2012年全国初中数学联赛试题+答案

2012年全国初中数学联合竞赛试题

参考答案

第一试

一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）

1．已知1a =

，b =2c =，那么,,a b c 的大小关系是 （ C ）

A. a b c <<

B. a c b <<

C. b a c <<

D.b c a <<

2．方程222334x xy y ++=的整数解(,)x y 的组数为 （ B ） A ．3. B ．4. C ．5. D ．6.

3．已知正方形ABCD 的边长为1，E 为BC 边的延长线上一点，CE ＝1，连接AE ，与CD 交于点F ，连接BF 并延长与线段DE 交于点G ，则BG 的长为 （ D ）

A ．

3 B ．3 C ．3 D ．3

4．已知实数,a b 满足2

2

1a b +=，则4

4

a a

b b ++的最小值为 （ B ） A ．18-

. B ．0. C ．1. D ．98

. 5．若方程22320x px p +--=的两个不相等的实数根12,x x 满足2323

11224()x x x x +=-+，则实数p

的所有可能的值之和为 （ B ）

A ．0.

B ．34-

. C ．1-. D ．5

4

-. 6．由1，2，3，4这四个数字组成四位数abcd （数字可重复使用），要求满足a c b d +=+.这样的四位数共有 （ C ）

A ．36个.

B ．40个.

C ．44个.

D ．48个. 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）

1．已知互不相等的实数,,a b c 满足111

a b c t b c a

+

=+=+=，则t =1

±．

2．使得521m

⨯+是完全平方数的整数m 的个数为 1 ．

3．在△ABC 中，已知AB ＝AC ，∠A ＝40°，P 为AB 上一点，∠ACP ＝20°，则

BC

AP

＝． 4．已知实数,,a b c 满足1abc =-，4a b c ++=，2

224

3131319

a b c a a b b c c ++=------，则222a b c ++＝

33

2

．

第二试 （A ）

一、（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为30，求它的外接圆的面积.

解 设直角三角形的三边长分别为,,a b c （a b c ≤<），则30a b c ++=. 显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长c ，下面先求c 的值. 由a b c ≤<及30a b c ++=得303a b c c =++<，所以10c >. 由a b c +>及30a b c ++=得302a b c c =++>，所以15c <. 又因为c 为整数，所以1114c ≤≤.

根据勾股定理可得2

2

2

a b c +=，把30c a b =--代入，化简得30()4500ab a b -++=，所以

22(30)(30)450235a b --==⨯⨯，

因为,a b 均为整数且a b ≤，所以只可能是22

305,3023,

a b ⎧-=⎪

⎨-=⨯⎪⎩解得5,12.a b =⎧⎨=⎩ 所以，直角三角形的斜边长13c =，三角形的外接圆的面积为

169

4

π. 二．（本题满分25分）如图，PA 为⊙O 的切线，PBC 为⊙O 的割线，A D ⊥OP 于点D .证明：

2

AD BD CD =⋅.

证明：连接OA ，OB ，OC.

∵OA ⊥AP ，A D ⊥OP ，∴由射影定理可得2PA PD PO =⋅，2

AD PD OD =⋅.

又由切割线定理可得2

PA PB PC =⋅，∴P B P C PD PO ⋅=⋅，∴D 、B 、C 、O 四点共圆， ∴∠PDB ＝∠PCO ＝∠OBC ＝∠ODC ，∠PBD ＝∠COD ，∴△PB D ∽△COD ，

∴

PD BD CD OD

=，∴2

AD PD OD BD CD =⋅=⋅. 三．（本题满分25分）已知抛物线2

16

y x bx c =-++的顶点为P ，与x 轴的正半轴交于A 1(,0)x 、

B 2(,0)x （12x x <）两点，与y 轴交于点

C ，PA 是△ABC 的外接圆的切线.设M 3

(0,)2

-，若AM//BC ，

求抛物线的解析式.

解 易求得点P 2

3

(3,)2

b b

c +，点C (0,)c .

设△ABC 的外接圆的圆心为D ，则点P 和点D 都在线段AB 的垂直平分线上，设点D 的坐标为(3,)b m . 显然，12,x x 是一元二次方程2

106

x bx c -

++=的两根，所

以13x b =

，23x b =+AB 的中点E 的坐标为(3,0)b ，所以AE

因为PA 为⊙D 的切线，所以PA ⊥AD ，又A E ⊥PD ，所以由射影定理可得2

AE PE DE =⋅，即

223

()||2

b c m =+⋅，又易知0m <，所以可得6m =-.

又由DA ＝DC 得2

2

DA DC =

，即2222(30)()m b m c +=-+-，把6m =-代入后可解得6c =-（另一解0c =舍去）.

又因为AM//BC ，所以OA OM

OB OC =

3||

2|6|

-=-. 把6c =-代入解得52b =

（另一解5

2

b =-舍去）. 因此，抛物线的解析式为215

662

y x x =-+-.

第二试 （B ）

一．（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为60，求它的外接圆的面积. 解 设直角三角形的三边长分别为,,a b c （a b c ≤<），则60a b c ++=. 显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长c ，下面先求c 的值.

由a b c ≤<及60a b c ++=得603a b c c =++<，所以20c >. 由a b c +>及60a b c ++=得602a b c c =++>，所以30c <. 又因为c 为整数，所以2129c ≤≤.

根据勾股定理可得2

2

2

a b c +=，把60c a b =--代入，化简得60()18000ab a b -++=，所以

322(60)(60)1800235a b --==⨯⨯，

因为,a b 均为整数且a b ≤，所以只可能是32

6025,6035,a b ⎧-=⨯⎪⎨-=⨯⎪⎩或2

226025,

6023,a b ⎧-=⨯⎪⎨-=⨯⎪

⎩ 解得20,15,a b =⎧⎨

=⎩或10,

24.

a b =⎧⎨=⎩

当20,15a b ==时，25c =，三角形的外接圆的面积为

625

4

π； 当10,24a b ==时，26c =，三角形的外接圆的面积为169π.

二．（本题满分25分）如图，PA 为⊙O 的切线，PBC 为⊙O 的割线，A D ⊥OP 于点D ，△ADC 的外接圆与BC 的另一个交点为E.证明：∠BAE ＝∠ACB.

证明：连接OA ，OB ，OC ，BD.

∵OA ⊥AP ，A D ⊥OP ，∴由射影定理可得

2PA PD PO =⋅，2AD PD OD =⋅.

又由切割线定理可得2

PA PB PC =⋅，

∴P B P C PD PO ⋅=⋅，∴D 、B 、C 、O 四点共圆， ∴∠PDB ＝∠PCO ＝∠OBC ＝∠ODC ，