第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入

第一节平面向量的概念及其线性运算

一、必备知识

1. 向量的有关概念

⑴向量：既有大小又有________ 的量叫做向量，向量的大小叫做向量的________ .

(2) 零向量：长度为 ____ 的向量，其方向是_______ 的.

(3) 单位向量：长度等于 ______ 的向量.

(4) 平行向量：方向 _________ 的非零向量，又叫共线向量.规定：0与任一向量共线.

(5) 相等向量：长度 ___________ 且方向________ 的向量.

(6) 相反向量：长度相等且方向 __________ 的向量.

2. 向量的线性运算

向量a(a^0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数入使得_______________ 、必记结论

L 一般地■首尾顺次相接的多个向址的和等于从第一个向起点指向最后一个向量终点的向量•即A】卷+A^A3 + +-+AZX=石瓦.持别地•一个封闭图形首尾连接而成的向吐和为零向;上

2. 朴P为线段AH的中点为平面内任一点•则石戸= 丄(丽•

•若QF血内不共线的三点・则币+両+PC = O □ P A BC童心.

• 对点漬鋒

一、思考辨析

判断下列结论的正误.(正确的打“V，错误的打“X”)

(1) 0的模为0,没有方向.()

⑵若 a II b, b // c,则 a // c.( )

(3)Afi十亦=仏< )

(心。与加庶线.方向相同. ( )

(5)0 • 0=0, ( )

、牛刀小试

1 .若向量a与b不相等，则a与b 一定()

A •有不相等的模B•不共线

C .不可能都是零向量

D .不可能都是单位向量

2.如图，已知D , E, F分别是△ ABC的边BC, AB, AC的中点，则下列说法正确的是

( )

B- EF = CD

3.

(2014 辎殁离考)设M为平行四边形ABCD对角线的交点为平行四边形ABCI)听在平面内任意一点.则页+ 厉弃一Ct”十Cii等于( )

A. OA4 B, 2 OM

C 3 OAJ

D 1 OM

4 .已知a与b是两个不共线向量，且向量a+ b与一(b—3a)共线，贝U冶_______________

O热点逋型■分类突破<〉lei'.lllli'M'L IXMCS Fl ITI'I'I 斗斤常点强化认如

考点一向量的概念

[例1] (1)给出下列命题:

①若|a|= |b|,则 a = b;

②若A, B, C, D是不共线的四点，则AB = DC 是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；

③若a= b, b = c,贝U a = c;

④ a = b的充要条件是|a|= |b|且a // b;

其中正确命题的序号是（）

A .②③

B .①②

C .③④ D.①④

⑵设a o为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a=|a|a o;②若a与a o平行，则a =|a|a o；③若a 与a o平行且|a|= 1,则a = a o.上述命题中，假命题的个数是（）

A . 0

B . 1

C. 2 D . 3

方出・规律

解决向量的概念问题应关注五点

（1）正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键.

（2）相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.

⑶共线向量即平行向量，它们均与起点无关.

⑷向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈.

a a

⑸非零向量a与两的关系：0"|是a方向上的单位向量.

□ «式训练I

给出下列命题：

①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量.②两个向量不能比较大小，但它们的能比较大

小.③扫=0（入为实数），则入必为零.④人卩为实数，若Za= pb,则a与b共线. 其中错误的命题的个数为（）

A . 1 B. 2 C. 3 D. 4

平面向量的线性运算是每年高考的重点，题型多为选择题和填空题，难度较小，属中低

档题，且主要有以下几个命题角度：

角度一：考查向量加法或减法的几何意义

[例2] （2012辽宁高考）已知两个非零向量a, b满足|a + b|= |a —b|,则下面结论正确的

是（）

A . a / b

B . a丄 b

C . |a|= |b|

D . a+ b= a—b

角度二：向量的线性运算

例3] C^'l I *新课标全国卷| )讣I). E* F分别为

△A BC H勺三边"C, CA d E的屮点•则可十阮= ( ) A, /X' ] >. -—zA I)

C.AD L), 4rliC

角度三：与三角形相联系求参数

—例L （201「江殊高考）设D.E分别是△4BCII勺边AB .BC 上的点.AD= = 若DE=A} AB十

d o

A.ACQ, a2为实数—则儿+诡的值为 _______________ .

角度四：与平行四边形相联系，研究向量的关系

僧ij 5 J （2。I囂・四川高考）如图• ft 1

行四边形A BCD•对角线

AC-M HD 交于点（KAB+AD-A.AO.

方出・规律

平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略

（1）向量加法或减法的几何意义•向量加法和减法均适合平行四边形法则.

（2）求已知向量的和•一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连

向量的和用三角形法则.

（3）与三角形联系，求参数的值•求出向量的和或差与已知条件中的和式比较，然后求参

数.

（4）与平行四边形联系，研究向量的关系•画出图形，找出图中的相等向量、共线向量，将所求向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.