抛物线及其标准方程

“抛物线及其标准方程”（第一课时）教学设计数学组韦云校【教材分析】1、教材所处的位置及其前后联系浙江省中等职业学校二年级第八章第六部分内容为抛物线，是在学生掌握了椭圆，双曲线相关知识的基础上引出的，平面解析几何“抛物线及其标准方程”一节内容主要是抛物线的概念和抛物线标准方程(有四种形式)，这是继椭圆、双曲线之后的又一重要内容，有着广泛的应用。

本课是第一课时，它是学习抛物线的性质及其应用的基础。

根据抛物线定义推出的标准方程，也为以后用代数方法研究抛物线的几何性质和实际应用提供了必要的工具和基础，是解决实际生活中问题的有力工具之一。

对于中等职业学校的学生必须加以熟练掌握。

2、内容结构根据实际教学处理，抛物线及其标准方程这部分内容共分为三个层次：第一层次教师通过动画演示，给出抛物线的物理定义：抛物线是抛出的物体在空中所运动的轨迹；用数学定义——平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线来统一实际生活中出现的各种各样的抛物线；第二层次建立合理坐标系，推导出焦点在x正半轴上的抛物线的标准方程；第三层次由学生猜想焦点不在x正半轴上的抛物线的标准方程，并加以应用。

三个层次很自然，渐入高潮，且教学过程符合学生“由特殊到一般，又由一般回到特殊”的基本认知规律，并在很大程度上培养职高生“学以致用”的能力。

【学情分析】对中等职业学校的学生来说，数学基础欠扎实，思维、灵活性受基础等原因制约欠佳，对前后知识间的联系、理解、应用有一定难度，反应速度相对较慢。

根据以上特点，教师讲解时要放慢步骤，提高学生主体能动性，多加以前后知识间的联系，带领学生直接参与分析问题、解决问题并品尝劳动成果的喜悦，教学要按步就班，不要急于求成，要充分发挥学生的主体作用和教师的主导作用。

教师应加以积极引导，使其对标准方程的推导加以理解，并会加以应用。

【教学理念】《数学课程标准》明确指出“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践，自主探索和合作交流是学生学习数学的重要方式。

”并且把过程性目标确定为“经历”、“体验”和“探索”三个方面。

要倡导积极主动，勇于探索的学习方式，数学教学应从学生的生活经验和已有的知识背景出发，向他们提供充分的从事数学活动和交流的机会，让他们在自己的生活中寻找数学、发现数学、探究数学、认识数学和掌握数学。

让学生亲历探究发现过程，不仅是为了让学生通过多种活动去探索和获取数学知识，以达到对知识的深层理解，更主要的是使学生掌握发现、认识并理解数学的一般方法，学习科学的探究的方法。

因此亲历探究发现过程，不仅仅是一种获取知识的教学手段，而本身就是数学的重要目的。

为学生自主学习创设空间。

重视让学生提出猜想，树立假设。

因为对培养学生的能力而言，提出猜想、树立假设比验证更重要。

除了教师对学生进行评价外，更要重视学生对自己学习活动的反思和自我评价，重视学生之间的相互评价，以培养学生的反思能力，以及根据反思的结果自觉进行自我调控的能力。

【教学目标】知识与技能：掌握抛物线定义，明确焦点和准线的意义；掌握抛物线标准方程。

通过抛物线概念和标准方程的学习，培养学生分析、抽象和概括等逻辑思维能力，提高适当建立坐标系的能力，提高数形间对照、翻译和转换能力。

逐渐形成事物运动、变化、相互联系和转化的观点，学习用辩证唯物主义观点分析问题，认识问题。

过程与方法：从生活中的数学引入，加深学生对抛物线概念的理解，让学生的思维由问题开始，到猜想的得出，猜想的探究，标准方程的推导，公式的应用，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。

情感、态度与价值观：面向全体学生，创造良好平等的氛围，发挥学生的主体作用，调动学生的主动性和积极性，激发学生学习的兴趣。

【教学重点、难点】教学重点是:根据抛物线定义推导标准方程；教学难点是四种形式的标准方程的由来和区分。

【教法、学法】由于学生的数学基础普遍较薄弱，抽象、逻辑推理能力不强等特点，本节内容抛物线的定义及其标准方程和几何性质共分三个课时进行。

借助powerpoint、几何画板课件，从形象、动态的演示入手，使学生对抛物线有一个较为深刻的认识。

为了很好地突出重点，突破难点，圆满地完成本节课的教学任务，取得良好的教学效果，本节课的教学方法是，让学生的思维由问题开始，到猜想的得出，猜想的探究，标准方程的推导，公式的应用。

讲中有练，练中有讲，讲练结合，在讲与练的相互作用下，使学生的思维逐步深化。

在学法上主要指导学生掌握“观察——猜想——推导——应用”这一思维方法，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。

【教学工具】多媒体课件（《几何画板》）【教学过程】如果说钻研教材，钻研学生，研究教法与学法是搞好教学前提和基础的话，那么合理安排教学程序，则是教学成功的关键一环！为了更有效地针对学生，使学生学有所获，学有所成，我安排了如下步骤：（一）设置情景，引发探究兴趣是最好的老师。

如果一节课有个好的开头，那就意味着成功了一半。

可爱的动画演示，使学生认识“抛物线”存在于生活中，激发了学生的学习热情。

能第一时间吸引同学们的眼球，集中注意力；请同学列举，能将每一位学生都融入课堂，积极主动地参与，再加上生动形象的彩色图片，在加深概念的同时，渗透爱国主义教育。

①动画演示实例，让学生观察形成的曲线，初步给出抛物线的物理定义：抛物 线是投掷的物体在空中运动的轨迹。

动画演示1 动画演示2 ②请同学们列举现实生活中出现的抛物线形状的例子 多媒体演示草地浇水喷泉投掷卫星接受器 矿灯草地浇水完工于隋· 大业元年（公元605 年），距今已有1387精良，结构独创，造型匀称美丽，雕刻细致生动，列代都予重视和保护，列为世界文化遗产。

航天飞机在离开发射中心向太空攀升的过程中，由于地球曲率，形成一条美丽的抛物线。

高压水枪[设计意图]：由上述直观性问题情景引出了抛物线定义，顺理成章。

教学中处处注重师生之间的互动，注重学生观察、比较、分析、概括能力的培养，注重反思环节的落实。

通过学生亲身实践、主动思维，让学生在实践中得到体验，在反思中产生感悟，使学生学会思考并养成自主学习、勇于探索的良好习惯。

通过让学生动口参与教学活动，培养了学生自然观察的能力和数学语言的表达能力；同时通过欣赏生活中一些抛物线型建筑，不但加强了学生对抛物线的感性认识，而且使学生受到美的享受，陶冶了情操。

提问：如何统一地研究实际生活中出现的各种各样的抛物线？给出抛物线定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线。

这个定点F 称为抛物线的焦点，定直线l 称为抛物线的准线。

（二）合作交流，导出方程（1）描点作图 ①作轨迹上的一个点 特殊的一点：从F 到l 的垂线段的中点； 一般的一点：在直线l 上任取一点P ，连PF ，作PF 的中垂线m ，过点P 作l 的垂线交m 于 M ，则M 是轨迹上的一点；②作多个点，归纳得到轨迹的示意图在学生基本得到轨迹之后，教师借助于《几何画板》演示“动点轨迹”成昆线一线天桥立面示意m[设计意图]：抛物线的形成过程用动画演示让学生观察到由静止到运动，从孤立的点变成连续的曲线，使他们从屏幕中真正看到了“轨迹”，使学生易于理解，记忆深刻，为学习下一节“抛物线的性质”打下了基础。

让学生经历“从点到线”的过程，从中训练学生的归纳、直觉思维。

同时，突出点的特性也为后面求轨迹方程作了“铺垫”。

（2）求抛物线的方程已知：抛物线的焦点为F ，准线为l ， 求：抛物线的方程． 思考提示： ①作为已知条件，焦点F 到 准线l 的距离可以假设为p （已知）； ②从已知条件看，一般我们可以怎样取坐标系？（以l 为轴）[设计说明]关于怎样取坐标系才能得到标准方程的问题，不宜作过份开放的探究学习，因为在获得结果之前难于对方程形式作预测，更何况这里的建系方式与一般求轨迹方程时的建系略有不同．解：取过焦点F 且垂直于准线l 的直线为x 轴，x 轴与l 相交与点K ，一线段KF 的垂直平分线为y 轴，并且是焦点F 在x 轴的正半轴上，建立直角坐标系oxy ，如图所示。

设抛物线的焦点F 到准线的距离为p ，则 p FK =||，焦点F 的坐标为)0,2(p F ，准线2:p x l -=，设抛物线上任意一点),(y x M ，则 |2|)2(22p x y p x +=+- （同学们能看着此式说它的几何意义吗？）222)2()2(p x y p x +=+-⇔px y 22=⇔因此，)0(22>=p px y 就是“顶点在原点、焦点在x 正半轴上”的抛物线的标准方程．（3）其余三种抛物线的标准方程P焦点F 与准线ｌ的相对位置还有以下三种情况:入发展，数学思想才能变得更加清晰；通过多边合作，又可以增强学生的合作能力与群体创造意识。

教学中，只有在师生密切合作、共同探索的氛围中数学交流才能得以真正实施。

上述设计在探究抛物线标准方程时，通过师生的对话交流、密切合作和信息的互动，让学生体验合作交流探究的学习过程，并自觉地建构起抛物线标准方程的知识系统。

在其他三种坐标系下抛物线的方程，不必给学生详细推导，也不必画出其他三种标准坐标系，但是要让学生辨认焦点在x 轴的正半轴（或负半轴）上，抛物线的标准方程是px y 22=（或px y 22-=）；焦点在y 轴的正半轴（或负半轴）上，抛物线的标准方程是py x 22=（或py x 22-=）。

（三）实例分析，深化理解教师分析，当抛物线的标准方程为)0(22>=p px y 时，焦点坐标是)0,2(p ，即焦点的横坐标是方程中x 的系数2 p 的1，有的同学容易误认为是x 的系数的1。

变题 在例1，例2中，用描点法作抛物线感悟：①求给定抛物线的标准方程的基本方法是：待定系数法。

关键是定轴向——求p 值——写方程。

（若开口方向不定，则要注意分类讨论的思想。

）②在认识事物的过程中，我们不仅要善于从一些不同的事物中去发现它们的共同点，还要善于从一些相似的事物中去发现它们的不同点。

设计意图：以课本例题为本，通过变式训练这一环节，既让学生巩固和加深对抛物线及其标准方程的理解，又使学生在“练”的过程中通过反思、感悟，不断调整自己的认识结构和经验结构，完成人的经验自主建构的过程。

（四）总结提高，明确要点请同学们回顾一下本节课学了些什么内容，然后请一位同学起来回答（1）、抛物线的定义及活用定义解题；（3）、已知抛物线的标准方程求焦点坐标和准线方程，或已知焦点、准线方程求其标准方程，都应先“定位”，后“定量”。

（即先确定抛物线的焦点位置，设出其标准方程，然后再根据已知条件确定里面的未知量）。

设计意图：引导学生自我反馈、自我总结，并对所学知识进行提炼升华。