信号与系统第二章3_(2)
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t
f t
1
1
O
1t
对此函数，其周期为1，有：
1
0
f t dt
1
不满足条件3的一个信号：
周期信号 f t 1 ,0 ， t周期1为1。
t
f t
1
2 1 O
1
2t
f (t) a0 an cosn1t bn sinn1t n1
频率为 的f1分量称为基波，频率为 ，2 f1，3…f1的分量分 别称为二次谐波、三次谐波……。
直流分量的大小以及基波与各次谐波的幅度、相位取决 于周期信号的波形。
例3-2-1: 求周期锯齿波的三角函数形式的傅里叶级数展开式。
解： f (t) A t T1 t T1
T1 2
进行特别说明。
如图：信号的周期为8。它是这样组成的：后一个阶梯 的高度和宽度是前一个阶梯的一半，依次递推下去。可见 在一个周期内它的面积不会超过8，但不连续点的数目是 无穷多个，不满足条件1。
f t
1
1 2
8
O
8t
不满足条件2的一个信号：
f t sin 2π , 0 t 1
3.2 周期信号的傅里叶级数分析
一、三角函数形式的傅里叶级数
周期信号 f (t，) 周期为 ，T1角频率为 在满足狄里赫利条件时，可展开为：
1
2
T1
f (t) a0 a1 cos(1t) b1 sin(1t) a2 cos(21t) b2 sin(21t) an cos(n1t) bn sin(n1t)
将同频率项合并，可以得到另一种表示形式：
f (t) c0 cn cosn1t n 余弦形式
n1
c0 a0
cn
an2 bn2
n
arctan
bn an
an cn cosn bn cn sin n
或 f (t) d0 dn sinn1t n 正弦形式
二、指数形式的傅里叶级数
三角函数形式的傅里叶级数含义明确，但运算不太方便，
此时可采用指数形式的傅里叶级数。
根据欧拉公式，有：
sin
n1t
1 2j
e e jn1t
jn1t
cosn1t
1 2
e e jn1t
jn1t
代入
f (t) a0 an cosn1t bn sinn1t n1
谱线
...
0 1 31 51 n1
0 1 31
n1
幅度谱和相位谱都是由若干条线组成的线图。在幅度谱
中，线的长短代表了某一频率分量的幅度大小，称为谱线，
连接各谱线顶点的虚线就称为包络线，反映了各分量的幅
度变化情况。
谱线只出现在 0,1,等2离1,散 频率点上，因此是离散谱。
2
f t
A/2 T1
1 T1 A
a0 T1
2 T1
2
T1
t
d
t
0
an
2 T1
T1
2 T1
2
A T1
t
cos
n1t
dt 0
T1 2
1
2π T1
2 t
bn
2 T1
T1
2 T1
2
A t sin T1
n1t
d t A (1)n1 nπ
n 1,2,3
d0 a0
n1
dn an2 bn2
n
arctan
bn an
an dn sinn
bn dn cosn
f (t) a0 an cosn1t bn sinn1t n1
任何满足狄里赫利条件的周期信号均可分解成直流分量 和许多的正弦、余弦分量，正弦、余弦分量的频率必定是 基频 （f1 f1） 的1 T整1 数倍。
cn
n1
之间的关系用图形表示出来，称为信号的幅度频谱，简称
为幅度谱；而与n n之1间的关系曲线就称为相位频谱，简
称为相位谱。
cn
n
c0 c1 c2
幅度谱
...
相位谱
2 1
...
0 1 31 51 n1
0 1 3Baidu Nhomakorabea1
n1
cn
c0 c1 c2
谱线 包络线
离散谱
...
n
2 1
的偶函数; b是n （n或 ）n的1 奇函数。
狄里赫利（Dirichlet）条件：
• 在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是 有限个。
• 在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个。
• 在一周期内，信号应绝对可积，即：
t0T1 f (t) d t
t0
为T1 周期
通常遇到的周期信号都能满足以上条件，因此后面不再
第三章 傅里叶变换
3.1 引言
前面讨论了连续时间系统的时域分析，以冲激函数为基 本信号。任意输入信号可分解为一系列的冲激函数，而系 统的响应（零状态响应）是输入信号与系统冲激响应的卷 积。
本章开始由时域转入频域分析，任意信号可表示为一系 列不同频率正弦函数的线性组合。对系统分析时，若已知 单频正弦信号激励下的响应，利用叠加特性可求得多个不 同频率正弦信号同时激励下的总响应，而且每个正弦分量 通过系统后，是衰减还是增强一目了然。
即
f (t) a0 an cosn1t bn sinn1t (n为正整数 )
n1
an是, b傅n 里叶系数。
f (t) a0 an cosn1t bn sinn1t
n1
取为
0 ~ T1或
T1 ~ T1 22
直流分量:
a0
1 t T
傅里叶级数展开式为：
f
t
0
A π
sin
1t
A 2π
sin 21t
直流
基波
谐波
f (t) c0 cn cosn1t n
n1
c
cn an2 n也,都n 是 （或n
b）n2 的n函1 数。n 这ar样ct，an把abnn与
0
1
t 0
T1
f
(t ) d t
余弦分量的幅度:
an
an an
2 T1
t0 T1
t0
f (t) cos n1t
dt
正弦分量的幅度:
bn
2 T1
t0 T1 t0
f
(t) sin
n1t
dt
bn bn
或an 都b是n （或n ）的n函1 数。其中， 是 （a或n n） n1
f t
1
1
O
1t
对此函数，其周期为1，有：
1
0
f t dt
1
不满足条件3的一个信号：
周期信号 f t 1 ,0 ， t周期1为1。
t
f t
1
2 1 O
1
2t
f (t) a0 an cosn1t bn sinn1t n1
频率为 的f1分量称为基波，频率为 ，2 f1，3…f1的分量分 别称为二次谐波、三次谐波……。
直流分量的大小以及基波与各次谐波的幅度、相位取决 于周期信号的波形。
例3-2-1: 求周期锯齿波的三角函数形式的傅里叶级数展开式。
解： f (t) A t T1 t T1
T1 2
进行特别说明。
如图：信号的周期为8。它是这样组成的：后一个阶梯 的高度和宽度是前一个阶梯的一半，依次递推下去。可见 在一个周期内它的面积不会超过8，但不连续点的数目是 无穷多个，不满足条件1。
f t
1
1 2
8
O
8t
不满足条件2的一个信号：
f t sin 2π , 0 t 1
3.2 周期信号的傅里叶级数分析
一、三角函数形式的傅里叶级数
周期信号 f (t，) 周期为 ，T1角频率为 在满足狄里赫利条件时，可展开为：
1
2
T1
f (t) a0 a1 cos(1t) b1 sin(1t) a2 cos(21t) b2 sin(21t) an cos(n1t) bn sin(n1t)
将同频率项合并，可以得到另一种表示形式：
f (t) c0 cn cosn1t n 余弦形式
n1
c0 a0
cn
an2 bn2
n
arctan
bn an
an cn cosn bn cn sin n
或 f (t) d0 dn sinn1t n 正弦形式
二、指数形式的傅里叶级数
三角函数形式的傅里叶级数含义明确，但运算不太方便，
此时可采用指数形式的傅里叶级数。
根据欧拉公式，有：
sin
n1t
1 2j
e e jn1t
jn1t
cosn1t
1 2
e e jn1t
jn1t
代入
f (t) a0 an cosn1t bn sinn1t n1
谱线
...
0 1 31 51 n1
0 1 31
n1
幅度谱和相位谱都是由若干条线组成的线图。在幅度谱
中，线的长短代表了某一频率分量的幅度大小，称为谱线，
连接各谱线顶点的虚线就称为包络线，反映了各分量的幅
度变化情况。
谱线只出现在 0,1,等2离1,散 频率点上，因此是离散谱。
2
f t
A/2 T1
1 T1 A
a0 T1
2 T1
2
T1
t
d
t
0
an
2 T1
T1
2 T1
2
A T1
t
cos
n1t
dt 0
T1 2
1
2π T1
2 t
bn
2 T1
T1
2 T1
2
A t sin T1
n1t
d t A (1)n1 nπ
n 1,2,3
d0 a0
n1
dn an2 bn2
n
arctan
bn an
an dn sinn
bn dn cosn
f (t) a0 an cosn1t bn sinn1t n1
任何满足狄里赫利条件的周期信号均可分解成直流分量 和许多的正弦、余弦分量，正弦、余弦分量的频率必定是 基频 （f1 f1） 的1 T整1 数倍。
cn
n1
之间的关系用图形表示出来，称为信号的幅度频谱，简称
为幅度谱；而与n n之1间的关系曲线就称为相位频谱，简
称为相位谱。
cn
n
c0 c1 c2
幅度谱
...
相位谱
2 1
...
0 1 31 51 n1
0 1 3Baidu Nhomakorabea1
n1
cn
c0 c1 c2
谱线 包络线
离散谱
...
n
2 1
的偶函数; b是n （n或 ）n的1 奇函数。
狄里赫利（Dirichlet）条件：
• 在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是 有限个。
• 在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个。
• 在一周期内，信号应绝对可积，即：
t0T1 f (t) d t
t0
为T1 周期
通常遇到的周期信号都能满足以上条件，因此后面不再
第三章 傅里叶变换
3.1 引言
前面讨论了连续时间系统的时域分析，以冲激函数为基 本信号。任意输入信号可分解为一系列的冲激函数，而系 统的响应（零状态响应）是输入信号与系统冲激响应的卷 积。
本章开始由时域转入频域分析，任意信号可表示为一系 列不同频率正弦函数的线性组合。对系统分析时，若已知 单频正弦信号激励下的响应，利用叠加特性可求得多个不 同频率正弦信号同时激励下的总响应，而且每个正弦分量 通过系统后，是衰减还是增强一目了然。
即
f (t) a0 an cosn1t bn sinn1t (n为正整数 )
n1
an是, b傅n 里叶系数。
f (t) a0 an cosn1t bn sinn1t
n1
取为
0 ~ T1或
T1 ~ T1 22
直流分量:
a0
1 t T
傅里叶级数展开式为：
f
t
0
A π
sin
1t
A 2π
sin 21t
直流
基波
谐波
f (t) c0 cn cosn1t n
n1
c
cn an2 n也,都n 是 （或n
b）n2 的n函1 数。n 这ar样ct，an把abnn与
0
1
t 0
T1
f
(t ) d t
余弦分量的幅度:
an
an an
2 T1
t0 T1
t0
f (t) cos n1t
dt
正弦分量的幅度:
bn
2 T1
t0 T1 t0
f
(t) sin
n1t
dt
bn bn
或an 都b是n （或n ）的n函1 数。其中， 是 （a或n n） n1