高中数学同步讲义必修一——第二章 习题课 对数函数
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习题课对数函数
学习目标
1.巩固和深化对数及其运算的理解和运用.
2.掌握简单的对数函数的图象变换及其应用.
3.会综合应用对数函数性质与其他有关知识解决问题．
知识点一 对数概念及其运算
1．由指数式对数式互化可得恒等式：
⎭
⎪⎬⎪
⎫a b ＝N
log a N ＝b ⇒log a N a ＝N (a >0，且a ≠1)． 2．对数log a N (a >0，且a ≠1)具有下列性质： (1)0和负数没有对数，即N >0； (2)log a 1＝0； (3)log a a ＝1. 3．运算公式
已知a >0，且a ≠1，M ，N >0. (1)log a M ＋log a N ＝log a (MN )； (2)log a M －log a N ＝log a M
N ；
(3)log n m a M ＝m
n
log a M ；
(4)log a M ＝log c M
log c a ＝1log M
a
(c >0，且c ≠1，M ≠1)．
知识点二 对数函数及其图象、性质 函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数．
(1)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的定义域为(0，＋∞)；值域为R ； (2)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过点(1,0)； (3)当a >1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递增； 当0 (4)直线y ＝1与函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象交点为(a,1)． (5)y ＝log a x 与y ＝a x 的图象关于y ＝x 对称． y ＝log a x 与y ＝1log a x 的图象关于x 轴对称． 1．y ＝x 与y ＝log a x a 是相等函数．( × ) 2． ＝1 2log a b .( × ) 3．若a x >b ，则x >log a b .( × ) 4．y ＝log a (x ＋1)恒过定点(0,0)．( √ ) 类型一 对数式的化简与求值 例1 (1)计算：(2 log (2； (2)已知2lg x －y 2＝lg x ＋lg y ，求(3 log .x y － 考点 对数的运算 题点对数的运算性质 解(1)方法一利用对数定义求值： 设 (2 log(2x ＝， 则(2＋3)x＝2－3＝ 1 2＋3 ＝(2＋3)－1， ∴x＝－1. 方法二利用对数的运算性质求解： 1 (2(2(2 log(2log log(2 1. - ==+=- (2)由已知得xy y x lg ) 2 lg(2= - ， ∴xy y x = - 2 ) 2 (，即x2－6xy＋y2＝0. ∴0 1 ) (6 ) (2= + - y x y x . ∴ x y＝3±2 2. ∵ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > > > - y x y x ∴ x y＞1，∴ x y＝3＋2 2， ∴ (3(3(3 log log(3log 1. x y =+==- －－－ 反思与感悟在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底，指数与对数互化． 跟踪训练1(1) (lg 3)2－lg 9＋1(lg 27＋lg 8－lg 1 000) lg 0.3·lg 1.2＝________. (2)已知函数f(x)＝lg x，若f(ab)＝1，则f(a2)＋f(b2)＝________. 考点对数的运算 题点指数对数的混合运算 答案(1)－ 3 2(2)2 解析(1)∵(lg 3)2－lg 9＋1＝(lg 3)2－2lg 3＋1 ＝1－lg 3， lg 27＋lg 8－lg 1 000＝32lg 3＋3lg 2－3 2 ＝32(lg 3－1)＋3lg 2＝3 2(lg 3＋2lg 2－1)， lg 0.3·lg 1.2＝lg 310·lg 12 10 ＝(lg 3－1)(lg 12－1) ＝(lg 3－1)(lg 3＋2lg 2－1)， ∴原式＝－3 2 . (2)∵f (ab )＝lg(ab )＝1， ∴f (a 2)＋f (b 2)＝lg a 2＋lg b 2＝lg(a 2b 2)＝2lg(ab )＝2. 类型二 对数函数图象的应用 例2 已知函数f (x )＝⎩ ⎪⎨⎪⎧ |ln x |，0 2－ln x ，x >e ，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，求abc 的 取值范围． 考点 对数函数的图象 题点 指数、对数函数图象的应用 解 f (x )的图象如图： 设f (a )＝f (b )＝f (c )＝m ， 不妨设a 则直线y ＝m 与f (x )交点横坐标从左到右依次为a ，b ，c ， 由图象易知0 ∴－ln a ＝ln b ，ln a ＋ln b ＝0，ln ab ＝ln 1，∴ab ＝1.