杭州历年中考数学易错题汇编-二次函数练习题

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图1，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）与x 轴交于点A （﹣1，0）、B （4，0）两点，与y 轴交于点C ，且OC=3OA ．点P 是抛物线上的一个动点，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交直线BC 于点D ，连接PC ． （1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，当动点P 只在第一象限的抛物线上运动时，求过点P 作PF ⊥BC 于点F ，试问△PDF 的周长是否有最大值？如果有，请求出其最大值，如果没有，请说明理由． （3）当点P 在抛物线上运动时，将△CPD 沿直线CP 翻折，点D 的对应点为点Q ，试问，四边形CDPQ 是否成为菱形？如果能，请求出此时点P 的坐标，如果不能，请说明理由．

【答案】(1) y=﹣234

x +

94x+3；(2) 有最大值,365

;(3) 存在这样的Q 点，使得四边形CDPQ 是菱形，此时点P 的坐标为（73，256）或（173

，﹣25

3）．

【解析】

试题分析: （1）利用待定系数法求二次函数的解析式； （2）设P （m ，﹣34

m 2+9

4m+3），△PFD 的周长为L ，再利用待定系数法求直线BC 的解

析式为：y=﹣34

x+3，表示PD=﹣2

334m m ，证明△PFD ∽△BOC ，根据周长比等于对应

边的比得：

=PED PD BOC BC 的周长的周长，代入得：L=﹣95（m ﹣2）2+365

，求L 的最大值即可；

（3）如图3，当点Q 落在y 轴上时，四边形CDPQ 是菱形，根据翻折的性质知：CD=CQ ，PQ=PD ，∠PCQ=∠PCD ，又知Q 落在y 轴上时，则CQ ∥PD ，由四边相等：CD=DP=PQ=QC ，得四边形CDPQ 是菱形，表示P （n ，﹣

23n 4 +9

4

n+3），则D （n ，﹣34n+3），G （0，﹣3

4n+3），利用勾股定理表示PD 和CD 的长并列式可得结论． 试题解析:

（1）由OC=3OA ，有C （0，3），

将A （﹣1，0），B （4，0），C （0，3）代入y=ax 2+bx+c 中，得：

016403a b c a b c c -+=⎧⎪

++=⎨⎪=⎩

， 解得：34943a b c ⎧=-⎪⎪

⎪

=⎨⎪=⎪⎪⎩

，

故抛物线的解析式为：y=﹣234

x +9

4

x+3； （2）如图2，设P （m ，﹣

34

m 2+9

4m+3），△PFD 的周长为L ，

∵直线BC 经过B （4，0），C （0，3）， 设直线BC 的解析式为：y=kx+b ，

则40

3

k b b +=⎧⎨

=⎩

解得：343

k b ⎧=-⎪

⎨⎪=⎩

∴直线BC 的解析式为：y=﹣3

4

x+3， 则D （m ，﹣334m +），PD=﹣2

334

m m +，

∵PE ⊥x 轴，PE ∥OC ， ∴∠BDE=∠BCO ， ∵∠BDE=∠PDF ， ∴∠PDF=∠BCO ， ∵∠PFD=∠BOC=90°， ∴△PFD ∽△BOC ，

∴

=PED PD

BOC BC

的周长的周长，

由（1）得：OC=3，OB=4，BC=5， 故△BOC 的周长=12，

∴23

34125

m m

L -+=，

即L=﹣95（m ﹣2）2+36

5

，

∴当m=2时，L 最大=

365

； （3）存在这样的Q 点，使得四边形CDPQ 是菱形，如图3， 当点Q 落在y 轴上时，四边形CDPQ 是菱形，

理由是：由轴对称的性质知：CD=CQ ，PQ=PD ，∠PCQ=∠PCD ， 当点Q 落在y 轴上时，CQ ∥PD ， ∴∠PCQ=∠CPD ， ∴∠PCD=∠CPD ， ∴CD=PD ， ∴CD=DP=PQ=QC ， ∴四边形CDPQ 是菱形， 过D 作DG ⊥y 轴于点G ， 设P （n ，﹣

234n +94n+3），则D （n ，﹣34

n+3），G （0，﹣3

34n +）， 在Rt △CGD 中，CD 2=CG 2+GD 2=[（﹣34

n+3）﹣3]2+n 2=2

2516n ， 而|PD|=|（﹣239344n n ++ 3n ++）﹣（﹣34

n+3）|=|﹣23

4n +3n|，

∵PD=CD ， ∴﹣235

344

n n n +=①， ﹣

235

344

n n n +=-②， 解方程①得：n=7

3

或0（不符合条件，舍去）， 解方程②得：n=17

3

或0（不符合条件，舍去）， 当n=

73时，P （73，256

），如图3，

当n=

173时，P （173

，﹣25

3），如图4，

综上所述，存在这样的Q 点，使得四边形CDPQ 是菱形，此时点P 的坐标为（73，256

）或（

173

，﹣25

3）．

点睛: 本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求函数的解析式、菱形的性质和判定、三角形相似的性质和判定，将周长的最值问题转化为二次函数的最值问题，此类问题要熟练掌握利用解析式表示线段的长，并利用相似比或勾股定理列方程解决问题．

2．新春佳节，电子鞭炮因其安全、无污染开始走俏．某商店经销一种电子鞭炮，已知这种电子鞭炮的成本价为每盒80元，市场调查发现，该种电子鞭炮每天的销售量y （盒）与销售单价x （元）有如下关系：y=﹣2x+320（80≤x≤160）．设这种电子鞭炮每天的销售利润为w 元．

（1）求w 与x 之间的函数关系式；

（2）该种电子鞭炮销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）该商店销售这种电子鞭炮要想每天获得2400元的销售利润，又想卖得快．那么销售单价应定为多少元？

【答案】（1）w=﹣2x 2+480x ﹣25600；（2）销售单价定为120元时，每天销售利润最大，最大销售利润3200元（3）销售单价应定为100元 【解析】 【分析】 （1）用每件的利润

()80x -乘以销售量即可得到每天的销售利润，即

()()()80802320w x y x x =-=--+， 然后化为一般式即可；

（2）把（1）中的解析式进行配方得到顶点式()2

21203200w x =--+，然后根据二次函数的最值问题求解；

（3）求2400w =所对应的自变量的值，即解方程()2

212032002400x --+=．然后检验即可. 【详解】

（1）()()()80802320w x y x x =-=--+，