2019年上海市行知中学高一(上)10月月考数学试卷(详细解析)

2019年上海市行知中学高一第一学期月考
数学试题
2019.10
一、单选题
1．若集合P 不是集合Q 的子集，则下列结论正确的是（ ） A.Q P ⊆ B.P
Q =∅ C.P Q ⋂≠∅ D.P Q P ≠
【答案】D
【解析】根据互为逆否命题的两个命题等价，得到答案. 【详解】 原命题：“若P
Q P =，则集合P 是集合Q 的子集”，真命题；
逆否命题：“若集合P 不是集合Q 的子集，则P
Q P ≠”，
根据互为逆否命题的两个命题等价，原命题真，那么逆否命题也是真命题， 故选：D 【点睛】
本题考查根据互为逆否命题的两个命题是等价的，判断命题的真假，意在考查对命题内容的理解，和掌握情况，属于基础题型. 2．集合P 具有性质“若x P ∈，则
1
P x
∈”，就称集合P 是伙伴关系的集合，集合111,0,,,1,2,3,432A ⎧⎫
=-⎨⎬⎩⎭
的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数为（ ）
A.3
B.7
C.15
D.31
【答案】C
【解析】首先分析集合A 中的哪些元素能是伙伴关系的集合里的元素，然后利用集合的子集个数公式求解. 【详解】
根据条件可知满足伙伴关系的集合里面有1
11,1,,3,,232-中的某些元素，
1
3和3，12
和2都
以整体出现，
1
3和3看成一个元素，12
和2也看成一个元素， ∴共有4个元素，
集合是非空集合，
∴有42115-=个.
故选：C 【点睛】
本题主要考查集合关系的判断，利用条件确定伙伴关系的元素是解决本题的关键，意在考查分析问题和解决问题的能力.
3．已知,,a b c ∈R ，则下列四个命题正确的个数是（ ）
①若22ac bc >，则a b >；②若22a b ->-，则()()2
2
22a b ->-； ③若0a b c >>>，则a a c
b b c
+>+；④若0a >，0b >，4a b +>，4ab >，则2a >，2b >. A.1 B.2
C.3
D.4
【答案】C
【解析】利用不等式的性质，逐一分析选项，得到正确结论. 【详解】
①当22ac bc >时，20c >，两边同时除以2c ，得到a b >，正确；
②220a b ->-≥，那么2
2
22a b ->-，即()()2
2
22a b ->-，正确； ③
()()()()()
a b c b a c c a b a a c b b c b b c b b c +-+-+-==++- ，0a b c >>> 0,0a b b c ∴->->
a a c
b b c
+∴>+，正确； ④令1
10,2
a b == 同样能满足4,4a b ab +>> ，2,2a b ∴>>不正确.
共有3个正确. 故选：C. 【点睛】
本题考查不等式比较大小，一般不等式比较大小的方法：1.做差法，2.利用不等式的性质，
3.利用函数单调性比较大小，
4.特殊值比较大小.
4．若实数a 、b 满足0a ≥，0b ≥且0ab =，则称a 与b 互补，记
(),a b a b ϕ=-，那么(),0a b ϕ=是a 与b 互补的（ ）条件．
A.充分不必要
B.必要不充分
C.充要
D.既不充分也不必要
【答案】C
【解析】首先根据(),0a b ϕ=,证明0a ≥，0b ≥且0ab = ，再证明0a ≥，0b ≥且0ab =时，(),0a b ϕ= . 【详解】 若(),0a b ϕ=，
0a b -=a b =+ 两边平方后可得20ab =，即0a =或0b =
当0a =0b b b =-= ，
0b ∴≥ ，即a 与b 互补，
同理0b =时，a 与b 互补， 反过来，当0ab =时，
0a b -= ， 即(),0a b ϕ= ，
故(),0a b ϕ=是a 与b 互补的充要条件. 故选：C. 【点睛】
本题考查充分必要条件的判断和证明，意在考查逻辑推理和分析证明的能力，属于中档题型，本题的关键需根据充要条件的判断证明(),0a b a ϕ=⇒与b 互补，a 与b 互补
(),0a b ϕ⇒=.
二、填空题
5．已知集合{
}2
9,,1A x x =-+，集合{
}2
1,2B x =，若{}2A B ⋂=，则x 的值为______.
【答案】1
【解析】首先根据{}2A B ⋂=，求得1x =±，然后再代入两个集合验证. 【详解】
{}2A B =，
222x = ，解得1x =或1x =-
当1x =时，{}9,1,2A =-，{}1,2B =成立；
当1x =-时，{}9,1,2A =，{}1,2B =,这与{}2A B ⋂=矛盾. 故答案为：1 【点睛】
本题考查根据两个集合的运算结果求集合，属于基础题型.
6．已知,x y R ∈，命题“若5x y +≥，则3x ≥或2y ≥”是______命题（填“真”或“假”）. 【答案】真
【解析】互为逆否命题的两个命题等价，当原命题不易判断真假时，可以先判断其逆否命题的真假. 【详解】
原命题和逆否命题互为等价命题，
命题的逆否命题“若3x <且2y <，则5x y +<”显然是真命题， 所以原命题也是真命题. 故答案为：真 【点睛】
本题考查四种命题的关系，以及判断命题的真假，属于基础题型，四种命题中，原命题和逆否命题等价，否命题和逆命题互为逆否，也是等价命题，所以判断命题真假时，当命题不好判断时，可以转化其逆否命题判断.
7．设{
}
2
8150A x x x =-+=，{|10}B x ax =-=，若B A ⊆，则实数a 组成的集合
C =_____．
【答案】110,,35⎧⎫⎨⎬⎩⎭
【解析】先求出A 的元素，再由B ⊆A ，分B φ=和B ≠φ求出a 值即可. 【详解】
∵A ＝{x |x 2﹣8x +15＝0}， ∴A ＝{3，5}
又∵B ＝{x |ax ﹣1＝0}， ∴①B φ=时，a ＝0，显然B ⊆A ②B φ≠时，B ＝{
1
a
}，由于B ⊆A ∴
1
35a
=或 ∴1135
a =或
故答案为：{11035
，，} 【点睛】
本题主要考查由集合间基本关系求参数值或范围的问题，属于基础题． 8．已知x ∈R ，命题“若25x <<，则27100x x -+<”的否命题是______. 【答案】若2x ≤或5x ≥，则27100x x -+≥ 【解析】根据四种命题的形式，直接写其否命题. 【详解】
原命题的否命题是“若2x ≤或5x ≥，则27100x x -+≥” 故答案为：若2x ≤或5x ≥，则27100x x -+≥ 【点睛】
本题考查四种命题的书写形式，属于基础题型，若原命题是“若p 则q ” 那么否命题：“若p ⌝则q ⌝”，逆命题：“若q 则p ”，逆否命题：“若q ⌝则p ⌝”. 9．若{}|A x x a =<，{}23B x =-<<，则R A C B R =，则实数a 的范围是______.
【答案】3a ≥
【解析】首先求R C B ，根据R A
C B R =，求a 的取值范围.
【详解】
{2R C B x x =≤-或3}x ≥
R A C B R =，
3a ∴≥
故答案为：3a ≥ 【点睛】
本题考查根据集合的运算结果，求参数的取值范围，当集合是无限集时，可以借助数轴解决问题.
10．若集合{
}
2
1,M y y x x R ==-∈，{N x y ==，则M
N =______.
【答案】⎡-⎣
【解析】先化简集合M,N,再求M N ⋂得解. 【详解】
由题得{}
1[M y y N =≥-=，，
所以=[1,M
N -.
故答案为：⎡-⎣
【点睛】
本题主要考查集合的化简和交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 11．“
11
2
x <”是“2x >”的______条件. 【答案】必要不充分
【解析】首先求不等式的解集，然后判断集合的包含关系，最后判断充分必要条件. 【详解】
112022x x x
-<⇒>， 即()20x x -> 解得2x >或0x <
{}2{2x x x x ≠
>⊂>或0}x <，
∴ “11
2
x <”是“2x >”的必要不充分条件.
故答案为：必要不充分 【点睛】
本题考查必要不充分条件的判断，当命题是以集合形式给出时，:p x A ∈，:q x B ∈，若
满足A B ≠
⊂，则p 是q 的充分不必要条件；若A B =，则p 是q 的充要条件；若没有包含关系，则p 是q 的既不充分也不必要条件. 12．设集合(){},|1U x y y x =
=+，()3
,|12y A x y x -⎧⎫
==⎨⎬-⎩⎭
，U
C
A =______.
【答案】
(){}2,3
【解析】首先求集合A ，再根据全集求U C A . 【详解】
(){},1,2A x y y x x ==+≠，
集合A 表示直线1y x =+上除去()2,3的所有点组成的集合，
(){}2,3U C A ∴=.
故答案为：(){}2,3
【点睛】
本题考查点表示的集合的补集，属于简单题型.
13．已知关于x 的不等式220ax x c ++>的解集为11(,)32
-，则不等式220cx x a -+->的解集为__________． 【答案】(2,3)-
【解析】分析：不等式2
20ax x c ++>的解集为11,32⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，则方程220ax x c ++=的根为
11
,32
-，利用韦达定理求参数c a 、，再解不等式220cx x a -+->即可。

详解：不等式220ax x c ++>的解集为11,
32⎛⎫- ⎪
⎝⎭
，则方程2
20ax x c ++=的根为11,32-，
由韦达定理可知：2111a 12326a -
=-+=⇒=-，111
c 2326
c a =-⨯=-⇒=，所以不等式220cx x a -+->为222120x x -++>，所以解集为()2,3-
点睛：二次函数，二次方程，一元二次不等式三个二次的相互转换是解决一元二次不等式 问题的常用方法。

14．若关于x 的不等式()
()2
2
12130a x a x ---+>对一切实数x 都成立，则实数a 的取
值范围是______. 【答案】()
[),21,-∞-+∞
【解析】首先讨论当210a -=时，不等式是否恒成立然后讨论当210a -≠时，若不等式
恒成立需满足()()
2
22
10
411210
a a a ⎧->⎪⎨---<⎪⎩，综上求解a 的范围. 【详解】
1.当210a -=时，1a =或1a =- 当1a =时，30>恒成立， 当1a =-时，430x +>，3
4
x >-不恒成立， 2.当210a -≠时，
(
)()
2
22
10
411210a a a ⎧->⎪⎨---<⎪⎩ 1a ⇒>或2a <-. 综上可得：1a ≥或2a <-. 故答案为：()[),21,-∞-+∞
【点睛】
本题考查不等式恒成立求参数的取值范围的问题，意在考查分类讨论的思想，属于基础题型. 15．用()C A 表示非空集合A 中元素的个数，定义()(),()()
()(),()()
C A C B C A C B A B C B C A C A C B -⎧*=⎨
-<⎩若
{}(
)()
{}
221,2,20A B x x ax x ax =+++=，且1A B *=，设实数a 的所有可能取值构成
集合S ，则()C S =_______. 【答案】3
【解析】由新定义1A B *=得集合B 可以是单元素集合，也可以是三元素集合，把问题转化为讨论方程2
2
2
0x
ax x ax 根的个数，即等价于研究两个方程2
0x ax 、
220x ax ++=根的个数.
【详解】
22
2
0x ax x ax 等价于2
0x ax ①或220x ax ++=②.
由{}1,2A =，且*1A B =，得集合B 可以是单元素集合，也可以是三元素集合. 若集合B 是单元素集合，则方程①有两相等实根，②无实数根，可得0a =；
若集合B 是三元素集合，则方程①有两不相等实根，②有两个相等且异于①的实数根，即
2
80
a a ≠⎧⎨∆=-=⎩，解得22a =±. 综上所述，0a =或22a =±，所以3C S .
【点睛】
本题以A B *这一新定义为背景，考查集合B 中元素个数问题，考查分类讨论思想的运用，对逻辑思维能力要求较高. 16．已知有限集
.如果A 中元素
满足
，就称A 为“复活集”，给出下列结论：
①集合
是“复活集”；②若，且
是“复活集”，则
；③若
，则
不可能是“复活集”；④若
，则“复活集”A 有且只有一个，且
.
其中正确的结论是___________________．（填上你认为所有正确的结论序号） 【答案】①③④
【解析】易判断①是正确的； ②不妨设
，则由韦达定理知是一元二次方程
的两个根，由
，可得，故②错；
③不妨设
由得
，当
时，即有
于是
无解，即不存在满足条件的“复活集”A ，
故③正确;当时，故只能
求得于是“复活集”A 只有一个，为
时，由
即有
，也就是说“复
活集”A 存在的必要条件是
，事实上，
，矛盾，∴当
时不存在复活集A ，故④
正确．答案为①③④
【考点】新定义，集合的概念，集合的关系，阶乘.
三、解答题
17．设集合{}2
|320A x x x =++=，(){}
2
|10B x x m x m =+++=；
（1）用列举法表示集合A ；
（2）若x B ∈是x A ∈的充分条件，求实数m 的值. 【答案】（1）{}1,2A =--；（2）1m =或2m =
【解析】（1）解方程求集合A ，（2）若x B ∈是x A ∈的充分条件，则B A ⊆ ，然后求解集合B ，根据子集关系求参数. 【详解】
（1）()()2
320120x x x x ++=⇒++=
即1x =-或2x =- ，
{}1,2A =--；
（2）若x B ∈是x A ∈的充分条件， 则B A ⊆ ，
()()()21010x m x m x x m +++=⇒++=
解得1x =- 或x m =-，
当1m =时，{}1B =-，满足B A ⊆，
当2m =时，{}1,2B =-- ，同样满足B A ⊆， 所以1m =或2m =. 【点睛】
本题考查集合和元素的基本关系，以及充分条件和子集的关系，属于基础题型.
18．已知：{}|17A x x =≤≤，{}
2|12200B x x x =-+<，{}|121C x m x m =+<<-，全集U =R ；
（1）求A B ，()U C A B ⋂；
（2）若A C A ⋃=，求m 的取值范围.
【答案】（1）[)1,10，()7,10；（2）4m ≤
【解析】（1）首先求集合B ，然后求集合的运算；（2）若A C A ⋃=，则C A ⊆，分C φ=或C φ≠两种情况讨论，求m 的范围.
【详解】
（1）()()2
122002100x x x x -+<⇒--< 解得：210x <<
{}210B x x ∴=<< ，
{}17A x x =≤≤ ，
{}110A B x x ∴⋃=≤<，
{1U C A x x =<或7}x > ，
(){}710U C A B x x ∴⋂=<<.
（2）若A C A ⋃=，
则C A ⊆，
当C φ=时，121m m +≥-
2m ∴≤;
当C φ≠时，12111
217m m m m +<-⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩
，解得24m <≤， 综上可知4m ≤.
【点睛】
本题考查集合的运算，以及根据集合的包含关系求参数的取值范围问题，意在考查计算和分类讨论的思想，属于基础题型.
19．某种商品每件成本80元，当每件售价100元，每天可以出售100件，若售价降低10%x ，
售出的商品数量就增加16%x ；
（1）试建立该商品一天的营业额y （元）关于x 的函数关系；
（2）如果要求该商品一天的营业额至少是10260元，且不能亏本，求x 的取值范围.
【答案】（1）()()10010.110010.16y x x =-⋅+；（2）1,22
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【解析】（1）首先根据题意列函数关系式；（2）根据题意列不等式，()()10010.110010.1610260x x -⋅+≥，要求不能亏本，即售价不能低于成本，即
100180010x ⎛⎫--≥ ⎪⎝⎭
，综上可求x 的范围. 【详解】
（1）所求函数关系式为
()()()10010.110010.160y x x x =-⋅+>
（2）依题意建立不等式：
()()10010.110010.1610260x x -⋅+≥， 解得：11324
x ≤≤， 又售价不能低于成本价，所以
100180010x ⎛⎫--≥ ⎪⎝⎭
，解得：02x ≤≤ 综上：122
x ≤≤ 【点睛】
本题考查函数的应用问题，根据题意抽象出二次函数，和不等式，意在考查转化和应用的能力.
20．已知集合{}
22|,,A x x m n m n Z ==-∈；
（1）判断8，9，10是否属于A ，并证明；
（2）已知集合{}|21,B x x k k Z ==+∈，证明x A ∈的充分必要条件是x B ∈； （3）写出所有满足集合A 的偶数.
【答案】（1）8A ∈，9A ∈，10A ∉；（2）证明见解析；（3）4k ，k Z ∈
【解析】（1）将8和9，10分别代入关系式22x m n =-，看是否满足；（2）
()2
2211k k k +=+- ，k Z ∈，根据这个式子说明是充分条件；（3）根据()()22m n m n m n -=+-，分,m n 同奇同偶或一奇一偶讨论集合A 中的偶数满足的条件.
【详解】
（1）22831=-，22954=- ，都属于集合A ，
假设2210,,m n m n Z =-∈，
则()()10m n m n +-=
设0,0m n >> 且10101=⨯ ，
101
m n m n +=⎧∴⎨-=⎩ ，解得119,22m n == ，不是整数， 10∴不是集合A 中的元素；
（2）()2
2211k k k +=+- ，k Z ∈ , 21k A ∴+∈，
即一切奇数都属于集合A ，
∴x A ∈的充分必要条件是x B ∈；
（3）集合{}
22,,A x x m n m n Z ==-∈， ()()22m n m n m n -=+-，成立
当,m n 同奇或同偶时，m n -，m n +都是偶数，
()()m n m n -+是4的倍数，
当,m n 一奇一偶时，m n +，m n -均为奇数，
()()m n m n ∴-+是奇数，
综上可知满足集合A 的偶数为4,k k Z ∈.
【点睛】
本题考查集合与推理证明的综合问题，属于中档题型，意在考查分析和推理能力，以及分类讨论的能力，本题的第三问的关键是根据22x m n =- 化为()()22
x m n m n m n =-=+-，
然后再讨论,m n 同奇同偶或一奇一偶讨论集合A 中的偶数满足的条件.
21．已知关于的不等式()
()()2223110k k x k x k R --+++>∈的解集为M ； （1）若M R =，求k 的取值范围；
（2）若存在两个不相等负实数a 、b ，使得()(),,M a b =-∞⋃+∞，求实数k 的取值范围；
（3）是否存在实数k ，满足：“对于任意*n N ∈，都有n M ∈，对于任意的m Z -∈，都有m M ∉”，若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由.
【答案】（1）(]13,1,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭；（2）133,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
；（3）存在，3k = 【解析】（1）讨论二次项系数2230k k --=和不等于0两种情况，当不等式的解集为R 时，
k 的取值范围；（2）根据不等式的解集形式可知()()
221221221423010231023k k k k x x k k x x k k ⎧+--->⎪⎪+⎪+=-<⎨--⎪⎪=>⎪--⎩，求k 的范围；（3）根据题意判断不等式的解集M ，讨论223k k --的情况，根据不等式的解集情况判断是否存在.
【详解】
（1）当2230k k --=时，1k =-或3k =
当1k =-时，10>恒成立，
当3k =时，14104x x +>⇒>-
不恒成立，舍去， 当2230k k --≠时，
()()
222230
14230
k k k k k ⎧-->⎪⎨+---<⎪⎩ 解得133
k > 或1k <-， 综上可知1k ≤-或133k >； （2）根据不等式解集的形式可知22303k k x -->⇒>或1x <-，
不等式解集的两个端点就是对应方程的实数根，
即()
()()2223110k k x k x k R --+++=∈有两个不相等的负根， 即()()
221221221423010231023k k k k x x k k x x k k ⎧+--->⎪⎪+⎪+=-<⎨--⎪⎪=>⎪--⎩ ，解得1333k << ， 综上可知：1333
k <<； （3）根据题意可知，得出解集(),M t =+∞，[)1,1t ∈-，
当2230k k --=时，解得3k =或1k =- ，
当1k =-时，10>恒成立，不满足条件，
当3k =时，不等式的解集是1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
，满足条件； 当2230k k -->时，此时一元二次不等式的解集形式不是(),t +∞的形式，不满足条件； 当2230k k --<时，此时一元二次不等式的解集形式不是(),t +∞的形式，不满足条件； 综上，满足条件的k 的值为3.
【点睛】
本题考查了含有字母的不等式恒成立和解集形式的问题，前两问属于基础问题，意在考查分类讨论和转化，计算能力，第3问属于推理，判断，证明问题，关键是读懂题，根据解集满足的条件确定(),M t =+∞，[)1,1t ∈-.。