【【一等奖教案】】 切线的性质和判定

切线的判定和性质

一、课标要求

了解切线的概念：探索切线与过切点的半径之间的关系；能判定一条直线是否为圆的切线。会过圆上一点画圆的切线。

二、教学目标

1．复习巩固直线与圆相切的位置关系；

2．归纳直线与圆相切的性质和判定方法以及切线长定理，并能运用这些知识进行计算和证明；

3．能运用直线与圆的位置关系解决实际问题，体验数学与实际生活的密切联系；

4．会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想；

5．在计算与证明中培养学生的分析问题、解决问题以及综合运用知识的能力。

三、教学重点

运用切线的性质和判定方法进行计算与证明。

四、教学难点

灵活运用所学知识解决有关切线问题。

五、教学过程

（一）导入课题

前面我们已经学习过直线与圆的位置关系，大家想一想，直线与圆有几种位置关系？

其中直线与圆相切是本章的重点知识，也是中考中的重要考点之一，这节课我们就对直线与圆相切这部分内容进行了一个全面复习。

（二）归纳运用

1．什么叫做直线与圆相切？由这个定义你能得出切线的哪些性质和判定方法？

（和圆只有一个公共点的直线是圆的切线，切线和圆只有一个公共点）

2.如果直线和圆相切，那么圆心到直线的距离与半径有什么关系？反之，如果圆心到直线的距离等于半径，那么直线和圆是什么位置关系？

（和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线，切线和圆心的距离等于圆的半径）

例：如图1在直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°,AD∥BC,E为AB上一点DE 平分∠ADC，∠E平分∠BCD，则以AB为直线的圆与边CD有怎样的位置关系。

并证明你的结论。

练习：

（1）（09.广东）已知⊙O的半径为r，圆心O到直线L的距离为d，当d=r时，直线L与⊙O的位置关系是（）

A．相交B．相切C．相离D．以上都不对

（2）如图2已知⊙O的半径为3，点O到L的距离OA=5，将直线L向上沿AO 方向平移m个单位时⊙O与直线L相切，则m等于（）

A．2 B．4 C．8 D．2或8

3.在2结论的基础上，我们可以得到切线的判定定理和性质定理，它们各是什么内容？要注意些什么？切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

注意：“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可。

切线的性质定理：圆的切线垂直于今年各国切点的半径（注意是“经过切点的半径”）

4．例2：如图3PA是⊙O的切线，切点是A，过点A作AH⊥OP于点H，交⊙O于点B，试猜测PB与⊙O的位置关系，并说明理由。

由上例可知，在运用切线的判定定理和性质定理时往往需要添加辅助线。

（1）当已知一条直线是某圆的切线时，切点的位置是确定的，辅助线常常是连结圆心和切点。得到半径，那么半径垂直于切线

（2）当要证明某直线是圆的切线时，如果已知直线经过圆上一点，则作出过这一点的半径。证明直线垂直于这条半径。

练习2（08，河北）如图4，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连结BC，若∠A=36°，则∠C= 。

（08，上海）下列结论中正确的是（）

A ．圆的切线垂直于半径

B ．垂直于切线的直线必经过圆心

C ．垂直于切线的直线必经过切点

D ．经过圆心和切点的直线必须垂直于切线

3．（09，湖南怀化）如图5PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，点E 是⊙O 上一点，且∠AEB=60°，则∠P= 。

4．（08，随州）如图6，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，∠BAC=30°，

在AB 的延长线上取一点P ，连结PC ，当PB=2

1AB 时，求证：PC 是⊙O 的切线

5．经过圆外一点可以作圆的几条切线？

如图7，过⊙O 外一点P 可以作⊙O 的两条切线，我们根据圆的轴对称或三角形的全等知识，可得出“切线长定理”

∵PA 、PB 是⊙O 的两条切线

∴AP=BP , ∠APO=∠BPO

6.例题3，如图8正方形ABCD 的边长为4cm ，以正方形的边BC 为直径在正方于点E ，且与半圆相切于点F ，求△ADE 的面积。

7．练习

（1）（08，上海）如图9，从⊙O 外一点P 到⊙O 的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，如果∠APB=60°，PA=8,那么弦AB 的长是（ ）

A ．4

B ．7

C ． 34

D ．38

（2）如图10，PA 、PB 切⊙O 于点A 、B ，PA=10，CD 是⊙O 的切线，交PA 、PB 于C 、D 两点，则△PCD 的周长是（ ）

A ．10

B ．20

C ．30

D ．40

（三）小结：谈谈通过本节课的学习，你有什么收获

（四）课外作业

1．已知OA 垂直于直线L 于点A ，OA=3，⊙O 的半径为2，若将直线L 沿AO 方向平移，使直线L 与⊙O 相切，则平移的距离可以是（ ）

A ．1

B ．5

C ．2

D ．1或5

2．⊙O 的半径为3cm ，直线L 上有一点P 到O 的距离为3㎝，则直线L 与⊙O 的位置关系是（ ）

A ．相交

B ．相切

C ．相离

D ．相交或相切

3．如图11，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，DC 切⊙O 于点C ，若∠A=25°, 则∠D 等于（ ）

A ．40°

B ．50°

C ．60°

D ．70°

4．如图12已知PA 是⊙O 的切线，切点为A ，PA=3，∠APO=30°，那么OP= 。

5．如图13，PA 、PB 分别切⊙O 于点AB ，点E 是⊙O 上一点，且∠AEB=60°，则∠B= 。

6．如图14，直线AB 与⊙O 相切于点B ，BC 是⊙O 的直径，AC 交⊙O 于点D ，连结BD 则圆中直角三角形有 个。

7.如图15，已知在△ABC 中，AB=AC ，以BC 为直径的半圆O 与边AB 相交于

D ，切线D

E ⊥AC ，垂足为点E ，求证：（1）△ABC 是等边三角形；（2）AE=3

1CE.

8．如图16,AB 为⊙O 的直径，PQ 切⊙O 于点T ，AC ⊥PQ 于点C 交⊙O 于点D 。 求证（1）AT 平分∠BAC

(2)若AD=2，TC=3，求⊙O 的半径。