(整理)多元函数微分法及其应用81534

第八章 多元函数微分法及其应用一、多元函数的基本概念

1、平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概念

2、多元函数的极限

✧ 00(,)(,)

lim (,)x y x y f x y A →=（或0

lim (,)P P f x y A →=）的εδ-定义

✧

掌握判定多元函数极限不存在的方法：

（1）令(,

)P x y 沿y kx =趋向00(,)P x y ，若极限值与k 有关，则可断言函数极限不存在；

（2）找两种不同趋近方式，若00(,)(,)

lim (,)x y x y f x y →存在，但两者不相等，此时也可断言极限不存在。

✧

多元函数的极限的运算法则（包括和差积商，连续函数的和差积商，等价无穷小替换，夹逼法则等）与一元类似：

例1．用

εδ-定义证明2222

(,)(0,0)

1

lim ()sin

0x y x y x y →+=+

例2（03年期末考试 三、1，5分）当0,0→→x y 时，函数22

2

222

()+++-x y x y x y 的极限是否存在？证明你的

结论。

例3 设

22

2222,0

(,)0,0xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩

，讨论(,)(0,0)

lim (,)x y f x y →是否存在？

例4（07年期末考试 一、2，3分）设

2

2224

22,0(,)0,0⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩

xy x y x y f x y x y ，讨论(,)(0,0)

lim (,)→x y f x y 是否

存在？

例5．求222

(,)(0,0)sin()lim x y x y x y →+

3、多元函数的连续性0000(,)(,)

lim

(,)(,)x y x y f x y f x y →⇔

=

✧ 一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域。 ✧

在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”

例1． 讨论函数

332

222

22,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩

在（0，0）处的连续性。

例2． （06年期末考试 十一，4分）试证

222

24

22,0(,)0,0⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩

xy x y x y f x y x y 在点(0,0)不连续，但存在一阶偏

导数。

例3．求(,)(1,2)lim

x y x y

xy →+ 例4

．(,)(0,0)lim

x y →

4、了解闭区域上商连续函数的性质：有界性，最值定理，介值定理

二、多元函数的偏导数 1、 二元函数(,)z

f x y =关于,x y 的一阶偏导数的定义（二元以上类似定义）

如果极限

00000

(,)(,)

lim

x f x x y f x y x

∆→+∆-∆存在，则有

00

000

0000000

(,)(,)

(,)lim

x x x

x x y y x x x x y y y y f x x y f x y z f z f x y x

x

x

=∆→=====+∆-∂∂=

===∂∂∆

（相当于把y 看成常数！所以求偏导数本质是求一元函数的导数。）

如果极限

00000

(,)(,)

lim y f x y y f x y y

∆→+∆-∆存在，则有

00

000

0000000

(,)(,)

(,)lim

x x y

y y y y x x x x y y y y f x y y f x y z f z f x y y

y

y

=∆→=====+∆-∂∂=

===∂∂∆

对于分段函数，在分界点的偏导数要用定义求。

例1（08年期末考试 一、3，4分）已知

2222

22

22(),0(,)0,0⎧-+≠⎪+=⎨⎪+=⎩

x y xy x y x y f x y x y ，则(0,)=x f y

例2 （06年期末考试 十一，4分）试证

2

2224

22,0(,)0,0⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩

xy x y x y f x y x y 在点(0,0)不连续，但存在一阶偏导

数。

例3 设

22

2222

221()sin ,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩

，求(,),(,)x y f x y f x y 。

例4 设

y x z =，求y x z z ,。

例5（03年期末考试，一、2，3分） 设(1)arcsin

x u x y y

=+-，则

u

x

∂∂在(1,2)的值为（ ）。

2、 二元函数(,)z

f x y =关于,x y 的高阶偏导数（二元以上类似定义）

,

22(,)xx z z f x y x x x ∂∂∂⎛⎫== ⎪∂∂∂⎝⎭ 2(,)xy z z

f x y y x x y

∂∂∂⎛⎫=

= ⎪∂∂∂∂⎝⎭

22(,)yy z z f x y y y y ⎛⎫∂∂∂== ⎪∂∂∂⎝⎭ 2(,)yx z z

f x y x y y x

⎛⎫∂∂∂=

= ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 定理：若两个混合二阶偏导数22,z z x y y x ∂∂∂∂∂∂在区域D 内连续，则有22z z

x y y x

∂∂=∂∂∂∂。

例

1．设

,1r

u =

2

22)()()(c z b y a x r -+-+-=，其中

c

b a ,,为常数，求：

222222z

u

y u x u ∂∂+∂∂∂∂＋。 例2．设x

y

arctg

e

y x z -+=)(2

2，求y

x z ∂∂∂2。

3、

(,)z f x y =在点(,)P x y 偏导数存在⇒

(,)z f x y =在点(,)P x y 连续（07年，04年，02年等）

4、偏导数的几何意义：

00(,)x f x y 表示曲线0

(,)

z f x y y y =⎧⎨=⎩在点000(,,)P x y z 处的切线与x 轴正向的夹角。

三、全微分 1、

(,)z f x y =在点00(,)P x y 可微分的判定方法

若

(,)(,)(,)lim

0x y z f x y x f x y y

∆∆→∆-∆-∆=，则可判定(,)z f x y =在点00(,)P x y 可

微分。其中00(,)(,)z

f x x y y f x y ∆=+∆+∆-

例1．（08年期末考试 十二、6分）证明函数

2222

22

()sin 0(,)0,0

⎧++≠⎪=⎨⎪+=⎩x y x y f x y x y 在（0，0）