函数单调性与导数学案

§3 31函数的单调性与导数

课标要求：

1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；

2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.

学习过程：

一、课前准备

复习1：以前，我们用定义来判断函数的单调性.对于任意的两个数X i, X2€ I ,且当X i V X2时，都有______ ，那么函数f(X)就是区间I上的_______ 函数.否则呢？

复习2：

C' ;

x ' ______________ ；si nx' _______ ；cosx ' _______ ；

a x ' _______ ；e x' ________ ；log a x ' ______ ；ln x ' _______ ；

二、新课导学

※学习探究

探究任务一：函数单调性与其导数的关系：

问题1:如图(1)表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数

h(t) 4.9t2 6.5t 10的图像，图(2 )表示高台跳水运动员的速度

V(t) h'(t) 9.8t 6.5h的图像.

通过观察图像，你能发现h(t)和h'(t)这两个函数图像有什么联系吗？

启发：函数h(t)在(0,a)上位增函数，函数h'(t)在(0,a)上有何特点呢？函数h(t)在(a,b)

上位减函数函数，那么函数h'(t)在(a,b)上有何特点呢?

问题2 :观察图（1）〜图（4）,探讨函数与其导函数是否也存在问题（ 1）的关系呢?

当 x 4,或x 1时，f'(x)

0;

问题3:通过对问题1和问题2的观察，你能得到原函数的单调性与其导函数的正负号 有何关系？你能得到怎样的结论？

问题4:上述结论主要是通过观察得到的，你能给予证明吗?

启发1 :导数的几何意义为切线的斜率，你能从这个角度给予说明吗?

启发2 :结合单调性的定义，你能从导数的定义出发予以说明吗?

探究任务二：f' X 0与函数单调性的关系：

问题5：在区间a,b 上f' X 0，则函数f X 区间a,b 必为增函数，你认为这句 话对吗？请说明理由•

问题6:函数f X 在区间a,b 上为增函数，则在区间 a,b 上f' x 0成立.你认为

这句话对吗？说明理由•

自主测评：

1.已知导函数的下列信息 当 1 x 4时，f'（x ）

0;

当 x 4,或x 1时，f'(x) 0.

试画出函数f x 图像的大致形状•

2.判断下列函数的单调性，并求出单调区间 ⑴ f (x) x 3 3x ； ⑵ f(x)

x 2 2x 3;

⑶ f (x) sin x x, x 0,; ⑷ f(x) 2x 3 3x 2

24x 1；

反思：你对利用导数去研究函数的单调性有什么看法 ？

※典例讲解：

例3:水以恒速注入下面四种底面积相同的容器中

，请分别找出与各容器对应的水的高度

h 与时间t 的函数关系图象。

变式：若将例3中高度h 和时间t 的关系变为横坐标为高度 h 和纵坐标为体积V 的关系, 那么此题结论又将如何？

思考：对于此题你是怎样判断的，使用什么样的知识，结论如何呢? ※课堂练习：

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3.讨论二慣咸救施刃=打十+店”+『(dH (B 的单调区间. ■

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