三角函数复习大题分类汇总(含答案)

统考专题复习一 三角函数
一、已知解析式
（化简、求最值（值域）、单调区间、周期等）
例：（周练13）16 (本小题满分12分)
已知函数22()cos cos sin 1f x x x x x =⋅+--(x ∈R ) (1)求函数()y f x =的单调递增区间； (2)若5[,]123
x ππ
∈-
，求()f x 的取值范围．
答案：16.解：（1）由题设()2cos212sin(2)16
f x x x x π=+-=+-……………… 3分
由222262k x k ππππ-
+π+≤≤，解得36
k x k ππ
π-π+≤≤， 故函数()y f x =的单调递增区间为,36k k ππ⎡
⎤π-π+⎢⎥⎣
⎦（k ∈Z ）……………… 6分
（2）由5123x ππ-≤≤，可得22366
x ππ5π
-+≤≤………………………… 8分
考察函数正弦函数的图像，易知1sin(2)16
x π
+-≤≤………………………… 10分
于是32sin(2)116
x π
+--≤≤．
故()y f x =的取值范围为[3,1]-……………………………………………… 12分
例：周练12 18．(本小题满分14分)
已知函数()sin sin(),2
f x x x x R π
=++
∈.
(1)求()f x 的最小正周期；
(2)求()f x 的的最大值和最小值； (3)若3
()4
f α=
，求sin2α的值. 18.解：()⎪⎭
⎫
⎝
⎛+
+=2x sin sinx x f π= cosx sinx + ………1分 ()⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=
4x sin 2x f π ………3分
(1)2T π= ………5分
(2)min max f f == ………9分 (3) ()4
3
cosx sinx x f =
+=
()4
3
cos sin f =
+=ααα ………11分 16
9
cos cos sin 2sin 22=++αααα ………12分
169
sin21=+α ………13分
7
sin 216
α=-
………14分 练习1．(2011年统考)(本小题满分12分)
已知函数 ， (1)求()f x 的最小正周期； (2)若(0,)θπ∈，2
()43
f π
θ+
=, 求sin θ的值．
练习2（2013年高考湖南（文））已知函数
(1) 求2()3
f π
的值
(2) 求使 1
()4
f x <成立的x 的取值集合
练习3（2013 广东文科） 已知函数()2cos()12
f x x π
=-
，x R ∈
（1） 求()3
f π
的值；
（2） 3cos 5θ=，3(,2)2πθπ∈，求()6
f πθ-。

练习4（2013年高考安徽（文））设函数
()sin sin()
3f x x x π
=++
.
(Ⅰ)求
()f x 的最小值,并求使
()f x 取得最小值的x 的集合;
(Ⅱ)不画图,说明函数()y f x =的图像可由sin y x =的图象经过怎样的变化得
到.
练习5、（2012四川文18）、已知函数2
1
()cos sin cos 2222x x x f x =--。

（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和值域；
（Ⅱ）若
()10f α=
，求sin 2α的值。

练习1 解：（1∵()4sin()cos(2)f x x x ππ=--4sin cos 2sin 2x x x == … 3分
22
T π
π=
= ………………………………………………… 5分 ∴函数()f x 的最小正周期为π .………………………………………… 6分 （2）由2()43
f π
θ+
=， ∴2
2sin 2()43
πθ+= ,…………………………………… 7分
化简可得1
cos 23
θ=, ……………………………………………………… 9分
则2
112sin 3
θ-=,化简
∴2
1sin
3
θ= ………………………………………………………………… 10分
由(0,)θπ∈,∴sin 0θ>,
故sin 3
θ=
…………………………………………… 12分 练习2
解: (1) 4
1
)212cos 232(sin 21)3sin sin 3cos
(cos cos )(+⋅+⋅=⋅+⋅⋅=x x x x x x f ππ
4
1
)32(.414123sin 21)32(41)62sin(21-==-=+=⇒++=
ππππf f x 所以. (2)由(1)知,
)2,2()62(0)62sin(4141)62sin(21)(f ππππ
ππk k x x x x +∈+⇒<+⇒<++=
.),125,12(.),125,k 12(Z k k k Z k k x ∈++-∈++-∈⇒ππ
ππππππ所以不等式的解集是：
练习3
练习4 解:(1)
3
sin
cos 3
cos
sin sin )(ππx x x x f ++=
x x x x x cos 2
3sin 23cos 23sin 21sin +=++=
)6
sin(3)6sin()23()23(22π
π+=++=x x
当
1)6
sin(-=+π
x 时,3
)(min -=x f ,此时
)(,23
4,2236Z k k x k x ∈+=∴+=+πππππ
所以,)(x f 的最小值为3-,此时x 的集合},234|{Z k k x x ∈+=ππ
. (2)x y sin =横坐标不变,纵坐标变为原来的3倍,得x y sin 3=; 然后x y sin 3=向左平移
6π个单位,得)6
sin(3)(π+=x x f
二、解析式含参数 1、看图求解析式
例1：每日一题（一）（周一）（本小题满分12分） 已知函数()sin()(0,0,||)2
f x A x A π
ωϕωϕ=+>><
的部分图象如图所示。

（1）求函数f （x ）的解析式，并写出f （x ）的单调减区间； (2)△ABC 的内角分别是A ，B ，C ，若f （A ）＝1，cosB ＝4
5
，求sinC 的值。

解：（1）由图象最高点得A=1， ……………1分
由周期
,22163221ω
πππππ==∴=-=T ，T 2=∴ω. …………2分
由图可知，图像的最高点为（16
，π
） 当6x π=
时，()1f x =，可得 sin(2)16
ϕπ
⋅+=， Z
k k ∈+=
∈+=
+⨯
∴,k 26
Z ,k 22
6
2ππ
ϕππ
ϕπ
，故
因为||2ϕπ<
，所以6
ϕπ
=． )6
2sin()(π
+
=∴x x f . …………4分
令t=2x+
6
π
则y=sint 单调减区间为[ππππk 223,k 22++],k ∈Z
故ππk 22+≤t ≤ππk 223+，k ∈Z 求得Z k k x k ∈+≤≤+,3
26ππππ 由图象可得()f x 的单调减区间为Z k k k ∈++],3
2,6
[π
πππ. ……6分
（2）由（I ）可知， 1)6
2sin(=+
π
A , ∴ππ
π
k 22
6
A 2+=
+
，k ∈Z
Z k ∈+=
∴,k 6
A ππ
中在△∵ABC A ， 6
π
=
A . ……8分
5
3
cos 1sin ,02=
-=∴<<B B B π . ……………9分 )sin(sin B A C --=∴π)sin(B A += …………10分
B
A B A sin cos cos sin +=.
10
33453235421+=⨯+⨯=
. ……12分
练习1、函数()ϕω+=x A y sin 的一个周期内的图象如下图，求y 的解析式。

（其中 πϕπω<<->>,0,0A ）
2.已知函数)sin(ϕω+=x A y （0>A ， 0ω>，πϕ<||）的一段图象如图所示，求函数的解析式；
2、根据描述求解析式
例1：阶段二联考
17（本小题满分14分）已知a ＝(2cos ωx ，2cos ωx )，b ＝(cos ωx ，3sin ωx )(其中0<ω<1)，函数f (x )＝a ·b ，若直线x ＝π
3是函数f (x )图象的一条对称轴．
(1)试求ω的值；
(2)若函数y ＝g (x )的图象是由y ＝f (x )的图象的各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移2π
3
个单位长度得到，求y ＝g (x )的单调增区间． 解 f (x )＝a ·b ＝(2cos ωx ，2cos ωx )·(cos ωx ，3sin ωx ) ＝2cos 2
ωx ＋23cos ωx sin ωx ＝1＋cos 2ωx ＋3sin 2ωx
＝1+2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π
6 (3)
(1)∵直线x ＝π
3
为对称轴，
∴2ωπ3＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )． (5)
∴ω＝32k ＋1
2
(k ∈Z )． (6)
∵0<ω<1，∴k ＝0，∴ω＝1
2
． (8)
(2)由(1)，得f (x )＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，∴g (x )＝1＋2sin ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π3＋π6 ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π2＝1＋2cos 1
2x (11)
由2k π－π≤1
2
x ≤2k π(k ∈Z )，得4k π－2π≤x ≤4k π(k ∈Z )，
∴g (x )的单调增区间为[4k π－2π，4k π](k ∈Z )． (14)
练习1（汕头14年高三文数一模）
16.（本小题满分12分） 已知函数)0)(6
sin()(>+=ωπ
ωx x f 的最小正周期为π
（1）求ω的值 （2）设13
12
)12521(,53)621(),,2(),2,
0(-=+=+∈∈πβπαππβπ
αf f ，求)sin(βα+的值
练习2
16. （本题12分）已知函数()4cos sin()6
f x x x a π
=⋅++的最大值为2. (1)求a 的值及()f x 的最小正周期；
(2)求()f x 的单调递增区间.
练习3 已知函数()sin()(00π)f x A x A ϕϕ=+><<，，x ∈R 的最大值是1，其图像经 过点π132M ⎛⎫
⎪⎝⎭
，．
(1)求()f x 的解析式； （2）已知π02αβ⎛
⎫∈ ⎪⎝
⎭
，，，且3()5f α=，12()13
f β=，求()f αβ-的值．
练习4（汕头14年一模理数）
（本小题12分）设,(),函数，且函数图像的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离
(I)为求函数的解析式。

(II)在锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,且满足,，求c边的长。

练习1解：（1） 函数()sin()6
f x x π
ω=+
的最小正周期为π， 且ω＞0
2π
πω
∴
=， ………1分 2ω∴= ………2分
（2）由（1）得)6
2sin()(π
+
=x x f ………3分
∴,53cos )2sin(]6)621(2sin[)621(==-=++-=+-ααπππαπαf ………4分
)2,0(π
α∈
………5分
5
4
cos 1sin 2=-=∴αα………6分
又,1312
sin )sin(]6)12521(2sin[)12521(-=-=+=++=+ββπππβπβf ………7分
1312
sin =∴β ………8分
),2
(ππ
β∈ ， ……9分
135
sin 1cos 2-
=--=∴ββ
练习2 .解：(1)1
()4cos sin()4cos cos )62
f x x x a x x x a π=⋅+
+=⋅++
2cos 2cos 112cos 1x x x a x x a =+-++=+++
2sin(21)6x a π
=+
++， ∴当sin(2)6x π
+=1时，()f x 取得最大值213a a ++=+，
又()f x 的最大值为2，32a ∴+=，即 1.a =-()f x 的最小正周期为2.2
T π
=
=π (2)由(1)得()2sin(2)6f x x π=+，222,262
k x k k πππ
∴-+π≤+≤+π∈Z 得222,36k x k k ππ∴-+π≤≤+π∈Z ，36
k x k ππ
∴-+π≤≤+πk ∈Z ，
()f x ∴的单调增区间为[,],36
k k k ππ
-+π+π∈Z .
练习3
练习4
)
6(............................................................) (3)
2sin(2)()
5.(..................................................1,4422:)
4.........(..............................) (3)
2sin(2)2cos 2322sin 21(2)2...(................................................................................2cos 32sin )1.(..........).........sin (cos 3cos sin 2)()1(:1622分所以函数分所以又由题意知分分分、解π
ωπ
ωππωωωωωωωωω+
==⨯==+=+=+=-+=⋅=x x f T x x x x x x x x x b a x f
)12......(..................................................3236234262sin sin )
11...(..................................................;.........sin sin )10........( (4)
2
64
sin
3cos
4cos
3sin
)4
3
sin(
)9....(......................................................................).........sin(sin )
8.........( (3)
,32)7........(. (3)
43
23
,2
00
)3
2sin(,0)3
2sin(2)(:)1()2(;分分得到所以由正弦定理分分所以分所以所以分所以
又因为知道由方法一+=+⨯
===+=
+=+
=+==
=+
<
+
<<<=+
∴=+=A C a c C c
A a
B A
C A A A A A A A f π
π
π
π
π
π
π
ππ
π
π
π
π
π
π
)
12....( (32)
36),(3236:04623:,2
1
3622384)11........(....................:cos 2:,)10......(.. (3622)
3
222sin sin )
9...(..................................................;.........sin sin )8........(............................................................3,3
2)7........(. (3)
43
23
,2
00
)3
2sin(,0)3
2sin(2)(:)1()2(:22222分或舍去解得整理分得到由余弦定理所以分分得到所以由正弦定理分所以所以分所以
又因为知道由方法二+=-==--⨯⨯-+=
-+==⨯
====
=+
<
+
<<<=+
∴=+=c c c c c c A bc c b a A B a b B b
A a A A A A A A A f π
ππ
π
π
π
π
π
π
三、三角求值与向量
例：阶段二联考
16（本小题满分12分）已知向量a ＝(sin θ，cos θ)，其中θ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
0，π2.
(1)若b ＝(2,1)，a ∥b ，求sin θ和cos θ的值；
2）若sin()102
π
θϕϕ-=
<<，求cos ϕ的值． 解 (1)∵a ∥b ，a ＝(sin θ，cos θ)，即sin θ＝2cos θ (2)
又∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴4cos 2θ＋cos 2
θ＝1，
即cos 2θ＝15，∴sin 2
θ＝45 (4)
又θ∈⎣⎡⎦
⎤0，π
2，∴sin θ＝255，cos θ＝55 (6)
（2）∵2
0π
ϕ<<，2
0π
θ<
<，
∴2
2
π
ϕθπ
<
-<-
， (7)
则1010
3)(sin 1)cos(2
=
--=-ϕθϕθ (9)
∴cos ϕ2
2
)sin(sin )cos(cos )](cos[=
-+-=--=ϕθθϕθθϕθθ...............12 练习1．已知向量(sin ,1),(1,cos ),2
2
a b π
π
θθθ==-
<<
．
（Ⅰ）若a b ⊥，求θ； （Ⅱ）求a b +的最大值．
答案：练习1
（Ⅰ）若a b ⊥，则sin cos 0θθ-=，由此得：tan 1,()2
2
π
π
θθ=--
<<
，
所以， 4
π
θ=-
．
（Ⅱ）由(sin ,1),(1,cos ),a b θθ==得：
(sin a b θ+==
=
当sin()14
π
θ+
=时，a b +取得最大值，即当4
π
θ=
时，a b +的最大值为1．。