定理线性定常系统

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现代控制理论系统镇定问题

《现代控制理论》MOOC课程5.3系统镇定问题一.状态反馈的镇定问题确定状态反馈控制u =−Kx +v ，使得所导出的状态反馈闭环系统x =A −BK x +Bv是渐近稳定的，也即闭环系统的特征值均有负的实部，则称系统实现了状态反馈镇定。

镇定是极点配置的一类特殊情况，它要求将极点配置到根平面的左半平面。

二. 状态反馈可镇定的条件可通过状态反馈u =−Kx +v 实现镇定的充要条件是其不能控子系统是渐近稳定的。

定理：线性定常系统x =A x +B u ，x 0=0，t ≥0y =Cx5.3系统镇定问题给定n 阶线性定常受控系统：x =A x +B u ，x 0=0，t ≥0y =Cx证明：设线性定常系统为不完全能控，故存在非奇异线性变换R C 对系统进行能控性分解且对任一状态反馈矩阵K =k 1k 2可导出෩K=KR c =෩k 1෩k2，由于{෩Ac ，෩B c }为能控，故必存在෩k 1使(෩A c −෩B c ෩k 1)的特征值具有负的实部，即存在K 使能因此，系统由状态反馈实现镇定的充要条件为不能控子系统的特征值均具有负实部。

得证=detλI −෩Ac +෩B c ෩k 1−෩A 12+෩B c ෩k 20λI −෩A തc det λI −A −BK=det[λI −R C −1A −BK R C ]于是有：=det λI −෩A c +෩B c ෩k 1det(λI −෩A തc )෩A =R C −1AR c =෩A c ෩A 120෩A തc ෩B=R C −1B=෩B c 0而导出：控子系统的特征值均具有负的实部。

三. 状态反馈镇定的算法算法给定不完全能控系统x=A x+B u，且知其满足可镇定的条件，则镇定问题中反馈矩阵K的计算步骤如下：1. 对给定系统进行能控性分解，导出能控子系统{෩A c，෩B c}，能控性分解的变换阵为R C；2.应用非奇异线性变换阵T C1，将能控子系统{෩A c，෩B c}化为能控标准I型{ഥA c，ഥB c}；3.应用极点配置算法,计算反馈增益阵ഥK使能控子系统的特征值具有负的实部；4.计算状态反馈矩阵K=k10；K=k10=ഥk1T C1−10R C−15.3系统镇定问题判别其是否为可镇定的，若是可镇定的，试求一状态反馈K ，使闭环系统为渐近稳定。

《现代控制理论》线性定常系统的反馈结构及状态观测器

2) 算
求解状态反馈阵k 的步骤：
1) 校验系统的可控性
令
计算k
小结
B
I s
A
x
u
k
v
用状态反馈配置系统闭环极点
结论：1.状态反馈不改变系统的可控性，但可改变可观测性.
2.状态反馈不改变系统的闭环零点。
状态反馈的影响
二、状态反馈对系统零点和可观测性的影响
【例】系统S：
此时系统可控可观
1).复合系统结构图（状态反馈＋状态观测器）
输出内反馈及状态可观测性
续
状态反馈
状态观测器
复合系统
选状态变量
即：
y=Cx
输出内反馈及状态可观测性
2) 传递函数矩阵
结论:
状态观测器不影响传递函数
输出内反馈及状态可观测性
3）特征多项式
特征多项式
结论
1.引入观测器提高了系统的阶次（由n 2n ）
2.整个闭环系统特征值由状态反馈下（A - BK）特征值和状态观测器下特征值（A－HC）组合而成，且相互独立。即观测器的引入不影响已配置好的系统特征值，而状态反馈也不影响观测性的特征值，这就是分离定理。
输出内反馈及状态可观测性
3.状态观测器的引入,不影响传递函数阵.且趋于 x(t) 的速度,取决于观测器的特征值。
分离定理
4).分离定理
定理: 若系统{A,B,C }可控又可观,用状态观测器估值形成状态反馈时,其系统的极点配置和观测器设计可分别独立运行,即K 和H 值的设计可分别进行,有时把K 和H 统称控制器. 一般观测器的响应速度应比状态反馈的响应速度快一些.
状态观测器概述
二、状态观测器概述
利用状态反馈能任意配置闭环系统的极点及有效改善系统性能,然而系统的状态变量并不能用物理方法测量.因此要使状态反馈在工程上实现就必须解决这个问题. 解决问题的方法之一就是重构系统的状态.并用这个重构状态代替原系统实际状态,实现状态反馈.

线性定常系统的计算

3
3 1 3
则
2 V ( x) xT Qx x3 0
0 0 K p 1 2 0 p 1 0 1 p
11
12
13
p p p
12
22
23
p p p
13
23
33
p p p
11
12
13
p p p
12
R1x 0 e1t R2 x 0 e2t
Re(i ) 0
i 1,, n
Rn x 0 ent
充分性当
则x t 中每一项指数将随 t 0 而趋于0，并且对任意 x 0都成立，系统是渐近稳定的。
现代控制理论
必要性反证法。设系统渐近稳定，但存在某些i有 Re(i ) 0 ，且 R i 0 ，则在 x 0 0 时，解 x t 中相应项将无限增长，系统是不稳定的，与假设矛盾，故必有 Re( i ) 0 。线性定常系统是渐近稳定的，意味着是一致渐近稳定且是大范围一致渐近稳定的。 2. 线性时变系统（略）
3 2 2 V ( x) x Px x1 x1 x2 x2 0 2
T
2 V ( x) xT I x x12 x2 0
现代控制理论
例4-9 用李雅普诺夫方程确定使图所示系统渐近稳定的
K值范围。
u(s)
-
K x3(s) 1 x2(s) s 1 s2
现代控制理论
GT PG P Q
并且这个系统的李氏函数是
v x(k ) xT k Px(k )
证明设所选李氏函数是 v x(k ) xT k Px(k )

《现代控制理论基础》讲义教案第4章.docx

III、综合部分第四早线性多变量系统的综合与设计4.1引言前面我们介绍的内容都属于系统的描述与分析。

系统的描述主要解决系统的建模、各种数学模型（时域、频域、内部、外部描述）Z间的相互转换等；系统的分析，则主要研究系统的定量变化规律（如状态方程的解，即系统的运动分析等）和定性行为（如能控性、能观测性、稳定性等）。

而综合与设计问题则与此相反，即在己知系统结构和参数（被控系统数学模型）的基础上，寻求控制规律，以使系统具有某种期望的性能。

一般说来，这种控制规律常取反馈形式，因为无论是在抗干扰性或鲁棒性能方面，反馈闭环系统的性能都远优于非反馈或开环系统。

在本章中，我们将以状态空间描述和状态空间方法为基础，仍然在吋域中讨论线性反馈控制规律的综合与设计方法。

4. 1. 1问题的提法给定系统的状态空间描述若再给定系统的某个期望的性能指标，它既可以是时域或频域的某种特征量（如超调量、过渡过程时间、极、零点），也可以是使某个性能函数取极小或极大。

此时，综合问题就是寻求一个控制作用u,使得在该控制作用下系统满足所给定的期望性能指标。

对于线性状态反馈控制律u = -Kx + r对于线性输岀反馈控制律u = -Ffy + r其中r e R'为参考输入向量。

由此构成的闭环反馈系统分别为x - {A- BK）x+ Br y-Cx或x = {A-BHC）x+Br y = Cx闭坏反馈系统的系统矩阵分别为九=A — BKA H=A-BHC即工K = (A—BK,B,C)或工〃=(A—BHC,B,C)°闭环传递函数矩阵G K⑶=C '[si-(A-BK)Y] BG H G) = C_,[si-(A-BHOf B我们在这里将着重指出，作为综合问题，将必须考虑三个方面的因素，即1)抗外部干扰问题；2)抗内部结构与参数的摄动问题，即鲁棒性(Robustness)问题；3)控制规律的工程实现问题。

一般说来，综合和设计是两个有区别的概念。

李雅普诺夫稳定性理论

定义三对所有的状态(状态空间的所有点)，如果由这些状态出发的轨迹都具有渐近稳定性，则称平衡状态xe为大范围渐近稳定。
定义四 :如果从球域 S( )出发的轨迹，无论球
域选得多么小，只要其中有一条轨迹脱离球域，则称平衡状态xe为不稳定。
❖线性系统：如果它是渐近稳定的，必是有大范围渐近稳定性(线性系统稳定性与初始条件的大小无关)。
❖非线性系统：稳定性与初始条件大小密切相关,系统渐近稳定不一定是大范围渐近稳定。
三. 李雅普诺夫第一法（间接法）
利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。
1. 线性定常系统稳定性的特征值判据：
xAx x(0)x0 t 0
李氏稳定的充要条件：
Re(i ) 0 i1,2,n
即系统矩阵A的全部特征值位于复平面左半部。
2) 选取不当，会导V致( x , t ) 不定的结果。
2) 这仅仅是充分条件。
3)
例4：试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。
x 1 x 2 x 2 x 1 x 2
解: x 1x 2 0 x1x2 0 即 xe 0
.
设 V(x)x12x2 2 则 V(x) 2x22
.
可见V
( x )与 x1 .
结论：
1) 若 Re(i) 0 i1,2,,n ，则非线
性系统在 x e 处是渐近稳定的，与 g ( x)
2) 无关。
2) 若 Re(i) 0 Re(j ) 0 ij1,,n
3) 则不稳定。
3) 若 Re(i ) 0，稳定性与 g (x)有关，
4)
g(x)50) 则是李雅普诺夫意义下的稳定性。
4.4 线性系统的李雅普诺夫稳定性分析
1．线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析

现代控制理论基础总复习

第二章线性系统的数学描述数学模型可以有许多不同的形式，较常见的有三种：第一种是：把系统的输入量和输出量之间的关系用数学方式表达出来，称之为输入输出描述，或外部描述；第二种是：不仅可以描述系统输入、输出之间的关系，而且还可以描述系统的内部特性，称之为状态空间描述或内部描述；第三种是：用比较直观的方块图（结构图）和信号流图模型进行描述。

910 2.1 线性系统的时域数学模型()(1)(2)121()()()()()n n n n n c t a c t a c t a c t a c t ---+++++()(1)(2)0121()()()()()m m m m m b r t b r t b r t b r t b r t ---=+++++ (2.1) 式中，()r t 和()c t 分别是系统的输入信号和输出信号，()()n c t 为()c t 对时间t 的n 阶导数；i a (1,2,)i n =和j b (0,1,)j m =是由系统的结构参数决定的系数。

2.2 传递函数11m n b s a s --++++++11 式中1011()m m m m M s b s b s b s b --=++++1011()nn n n N s a s a s a s a --=++++()M s 和()N s 分别称为传递函数()G s 的分子多项式和分母多项式。

2.5 线性系统的状态空间描述A Buy C du =+⎧⎨=+⎩x x x(2.3) 2.5.2 状态空间表达式与传递函数的关系1()()G s C sI A B D -=-+(2.4)12 2.5.3 状态空间表达式的建立情形一：线性微分方程中不含输入的导数项，传递函数没有零点()(1)11n n n n y a y a y a y u --++++= (2.5)情形二线性微分方程含有输入的导数(不超过3阶)，传递函数有零点 ()(1)()(1)11011n n n n n n n n y a y a y a y b u b u b u b u ----++++=++++ (2.6) 1011111()()n n n nn n n nb s b s b s b Y s U s s a s a s a ----++++=++++(2.7)13 Chp.9 状态空间系统响应、可控性与可观性9.1 线性定常系统的响应已知线性定常连续系统状态方程的一般形式为0()()(), (0)t A t B t =+=x x u x x(2.8) 状态变量的初始值为0x ，控制作用为()t u 。

线性定常连续系统的可控性和可观性

其中X 为n×1阶矢量,U 为r×1阶矢量,G 为n×n 阶矩阵,H 为
n×r 阶可控矩阵,那么离散系统(5-14)可控的充要条件是可控
判别阵:
的秩等于n。
第5章系统的可控性和可观性
例5-5-已知某离散系统的系统矩阵G 和输入矩阵H 分别
为
试分析系统可控性。
解
我们可以从 M 阵的前3个列明显看出,Rank(M)=3=n,即
注意:Σc1 中的βi 与Σc2 中的βi 不是同一数值。
第5章系统的可控性和可观性
Σc1 的模拟结构图如图5-4所示,Σc2 的模拟结构图如图5-5
所示。
图5-4 可控Ⅰ型模拟结构图
第5章系统的可控性和可观性
图5-5-可控Ⅱ型模拟结构图
第5章系统的可控性和可观性
Σc1(Ac1,bc1,Cc1)和Σc2(Ac2,bc2,Cc2)之所以称为可控型,主要
先看式(5-33):
第5章系统的可控性和可观性
第5章系统的可控性和可观性
再看式(5-34),两边同时左乘Tc2 ,得新关系Tc2 bc2=b。将
式(5-30)的Tc2和式(5-26)
的bc2代入,很容易就得以证明。
再看式(5-35),有
实际上,该式只给出Cc2的计算公式,Cc2没有像Ac2,bc2那样的固
第5章系统的可控性和可观性
定理5.7 系统完全可观的充要条件是可观判别阵
的秩为n。
第5章系统的可控性和可观性
例5-6 判别系统
的可观性。
解
因为 Rank(M)=2=n,所以系统可观。
第5章系统的可控性和可观性
5.4 离散时间系统的可观性
定义5.4 考虑如下线性定常离散系统:

自动控制原理_第3章_4

13
Φ( s) =
Ts 2 + ( K p K 0τ + 1) s + K p K 0
K p K 0 (τ s + 1)
K p K 0τ =
T T K p K 0τ + 1 K p K0 2 s + s+ T T
K p K 0τ + 1 T K p K0
s+
K p K0
2ζωn =
求得
ωn =
T
ζ =
【例3-4】二阶系统的方块图如下】
R( s )
E ( s)
K0
-
10 s ( s + 1)
Y ( s)
τs
要求闭环系统的超调量 σ p = 16.3% ，峰值时间为
tp = 1s ，求放大器的放大倍数和速度反馈系数。
6
【解】系统的开环传递函数为
10 K 0 G (s) = 2 s + (1 + 10τ ) s
an an − 2 an − 4 an −1 an −3 an −5 b1 b2 b3
b1an −3 − an −1b2 c1 = b1 b1an −5 − an −1b3 c2 = b1
an −6 an −7 b4
L L L
s
n−2
35
劳斯列表的性质
1 在计算劳斯列表时，某一行各元同时乘以或除以同一个正数，不影响稳定性的判断结果，这种乘除往往可简化后续的运算。 2
+ ∑ Ck e
k =1
−ζ k ωnk t
ห้องสมุดไป่ตู้
( sin (ω
2 k
nk
1− ζ
2 k

《现代控制理论》李雅普诺夫稳定性分析

向量和矩阵的范数
1、向量空间上的欧几里德范数（即向量长度）
其欧几里德范数定义为：
一般
一、向量和矩阵的范数
预备知识
矩阵范数
矩阵的范数定义为：
【例】
Hale Waihona Puke ，则即:矩阵每个元素平方和开根号
预备知识
2、矩阵范数
1．二次型函数：由n个变量
组成的二次齐次多项式，称（n元）二次型函数
2．二次型函数的矩阵表示
则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。
为唯一的平衡状态。
定理4：设系统状态方程为
李雅普诺夫主要的稳定性定理
例题
[例] 设系统状态方程为
试确定系统的稳定性。
解 xe=0
,
是该系统惟一的平衡状态。
由于当
时
,所以系统在原点处的平衡状态是
大范围渐近稳定的。
选取
李雅普诺夫主要的稳定性定理
例题
[例] 已知定常系统状态方程为
定义：若所有有界输入引起的零状态响应输出有界，则称系统为有界输入输出稳定。
李雅普诺夫第一方法—间接法
定理3：连续定常系统传递函数为：系统 BIBO 稳定的充要条件为：传递函数的所有极点均位于S左半平面。
【例】试分析系统渐近稳定和BIBO稳定。
李雅普诺夫主要的稳定性定理
讨论续
这是一个矛盾的结果,表明
也不是系统的
受扰运动解。综合以上分析可知,
当
时,显然有
根据定理9-12可判定系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。
李雅普诺夫主要的稳定性定理
线性系统稳定性分析
一.线性定常系统李雅普诺夫稳定性分析
线性定常连续系统
系统状态方程为

线性定常系统李雅普诺夫稳定性分析

➢ 由于各类系统的复杂性，在应用Lyapunov第二法时，难于建立统一的定义Lyapunov函数的方法。
➢ 目前的处理方法是，针对系统的不同分类和特性，分别寻找建立Lyapunov函数的方法。
➢ 本小节将讨论对线性系统,包括 ✓ 线性定常连续系统 ✓ 线性定常离散系统 ✓ 线性时变连续系统
如何利用Lyapunov第二法及如何选取Lyapunov函数来分析该线性系统的稳定性。
次型函数的形式。
上述第 3) 点可由如下定理中得到说明。定理11-7 线性定常连续系统
x’=Ax 的平衡态xe=0为渐近稳定的充要条件为:
➢ 对任意给定的一个正定矩阵Q，都存在一个正定矩阵P 为下述Lyapunov方程(Lyapunov equation) 的解 PA+ATP = -Q
并且正定函数V(x)=xTPx 即为系统的一个Lyapunov函数。
本节主要研究Lyapunov方法在线性系统中的应用。 ➢ 讨论的主要问题有: 基本方法: 线性定常连续系统的Lyapunov稳定性分析矩阵Lyapunov方程的求解线性时变连续系统的Lyapunov稳定性分析线性定常离散系统的Lyapunov稳定性定理及稳定性分析
由上节知, Lyapunov第二法是分析动态系统的稳定性的有效方法, 但具体运用时将涉及到如何选取适宜的Lyapunov函数来分析系统的稳定性。
➢ 如果存在一个连续的标量函数V[x(k),k]且正定, 则有: 1) 若V[x(k),k]的差分V[x(k),k]=V[x(k+1),k+1]-V[x(k),k]为
负定的, 则系统在原点处的平衡态是一致渐近稳定的; 2) 若V[x(k),k]为非正定的，则该系统在原点处的平衡态
是一致稳定的; ✓ 更进一步，若V[x(k),k]对任意初始状态的解序列 x(k), V[x(k), k]不恒为零，那么该系统在原点处的平衡态是一致渐近稳定的;

第4章线性定常系统的线性变换

记： P1 x； A P1 AP； b P1b； c cP； y y x 变换后的状态空间表达式为：
x = Ax bu, y c x
这称为对系统进行了P变换。对系统进行线性变换的目的在于使系统矩阵规范化，以便于分析与计算。状态空间表达式的非奇异变换不会改变系统原有性质，故称为等价变换。利用线性变换后的规范化描述进行分析设计或计算，得到所需结果后，再经过反变换，变换回原 x P 1 x 来的状态空间描述，得到最终结果。

0 0 ; 1 n 1
0 0 b Pb 0 1
其中：
n 1 cb cAb cb n2 n 1 0 cAn 1b n 1cAn 2b 2 cAb 1cb
第4章线性定常系统的线性变换
2．无相同的特征值的可控标准形A阵
若A为友矩阵，且有n个互异实数特征值 1, 2 ,, n ，
则下列的范德蒙特矩阵P可使A对角化：
0 0 A 0 a0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 an 1
13
第4章线性定常系统的线性变换
三．化SISO可观测系统为可观测标准型（※）
结论：对于完全可观测的单输入—单输出系统
x Ax bu y cx
其中：A为n×n常阵，b，c分别为n维列向量和n维行向量。设系统的特征多项式为
(s) det(sI A) sn n1sn1 1s 0
1 1 2 1 P 12 22 1n 1 2n 1 1 1 n 2 n nn 1

(第七、八周)第四章线性控制系统的能控性与能观性

| Qc
|
b1 b2
b11 b2 b21
b22
0
即：b2 0
推广到n阶系统就有定理3：
18
例3-3 考察如下系统的状态能控性：
（1） x1 1 1 0 x1 0
x2
0
1
0
x2
4
u
完全能控
x3 0 0 2 x3 3
（2）
x1 1
x2
0
x3 0
1 1 0
取 Q AT P PA Q为实对称矩阵
线性定常连续系统渐近稳定判定定理：
线性定常系统x Ax 在平衡点xe 0大范
围渐近稳定的充要条件是对任意给定的正定对称矩阵Q，存在正定对称矩阵P，满足矩阵方程：
AT P PA Q
x 0 例 3 4
x
0 1
1 1
x
e
解：取 Q I, AT P PA I P是实对称矩阵（P12 P21）
20
输出能控性判据：系统输出能控的充要条件是输出能控性判别矩阵：
S [ CB CAB CA2B CAn1B D ]
的秩为m。其中m为输出维数。
说明：状态能控性和输出能控性是两个完全不同的概念，没有必然的联系。某系统状态不完全能控，输出有可能完全能控。
21
[例]：判断下列系统的状态能控性与输出能控性
4
课前回顾
二、状态转移矩阵状态转移矩阵的计算方法
▪ 直接求解法：根据定义 ▪ 拉氏变换求解： ▪ 标准型法求解：对角线标准型和约当标准型－非奇异变换
状态转移矩阵的性质
5
课前回顾
三、非齐次状态方程的求解
强迫运动：
u
x
( A, B)

线性定常控制系统的数学模型

第三十八章线性定常控制系统的数学模型第一节控制系统模型的构成一、控制系统的模型描述控制系统动态特性的数学表达式称为系统的数学模型，它是分析和设计系统的依据。

数学模型应当既能足够准确地反映系统的动态特性，又具有较简单的形式。

实际系统都程度不同地存在非线性和分布参数特性，如果这些因素影响不大，则可忽略不计。

在正常工作点附近变化时，可以用线性化模型来处理；但当系统在大范围内变化时采用线性化的模型就会带来较大误差。

可以根据系统内部的变化机理写出有关的运动方程，或者通过实验测取系统的输入!输出数据，然后对这些数据进行处理，从而建立系统的数学模型。

前者是机理法，后者是测试法，又称系统辨识。

二、微分方和差分方程微分方程是连续系统最基本的数学模型，可按下列步骤建立："!将系统划分为单向环节，并确定各个环节的输入量、输出量。

单向环节是指后面的环节无负载效应，即后面的环节存在与否对该环节的动态特性没有影响。

#!根据系统内部机理，通过简化、线性化、增量化建立各个环节的微分方程。

$!消去中间变量，保留系统的输入量、输出量，得出系统的微分方程。

%!整理成标准形式，将含输出量的项写在方程左端，含输入量的项写在右端，并将各导数项按降阶排列。

设&!’，则单输入!单输出系统的微分方程的一般形式为(（"）（)）*+"(（&!"）（)）*…*+&!"(!（)）*+&(（)）,-./（’）（)）*-"/（’!"）（)）*…*-’!"/!（)）*-’/（)）（$0!"）离散系统在某一时刻12的输出(（1），可能既与同一时刻的输入与同一时刻的输入/（1）有关，又与过去时刻的输入(（1!"），…，/（1!’）有关；而且还与过去时刻的输出/（1!"），…，(（1!&）有关。

因此，&!’时，输入和输出之间的关系可表示为#（$）*%"#（$!"）*…*%"#（$!"）,&.’（$）*&"’（$!"）*…*&(’（$!(）（$0!#）不失一般性，可以假定/（1）,.，(（1）,.，13.。

计算机控制技术-8能控和能观标准型

故：0 1,1 0
3）计算变换阵，并化为第二能控标准型
0 1 0 1
A 0

1

1
0
Pc2 AB
B
1
1
0 1

0 1
1 1 1 1
0 1

1 0
1 1
B

0 1
C CPc2 1 1
2019/11/22
AT C T
C

( AT )n1CT
T

CA

CAn1

15
定理3பைடு நூலகம்明：
1）其中 A中的i 是系统的不变量，即特征多项式的系数
det(I

A)

I

A

n

a n1 n1

a1

a0
2）只有系统是状态完全能观测时，才能写成能观测标准
0
B*
CT

1

n1

C * BT [1 0 0]
根据对偶原理，2 的第一能控标准型就是1 的第一能观测标准型
注：变换阵互为转置逆：
Po11 ( Pc*1 )T B* A*B* ( A* )n1 B* T CT
y Cx
0 1 0 0

其中：
A

P 1 c2
APc
2

0

0
0
1

0 ,
0
0
1

0 1 2 n1

极点配置

Q [ B AB A 2 B ] 0 1 1 6 6 31
得出detQ = -1。因此，rankQ = 3。因而该系统是状态完全可控的，可任意配置极点。下面用两种方法求解。
方法1：利用刚才介绍的求解步骤，计算系统矩阵A的特征多项式，求特征值。
s | sI A | 0 1 s 3 6s 2 1 s 5 5s 1 0 1 s 6
a1 1 a1
a2 2 a2

an n an
求解上述方程组，得到 i 的值，则 K KP 1 [ n n 1 1 ]P 1
1 [ an an a n a a a a a ] P 1 n 1 2 2 1 1
可配置条件_极点配置定理
考虑线性定常系统 Ax Bu x 假设控制输入u的幅值是无约束的。如果选取控制规律为
u r Kx
式中K为线性状态反馈矩阵。
定理 (极点配置定理) 线性定常系统可通过线性状态反馈任意地配置其全部极点的充要条件是，此被控系统状态完全可控。该定理对多变量系统也成立。证明 (对单输入单输出系统) 1、充分性 2、必要性
上式为可控标准形。选取一组期望的特征值
为
u1 , u2 ,, un
，则期望的特征方程为
n * n1 1 * *
( s 1 )(s 2 )( s n ) s a s a n1s a n 0
设
x 由于 u r Kx r KPx r K，此时该系统的状态方程为
式中ai为特征多项式的系数： sI A s n a1s n1 an1s an
x Px 定义一个新的状态向量如果可控性矩阵Q的秩为n（即系统是状态完全可控的），则矩阵Q的逆存在，并且可将原线性系统 Ax Bu x Ac x Bcu 改写为 x

凯莱-哈密尔顿(Caylay-Camilton)定理

第二章线性控制系统的运动分析2-1 线性定常系统齐次状态方程的解设齐次向量微分方程为：其中A 为n ×n 常系数矩阵，其解为：写成矩阵形式：式中b 0、b 1、b 2、…b k 均为n 维列向量，则由待定系数法，得：考虑到初始条件：最后得：)0()(0X t X AX Xt === ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++++++++=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=k nk n n n kk k k n t b t b t b b t b t b t b b t b t b t b b t x t x t x t X 2210222221201212111021)()()()(+++++=k k t b t b t b b t X 2210)(+++==++++=-k k k k t Ab t Ab Ab AX t kb t b b X 1012120102301201!11!3131!2121Ab k Ab kb Ab Ab b Ab Ab b Ab b k k =======-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡====)0()0()0()0()0()(2100n t x x x X b X t X现代控制理论基础定义状态转移矩阵：则齐次状态方程的解可写为：若初始条件为：可以令：可以求出：关于线性定常齐次状态方程的求解，也可以应用拉氏变换，即：两边拉氏变换：可见状态转移矩阵：)0()!1!21()(22X t A k t A At I t X k k +++++= +++++==k k At t A k t A At I e t !1!21)(22φ)0()0()()(X e X t t X At ==φ)()(00t X t X t t ==+-++-+-+=k k t t b t t b t t b b t X )()()()(0202010)()()()(0)(000t X e t X t t t X t t A -=-=φ)0()(0X t X AX Xt === )0(])[()()0()()()()0()(111X A sI L t X X A sI s X s AX X s sX ----=-==-])[()(11---==A sI L e t At φ证明：由于：例：设系统状态方程为：试求状态方程的解。

《线性系统理论与设计》第四章

稳定性当系统承受这种干扰之后，能否稳妥地保持预定的运动轨迹或者工作状态，这就是稳定性。

使问题简化，而不得不忽略某些次要因素。

近似的数学模型能否如实反映实际的运动，在某种意义上说，也是稳定性（鲁棒性）问题。

平衡状态(4-2)受扰运动:平衡状态:(4-5)0 x t t"³？是李雅普诺夫意义下稳定的。

李雅普诺夫稳定性就是要研究微分方程的解在tÎ[t，+¥）上的有界性。

1. 此处d 随着e 、t 0而变化；时有‖x (t ；t 0，x 0)‖＜e "t ≥t 0成立初值变化充分小时，解的变化(t ≥ t 0)可任意小(不是无变化)；(t 0，e )£e 。

edt0x (t 0)d (t 0，e )x 0x (t )李雅普诺夫意义下稳定的几何意义(t 0)‖一致稳定：(4-9)00(,,)0(,,)T t T t m d m d >()S e ()H e 0x x()S d ()S e 0x ()x t T()S d t固定的吸引区，不是＜m ，t >t 0+ T(m ，t 0，x 0)t 0mt 0+ T(m , t 0, x 0)e00lim (,,)0®¥=t x t t x数量吸引区局部幸好，就我们所讨论的线性系统而言，全局和局部是一致的。

可见，即使初始值很大地偏离了平衡状态，系统最终0x1otl nx 非线性系统的解，),<。

故系统是李氏稳定的。

又与t d ddx xdt tttd<，,故其零解一致稳定。

又0t t 0t t()S e 0x ()x t ()S d cx ()e指数渐近稳定稳定渐近稳定一致渐近稳定一致稳定第一方法线性化的间接第二方法直接判断直接法李雅普诺夫第二方法目前仍是研究非线性、时变系统最有效的方法，是许多系统控制律设计李雅普诺夫第二法的主要定理(4-16)李雅普诺夫函数充分条件4-17)),则称系统原点平衡状态为大范围一致渐近稳定。