步骤是：“作差→变形→判断差的符号”．变形是手段，变形的目的是判断差的符号．(2)比商法：若B >0，欲证A ≥B ，只需证AB ≥1.3．综合法与分析法(1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立．(2)分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立．4．柯西不等式设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，等号当且仅当ad ＝bc 时成立．易误提醒 (1)在使用作商比较法时易忽视说明分母的符号．(2)在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的．在运用这些性质时，易忽视性质成立的前提条件．[自测练习]4．设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则s 与t 的大小关系是( ) A ．s ≥t B ．s >t C ．s ≤tD ．s <t解析：∵s －t ＝b 2－2b ＋1＝(b －1)2≥0，∴s ≥t . 答案：A5．已知x ，y 均为正数，且x ＋y ＝1，则3x ＋4y 的最大值为________．解析：由柯西不等式得3x ＋4y ＝3·x ＋4·y ≤[(3)2＋(4)2](x ＋y )＝7. 答案：7考点一绝对值不等式的解法|1．(2015·高考山东卷)不等式|x －1|－|x －5|<2的解集是( ) A ．(－∞，4) B ．(－∞，1) C ．(1,4)D ．(1,5)解析：当x <1时，不等式可化为－(x －1)＋(x －5)<2，即－4<2，显然成立，所以此时不等式的解集为(－∞，1)；当1≤x ≤5时，不等式可化为x －1＋(x －5)<2，即2x －6<2，解得x <4，又1≤x ≤5，所以此时不等式的解集为[1,4)；当x >5时，不等式可化为(x －1)－(x －5)<2，即4<2，显然不成立，所以此时不等式无解．综上，不等式的解集为(－∞，4)．故选A. 答案：A2．(2015·南宁二模)已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若f (x )≤m 的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a ，m 的值； (2)当a ＝2且0≤t ≤2时，解关于x 的不等式f (x )＋t ≥f (x ＋2)．解：(1)∵|x －a |≤m ，∴－m ＋a ≤x ≤m ＋a . ∵－m ＋a ＝－1，m ＋a ＝5， ∴a ＝2，m ＝3.(2)f (x )＋t ≥f (x ＋2)可化为|x －2|＋t ≥|x |.当x ∈(－∞，0)时，2－x ＋t ≥－x,2＋t ≥0，∵0≤t ≤2，∴x ∈(－∞，0)；当x ∈[0,2)时，2－x ＋t ≥x ，x ≤1＋t 2，0≤x ≤1＋t 2，∵1≤1＋t 2≤2，∴0≤x ≤1＋t 2；当x ∈[2，＋∞)时，x －2＋t ≥x ，t ≥2，当0≤t <2时，无解，当t ＝2时，x ∈[2，＋∞)． ∴当0≤t <2时原不等式的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，t2＋1；当t ＝2时x ∈[2，＋∞)．求解该类问题的关键是去绝对值符号，常运用零点分段法去绝对值，此外还常利用绝对值的几何意义求解．考点二不等式的证明|不等式的证明是考查热点、归纳起来常见的命题角度有： 1．比较法证明不等式． 2．综合法证明不等式． 3．分析法证明不等式． 4．放缩法证明绝对值不等式．探究一比较法证明不等式1．(2016·莆田模拟)设a ，b 是非负实数．求证：a 2＋b 2≥ab (a ＋b )．证明：因为(a 2＋b 2)－ab (a ＋b ) ＝(a 2－a ab )＋(b 2－b ab ) ＝a a (a －b )＋b b (b －a ) ＝(a －b )(a a －b b ) ＝(a 12－b 12)(a 32－b 32)因为a ≥0，b ≥0，所以不论a ≥b ≥0，还是0≤a ≤b ，都有a 12－b 12与a 32－b 32同号，所以(a 12－b 12)(a 32－b 32)≥0，所以a 2＋b 2≥ab (a ＋b )．探究二综合法证明不等式2．(2015·长春三模)(1)已知a ，b 都是正数，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2； (2)已知a ，b ，c 都是正数，求证：a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2a ＋b ＋c ≥abc .证明：(1)(a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2)＝(a ＋b )(a －b )2. 因为a ，b 都是正数，所以a ＋b >0. 又因为a ≠b ，所以(a －b )2>0.于是(a ＋b )(a －b )2>0，即(a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2)>0，所以a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. (2)因为b 2＋c 2≥2bc ，a 2>0，所以a 2(b 2＋c 2)≥2a 2bc .① 同理b 2(a 2＋c 2)≥2ab 2c .② c 2(a 2＋b 2)≥2abc 2.③①②③相加得2(a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2)≥2a 2bc ＋2ab 2c ＋2abc 2，从而a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2≥abc (a ＋b ＋c )．由a ，b ，c 都是正数，得a ＋b ＋c >0，因此a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2a ＋b ＋c ≥abc .探究三分析法证明不等式3．已知a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a . 证明：要证b 2－ac <3a ，只需证b 2－ac <3a 2. ∵a ＋b ＋c ＝0，只需证b 2＋a (a ＋b )<3a 2. 只需证2a 2－ab －b 2>0，只需证(a －b )(2a ＋b )>0，只需证(a －b )(a －c )>0. ∵a >b >c ，∴a －b >0，a －c >0.∴(a －b )(a －c )>0显然成立，故原不等式成立．探究四放缩法证明绝对值不等式 4．已知x ，y ∈R ，且|x ＋y |≤16，|x －y |≤14，求证：|x ＋5y |≤1.证明：∵|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|. ∴由绝对值不等式的性质，得|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|≤|3(x ＋y )|＋|2(x －y )|＝3|x ＋y |＋2|x －y |≤3×16＋2×14＝1.即|x ＋5y |≤1.证明不等式的常用方法有比较法、综合法、分析法．如果已知条件与待证结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证命题是否定性命题、唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出的，则考虑用反证法；如果待证不等式与自然数有关，则考虑用数学归纳法等．在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．考点三绝对值不等式的综合应用|(2015·郑州二检)已知函数f(x)＝|3x＋2|.(1)解不等式f(x)<4－|x－1|；(2)已知m＋n＝1(m，n>0)，若|x－a|－f(x)≤1m＋1n(a>0)恒成立，求实数a的取值范围．[解](1)不等式f(x)<4－|x－1|，即|3x＋2|＋|x－1|<4.当x<－23时，即－3x－2－x＋1<4，解得－54<x<－23；当－23≤x≤1时，即3x＋2－x＋1<4，解得－23≤x<12；当x>1时，即3x＋2＋x－1<4，无解．综上所述，x∈⎝⎛⎭⎫－54，12.(2)1m＋1n＝⎝⎛⎭⎫1m＋1n(m＋n)＝1＋1＋nm＋mn≥4，令g(x)＝|x－a|－f(x)＝|x－a|－|3x＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋2＋a，x<－23－4x－2＋a，－23≤x≤a，－2x－2－a，x>a∴x＝－23时，g(x)max＝23＋a，要使不等式恒成立，只需g(x)max＝23＋a≤4，即0<a≤103.(1)研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，将原函数转化为分段函数，然后利用数形结合解决问题，这是常用的思想方法．(2)f(x)<a恒成立⇔f(x)max<a.f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a.设函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|. (1)求证：f (x )≥1； (2)若f (x )＝a 2＋2a 2＋1成立，求x 的取值范围．解：(1)证明：f (x )＝|x －1|＋|x －2|≥|(x －1)－(x －2)|＝1. (2)∵a 2＋2a 2＋1＝a 2＋1＋1a 2＋1＝a 2＋1＋1a 2＋1≥2，∴要使f (x )＝a 2＋2a 2＋1成立，需且只需|x －1|＋|x －2|≥2，即⎩⎪⎨⎪⎧x <1，1－x ＋2－x ≥2，或⎩⎪⎨⎪⎧1≤x <2，x －1＋2－x ≥2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x －1＋x －2≥2，解得x ≤12或x ≥52，故x 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12∪⎣⎡⎭⎫52，＋∞. 34.绝对值不等式中最值思想的应用【典例】 (1)求函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|的最小值．(2)若对任意实数x ，不等式|x ＋1|－|x －2|>a 恒成立，求a 的取值范围． [思考点拨] 利用绝对值不等式直接求最值．[解] (1)|x －1|＋|x ＋1|＝|1－x |＋|x ＋1|≥|1－x ＋x ＋1|＝2，当且仅当(1－x )(x ＋1)≥0，即－1≤x ≤1时取等号．故当－1≤x ≤1时，函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|取得最小值2.(2)因为a <|x ＋1|－|x －2|对任意实数恒成立所以a <(|x ＋1|－|x －2|)min . 因为||x ＋1|－|x －2||≤|(x ＋1)－(x －2)|＝3，所以－3≤|x ＋1|－|x －2|≤3. 所以(|x ＋1|－|x －2|)min ＝－3.所以a <－3，即a 的取值范围为(－∞，－3)．[方法点评] (1)要注意对原绝对值不等式进行转化，使之适合用绝对值三角不等式求最值；(2)求最值时要注意等号成立的条件．[跟踪练习] (2015·辽宁协作体一模)已知函数f (x )＝|2x ＋1|－|x |－2.(1)解不等式f (x)≥0；(2)若存在实数x ，使得f (x )≤|x |＋a ，求实数a 的取值范围．解：(1)不等式f (x )≥0等价于①⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－12，－1－2x ＋x －2≥0，或②⎩⎪⎨⎪⎧－12<x <0，2x ＋1＋x －2≥0，或③⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，2x ＋1－x －2≥0，解不等式组①得x ≤－3，不等式组②无解，解不等式组③得x ≥1，∴所求的不等式解集为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．(2)f (x )≤|x |＋a ，即为|2x ＋1|－2|x |≤2＋a ⇔⎪⎪⎪⎪x ＋12－|x |≤1＋a2. 由绝对值的几何意义，知⎪⎪⎪⎪x ＋12－|x |的最小值为－12，故要满足题意，只需－12≤1＋a2⇒a ≥－3.A 组考点能力演练1．已知|2x －3|≤1的解集为[m ，n ]． (1)求m ＋n 的值；(2)若|x －a |<m ，求证：|x |<|a |＋1.解：(1)由不等式|2x －3|≤1可化为－1≤2x －3≤1得1≤x ≤2， ∴m ＝1，n ＝2，m ＋n ＝3. (2)证明：若|x －a |<1，则|x |＝|x －a ＋a |≤|x －a |＋|a |<|a |＋1.即x <|a |＋1. 2．(2016·唐山一模)已知函数f (x )＝|2x －a |＋|x ＋1|. (1)当a ＝1时，解不等式f (x )<3； (2)若f (x )的最小值为1，求a 的值．解：(1)因为f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ≤－1，－x ＋2，－1<x <12，3x ，x ≥12，且f (1)＝f (－1)＝3，所以f (x )<3的解集为{x |－1<x <1}．(2)|2x －a |＋|x ＋1|＝⎪⎪⎪⎪x －a 2＋|x ＋1|＋⎪⎪⎪⎪x －a 2≥⎪⎪⎪⎪1＋a 2＋0＝⎪⎪⎪⎪1＋a 2，当且仅当(x ＋1)⎝⎛⎭⎫x －a 2≤0且x －a2＝0时，取等号．所以⎪⎪⎪⎪1＋a 2＝1，解得a ＝－4或0. 3．已知a ，b ，c >0且互不相等，abc ＝1.试证明： a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c.证明：因为a ，b ，c >0，且互不相等，abc ＝1，所以a ＋b ＋c ＝1bc＋1ac＋1ab <1b ＋1c 2＋1a ＋1c 2＋1a ＋1b 2＝1a ＋1b ＋1c，即a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c.4．已知函数f (x )＝m －|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]． (1)求m 的值；(2)若a ，b ，c ∈R ，且1a ＋12b ＋13c ＝m ，求z ＝a ＋2b ＋3c 的最小值．解：(1)∵f (x ＋2)＝m －|x |，∴f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m . 由|x |≤m 有解，得m ≥0，且其解集为{x |－m ≤x ≤m }．又∵f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]，∴m ＝1. (2)由(1)知1a ＋12b ＋13c ＝1，又∵a ，b ，c ∈R ，由柯西不等式得z ＝a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )⎝⎛⎭⎫1a ＋12b ＋13c ≥⎝⎛⎭⎫a ·1a ＋2b ·12b ＋3c ·13c 2＝9， ∴z ＝a ＋2b ＋3c 的最小值为9.5．(2016·大庆模拟)设函数f (x )＝|2x －1|－|x ＋4|. (1)解不等式：f (x )>0；(2)若f (x )＋3|x ＋4|≥|a －1|对一切实数x 均成立，求a 的取值范围．解：(1)原不等式即为|2x －1|－|x ＋4|>0，当x ≤－4时，不等式化为1－2x ＋x ＋4>0，解得x <5，即不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－4|2x －1|－|x ＋4|>0的解集是{x |x ≤－4}．当－4<x <12时，不等式化为1－2x －x －4>0，解得x <－1，即不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－4<x <12|2x －1|－|x ＋4|>0的解集是{x |－4<x <－1}．当x ≥12时，不等式化为2x －1－x －4>0，解得x >5，即不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12|2x －1|－|x ＋4|>0的解集是{x |x >5}．综上，原不等式的解集为{x |x <－1，或x >5}．(2)∵f (x )＋3|x ＋4|＝|2x －1|＋2|x ＋4|＝|1－2x |＋|2x ＋8|≥|(1－2x )＋(2x ＋8)|＝9. ∴由题意可知|a －1|≤9，解得－8≤a ≤10，故所求a 的取值范围是{a |－8≤a ≤10}．B 组高考题型专练1．(2015·高考重庆卷改编)若函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |的最小值为5，求实数a 的值．解：当a ＝－1时，f (x )＝3|x ＋1|≥0，不满足题意；当a <－1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －1＋2a ，x ≤a x －1－2a ，a <x ≤－13x ＋1－2a ，x >－1，f (x )min ＝f (a )＝－3a －1＋2a ＝5，解得a ＝－6；当a >－1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －1＋2a ，x ≤－1－x ＋1＋2a ，－1<x ≤a ，3x ＋1－2a ，x >af (x )min ＝f (a )＝－a ＋1＋2a ＝5，解得a ＝4.2．(2015·高考湖南卷)设a >0，b >0，且a ＋b ＝1a ＋1b .证明：(1)a ＋b ≥2；(2)a 2＋a <2与b 2＋b <2不可能同时成立．证明：由a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋bab，a >0，b >0，得ab ＝1.(1)由基本不等式及ab ＝1，有a ＋b ≥2ab ＝2，即a ＋b ≥2，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立．(2)假设a 2＋a <2与b 2＋b <2同时成立，则由a 2＋a <2及a >0得0<a <1；同理，0<b <1，从而ab <1，这与ab ＝1矛盾．故a 2＋a <2与b 2＋b <2不可能同时成立．3．(2015·高考陕西卷)已知关于x 的不等式|x ＋a |<b 的解集为{x |2<x <4}． (1)求实数a ，b 的值； (2)求at ＋12＋bt 的最大值．解：(1)由|x ＋a |<b ，得－b －a <x 0.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0. 当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解；当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得23<x <1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪23<x <2. (2)由题设可得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝⎛⎭⎫2a －13，0，B (2a ＋1,0)，C (a ，a ＋1)，则△ABC 的面积为23(a ＋1)2. 由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2. 所以a 的取值范围为(2，＋∞)．。

人教A高中数学选修45课后习题答案(清晰版)

2
因为 ab a2 b2 d 2 ，当且仅当 a b 时等号成立 22
人教 A 版高中数学课后习题解答答案
d2
所以当矩形为正方形时，面积取得最大值，最大值为
2 14、因为 r 2 ( h )2 R2 ，所以 4r 2 h2 4R2 .
2 根据三个正数的算术—几何平均不等式，得 4R2 2r 2 2r 2 h2 3 3 4r 4h2
1
即 a2 b2 c2 d 2 ab bc cd da
人教 A 版高中数学课后习题解答答案
8、因为 a12 x12 2a1x1 ， a22 x22 2a2x2 ，……， an2 xn2 2an xn 所以 (a12 a22 an2 ) (x12 x22 xn2 ) 2(a1x1 a2x2 anxn) 即 2 2(a1x1 a2x2 anxn) ，所以 a1x1 a2x2 anxn 1
所以 a3 b3 (a b)ab ， b3 c3 (b c)bc ， c3 a3 (c a)ca
所以 2(a3 b3 c3) a2(b c) b2(a c) c2(a b)
3、略.
4、要证明 1 1 1 0 ，即证明 1 1 1
ab bc ca
ab bc ac
12、（1）因为 a,b,c R ，所以
a b
b c
c a
33
a b
b c
c a
3，
b a
c b
a c
33
b a
c b
a c
3
所以 ( a b c )( b c a ) 9 b c aa b c
（2）因为 a,b,c R ，所以 a b c 33 abc 0 ， a2 b2 c2 33 a2b2c2 0

2019高三数学人教A版理一轮教师用书：选修4-5 第1节绝对值不等式含解析精品

选修4－5不等式选讲第一节绝对值不等式[考纲传真](教师用书独具)1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)，|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b，c∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.(对应学生用书第204页)[基础知识填充]1．绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b －c)≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解法：(2)|ax＋b|①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解；②利用零点分段法求解；③构造函数，利用函数的图象求解．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)|x－a|＋|x－b|的几何意义是表示数轴上的点x到点a，b的距离之和．()(2)不等式|a|－|b|≤|a＋b|等号成立的条件是ab≤0.()(3)不等式|a－b|≤|a|＋|b|等号成立的条件是ab≤0.()(4)当ab≥0时，|a＋b|＝|a|＋|b|成立．()[答案](1)√(2)×(3)√(4)√2．不等式1<|x＋1|<3的解集为()A．(0,2)B．(－2,0)∪(2,4)C．(－4,0) D．(－4，－2)∪(0,2)D[原不等式等价于1<x＋1<3或－3<x＋1<－1，∴0<x<2或－4<x<－2，∴原不等式的解集为(－4，－2)∪(0,2)，故选D．]3．不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是()A．(－∞，4) B．(－∞，1)C．(1,4) D．(1,5)A[①当x<1时，原不等式等价于1－x－(5－x)<2，即－4<2，恒成立，∴x<1.②当1≤x≤5时，原不等式等价于x－1－(5－x)<2，即x<4，∴1≤x＜4.③当x>5时，原不等式等价于x－1－(x－5)<2，即4<2，无解．综合①②③知x<4.]4．若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝________.2[∵|kx－4|≤2，∴－2≤kx－4≤2，∴2≤kx≤6.∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝2.]5．(教材改编)若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是________．(－∞，－3]∪[3，＋∞)[由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，∴|x＋1|＋|x－2|的最小值为3，要使|a|≥|x＋1|＋|x－2|有解，只需|a|≥3，∴a≥3或a≤－3.](对应学生用书第204页)(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|. (1)在图4-5-1-1中画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式|f (x )|>1的解集．图4-5-1-1[解] (1)由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1＜x ≤32，－x＋4，x ＞32，故y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由f (x )的函数表达式及图象可知，当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3；当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5. 故f (x )＞1的解集为{x |1＜x ＜3}， f (x )＜－1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或x ＞5.所以|f (x )|＞1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或1＜x ＜3或x ＞5. [规律方法] 解绝对值不等式的基本方法(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论，用零点分段法转化为解不含绝对值符号的普通不等式，零点分段法的操作程序是：找零点，分区间，分段讨论；(2)当不等式两端均非负时，可通过两边平方的方法转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解． [跟踪训练] (2018·海口调研)已知函数f (x )＝|x －2|. (1)求不等式f (x )＋x 2－4>0的解集；(2)设g (x )＝－|x ＋7|＋3m ，若关于x 的不等式f (x )<g (x )的解集非空，求实数m 的取值范围. 【导学号：97190399】[解] (1)原不等式可化为|x －2|>4－x 2，即x －2>4－x 2或x －2<x 2－4. 由x －2>4－x 2，得x >2或x <－3；由x －2<x 2－4，得x >2或x <－1.综上，原不等式的解集为{x |x >2或x <－1}． (2)原不等式等价于|x －2|＋|x ＋7|<3m 的解集非空．令h (x )＝|x －2|＋|x ＋7|，即h (x )mi n <3m ，由|x －2|＋|x ＋7|≥|x －2－x －7|＝9，所以h (x )mi n ＝9，由3m >9，解得m >3，所以m 的取值范围为(3，＋∞)．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )＜2的解集．(1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |＜|1＋ab |.[解] (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12＜x ＜12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时，由f (x )＜2得－2x ＜2，解得x ＞－1；当－12＜x ＜12时，f (x )＜2；当x ≥12时，由f (x )＜2得2x ＜2，解得x ＜1. 所以f (x )＜2的解集M ＝{x |－1＜x ＜1}．(2)证明：由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1＜a ＜1，－1＜b ＜1，从而(a ＋b )2－(1＋ab )2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1＝(a 2－1)(1－b 2)＜0.因此|a ＋b |＜|1＋ab |.[规律方法] 证明绝对值不等式三种常用方法(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明. (2)利用不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |进行证明. (3)转化为函数问题，利用数形结合进行证明.[跟踪训练] (2018·长沙模拟(二))已知函数f (x )＝|x ＋a 2|＋|x －a －1|. (1)证明：f (x )≥34；(2)若f (4)<13，求a 的取值范围． [解] (1)证明：f (x )＝|x ＋a 2|＋|x －a －1| ≥|(x ＋a 2)－(x －a －1)| ＝|a 2＋a ＋1| ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋34≥34. (2)因为f (4)＝|a 2＋4|＋|a －3|＝⎩⎨⎧a 2＋a ＋1，a ≥3，a 2－a ＋7，a <3，所以f (4)<13⇔⎩⎨⎧ a ≥3，a 2＋a ＋1<13或⎩⎨⎧a <3，a 2－a ＋7<13. 解得－2<a <3，即a 的取值范围是(－2,3)．(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求a 的取值范围． [解] (1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于 x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0.①当x <－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解；当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0，从而－1≤x ≤1；当x >1时，①式化为x 2＋x －4≤0，从而1＜x ≤－1＋172.所以f (x )≥g (x )的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤－1＋172. (2)当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2，所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]等价于当x ∈[－1,1]时，f (x )≥2. 又f (x )在[－1,1]的最小值必为f (－1)与f (1)之一，所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1. 所以a 的取值范围为[－1,1]．[规律方法] 1.研究含有绝对值的函数问题，常利用零点分段法或数形结合法求解.2.与恒成立或能成立相关的求参问题，常构造函数转化为求最值问题.[跟踪训练] (2018·郑州第二次质量预测)已知函数f (x )＝|2x ＋1|，g (x )＝|x |＋a .(1)当a ＝0时，解不等式f (x )≥g (x )；(2)若存在x ∈R ，使f (x )≤g (x )成立，求实数a 的取值范围.【导学号：97190400】[解] (1)当a ＝0时，由f (x )≥g (x )，得|2x ＋1|≥|x |. 两边平方整理，得3x 2＋4x ＋1≥0，解得x ≤－1或x ≥－13.所以原不等式的解集为(－∞，－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，＋∞.(2)由f (x )≤g (x )，得a ≥|2x ＋1|－|x |. 令h (x )＝|2x ＋1|－|x |，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1，x ≤－12，3x ＋1，－12<x <0，x ＋1，x ≥0.由分段函数图象可知h (x )mi n ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12，从而所求实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞.。

高中数学选修部分之不等式选讲新人教A版选修4-5

选修4_5 不等式选讲课题：第01课时不等式的基本性质目的要求：重点难点：教学过程：一、引入：不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。

《列子•汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。

要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。

而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。

本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。

人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。

还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。

生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a 克糖水中含有b 克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么?分析：起初的糖水浓度为a b ，加入m 克糖后的糖水浓度为m a m b ++，只要证m a m b ++>ab 即可。

怎么证呢?二、不等式的基本性质：1、实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：0>-⇔>b a b a0=-⇔=b a b a 0<-⇔<b a b a得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。

2、不等式的基本性质：①、如果a>b ，那么b<a ，如果b<a ，那么a>b 。

人教版高中数学选修4-5：第三讲3.3排序不等式含解析

人教版高中数学选修4-5：第三讲3.3排序不等式含解析第三讲柯西不等式与排序不等式 3.3 排序不等式A级基础巩固一、选择题a1a2a31．设正实数a1，a2，a3的任一排列为a1′，a2′，a3′，则值为( )A．3 C．9B．6 D．12＋＋的最小a1′a2′a3′111解析：a1≥a2≥a3＞0，则≥≥＞0，a3a2a1由乱序和不小于反序和知， a3a1a2a3所以＋＋≥＋＋＝3，a1′a2′a3′a1a2a3a1a2a3a1a2所以＋＋的最小值为3，故选A. a1′a2′a3′答案：A2．车间里有5 台机床同时出了故障，从第1 台到第5 台的修复时间依次为4 min，8 min，6 min，10 min，5 min，每台机床停产1 min损失5 元，经合理安排损失最少为( )A．420 元B．400 元C．450 元 D．570 元解析：损失最少为5(1×10＋2×8＋3×6＋4×5＋5×4)＝420(元)，反序和最小．答案：A3．设a，b，c∈R＋，M＝a5＋b5＋c5，N＝a3bc＋b3ac＋c3ab，则M与N的大小关系是( )A．M≥N C．M＜N解析：不妨设a≥b≥c＞0，则a4≥b4≥c4，运用排序不等式有：a5＋b5＋c5＝a・a4＋b・b4＋c・c4≥ac4＋ba4＋cb4，又a3≥b3≥c3＞0，且ab≥ac≥bc＞0，所以a4b＋b4c＋c4a＝a3ab＋b3bc＋c3ca≥a3bc＋b3ac＋c3ab，即a5＋b5＋c5≥a3bc＋b3ac＋c3ab，即M≥N. 答案：A4．已知a，b，c≥0，且a3＋b3＋c3＝3，则aA．1B．233b＋bc＋ca的最大值是( )B．M＝N D．M＞NC．3 D. 解析：设a≥b≥c≥0，所以由排序不等式可得ab＋ba ≥c＋cb ≥ a≤ac. a＋bb＋cc.而(a＋bb＋c所以aa＋bc≤3. b＋bb＋cc)2≤(aa)2＋(bb)2＋(cc)2](1＋1＋1)＝9，即aac＋ca≤3.答案：C5．已知a，b，c∈(0，＋∞)，则a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)的正负情况是( )A．大于零 C．小于零B．大于等于零 D．小于等于零解析：设a≥b≥c＞0，所以a3≥b3≥c3，根据排序原理，得a3・a＋b3・b＋c3・c≥a3b＋b3c＋c3a. 又知ab≥ac≥bc，a2≥b2≥c2，所以a3b＋b3c＋c3a≥a2bc＋b2ca＋c2ab. 所以a4＋b4＋c4≥a2bc＋b2ca＋c2ab，即a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥0. 答案：B 二、填空题6．设a1，a2，…，an为实数，b1，b2，…，bn是a1，a2，…，an的任一排列，则乘积a1b1＋a2b2＋…＋anbn不小于________．答案：a1an＋a2an－1＋…＋ana1ab＋cbc7．已知a，b，c都是正数，则＋＋≥________． c＋aa＋b感谢您的阅读，祝您生活愉快。

高中数学不等式选讲同步练测新人教A版选修45

不等式选讲（选修4-5人教实验Ａ版）一、选择题（每小题5分，共50分）1．不等式125x x -++≥的解集为( ) A.(][)+∞-∞-,22, B.(][)+∞-∞-,21, C.(][)+∞-∞-,32, D.(][)+∞-∞-,23,2.如果正数a ，b ，c ，d 满足a+b=cd=4，那么（） A.ab ≤c+d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值唯一B.ab ≥c+d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值唯一C.ab ≤c+d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值不唯一D.ab ≥c+d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值不唯一 3．设0,0,1x y xy A x y+>>=++,11x y B x y=+++，则,A B 的大小关系是（）A ．AB =B ．A B <C ．A B ≤D ．A B >4．函数46y x x =-+-的最小值为（） A ．2B ．4 D ．6 5．设,a b cn >>∈N ，且ca nc b b a -≥-+-11恒成立，则n 的最大值是（） A ．2 B ．3C ．4 D ．66．不等的两个正数,a b 满足3322a b a b -=-，则a b +的取值范围是（）A ．(1,)+∞B ．4(1,)3C ．4[1,]3D ．(0,1)7．设,,a b c +∈R ，且1ab c ++=，若1(1)M a =-11(1)(1)b c∙--，则必有（）A ．108M ≤B ．M N <C ．M N ≥D ．M N ≤ 9．,,,a b c d +∈R ，设a bS a b c b c d =+++++c d c d a d a b ++++++，则下列判断中正确的是（）A ．01S <<B ．12S <<C ．23S <<D ．34S <<10．已知函数f （x ）=log 2（x+1）且a ＞b ＞c ＞0，则()f a a 、()f b b 、()f c c 的大小关系是（） A.()f a a ＞()f b b ＞()f c c B.()f c c ＞()f b b ＞()f a aC.()f b b ＞()f a a ＞()f c cD.()f a a ＞()f c c ＞()f b b二、填空题（每小题5分，共20分） 11．若1,1,1,x y z x y z ≥≥≥=，且l gx yx y ∙lg 10z z ∙≥，则_____x y z ++=.12．函数23(0)1xy x x x =<++的值域是. 13．已知1,,1a b c -<<，比较ab bc ca ++与1-的大小关系为.14．设a 、b 、c 是三角形的三边长，则的最小值是.三、解答题（共80分） 15．（12分）已知1a b c ++=，求证：22213a b c ++≥. 16．（12分）解不等式：7340x x +-->.17．（14分）已知a ，b ，0c >，且不全相等，求222222()()()6a b c b a c c a b abc +++++>.18．（14分）已知1a ，2a ，…，+∈R n a ，且121=n a a a .求证：n n a a a 2)1()1)(1(21≥+++ .19.（14分）已知：,a b +∈R ，n ∈N ，n >1，求证：11--+≥+n n n n ab b a b a .20.（14分）设,,a b c +∈R , 求证：32a b c b cc aa b++≥+++.不等式选讲答题纸得分：一、选择题1．2．3．4．5．6．7． 8．9． 10．二、填空题11． 12． 13． 14．三、解答题15.16.17.18．19. 20．不等式选讲参考答案1.D 解析：当x ≤－2时，原不等式可以化为(1)(2)x x ---+≥5，解得x ≤－3，即不等式组2,125x x x ≤-⎧⎪⎨-++≥⎪⎩的解集是(,3]-∞-；当21x -<<时，原不等式可以化为(1)(2)x x --++≥5，即3≥5，矛盾，所以不等式组21,125x x x -<<⎧⎪⎨-++≥⎪⎩的解集为∅；当x ≥1时，原不等式可以化为(1)(2)x x -++≥5，解得x ≥2，即不等式组1,125x x x ≥⎧⎪⎨-++≥⎪⎩的解集是[2,)+∞.综上所述，原不等式的解集是(,3][2,)-∞-+∞.2.A 解析：因为a+b=cd=4，由基本不等式得a+b ≥ab ≤4.又cd ≤2()4c d +，故c+d ≥4，所以ab ≤c+d ，当且仅当a=b=c=d=2时，等号成立.故选A. 3．B 解析：11111x y x y x y B A x y x y y x x y+=+>+==++++++++，即A B <. 4．A 解析：46462y x x x x =-+-≥-+-=.5．C 解析：24a c a c a b b c a b b c b c a ba b b c a b b c a b b c---+--+---+=+=++≥------， 114a b b c a c ∴+≥---.而ca n cb b a -≥-+-11恒成立，∴4n ≤. 6．B 解析：因为3322a b a b -=-，所以222,()()a ab b a b a b a b ab ++=++-+=.又2()04a b ab +<<，所以22()0()()4a b a b a b +<+-+<，解得413a b <+<.7．D解析：()()()(1)(1)(1)a b c a b c a b c b c a c a b M a b c abc +++++++++=---=≥8=.8．A 解析：,a b≠>>>9．B 解析：a b c da b c b c d c d a d a b +++++++++++1,a b c d a b c da b c d b c d a c d a b d a b c a b c d+++>+++==+++++++++++++++ 即1S >.因为a a a b c a c <+++，c c c d a a c <+++，b b b c d b d <+++，,d dd a b d b <+++ 所以1a c c a a b c c d a a c a c +<+=++++++，1,b d d bb c d d a b d b b d +<+=++++++ 所以2a b c da b c b c d c d a d a b+++<++++++++，即2S <.所以1 2.S << 10．B 解析：特殊值法.令a=7，b=3，c=1，满足a ＞b ＞c ＞0， ∴2log (11)1+＞2log (31)3+＞2log (71)7+. 11．12解析：lg lg lg 222lg()1lg lg lg 1,x y z x y z x y z ⋅⋅≥⇒++≥而2222lg lg lg (lg lg lg )2(lg lg lg lg lg lg )x y z x y z x y y z z x ++=++-++2[lg()]2(lg lg lg lg lg lg )12(lg lg lg lg lg lg )1,xyz x y y z z x x y y z z x =-++=-++≥即lg lg lg lg lg lg 0x y y z z x ++≤，而lg ,lg ,lg x y z 均不小于0，得lg lg lg lg lg lg 0x y y z z x ++=，此时lg lg 0x y ==，或lg lg 0y z ==，或lg lg 0z x ==，得1,10x y z ===，或1,10y z x ===，或1,10,x z y ===12.x y z ++=故12．[3,0)-解析：233111x y x x x x==++++，10,2,x x x <∴+≤-∴111x x ++≤-， ∴131030301111y x x x x-≤<⇒-≤<⇒-≤<++++.13．1ab bc ca ++>-解析：构造单调函数()()1f x b c x bc =+++，则(1)(1)(1)0f b c =++>，(1)(1)(1)(1)(1)0f b c b c -=-+-+=-->，即11x -<<，()0f x >恒成立，所以()()10f a b c a bc =+++>，即1ab bc ca ++>-.14．3解析：由不等式的对称性，不妨设a b c ≥≥，则a c b -+≤b a c -+≤c b a -+，且20c a b --≤，20a b c --≥.∴3111a b c a b cb c a c a b a b c b c a c a b a b c ++-=-+-+-+-+-+-+-+-+-222a b c b a c c a b b c a c a b a b c------=++≥+-+-+-0222=-+--+-+--+-+--c b a b a c c b a a c b c b a c b a .∴3a b cb c a c a b a b c++≥+-+-+-. 15．证法一：2222()(222)a b c a b c ab bc ac ++=++-++2222()2()a b c a b c ≥++-++，22223()()1a b c a b c ∴++≥++=.22213a b c ∴++≥. 证法二：22222221()33a b c a b c a b c ++++-=++-2222221(222222)31[()()()]0,3a b c ab bc ac a b b c a c =++---=-+-+-≥2221.3a b c ∴++≥证法三：2222222(111)()()1,a b c a b c ++++≥++=即2223()1a b c ++≥，2221.3a b c ∴++≥16．解：原不等式可化为73410,x x +--> 当43x >时，原不等式为7(34)10,x x +-->得52x <+，即4532x <<+；当473x -≤≤时，原不等式为7(34)10,x x ++->得124x >--，即14243x --<≤；当7x <-时，原不等式为(7)(34)10,x x -++->得62x >-，与7x <-矛盾.所以原不等式的解为15242x --<<+ 17.分析：观察欲证不等式的特点，左边3项每一项都是两个数的平方之和与另一个数之积，右边是三个数的积的6倍.这种结构特点启发我们采用如下方法.证明：因为22b c +≥2bc ，0a >，所以22()a b c +≥2abc . ① 因为22c a +≥2ac ，0b >，所以22()b c a +≥2abc . ② 因为22a b +≥2ab ，0c >，所以22()c a b +≥2abc . ③ 由于a ，b ，c 不全相等，所以上述①②③式中至少有一个不取等号，把它们相加得222222()()()6a b c b a c c a b abc +++++>.18．分析：观察要证明的结论，左边是n 个因式的乘积，右边是2的n 次方，再结合121=n a a a ，发现如果能将左边转化为1a ，2a ，…，n a 的乘积，问题就能得到解决. 证明：因为+∈R 1a ，所以111121a a a =⋅≥+，即1121a a ≥+. 同理，2221a a ≥+，…，n n a a 21≥+.因为1a ，2a ，…，n a ∈，由不等式的性质，得n n n n a a a a a a 22)1()1)(1(2121≥≥+++ .因为1=i a 时，i i a a 21≥+取等号，所以原式在121====n a a a 时取等号.19. 证明:（1）当2=n 时，ab ab ab b a 222=+≥+，不等式成立；（2）若k n =时，11--+≥+k k k k ab b a b a 成立，则111111)()(+--++++-+≥+-+=+k k k k k k k k k k b ab ab b a a b ab b a a b a=k k k k k k k k k k ab b a b a b ab b a b ab b a ab b a +≥-++=+-++-+-21112)()2(，即k k k k ab b a b a+≥+++11成立.根据（1）、（2），11--+≥+n n n n ab b a b a 对于大于1的正整数n 都成立.20.证法一：要证原不等式成立，只需证：9111,2a b c b c c a a b +++++≥+++ 即只需证：111[2()]()9,a b c b c c a a b++++≥+++ 由柯西不等式易知上式显然成立，所以原不等式成立. 证法二：由对称性，不妨设：0a b c ≥≥>,则111b c c a a b≥≥+++，所以（顺序和）a b c b c ab c c a a b b c c a a b++≥++++++++（乱序和），（顺序和）a b c c a bb c c a a b b c c a a b++≥++++++++（乱序和）.将以上两式相加即得：32a b cb c c a a b++≥+++.。

【人教A版】高中数学选修4-5课后习题解答

新课程标准数学选修4—5 不等式选讲课后习题解答第一讲不等式和绝对值不等式习题1.1 （P9）1、（1）假命题. 假如32>，但是3(1)2(1)⋅-<⋅-. （2）假命题. 假如32>，但是223020⋅=⋅. （3）假命题. 假如12->-，但是22(1)(2)-<-.（4）真命题. 因为c d <，所以c d ->-，因此a c a d ->-. 又a b >，所以a d b d ->-. 因此a c b d ->-. 2、因为22(1)(2)(3)(6)(32)(318)200x x x x x x x x ++--+=++-+-=> 所以(1)(2)(3)(6)x x x x ++>-+3、（1）因为a b >，10ab >，所以11a b ab ab ⨯>⨯，即11b a>，即11a b <；（2）因为a b >，0c <，所以ac bc <. 因为c d <，0b >，所以bc bd <. 因此ac bd <.4、不能得出. 举反例如下：例如23->-，14->-，但是(2)(1)(3)(4)-⨯-<-⨯-.5、（1）因为,a b R +∈，a b ≠，所以22a b ≠，即b aa b ≠. 所以2b a a b +>=.（2）因为0a b +>>，所以1a b <+所以122ab ab a b ⨯<=+2aba b <+6、因为,,a b c 是不全相等的正数所以a b +≥b c +≥，c a +≥，以上不等式不可能全取等号.所以（1）()()()8a b b c c a abc +++>=（2）()()()a b b c c a +++++>所以a b c ++>7、因为222a b ab +≥，222b c bc +≥，222c d cd +≥，222d a da +≥ 所以22222222()()()()2()a b b c c d d a ab bc cd da +++++++≥+++ 即2222a b c d ab bc cd da +++≥+++8、因为2211112a x a x +≥，2222222a x a x +≥，……，222n n n n a x a x +≥ 所以22222212121122()()2()n n n n a a a x x x a x a x a x +++++++≥+++即112222()n n a x a x a x ≥+++，所以11221n n a x a x a x +++≤9、因为2222222222(2)()()02244x y x y x y x y xy x y +++-++--==≥，所以222()22x y x y ++≥. 10222=≥=22≥11、因为,,a b c R +∈，1a b c ++=，所以2222222223()2()()a b c a b c a b c ++=+++++222222222222()()()()222()()1a b b c c a a b c a b b c c a a b ca b c =++++++++≥+++++=++=所以22213a b c ++≥12、（1）因为,,a b c R +∈，所以3a b c b c a ++≥，3b c a a b c ++≥= 所以()()9a b c b c ab c a a b c++++≥（2）因为,,a b c R +∈，所以0a b c ++≥>，2220a b c ++≥所以222()()9a b c a b c abc ++++≥= 13、设矩形两边分别为,a b ，对角线为定值d ，则222a b d +=∴222222()22()2a b a b ab a b d +=++≤+=∴a b +≤，2()a b +≤ ∴当且仅当a b =时，以上不等式取等号.∴当矩形为正方形时，周长取得最大值，最大值为因为22222a b d ab +≤=，当且仅当a b =时等号成立所以当矩形为正方形时，面积取得最大值，最大值为22d14、因为222()2h r R +=，所以22244r h R +=.根据三个正数的算术—几何平均不等式，得2222422R r r h =++≥所以，球内接圆柱的体积2V r h π=≤当且仅当222r h =，即r =，h R =时，V 取最大值.15、因为222a b ab +≥，所以2212ab a b ≤+，即2212b a a b ⨯≤+. 由于220min{,}b h a a a b <=≤+，22220min{,}b bh a a b a b <=≤++所以22212b h a a b ≤⨯≤+，从而h ≤习题1.2 （P19）1、（1）()()22a b a b a b a b a a ++-≥++-==（2）2()2a b b a b b a b -+≥-+=+，所以2a b a b b +--≤2、证法一：2212112x xx x x x x x+++==≥=. 证法二：容易看出，无论0x >，还是0x <，均有11x x x x+=+所以112x x x x +=+≥3、（1）()()x a x b a x x b a x x b a b -+-=-+-≥-+-=- （2）因为()()a b x b b a x b b a x b x a -+-=-+-≥-+-=- 所以x a x b a b ---≤-另证：()()x a x b x a x b a b ---≤---=-4、（1）()()()()22A B a b A a B b A a B b εεε+-+=-+-≤-+-<+=（2）()()()()22A B a b A a b B A a b B A a B b εεε---=-+-≤-+-=-+-<+=5、4646(4)(6)2y x x x x x x =-+-=-+-≥-+-= 当且仅当(4)(6)0x x --≥，即[4,6]x ∈时，函数y 取最小值2.6、7、8、（1）5235x -<-< 228x -<< 14x -<<∴原不等式的解集为(1,4)-（2）251x -≤-或251x -≥ 24x ≤或26x ≥ 2x ≤或3x ≥∴原不等式的解集为(,2][3,)-∞+∞ （3）13132x -<+< 1422x -<<84x -<<∴原不等式的解集为(8,4)-（4）2418x -≥ 414x -≥414x -≤-或414x -≥ 43x ≤-或45x ≥ 34x ≤-或54x ≥ ∴原不等式的解集为35(,][,)44-∞-+∞（1）6341x -≤+<-或1346x <+≤ 1035x -≤<-或332x -≤≤ 10533x -≤<-或213x -≤≤ ∴原不等式的解集为1052[,)(1,]333---（2）9523x -<-≤-或3529x ≤-< 1428x -<-≤-或224x -≤-< 47x ≤<或21x -<≤ ∴原不等式的解集为(2,1][4,7)-（1）令30x -=，50x -=得3x =，5x = ①当3x <时354x x -+-+≥9、(1,)a ∈+∞第二讲证明不等式的基本方法习题2.1 （P23）1、因为a b >，所以0a b ->. 因此33()a b ab a b ---222222()()()()()()()0a b a ab b ab a b a b a ab b ab a b a b =-++--=-++-=-+>所以33()a b ab a b ->-2、因为ad bc ≠，所以22222()()()a b c d ac bd ++-+（2）令20x -=，30x +=得2x =，3x =- ①当3x <-时234x x -+--≥ 52x ≤-∴3x <-②当32x -≤<时234x x -+++≥ 54≥ ∴32x -≤< ③当2x ≥时234x x -++≥32x ≥∴2x ≥∴原不等式的解集为R（3）令10x -=，20x -=得1x =，2x = ①当1x <时122x x -+-+<12x >∴112x << ②当12x ≤<时 122x x --+< 12< ∴12x ≤< ③当2x ≥时122x x -+-<52x <∴522x ≤<∴原不等式的解集为15(,)22222222222222()(2)()0a c a dbc bd a c a b c d b da dbc =+++-++=->所以22222()()()a b c d ac bd ++>+3、因为a b ≠，所以42242264()a a b b ab a b ++-+4224222222222222424()4()2()(2)(2)(2)()0a ab b a b ab a ba b a b a b a b a b a b a b =++-++=+-+⋅+=+-=->所以42242264()a a b b ab a b ++>+ 4、因为,,a b c 是正数，不妨设0a b c ≥≥>，则()1a b a b -≥，()1b c b c -≥，()1c a ca -≥因为0b c c aaa bc+++>，且222222()()(a b c a bcbcab ccaaba bc a babca bcbc a---------+++==≥所以222a b c b c c a a b a b c a b c +++≥ 习题2.2 （P25）1、因为222252(2)(2)(1)0a b a b a b ++--=-+-≥，所以2252(2)a b a b ++≥-.2、（1）因为2(1)()(1)(1)()()ab a b ab ac bc c a b a c b c ++++++=++++16c a b c ≥⨯= 所以2(1)()16ab a b ab ac bc c abc ++++++≥（2）因为3322()()()()()a b a b ab a b a ab b a b ab +-+=+-+-+222()(2)()()0a b a a b b a b a b =+-+=+-≥ 所以33()a b a b ab +≥+，33()b c b c bc +≥+，33()c a c a ca +≥+ 所以3332222()()()()a b c a b c b a c c a b ++≥+++++ 3、略.4、要证明1110a b b c c a ++>---，即证明111a b b c a c+>--- 因为a b c >>，所以0a c a b ->->，从而110a b a c>>-- 又因为10b c >-，所以111a b b c a c +>---，所以1110a b b c c a ++>---5、要证2m m n +≥()2m nn m m n m n ++≥.因为2()()2m n m n m nm n mn ++++≥= 只需证2()m n n m mn m n +≥，即证22()m n n m mn m n +≥，只需证()1m n mn -≥，不妨设m n ≥，则0m n -≥所以()1m n mn -≥. 所以，原不等式成立.6、要证明()()f a f b a b -<-，即a b <-，即a b <-因为a b ≠，所以只需证a b +<∵a b a b +≤+<∴a b +<，从而原不等式成立.7、22log (1)log (1)[(log (1)log (1)][(log (1)log (1)]a a a a a a x x x x x x --+=-++--+21l o g (1)l o g 1a a xx x -=-+ 又因为01x <<，所以2011x <-<，1011xx-<<+. 所以21log (1)log 01a axx x -->+ 所以22log (1)log (1)0a a x x --+>，即22log (1)log (1)a a x x ->+ 从而log (1)log (1)a a x x ->+8、因为0n >，所以2244322n n n n n +=++≥= 9、因为22221(1)(1)0ab a b a b ---=-->，所以1ab a b ->-习题2.3 （P29）1、因为0,,1a b c <<，根据基本不等式2(1)10(1)()24a a a a -+<-≤= 2(1)10(1)()24b b b b -+<-≤=，2(1)10(1)()24c c c c -+<-≤= 所以31(1)(1)(1)()4a a b b c c -⨯-⨯-≤假设(1),(1),(1)a b b c c a ---都大于14，则31(1)(1)(1)()4a b b c c a -⨯-⨯->这与31(1)(1)(1)()4a ab bc c -⨯-⨯-≤矛盾. 所以(1),(1),(1)a b b c c a ---不能都大于14.2、一方面，222211111111234233445(1)n n n ++++>++++⨯⨯⨯+1111111111()()()()233445121n n n =-+-+-++-=-++ 另一方面，222211111111234122334(1)n n n++++<++++⨯⨯⨯-111111111(1)()()()1223341n n n n n-=-+-+-++-=-=-所以，2222111111121234n n n n --<++++<+3、当1n =时，不等式12n++<1<.当2n ≥<<<<所以1<，<-，<，……，<所以11(3nn++4、假设2211(1)(1)9x y --<. 由于,0x y >且1x y += 所以2222221111(1)(1)x y x y x y----=⨯2222(1)(1)(1)(1)(1)(1)111291x x y y x y x y y x x y x y x y x x x x+-+-=⨯++=⨯++=⨯+-=⨯<-得2(21)0x -<，这与2(21)0x -≥矛盾，所以2211(1)(1)9x y--≥ 5、因为2r h V π=（定值）所以，圆柱的表面积222S r rh ππ=+22r rh rhπππ=++≥== 当且仅当22r rh rh πππ==时，等号成立.所以，当2h r =，即h r ==. 6、2(1π 第三讲柯西不等式与排序不等式习题3.1 （P36）1、函数定义域为[5,6]，且0y ≥5y=≤=当且仅当=13425x=时，函数有最大值5.2、三维柯西不等式2222222123123112233()()()a a ab b b a b a b a b++++≥++三维三角不等式2221)(z x+≥-3、因为22236x y+≤，所以2x y+≤=.因此2x y+4、因为221a b+=，所以cos sin1a bθθ+≤5、因为1a b+=，所以2212121212()()(()ax bx bx ax a b x x x x++≥=+=6、222()(14)(2)1x y x y++≥+=，即2215x y+≥当且仅当12,55x y==时，22x y+有最小值157、2119()(2)22a bb a++≥=当且仅当21ab=（,a b R+∈）时，函数有最小值928、12()()pf x qf x+=12()f px qx=+9、3sin3siny x x=++≤=当且仅当tan x=习题3.2 （P41）1、22111111()()39a b ca b c a b c++=++++≥==推广：若12,,,nx x x R+∈，且121nx x x+++=，则212111nnx x x+++≥.证：121212111111()()n n nx x x x x x x x x +++=++++++221x n x ≥+⋅= 2、因为2222222222224()(1111)()a b c d a b c d +++=++++++ 222(1111)()11a b c d a b c d ≥⋅+⋅+⋅+⋅=+++==所以222214a b c d +++≥ 3、22121212111111()()()n n n x x x x x x n x x x x x x ++++++≥⋅+⋅++⋅= 4、2221112()a b b c ca ab bc c a++=++++++++222111()()9a b b c c a a b c a b c a b c a b b c c aa b c+++=+++++++++++++≥+===++上式中等号不成立，这是由于,,a b c 是互不相等的正数，所以111:::a b b c c a a b c a b a b c b c a b c c a+++≠≠+++++++++.5、因为2222222()(234)(234)10100x y z xy z ++++≥++==，所以22210029x y z ++≥.当且仅当203040,,292929x y z ===时，222x y z ++有最小值10029. 6、因为2221212()(1)111n nx x x n x x x +++++++222121212212()[(1)(1)(1)]111()1n n nn x x x x x x x x x x x x =++++++++++++≥+++=所以222121211111n n x x x x x x n +++≥++++ 习题3.3 （P45） 1、由加法交换律及12,,,n c c c 的任意性，不妨假设12n a a a ≤≤≤，这不影响题意.由排序不等式，等222112212n n na c a c a c a a a +++≤+++. 2、由于要证的式子中,,a b c 是轮换对称的，所以不妨假设a b c ≤≤. 于是222a b c ≤≤.由排序不等式，得222222a a b b c c a b b c c a ++≥++222222a a b b c c a c b a c b ++≥++两式相加，得3332222()()()()a b c a b c b c a c a b ++≥+++++ 3、由于要证的式子中123,,a a a 是轮换对称的，所以不妨假设123a a a ≥≥. 于是123111a a a ≤≤，233112a a a a a a ≤≤ 由排序不等式，得122331233112231312312111a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++≥⋅+⋅+⋅=++ 即122331231312a a a a a a a a a a a a ++≥++ 4、用柯西不等式证明如下：因为2222212123112231()()()n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a -++++++++≥+++所以222212112231n n n n a a a aa a a a a a a -++++≥+++.用排序不等式证明如下：设120n i i i a a a ≥≥≥>，其中12,,,n i i i 是1,2,,n 的一个排列则12222ni i i a a a ≥≥≥，12111ni i i a a a ≤≤≤.由排序不等式知，反序和最小，从而12122222222121231111n nn n i i i n i i i a a a a a a a a a a a a a a -++++≥⋅+⋅++⋅1212n i i i n a a a a a a =+++=+++所以222212112231n n n n a a a a a a a a a a a -++++≥+++习题4.1 （P50）1、（1）当1n =时，左边=1，右边=1，所以，左边=右边，命题成立.（2）假设当(1)n k k =≥时，命题成立，即2135(21)k k ++++-=.当1n k =+时，22135(21)2(1)12(1)1(1)k k k k k ++++-++-=++-=+.所以，当1n k =+时，命题成立. 由（1）（2）知，2135(21)n n ++++-=2、（1）当1n =时，左边=1，右边11(11)(211)16=⨯⨯+⨯+=，所以，左边=右边，命题成立. （2）假设当(1)n k k =≥时，命题成立，即21149(1)(21)6k k k k ++++=++.当1n k =+时，2221149(1)(1)(21)(1)6k k k k k k ++++++=++++21(1)(276)61(1)(2)[2(1)1]6k k k k k k =+++=++++所以，当1n k =+时，命题成立.由（1）（2）知，21149(1)(21)6n n n n ++++=++3、（1）当1n =时，左边144=⨯=，右边2124=⨯=，所以，左边=右边，命题成立. （2）假设当(1)n k k =≥时，命题成立，即21427310(31)(1)k k k k ⨯+⨯+⨯+++=+.当1n k =+时，1427310(31)(1)[3(1)1]k k k k ⨯+⨯+⨯+++++++2(1)(1)[3(1)1]k k k k =+++++ 22(1)(44)(1)[(1)1]k k k k k =+++=+++ 所以，当1n k =+时，命题成立. 由（1）（2）知，21427310(31)(1)n n n n ⨯+⨯+⨯+++=+4、（1）当1n =时，因为211211x y x y ⨯-⨯-+=+能被x y +整除，所以命题成立. （2）假设当(1)n k k =≥时，命题成立，即2121k k x y --+能被x y +整除. 当1n k =+时， 2(1)12(1)12121k k k k x y x y +-+-+++=+2122212122212212212212121222212121()()()()()k k k k k k k k k k k k x x y y x x x y x y y y x xyyy x x x y yy x y x------------=+=+-+=++-=+++-上式前后两部分都能被x y +整除，所以，当1n k =+时命题成立. 由（1）（2）知，2121n n x y --+能被x y +整除.5、凸n 边形有1(3)2n n -条对角线. 下面证明这个命题.（1）当3n =时，三角形没有对角线，即三角形有0条对角线，命题成立.（2）假设当(3)n k k =≥时，命题成立，即凸k 边形有1(3)2k k -条对角线.当1n k =+时，凸(1)k +边形的对角线条数为2111(3)(2)1(2)(1)[(1)3]222k k k k k k k -+-+=--=++- 所以，当1n k =+时，命题成立.由（1）（2）知，凸n 边形有1(3)2n n -条对角线.6、这样的n 条直线把平面分成的区域数目为1(1)2n nf n =++. 下面证明这个命题.（1）当1n =时，平面被分为112+=个区域，111(11)22f =++=，命题成立.（2）假设当(1)n k k =≥时，命题成立，即有1(1)2k kf k =++.当1n k =+时，第1k +条直线与前面k 条直线有k 个不同交点即，它被前面k 条直线截成1k +段，其中每一段都把它所在的原区域一分为二，也即使原区域数目增加1k +.于是11(1)1(1)(1)1(2)22k k k k f f k k k k ++=++=++++=++ 2111(3)(2)1(2)(1)[(1)3]222k k k k k k k -+-+=--=++- 所以，当1n k =+时，命题成立. 由（1）（2）知，对任意正整数n ，命题都成立. 习题4.2 （P53）1、（1）当3n =时，左边11(123)(1)1123=++++=，右边233111=+-=所以，左边=右边，命题成立. （2）假设当(3)n k k =≥时，命题成立，即211(12)(1)12k k k k++++++≥+-. 当1n k =+时，111(121)(1)21k k k k ++++++++++ 22222111111(12)(1)(12)(1)(1)2121111111111(1)(1)(1)2121211111111(1)(1)(1)21223413251221231(1)(1)1k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k =++++++++++++++++++≥+-+++++++++++++++>+-+++++++++=+-+++>++=+++-所以，当1n k =+时，命题成立. 由（1）（2）知，命题对大于2的一切正整数成立. 2、（1）当17n ≥时，有42n n >.①当17n =时，17421310728352117=>=，命题成立. ②假设当(17)n k k =≥时，命题成立，即42k k > 当1n k =+时，14422221k kk k k k k k k k +=⋅>>+>++++=+所以，当1n k =+时，命题成立.由①②知，命题对一切不小于17的正整数成立.（2）当3n ≥时，有1(1)n n n+<.①当3n =时，3164(1)3327+=<，命题成立. ②假设当(3)n k k =≥时，命题成立，即1(1)k k k+<当1n k =+时，1111(1)(1)(1)111k k k k k ++=+++++ 11(1)(1)11(1)11k k k k k k <+++<++<+ 所以，当1n k =+时，命题成立.由①②知，命题对一切不小于3的正整数成立.3、（1）当2n =时，212122-<，命题成立.（2）假设当(2)n k k =≥时，命题成立，即222111123k k k-+++< 当1n k =+时，2222211111123(1)(1)k k k k k -++++<+++3232221(1)1(1)(1)1k k k k k k k k k k +-++-=<=+++ 所以，当1n k =+时，命题成立. 由（1）（2）知，命题对任意大于1的正整数成立. 4、不妨设a b c <<，a b d =-，c b d =+.（1）当2n =时，2222222()()222a c b d b d b d b +=-++=+>，命题成立. （2）假设当(2)n k k =≥时，命题成立，即2k k k a c b +> 当1n k =+时，1111k k k k k k a c a ac ac c +++++=+-+1()()()2222()22()22k k k k k k kkkkkk k a a c c c a a a c d ca b d c b d b d cb d b d b b+=++-=++>+=-+>-+= 所以，当1n k =+时，命题成立. 由（1）（2）知，命题对一切大于1的正整数成立.5、（1）当1n =时，212(11)22⨯+<，命题成立.（2）假设当(1)n k k =≥时，命题成立，即2(1)(1)22k k k k a ++<<. 当1n k =+时，2(1)(1)22k k k k a +++<+<21(1)(1)23(1)222k k k k k k a ++++++<<+ 21(1)(2)(2)22k k k k a ++++<<所以，当1n k =+时，命题成立.由（1）（2）知，命题对一切正整数成立.6、（1）当2n =时，12121212sin()sin cos cos sin sin sin αααααααα+=+<+，命题成立.（2）假设当(2)n k k =≥时，命题成立，即1212sin()sin sin sin k k αααααα+++<+++当1n k =+时，121sin()k k αααα+++++121121121121sin()cos cos()sin sin()sin sin sin sin sin k k k k k k k k αααααααααααααααα++++=+++++++≤++++<++++所以，当1n k =+时，命题成立. 由（1）（2）知，命题对一切大于1的正整数成立.7、（1）当2n =时，2222212121122()()()a a b b a b a b ++≥+，命题成立.（2）假设当(2)n k k =≥时，命题成立，即222222212121122()()()k k k k a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++当1n k =+时，22222222121121()()k k k k a a a a b b b b ++++++++++2222222222222222121212111211()()()()k k k k k k k k a a a b b b a a a b a b b b a b ++++=+++++++++++++++22222222211221111121222221122111111222112211()2()()()2()()k k k k k k k k k k k k k k k k k k a b a b a b a b a b a a a b b b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ++++++++++≥+++++++++++≥++++++++=+++所以，当1n k =+时，命题成立.由（1）（2）知，命题对一切不小于2的正整数成立即，222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++.8、（1）21212111()()n na a a n a a a ++++++≥ （2）①当1n =时，21111aa ⋅=，命题成立. ②假设当(2n k k =≥时，命题成立，即21212111()()k ka a a k a a a ++++++≥ 当1n k =+时，1211211111()()k k k k a a a a a a a a ++++++++++ 12121121122221111111()()()()11)()1(1)k k k kk kk a a a a a a a a a a a a a a k a a a a k k ++=+++++++++++++++≥+++++++≥+++所以，当1n k =+时，命题成立. 由①②知，命题对一切正整数成立。

高中数学不等式选讲同步练测新人教A版选修45

不等式选讲（选修4-5人教实验Ａ版）一、选择题（每小题5分，共50分）1．不等式125x x -++≥的解集为( ) A.(][)+∞-∞-,22,Y B.(][)+∞-∞-,21,Y C.(][)+∞-∞-,32,Y D.(][)+∞-∞-,23,Y2.如果正数a ，b ，c ，d 满足a+b=cd=4，那么（） A.ab ≤c+d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值唯一B.ab ≥c+d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值唯一C.ab ≤c+d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值不唯一D.ab ≥c+d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值不唯一 3．设0,0,1x y x y A x y+>>=++,11x y B x y=+++，则,A B 的大小关系是（）A ．AB =B ．A B <C ．A B ≤D ．A B >4．函数46y x x =-+-的最小值为（） A ．2B C ．4 D ．6 5．设,a b c n >>∈N ，且ca nc b b a -≥-+-11恒成立，则n 的最大值是（） A ．2 B ．3C ．4 D ．66．不等的两个正数,a b 满足3322a b a b -=-，则a b +的取值范围是（）A ．(1,)+∞B ．4(1,)3C ．4[1,]3D ．(0,1) 7．设,,a b c +∈R，且1a b c ++=，若1(1)M a=-11(1)(1)b c•--，则必有（）A．108M≤B ．M N <C ．M N ≥D ．M N ≤ 9．,,,a b c d +∈R ，设a bS a b c b c d =+++++c dc d a d a b ++++++，则下列判断中正确的是（）A ．01S <<B ．12S <<C ．23S <<D ．34S <<10．已知函数f （x ）=log 2（x+1）且a ＞b ＞c ＞0，则()f a a 、()f b b 、()f c c 的大小关系是（） A.()f a a ＞()f b b ＞()f c c B.()f c c ＞()f b b ＞()f a aC.()f b b ＞()f a a ＞()f c cD.()f a a ＞()f c c ＞()f b b二、填空题（每小题5分，共20分） 11．若1,1,1,10x y z xyz ≥≥≥=，且lg lg x y x y •lg 10z z •≥，则_____x y z ++=.12．函数23(0)1xy x x x =<++的值域是. 13．已知1,,1a b c -<<，比较ab bc ca ++与1-的大小关系为.14．设a 、b 、c 是三角形的三边长，则的最小值是.三、解答题（共80分） 15．（12分）已知1a b c ++=，求证：22213a b c ++≥. 16．（12分）解不等式：7343220x x +--+->.17．（14分）已知a ，b ，0c >，且不全相等，求222222()()()6a b c b a c c a b abc +++++>.18．（14分）已知1a ，2a ，…，+∈R n a ，且121=n a a a Λ.求证：nn a a a 2)1()1)(1(21≥+++Λ.19.（14分）已知：,a b +∈R ，n ∈N ，n >1，求证：11--+≥+n n n n ab b a b a .20.（14分）设,,a b c +∈R , 求证：32a b c b cc aa b++≥+++.不等式选讲答题纸得分：一、选择题1．2．3．4．5．6．7． 8．9． 10．二、填空题11． 12． 13． 14．三、解答题15.16.17.18．19. 20．不等式选讲参考答案1.D 解析：当x ≤－2时，原不等式可以化为(1)(2)x x ---+≥5，解得x ≤－3，即不等式组2,125x x x ≤-⎧⎪⎨-++≥⎪⎩的解集是(,3]-∞-；当21x -<<时，原不等式可以化为(1)(2)x x --++≥5，即3≥5，矛盾，所以不等式组21,125x x x -<<⎧⎪⎨-++≥⎪⎩的解集为∅；当x ≥1时，原不等式可以化为(1)(2)x x -++≥5，解得x ≥2，即不等式组1,125x x x ≥⎧⎪⎨-++≥⎪⎩的解集是[2,)+∞.综上所述，原不等式的解集是(,3][2,)-∞-+∞U .2.A 解析：因为a+b=cd=4，由基本不等式得a+b ≥ab ≤4.又cd ≤2()4c d +，故c+d ≥4，所以ab ≤c+d ，当且仅当a=b=c=d=2时，等号成立.故选A. 3．B 解析：11111x y x y x y B A x y x y y x x y+=+>+==++++++++，即A B <. 4．A 解析：46462y x x x x =-+-≥-+-=.5．C 解析：24a c a c a b b c a b b c b c a ba b b c a b b c a b b c---+--+---+=+=++≥------Q， 114a b b c a c ∴+≥---.而ca nc b b a -≥-+-11恒成立，∴4n ≤. 6．B 解析：因为3322a b a b -=-，所以222,()()a ab b a b a b a b ab ++=++-+=.又2()04a b ab +<<，所以22()0()()4a b a b a b +<+-+<，解得413a b <+<.7．D解析：()()()(1)(1)(1)a b c a b c a b c b c a c a b M a b c abc+++++++++=---=≥8=.8．A 解析：,a b≠>+>Q>>9．B 解析：a b c da b c b c d c d a d a b +++++++++++ 1,a b c d a b c d a b c d b c d a c d a b d a b c a b c d+++>+++==+++++++++++++++ 即1S >.因为a a a b c a c <+++，c c c d a a c <+++，b b b c d b d <+++，,d dd a b d b <+++所以1a c c a a b c c d a a c a c +<+=++++++，1,b d d bb c d d a b d b b d +<+=++++++所以2a b c da b c b c d c d a d a b+++<++++++++，即2S <.所以1 2.S <<10．B 解析：特殊值法.令a=7，b=3，c=1，满足a ＞b ＞c ＞0， ∴2log (11)1+＞2log (31)3+＞2log (71)7+. 11．12解析：lg lg lg 222lg()1lg lg lg 1,xy z xy z x y z ⋅⋅≥⇒++≥而2222lg lg lg (lg lg lg )2(lg lg lg lg lg lg )x y z x y z x y y z z x ++=++-++2[lg()]2(lg lg lg lg lg lg )12(lg lg lg lg lg lg )1,xyz x y y z z x x y y z z x =-++=-++≥即lg lg lg lg lg lg 0x y y z z x ++≤，而lg ,lg ,lg x y z 均不小于0，得lg lg lg lg lg lg 0x y y z z x ++=，此时lg lg 0x y ==，或lg lg 0y z ==，或lg lg 0z x ==，得1,10x y z ===，或1,10y z x ===，或1,10,x z y ===12.x y z ++=故12．[3,0)-解析：233111x y x x x x==++++，10,2,x x x <∴+≤-Q ∴111x x ++≤-， ∴131030301111y x x x x-≤<⇒-≤<⇒-≤<++++.13．1ab bc ca ++>-解析：构造单调函数()()1f x b c x bc =+++，则(1)(1)(1)0f b c =++>，(1)(1)(1)(1)(1)0f b c b c -=-+-+=-->，即11x -<<，()0f x >恒成立，所以()()10f a b c a bc =+++>，即1ab bc ca ++>-.14．3解析：由不等式的对称性，不妨设a b c ≥≥，则a c b -+≤b a c -+≤c b a -+，且20c a b --≤，20a b c --≥.∴3111a b c a b cb c a c a b a b c b c a c a b a b c ++-=-+-+-+-+-+-+-+-+-222a b c b a c c a b b c a c a b a b c------=++≥+-+-+-0222=-+--+-+--+-+--c b a b a c c b a a c b c b a c b a .∴3a b c b c a c a b a b c++≥+-+-+-. 15．证法一：2222()(222)a b c a b c ab bc ac ++=++-++Q 2222()2()a b c a b c ≥++-++，22223()()1a b c a b c ∴++≥++=.22213a b c ∴++≥. 证法二：22222221()33a b c a b c a b c ++++-=++-Q2222221(222222)31[()()()]0,3a b c ab bc ac a b b c a c =++---=-+-+-≥2221.3a b c ∴++≥证法三：2222222(111)()()1,a b c a b c ++++≥++=Q 即2223()1a b c ++≥，2221.3a b c ∴++≥16．解：原不等式可化为73410,x x +--> 当43x >时，原不等式为7(34)10,x x +--+>得52x <+，即4532x <<+；当473x -≤≤时，原不等式为7(34)10,x x ++-+>得124x >--，即14243x --<≤；当7x <-时，原不等式为(7)(34)10,x x -++-+>得62x >-，与7x <-矛盾.所以原不等式的解为1225.2x --<<+ 17.分析：观察欲证不等式的特点，左边3项每一项都是两个数的平方之和与另一个数之积，右边是三个数的积的6倍.这种结构特点启发我们采用如下方法.证明：因为22b c +≥2bc ，0a >，所以22()a b c +≥2abc . ① 因为22c a +≥2ac ，0b >，所以22()b c a +≥2abc . ② 因为22a b +≥2ab ，0c >，所以22()c a b +≥2abc . ③由于a ，b ，c 不全相等，所以上述①②③式中至少有一个不取等号，把它们相加得222222()()()6a b c b a c c a b abc +++++>.18．分析：观察要证明的结论，左边是n 个因式的乘积，右边是2的n 次方，再结合121=n a a a Λ，发现如果能将左边转化为1a ，2a ，…，n a 的乘积，问题就能得到解决.证明：因为+∈R 1a ，所以111121a a a =⋅≥+，即1121a a ≥+. 同理，2221a a ≥+，…，n n a a 21≥+.因为1a ，2a ，…，n a ∈，由不等式的性质，得n n n n a a a a a a 22)1()1)(1(2121≥≥+++ΛΛ.因为1=i a 时，i i a a 21≥+取等号，所以原式在121====n a a a Λ时取等号. 19. 证明:（1）当2=n 时，ab ab ab b a 222=+≥+，不等式成立；（2）若k n =时，11--+≥+k k k k ab b a b a 成立，则111111)()(+--++++-+≥+-+=+k k k k k k k k k k b ab ab b a a b ab b a a b a=k k k k k k k k kkab b a b a b ab b a b ab ba ab b a +≥-++=+-++-+-21112)()2(，即k k k k ab b a b a +≥+++11成立.根据（1）、（2），11--+≥+n n n n ab b a b a 对于大于1的正整数n 都成立. 20.证法一：要证原不等式成立，只需证：9111,2a b c b c c a a b +++++≥+++ 即只需证：111[2()]()9,a b c b c c a a b++++≥+++由柯西不等式易知上式显然成立，所以原不等式成立. 证法二：由对称性，不妨设：0a b c ≥≥>,则111b c c a a b≥≥+++，所以（顺序和）a b c b c ab c c a a b b c c a a b++≥++++++++（乱序和），（顺序和）a b c c a bb c c a a b b c c a a b++≥++++++++（乱序和）.将以上两式相加即得：32a b cb c c a a b++≥+++.。

人教A版高中数学选修45同步不等式和绝对值不等式4

解得x≤ 3,所以1≤x≤ . 3
2
2
因此原不等式的解集为[ 5 , 2] 2,1 [1, 3 ]＝[ 5 , 3].
2
2
22
方法二(几何法):x为不等式|x+2|+|x-1|≤4的解⇔x是与数轴上的点A(-2)及B(1)两点距离之和小于等于4的点. A,B两点的距离为3,因此线段AB上任何一点到A,B距离之和都等于3,因此都是原不等式的解,但我们需要找到原不等式解的全体,于是关键在于找到A,B距离之和为4的点.
类型二 |x-a|+|x-b|≥c与|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法【典例】解下列不等式:(1)|x-1|>|2x-3|. 世纪金榜导学号 (2)|x-1|+|x-2|>2.(3)|x+1|+|x+2|>3+x.
【思维·引】本例第(1)小题的解法是平方法,此解法适用于解 |f(x)|>|g(x)|或|f(x)|<|g(x)|型不等式,此外该题还可以用零点分段法和图象法求解.
2.绝对值不等式的解法
1.含绝对值不等式|x|<a与|x|>a的解法
1
x
a
a x a a
空集(a 0).
0,
x R a 0，
2
x
a
x
R且x
0a
0,
x a或x a a 0.
【思考】 |x|以及|x-a|±|x-b|表示的几何意义是什么? 提示:|x|的几何意义是数轴上表示数x的点到原点O的距离;|x-a|±|x-b|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数a,b的点的距离之和(差).
人教A 版高中数学选修4 5 同步不等式和绝对值不等式4

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