夺分宝典--高中数学必修一知识梳理和易错点分析(1)

高中数学必修一知识梳理和易错点分析第一章 集合§1.1 集合的概念与运算 一、知识导学1.集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合.2.元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元.3.子集：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素（若A a ∉则B a ∈），则称 集合A 为集合B 的子集，记为A ⊆B 或B ⊇A ；如果A ⊆B ，并且A ≠B ，这时集合A 称为集合B 的真子集，记为A B 或BA.4.集合的相等：如果集合A 、B 同时满足A ⊆B 、B ⊇A ，则A=B.5.补集：设A ⊆S ，由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集，记 为AC s .6.全集：如果集合S 包含所要研究的各个集合，这时S 可以看做一个全集，全集通常 记作U.7.交集：一般地，由所有属于集合A 且属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的交集， 记作A ⋂B.8.并集：一般地，由所有属于集合A 或者属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的并 集，记作A ⋃B.9.空集：不含任何元素的集合称为空集，记作Φ. 10.有限集：含有有限个元素的集合称为有限集. 11.无限集：含有无限个元素的集合称为无限集.12.集合的常用表示方法：列举法、描述法、图示法（Venn 图）.13.常用数集的记法：自然数集记作N ，正整数集记作N+或N *，整数集记作Z ，有理数集记作Q ，实数集记作R. 二、疑难知识导析 1.符号⊆，，⊇，，=，表示集合与集合之间的关系，其中“⊆”包括“”和“=”两种情况，同样“⊇”包括“”和“=”两种情况.符号∈，∉表示元素与集合之间的关系.要注意两类不同符号的区别.2.在判断给定对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性”，在表示一个集合时，要特别注意它的“互异性”、“无序性”.3.在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质.4.对由条件给出的集合要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围．用集合表示不等式（组）的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或文氏图的直观性帮助思维判断．空集是任何集合的子集，但因为不好用文氏图形表示，容易被忽视，如在关系式中，B=Φ易漏掉的情况.5.若集合中的元素是用坐标形式表示的，要注意满足条件的点构成的图形是什么，用数形结合法解之.6.若集合中含有参数，须对参数进行分类讨论，讨论时既不重复又不遗漏.7.在集合运算过程中要借助数轴、直角坐标平面、V enn 图等将有关集合直观地表示出来. 8.要注意集合与方程、函数、不等式、三角、几何等知识的密切联系与综合使用. 9.含有n 个元素的集合的所有子集个数为：n2，所有真子集个数为：n2-1 三、经典例题导讲[例1] 已知集合M={y|y =x2＋1,x ∈R},N={y|y =x ＋1,x ∈R}，则M∩N=（ ） A ．（0，1），（1，2） B ．{（0，1），（1，2）} C ．{y|y=1,或y=2} D ．{y|y≥1}错解：求M∩N 及解方程组⎩⎨⎧+=+=112x y x y 得⎩⎨⎧==10y x 或⎩⎨⎧==21y x ∴选B错因：在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么．事实上M 、N 的元素是数而不是实数对(x,y)，因此M 、N 是数集而不是点集,M 、N 分别表示函数y=x2＋1(x ∈R)，y=x ＋1(x ∈R)的值域，求M∩N 即求两函数值域的交集．正解：M={y|y=x2＋1,x ∈R}={y|y≥1}， N={y|y=x ＋1,x ∈R}={y|y ∈R}． ∴M∩N={y|y≥1}∩{y|(y ∈R)}={y|y≥1}, ∴应选D ．注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x|y=x2＋1}、{y|y=x2＋1,x ∈R}、{(x,y)|y=x2＋1,x ∈R}，这三个集合是不同的．[例2] 已知A={x|x2－3x ＋2=0},B={x|ax －2=0}且A ∪B=A ，求实数a 组成的集合C ． 错解：由x2－3x ＋2=0得x=1或2． 当x=1时，a=2， 当x=2时，a=1．错因：上述解答只注意了B 为非空集合，实际上，B=时，仍满足A ∪B=A. 当a=0时，B=，符合题设，应补上，故正确答案为C={0，1，2}． 正解：∵A ∪B=A ∴B A 又A={x|x2－3x ＋2=0}={1，2}∴B=或{}{}21或 ∴C={0，1，2}[例3]已知m ∈A,n ∈B, 且集合A={}Z a a x x ∈=,2|，B={}Z a a x x ∈+=,12|，又C={}Z a a x x ∈+=,14|，则有： （ ） A ．m+n ∈A B. m+n ∈B C.m+n ∈C D. m+n 不属于A ，B ，C 中任意一个 错解：∵m ∈A ，∴m=2a,a Z ∈,同理n=2a+1,a ∈Z, ∴m+n=4a+1,故选C 错因是上述解法缩小了m+n 的取值范围.正解：∵m ∈A, ∴设m=2a1,a1∈Z, 又∵n B ∈,∴n=2a2+1,a2∈ Z , ∴m+n=2(a1+a2)+1,而a1+a2∈ Z , ∴m+n ∈B, 故选B.[例4］ 已知集合A={x|x2－3x －10≤0}，集合B={x|p ＋1≤x≤2p －1}．若BA ，求实数p 的取值范围．错解：由x2－3x －10≤0得－2≤x≤5．欲使B A ，只须3351212≤≤-⇒⎩⎨⎧≤-+≤-p p p∴ p 的取值范围是－3≤p≤3.错因：上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"这一结论，即B=时，符合题设． 正解：①当B≠时，即p ＋1≤2p －1p≥2. 由B A 得：－2≤p ＋1且2p －1≤5. 由－3≤p≤3. ∴ 2≤p≤3②当B=时，即p ＋1>2p －1p ＜2. 由①、②得：p≤3.点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B=、A ∪B=，A B 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题． [例5] 已知集合A={a,a ＋b,a ＋2b}，B={a,ac,ac2}．若A=B ，求c 的值．分析：要解决c 的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式． 解：分两种情况进行讨论．（1）若a ＋b=ac 且a ＋2b=ac2，消去b 得：a ＋ac2－2ac=0，a=0时，集合B 中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0． ∴c2－2c ＋1=0，即c=1，但c=1时，B 中的三元素又相同，此时无解． （2）若a ＋b=ac2且a ＋2b=ac ，消去b 得：2ac2－ac －a=0， ∵a≠0，∴2c2－c －1=0，即(c －1)(2c ＋1)=0，又c≠1，故c=－21．点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验.[例6] 设A 是实数集，满足若a ∈A ，则a -11∈A ，1≠a 且1∉A.⑴若2∈A ，则A 中至少还有几个元素？求出这几个元素. ⑵A 能否为单元素集合？请说明理由.⑶若a ∈A ，证明：1－a 1∈A.⑷求证：集合A 中至少含有三个不同的元素.解：⑴2∈A ⇒ －1∈A ⇒ 21∈A ⇒ 2∈A ∴ A 中至少还有两个元素：－1和21⑵如果A 为单元素集合，则a ＝a -11即12+-a a ＝0该方程无实数解，故在实数范围内，A 不可能是单元素集⑶a ∈A ⇒ a -11∈A ⇒a --1111∈A ⇒111---a a ∈A ，即1－a 1∈A ⑷由⑶知a ∈A 时，a -11∈A ， 1－a 1∈A .现在证明a,1－a 1, a -11三数互不相等.①若a=a -11,即a2-a+1=0 ，方程无解，∴a ≠a -11 ②若a=1－a 1，即a2-a+1=0，方程无解∴a ≠1－a 1③若1－a 1 =a -11，即a2-a+1=0，方程无解∴1－a 1≠a -11.综上所述，集合A 中至少有三个不同的元素.点评：⑷的证明中要说明三个数互不相等，否则证明欠严谨.[例7] 设集合A={a |a =12+n ,n ∈N+}，集合B={b |b =542+-k k ,k ∈N+}，试证：A B ． 证明：任设a ∈A ，则a =12+n =(n ＋2)2－4(n ＋2)＋5 (n ∈N+), ∵ n ∈N*，∴ n ＋2∈N* ∴ a ∈B 故 ①显然，1{}*2,1|N n n a a A ∈+==∈，而由B={b |b =542+-k k ,k ∈N+}={b |b =1)2(2+-k ，k ∈N+}知1∈B ，于是A≠B ②由①、② 得A B ． 点评：（1）判定集合间的关系，其基本方法是归结为判定元素与集合之间关系． （2）判定两集合相等，主要是根据集合相等的定义． 四、典型习题导练1．集合A={x|x2－3x －10≤0，x ∈Z}，B={x|2x2－x －6＞0， x ∈ Z}，则A ∩B 的非空真子集的个数为（ ）A ．16B ．14C ．15D ．322．数集{1，2，x2－3}中的x 不能取的数值的集合是（ ）A ．{2，-2 }B ．{－2，－5 }C ．{±2，±5 }D ．{5，－5} 3. 若P={y|y=x2,x ∈R}，Q={y|y=x2＋1,x ∈R}，则P∩Q 等于（ ） A ．P B ．Q C ． D ．不知道4. 若P={y|y=x2,x ∈R}，Q={(x ，y)|y=x2,x ∈R}，则必有（ ） A ．P∩Q= B ．P Q C ．P=Q D ．P Q5．若集合M ＝｛11|<x x ｝，N ＝{x |2x ≤x }，则M I N ＝（ ）A ．}11|{<<-x xB ．}10|{<<x xC ．}01|{<<-x xD ．∅6.已知集合A={x|x2＋(m ＋2)x ＋1=0,x ∈R}，若A∩R ＋=，则实数m 的取值范围是_________．7.（06高考全国II 卷）设a R ∈，函数2()22.f x ax x a =--若()0f x >的解集为A ，{}|13,B x x A B φ=<<≠I ，求实数a 的取值范围。

8.已知集合A={}012|2=++b ax xx 和B={}0|2=+-b ax x x 满足I C A ∩B={}2，A ∩I C B={}4，I=R ，求实数a,b 的值.第二章 函数概念与基本初等函数§2.4 函数与方程一、知识导学1.函数的零点与方程的根的关系：一般地，对于函数()y f x =（x D ∈）我们称方程()0f x =的实数根x 也叫做函数的零点，即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值. 求综合方程f(x)=g(x)的根或根的个数就是求函数()()y f x g x =-的零点. 2.函数的图像与方程的根的关系：一般地，函数()y f x =（x D ∈）的图像与x 轴交点的横坐标就是()0f x =的根.综合方程f(x)=g(x)的根，就是求函数y ＝f(x)与y=g(x)的图像的交点或交点个数，或求方程()()y f x g x =-的图像与x 轴交点的横坐标.3.判断一个函数是否有零点的方法：如果函数()y f x =在区间[a,b]上图像是连续不断的曲线，并且有()()0f a f b ⋅<，那么，函数()y f x =在区间（a,b ）上至少有一个零点，即至少存在一个数(,)c a b ∈使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的一个根.对于我们学习的简单函数，可以借助()y f x =图像判断解的个数，或者把()f x 写成()()g x h x -，然后借助()y g x =、()y h x =的图像的交点去判断函数()f x 的零点情况.4. 二次函数、一元二次方程、二次函数图像之间的关系：二次函数2y ax bx c =++的零点，就是二次方程20ax bx c ++=的根，也是二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴交点的横坐标.5. 二分法：对于区间[a,b]上的连续不断，且()()0f a f b ⋅<的函数()y f x =，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.二、疑难知识导析1.关于函数()()y f x g x =-的零点，就是方程()()f x g x =的实数根，也就是()y f x =与函数()y g x =图像的交点的横坐标. 要深刻理解，解题中灵活运用.2.如果二次函数2()y f x ax bx c ==++，在闭区间[m,n]上满足()()0f m f n ⋅<，那么方程20ax bx c ++=在区间（m,n ）上有唯一解，即存在唯一的1(,)x m n ∈，使1()0f x =，方程20ax bx c ++=另一解2(,)(,)x m n ∈-∞⋃+∞.3. 二次方程20ax bx c ++=的根在某一区间时，满足的条件应据具体情形而定.如二次方程()f x ＝20ax bx c ++=的根都在区间(,)m n 时 应满足：02()0()0b m n a f m f n ∆≥⎧⎪⎪<-<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩4.用二分法求二次方程的近似解一般步骤是 （1）取一个区间（,a b ）使()()0f a f b ⋅<（2）取区间的中点，02a b x +=（3）计算0()f x ，①若0()0f x =，则x 就是()0f x =的解，计算终止；②若0()()0f a f x ⋅<，则解位于区间（0,a x ）中，令110,a a b x ==；若0()()0f x f b ⋅<则解位于区间（0,x b）令101,a x b b==（4）取区间是（11,a b ）的中点，1112a b x +=重服第二步、第三骤直到第n 步，方程的解总位于区间（,n na b ）内（5）当,n na b 精确到规定的精确度的近似值相等时，那么这个值就是所求的近似解.三、经典例题导讲[例1]已知函数2()3f x x ax a =++-若[2,2]x ∈-时，()f x ≥0恒成立，求a 的取值范围. 错解：（一）()0f x ≥Q 恒成立，∴△＝24(3)a a --≤0恒成立解得a 的取值范围为62a -≤≤错解：（二）∵2()3f x x ax a =++-若[2,2]x ∈-时，()f x ≥0恒成立 ∴(2)0(2)0f f -≥⎧⎨≥⎩即22(2)2302230a a a a ⎧--+-≥⎪⎨++-≥⎪⎩解得a 的取值范围为773a -≤≤错因：对二次函数()f x ＝2ax bx c ++当x R ∈上()f x ≥0恒成立时，△≤0片面理解为，2ax bx c ++≥0，[2,2]x ∈-恒成立时，△≤0 ；或者理解为(2)0(2)0f f -≥⎧⎨≥⎩这都是由于函数性质掌握得不透彻而导致的错误.二次函数最值问题中“轴变区间定”要对对称轴进行分类讨论；“轴定区间变”要对区间进行讨论. 正解：设()f x 的最小值为()g a（1）当22a-<-即a ＞4时，()g a ＝(2)f -＝7－3a ≥0，得73a ≤故此时a 不存在；(2) 当[2,2]2a-∈-即－4≤a ≤4时，()g a ＝3－a －24a ≥0，得－6≤a ≤2又－4≤a ≤4，故－4≤a ≤2；（3）22a->即a ＜－4时，()g a ＝(2)f ＝7＋a ≥0，得a ≥－7，又a ＜－4故－7≤a ＜－4 综上，得－7≤a ≤2[例2]已知210mx x ++=有且只有一根在区间（0,1）内，求m 的取值范围.错解：设2()1f x mx x =++∵210mx x ++=有且只有一根在区间（0,1）内 ∴(0)(1)0f f ⋅<得m ＜－2错因：对于一般()f x ，若()()0f a f b ⋅<，那么，函数()y f x =在区间（a,b ）上至少有一个零点，但不一定唯一.对于二次函数()f x ，若()()0f a f b ⋅<则在区间（a,b ）上存在唯一的零点，一次函数有同样的结论成立.但方程()f x ＝0在区间（a,b ）上有且只有一根时，不仅是()()0f a f b ⋅<，也有可能()()0f a f b ⋅≤.如二次函数图像是下列这种情况时，就是这种情况.由图可知()f x ＝0在区间（a,b ）上有且只有一根，但是()()0f a f b ⋅≤正解：设2()1f x mx x =++，（1）当m ＝0时方程的根为－1，不满足条件.（2）当m ≠0∵210mx x ++=有且只有一根在区间（0,1）内 又(0)f ＝1＞0∴有两种可能情形①(1)0f <得m ＜－2或者②1(1)02f m =-且0<<1得m 不存在综上所得，m ＜－2[例3]已知一次函数y kx b =+与二次函数2y ax =图像如图，其中y kx b =+的交点与x 轴、y 轴的交点分别为A （2，0），B （0，2）；与二次函数2y ax =的交点为P 、Q ，P 、Q 两点的纵坐标之比为1︰4.（1）求这两个函数的解析式.（2）解方程：2ax kx b =+（1）错解：把 A （2，0），B （0，2）两点坐标分别代入一次函数y kx b =+解得12k b =-⎧⎨=⎩∴一次函数为 2y x =-+ 设P （x 1，y 1），Q （，y 2），则y 1︰y 2＝1︰4∴21ax ︰22ax ＝1︰4 ∴x 1︰x 2＝1︰2或x 1︰x 2＝（－1）︰2当x 1︰x 2＝1︰2时，Q 点坐标为（2x 1，4y 1），把P 、Q 两点坐标分别代入直线方程即得 11112422y x y x =-+⎧⎨=-+⎩解得1131x y =⎧⎨=-⎩∴P （3，－1），Q （6，－4），抛物线方程为29y x =-当x 1︰x 2＝（－1）︰2时， Q 点坐标为（－2x 1，4y 1）把P 、Q 两点坐标分别代入直线方程即得 11112422y x y x =-+⎧⎨=+⎩解得1111x y =⎧⎨=⎩∴P （1， 1），Q （－2， 4），抛物线方程为2y x =错因：在得到x 1︰x 2值之后，要注意题意判断点的位置关系，多余的解要舍去，题中Q在第二象限，所以1131x y =⎧⎨=-⎩不合条件.正解：（1）抛物线方程为2y x =（2）方法一：由（1）得方程2ax kx b =+ 即为22x x =-+ 解得x 1＝－2，x 2＝1.方法二：方程2ax kx b =+的根即为二次函数2y ax =与一次函数y kx b =+的交点的横坐标.由（1）知它们交点的坐标分别为P （1， 1），Q （－2， 4）， ∴方程2ax kx b =+的解为x 1＝－2，x 2＝1.[例4]是否存在这样的实数k ，使得关于x 的方程x 2+（2k －3）x －（3k －1）＝0有两个实数根，且两根都在0与2之间？如果有，试确定k 的取值范围；如果没有，试说明理由.错解：令2()(23)(31)f x x k x k =+---那么由条件得到 2(23)4(31)0(0)130(2)42(23)(31)0k k f k f k k ⎧∆=-+-≥⎪=->⎨⎪=+--->⎩即此不等式无解即不存在满足条件的k 值.错因：方程两根都在0与2之间，根据图像，可知除满足上述条件外，还要考虑二次函数的对称轴在区间（0,2）内.正解：令2()(23)(31)f x x k x k =+---那么由条件得到 2(23)4(31)0(0)130(2)42(23)(31)023022k k f k f k k k ⎧∆=-+-≥⎪=->⎪⎪⎨=+--->⎪-⎪<<⎪⎩即24501313722k k k k ⎧+≥⎪⎪<⎪⎨>⎪⎪<<⎪⎩即此不等式无解 即不存在满足条件的k 值.[例5]已知二次函数2()f x ax bx c =++对于x 1、x 2∈R ，且x 1＜x 2时 12()()f x f x ≠，求证：方程()f x ＝121[()()]2f x f x +有不等实根，且必有一根属于区间（x 1，x 2）.解：设F （x ）＝()f x －121[()()]2f x f x +， 则方程 ()f x ＝121[()()]2f x f x + ①与方程 F （x ）＝0 ② 等价∵F （x 1）＝1()f x －121[()()]2f x f x +＝121[()()]2f x f x - F （x 2）＝2()f x －121[()()]2f x f x +＝121[()()]2f x f x -+ ∴ F （x 1）·F （x 2）＝－2121[()()]4f x f x -，又12()()f x f x ≠∴F （x 1）·F （x 2）＜0故方程②必有一根在区间（x 1，x 2）内.由于抛物线y ＝F （x ）在x 轴上、下方均有分布，所以此抛物线与x 轴相交于两个不同的交点，即方程②有两个不等的实根，从而方程①有两个不等的实根，且必有一根属于区间（x 1，x 2）.点评：本题由于方程是()f x ＝121[()()]2f x f x +，其中因为有()f x 表达式，所以解题中有的学生不理解函数图像与方程的根的联系，误认为证明()f x 的图像与x 轴相交于两个不同的点，从而证题中着眼于证1()f x 2()f x ＜0，使本题没法解决. 本题中将问题转化为F（x ）＝()f x －121[()()]2f x f x +的图像与x 轴相交于两个不同的两点是解题的关健所在.[例6]试确定方程322420x x x --+=最小根所在的区间，并使区间两个端点是两个连续的整数.分析：只要构造函数()f x ＝32242x x x --+，计算()f x 的自变量x 取整数值时的函数值，根据其符号，确定方程根的个数及根的分布.解：令()f x ＝32242x x x --+∵(3)f -＝－54－9＋12＋2＝－49＜0(2)f -＝－16－4＋8＋2＝－10＜0 (1)f -＝－2－1＋4＋2＝3＞0 (0)f ＝0－0－0＋2＝2＞0 (1)f ＝2－1－4＋2＝－1＜0 (2)f ＝16－4－8＋2＝6＞0根据(2)f -·(1)f -＜0，(0)f ·(1)f ＜0，(1)f ·(2)f ＜0 可知()f x 的零点分别在区间（－2，－1），（0,1），（1,2）内.因为方程是一个一元三次方程，所以它最多有三个根，所以原方程的最小根在区间（－2，－1）内.点评：计算一元高次函数值可借助于计算器来完成，在实数范围内一元n 次方程最多有n 个实根，当然本题也可以用因式分解方法来解.32242x x x --+221(21)2(21)2()(2)212()(2x x x x x x x x =---=--=-+所以32242x x x --+＝0有三个根：12[例7]设二次函数2()(0),f x ax bx c a =++>方程0)(=-x x f 的两个根21,x x ，满足0<21x x <a 1<.（1）当),0(1x x ∈时，证明1)(x x f x <<；（2）设函数2()(0),f x ax bx c a =++>的图像关于直线0x x =对称，证明： 210x x <.分析：（1）用作差比较法证明不等式1)(x x f x <<；（2）函数2()(0),f x ax bx c a =++>图像关于直线0x x =对称，实际直线0x x =就是二次函数的对称轴，即a bx 20-=，然后用已知条件证明不等式即可.证明：（1）依题意，设))(()()(21x x x x a x x f x F --=-= 当),0(1x x ∈时，由于21x x <，∴0))((21>--x x x x ，又0>a ∴))(()()(21x x x x a x x f x F --=-=>0即)(x f x <)1)(()1)(()()]([)(2121111ax x x ax ax x x x F x x x F x x x f x -->-+-=--=+-=-∵0<21x x x <<a 1<.∴01,021>->-ax x x∴0)(1>-x f x 综合得1)(x x f x <<（2）依题意知a b x 20-=，又a b x x 121--=+∴a ax ax a x x a a bx 2121)(221210-+=-+=-=∵,012<-ax ∴22110x a ax x =<点评：解决本题的关健有三：一是用作差比较法证明不等式；二是正确选择二次函数的表达式，即本题选用两根式表示；三要知道二次函数的图像关于直线对称，此直线为二次函数的对称轴，即a b x 20-=[例8] 已知函数0)1(),1(2)(2=<<++=f b c c bx x x f ，且方程01)(=+x f 有实根. (1)求证：-3<c ≤-1,b ≥0.(2)若m 是方程01)(=+x f 的一个实根，判断)4(-m f 的正负并加以证明 分析：（1）题中条件涉及不等关系的有1<<b c 和方程01)(=+x f 有实根.及一个等式0)1(=f ，通过适当代换及不等式性质可解得；（2）本小题只要判断)4(-m f 的符号，因而只要研究出4-m 值的范围即可定出)4(-m f 符号.(1)证明：由0)1(=f ，得1+2b+c=0,解得21+-=c b ，又1<<b c ，1c c >+->21解得313-<<-c ，又由于方程01)(=+x f 有实根，即0122=+++c bx x 有实根， 故0)1(442≥+-=∆c b 即0)1(4)1(2≥+-+c c 解得3≥c 或1-≤c ∴13≤<-c ，由21+-=c b ，得b ≥0.（2）c bx x x f ++=2)(2=)1)(()1(2--=++-x c x c x c x∵01)(<-=m f ，∴c<m<1（如图） ∴c —4<m —4<—3<c. ∴)4(-m f 的符号为正.点评：二次函数值的符号，可以求出其值判断，也可以灵活运用二次函数的图像及性质解题. 四、典型习题导练1. 方程023=-+x x 的实根的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3.2.已知抛物线2()27y f x x mx m ==++-与x 轴的两个交点在（1,0）两旁，则关于x 的方程221(1)504x m x m ++++=的根的情况是（ ）ａ.有两个正数根 B.有两个负数根 C.有一个正数根和一个负数根 D.无实数根3.若关于x 的方程2210ax x --=在（0,1）内恰有一解，则a 的取值范围为（ ） A. a ＜－1 B. a ＞1 C. －1＜a ＜1 D.0＜a ＜14.已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图像如图所示，则b 的取值范围是（ ）A.(-∞,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,+∞)5.已知函数=y )(x f 对一切实数都有)2()2(x f x f -=+成立，且方程)(x f =0恰有6个不同的实根，则这6个根的和是 .6. 已知在二次函数的解析式2()f x ax bx c =++中，(1)f ＝－3，(0)f ＝－8，且它的两个零点间的距离等于2，求这个二次函数的解析式.7. （06年高考浙江卷）设f(x)=3ax 0.2=++++c b a c bx b若,f(0)＞0，f(1)＞0，求证：(1)a ＞0且-2＜b a＜-1；(2)方程f(x)=0在（0，1）内有两个实根. 8.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c.(1)若a>b>c 且f(1)=0，证明：f(x)的图像与X 轴相交；(2)证明：若对x1、x2R ∈，且f(x1)≠f(x2),则方程2)()()(21x f x f x f +=必有一实根在区间（x1,x2）内；(3)在（1）的条件下，是否存在实数m ，使f(m) = －a 成立时,f(m+3)>0. §2.5 函数的综合运用 一、知识导学1.在应用中深化基础知识.在复习中基础知识经历一个由分散到系统，由单一到综合的发展过程.这个过程不是一次完成的，而是螺旋式上升的.因此要在应用深化基础知识的同时，使基础知识向深度和广度发展.2.以数学知识为载体突出数学思想方法.数学思想方法是观念性的东西，是解决数学问题的灵魂，同时它又离不开具体的数学知识.函数内容最重要的数学思想是函数思想和数形结合的思想.此外还应注意在解题中运用的分类讨论、换元等思想方法.解较综合的数学问题要进行一系列等价转化或非等价转化.因此本课题也十分重视转化的数学思想.3.要重视综合运用知识分析问题解决问题的能力和推理论证能力的培养.函数是数学复习的开始，还不可能在大范围内综合运用知识.但从复习开始就让学生树立综合运用知识解决问题的意识是十分重要的.推理论证能力是学生的薄弱环节，近几年高考命题中加强对这方面的考查，尤其是对代数推理论证能力的考查是十分必要的.本课题在例题安排上作了这方面的考虑.4.函数应用题主要研究如何利用函数思想解决生产实践中的实际问题，要求各位同学有较宽的知识面，能读懂题意，然后对问题进行分析，灵活运用所学过的数学知识，建立量与量的函数关系，把实际问题材转化为函数问题，通过对函数问题材的解决达到实际问题解决目的. 二、疑难知识导析1.为了能较快地解决函数综合问题，要求各位学生 ⑴在全面复习函数有关知识的基础上，进一步深刻理解函数的有关概念，全面把握各类函数的特征，提高运用基础知识解决问题的能力. ⑵掌握初等数学研究函数的方法，提高研究函数的能力，重视数形结合数学思想方法的运用和推理论证能力的培养. ⑶初步沟通函数与方程、不等式及解析几何有关知识的横向联系，提高综合运用知识解决问题的能力.⑷树立函数思想，使学生善于用运动变化的观点分析问题. 2.对数学应用题的学习，是提高分析问题、解决问题能力的好途径.不少人在数学应用题面前，束手无策；有的读不懂题意；有的不会归纳抽象、建模，因此要解好应用题，首先应加强提高阅读理解能力，然后将普通语言转化为数学语言和数学符号，实际问题转化为数学问题，再运用数学方法、数学思想去解决问题. 三、经典例题导讲 [例1] 不等式).23(log )423(log 2)2(2)2(22+->--++x x x x x x错解：,122>+x Θ,2342322+->--∴x x x x.223,0622-<>∴>-+∴x x x x 或错因： 当2=x 时，真数0232=+-x x 且2=x 在所求的范围内（因232>），说明解法错误.原因是没有弄清对数定义.此题忽视了“对数的真数大于零”这一条件造成解法错误，表现出思维的不严密性. 正解 122>+x Θ⎪⎩⎪⎨⎧+->-->+->--∴2342302304232222x x x x x x x x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<><>-<+>∴2231231313131x x x x x x 或或或.22-<>∴x x 或[例2]将进价为8元的商品，按每件10元售出，每天可销售0件，若每件售价涨价0.5元，其销售量就减少10件，问应将售价定为多少时，才能使所赚利润最大，并求出这个最大利润.错解：设每件售价提高x 元，利润为y 元，则y=)20200)(8(x x -+]81)1([202+--=x ∴x =1时，1620max =y （元） 错因：没理解题意，每天销售0件是在定价10元时的情况下，所设的应理解为在定价目10元的基础上，再每件售价提高x 元，故利润每件应为（2+x ）元，此时的销售量为（0－20x ）元正解：设每件售价提高x 元，利润为y 元，则y=)20200)(2(x x -+=720)4(202+--x 故当4=x ，即定价为14元时，每天可获得最大利润为720元.[例3]某工厂改进了设备，在两年内生产的月增长率都是m ，则这两年内第二年三月份的产值比第一年三月份的产值的增长率是多少？错解：设第一年三月份的产值为a ，则经过二年，三月份的产值是a(1+m)11,则所求增长率为1)1()1(1111-+=-+m a am a ，或把第二年三月份的产值写为a(1+m)13.错因：对增长率问题的公式xp N y )1(+=未透彻理解而造成错解，或者是由于审题不细致而造成题意的理解错误.若某月的产值是a ，则此后第x 月的产值为xm a )1(+，指数x 是基数所在时间后所跨过的时间间隔数.正解：设第一年三月份的产值为a ，则第四个月的产值为a(1+m)，五月份的产值为a(1+m)2， 从此类推，则第二年的三月份是第一年三月份后的第12个月，故第二年的三月份的产值是 a(1+m)12，又由增长率的概念知，这两年的第二年的三月份的产值比第一年的三月份的产值的增长率为1)1()1(1212-+=-+m a am a[例4]在一个交通拥挤及事故易发生路段，为了确保交通安全，交通部门规定，在此路段内的车速v （单位：km/h ）的平方和车身长l （单位：m ）的乘积与车距d 成正比，且最小车距不得少于半个车身长.假定车身长均为l （单位：m ）且当车速为50（km/h ）时，车距恰为车身长，问交通繁忙时，应规定怎样的车速，才能使在此路段的车流量Q 最大？ (车流量=车身长车距车速+)错解：l kv d 2=，将50=v ，l d =代入得25001=k ，∴l v d 225001=，又将ld 21=代入得225=v ， 由题意得l v d 225001=（225≥v ）将Q=l d v +1000=)25001(10002v l v+（225≥v ）∵l v v l v v l v l v 250002500121000)25001(1000)25001(10002=⋅⋅≤+=+∴当且仅当50=v 时，l Q 25000max =综上所知，50=v （km/h ）时，车流量Q 取得最大值.错因：上述解法中结果虽然正确，但解题过程中是错误的，即虽然车速要求225≥v ，但在行驶过程中车速有可能低于252（km/h ），所以解题材中应分两类情形求解，得分段函数.正解：（1）依题意，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>=)225(21)225(250012v l v l v d则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤>+=+=)225(231000)225()25001(100010002v l vv v l vl d v Q显然当225≤v 时，Q 是关于v 的增函数，∴当225=v 时，l l v Q 3250000231000max =当225>v 时，Q=l d v +1000=l v v l v v l v l v 250002500121000)25001(1000)25001(10002=⋅⋅≤+=+当且仅当50=v 时，上式等号成立.综上所述，当且仅当50=v 时，车流量Q 取得最大值. [例5] 定义在R 上的函数()f x 满足：对任意实数,m n ，总有()()()f m n f m f n +=⋅，且当0x >时，()01f x <<.（1）试求()0f 的值；（2）判断()f x 的单调性并证明你的结论；（3）设()()()(){}()({}22,1,,1,A x y f x f y f B x y f ax y a R =⋅>=-=∈，若A B ⋂=∅，试确定a 的取值范围.（4）试举出一个满足条件的函数()f x .解：（1）在()()()f m n f m f n +=⋅中，令1,0m n ==.得：()()()110f f f =⋅.因为()10f ≠，所以，()01f =.（2）要判断()f x 的单调性，可任取12,x x R∈，且设12x x <.在已知条件()()()f m n f m f n +=⋅中，若取21,m n x m x +==，则已知条件可化为：()()()2121f x f x f x x =⋅-.由于210x x ->，所以()2110f x x >->.为比较()()21f x f x 、的大小，只需考虑()1f x 的正负即可.在()()()f m n f m f n +=⋅中，令m x =，n x =-，则得()()1f x f x ⋅-=.∵ 0x >时，()01f x <<，∴ 当0x <时，()()110f x f x =>>-.又()01f =，所以，综上，可知，对于任意1x R∈，均有()10f x >.∴()()()()2112110f x f x f x f x x -=--<⎡⎤⎣⎦.∴ 函数()f x 在R 上单调递减.（3）首先利用()f x 的单调性，将有关函数值的不等式转化为不含f 的式子.()()()222211f x f y f x y ⋅>+<即，(()10f ax y f -==，即0ax y -+=.由A B ⋂=∅，所以，直线0ax y -+=与圆面221x y +<无公共点.所以，1≥.解得 11a -≤≤.（4）如()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 点评：根据题意，将一般问题特殊化，也即选取适当的特值（如本题中令1,0m n ==；以及21,m n x m x +==等）是解决有关抽象函数问题的非常重要的手段；另外，如果能找到一个适合题目条件的函数，则有助于问题的思考和解决.[例6]（02年高考）设a 为实数，函数1||)(2+-+=a x x x f ，R x ∈ （1）讨论)(x f 的奇偶性； （2）求)(x f 的最小值.解：（1）当0=a 时，函数)(1||)()(2x f x x x f =+-+-=- 此时，)(x f 为偶函数当0≠a 时，1)(2+=a a f ，1||2)(2++=-a a a f ， )()(a f a f -≠，)()(a f a f --≠此时)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数（2）（i ）当a x ≤时，43)21(1)(22++-=++-=a x a x x x f 当21≤a ，则函数)(x f 在],(a -∞上单调递减，从而函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为1)(2+=a a f .若21>a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f +=43)21(，且)()21(a f f ≤.（ii ）当a x ≥时，函数43)21(1)(22+-+=+-+=a x a x x x f 若21-≤a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f -=-43)21(，且)()21(a f f ≤- 若21->a ，则函数)(x f 在),[+∞a 上单调递增，从而函数)(x f 在),[+∞a 上的最小值为1)(2+=a a f .综上，当21-≤a 时，函数)(x f 的最小值为a-43当2121≤<-a 时，函数)(x f 的最小值为12+a 当21>a 时，函数)(x f 的最小值为a+43.点评：（1）探索函数的奇偶性，可依据定义，通过)()(x f x f =-代入有1||1||)(22+-+=+--+-a x x a x x ，即||||a x a x -=+可得，当0=a 时，||||a x a x -=+，函数)()(x f x f =-函数为偶函数.通过)()(x f x f -=-可得1||1||)(22----=+--+-a x x a x x 化得||||222a x a x x -++=+此式不管0=a 还是0≠a 都不恒成立， 所以函数不可能是奇函数.（2）由于本题中含有绝对值，需要去掉，故分类讨论，既要对二次函数值域的研究方法熟练掌握，又要将结论综合，对学生的综合运用数学知识能力及数学思想作了较好的考查.[例7]某公司为帮助尚有26.8万元无息贷款没有偿还的残疾人商店，借出20万元将该商店改建成经营状况良好的某种消费品专卖店，并约定用该店经营的利润逐步偿还债务(所有债务均不计利息).已知该种消费品的进价为每件40元；该店每月销售量q（百件）与销售价p （元／件）之间的关系用右图中的一条折线（实线）表示；职工每人每月工资为600元，该店应交付的其它费用为每月130元.（1）若当销售价p 为52元／件时，该店正好收支平衡，求该店的职工人数； （2）若该店只安排40名职工，则该店最早可在几年后还清所有债务，此时每件消费品的价格定为多少元？分析：本题题目的篇幅较长，所给条件零散杂乱，为此，不仅需要划分段落层次，弄清每一层次独立的含义和相互间的关系，更需要抓住矛盾的主要方面.由题目的问题找到关键词——“收支平衡”、“还清所有债务”，不难想到，均与“利润”相关.从阅读和以上分析，可以达成我们对题目的整体理解，明确这是一道函数型应用题.为此，首先应该建立利润与职工人数、月销售量q 、单位商品的销售价p 之间的关系，然后，通过研究解析式，来对问题作出解答.由于销售量和各种支出均以月为单位计量，所以，先考虑月利润.解：（1）设该店的月利润为S 元，有职工m 名.则()4010060013200S q p m =-⨯--.又由图可知：()()2140, 405882 5881p p q p p -+≤≤⎧⎪=⎨-+<≤⎪⎩. 所以，()()()()()()21404010060013200 4058824010060013200 58<81p p m p S p p m p -+-⨯--≤≤⎧⎪=⎨-+-⨯--≤⎪⎩ 由已知，当52p =时，0S =，即()()214040100600132000p p m -+-⨯--=，解得50m =.即此时该店有50名职工.（2）若该店只安排40名职工，则月利润()()()()()()21404010037200 4058824010037200 58<81p p p S p p p -+-⨯-≤≤⎧⎪=⎨-+-⨯-≤⎪⎩.当4058p ≤≤时，求得55p =时，S 取最大值7800元.当5881p <≤时，求得61p =时，S 取最大值6900元.综上，当55p =时，S 有最大值7800元.设该店最早可在n 年后还清债务，依题意，有1278002680002000000n ⨯--≥.解得5n ≥.所以，该店最早可在5年后还清债务，此时消费品的单价定为55元.点评：求解数学应用题必须突破三关：（1）阅读理解关：一般数学应用题的文字阅读量都比较大，要通过阅读审题，找出关键词、句，理解其意义.（2）建模关：即建立实际问题的数学模型，将其转化为数学问题.（3）数理关：运用恰当的数学方法去解决已建立的数学模型.四、典型习题导练1.对函数b ax x x f ++=23)(作代换x=g(t)，则总不改变f(x)值域的代换是 ( ) A.tt g 21log )(= B.t t g )21()(= C.g(t)=(t －1)2 D.g(t)=cost2.用铁管做一个形状为直角三角形的铁框架，要使直角三角形面积为1平方米，有下列四种长度的铁管，最合理（够用，浪费又最少）的是（ ）A.4.1米B.4.8米C.5米D.5.2米3.（05年高考湖北卷）函数|1|||ln --=x e y x 的图像大致是（ ）4.设x1、x2为方程4x2－4mx+m+2=0的两个实根，当m=_________时，x12+x22有最小值_________.。