保险精算学-趸缴纯保费(2)

回顾: 利息力与利率的关系
利息强度
回顾: 死亡效力
定义：(x) 的瞬时死亡率，简记 x
x
s(x) s(x)
f (x) s(x)
ln[s(x)]
死亡效力与生存函数的关系
x
s(x) exp{ sds} 0
xt
t px exp{ sds} x
回顾: 死亡效力与剩余寿命
死亡效力与密度函数的关系
m
e2 t
fT
(t)dt
E(zt
)2
记
2
m
Ax
m
e2 t
fT
(t)dt
所以方差等价于
Var(zt )
2 m
Ax
(m
Ax )2
例4.3.3
假设（x）投保延期10年的终身寿险， 保额1元。
保险金在死亡即刻赔付。 已知
0.06，S(x) e0.04x , x 0
求： (1) 10 Ax (2)Var(zt )
zt btvt 0 , t n
趸缴纯保费的厘定
符号：A
1 x:n
趸缴纯保费厘定
1
Ax:n
E(zt ) vn n px
e n n px
现值随机变量的方差：
Var(zt ) v2n n px (vn n px )2
21
Ax:n
1
( Ax:n
)2
5、n年定期两全保险
定义
zt btvt 0 , t m
死亡即付定期寿险趸缴纯保费的厘定
符号：m Ax
厘定：
m Ax E(zt ) m zt fT (t)dt
m
0 zt fT (t)dt 0 zt fT (t)dt
1
Ax Ax:m
现值随机变量的方差
方差公式
Var(zt ) E(zt2 ) E(zt )2
Var(zt )
2 m
Ax
(m
Ax )2
0.0288
4、n 年定期生存保险
定义
被保险人投保后生存至n年期满时，保险人 在第n年末支付保险金的保险。
假定：(x)岁的人，保额1元，n年定期生存保险
基本函数关系
vt vn , t 0
vn , t n
1 , t n bt 0 , t n
假定：(x)岁的人，保额1元n年定期寿险
基本函数关系
vt vt , t 0
vt , t n
1 , t n bt 0 , t n
zt
btvt
0
,
tn
趸缴纯保费的厘定
符号：A1x:n
厘定：
1
n
Ax:n E(zt ) 0 zt fT (t)dt
n vt
0
t
px xt dt
0
70 70 ln 1.1
0.092
（2）V
ar(
zt
)
2A1 30:10
(A1 )2 30:10
101.12t 1 dt 0.0922
0
70
1
1.21t
0 10
0.0922 0.055
70 ln 1.21
2、终身寿险
定义
保险人对被保险人在投保后任何时刻发生的保险 责任范围内的死亡均给付保险金的险种。
现值随机变量
zt tvt
趸缴保费厘定
(IA)x E(zt ) tvt t px xtdt
0
8、递减定期寿险
定义：递减定期寿险是变额受益保险的另一种 特殊情况。假定受益金额为剩余寿命的线性递 减函数
特别： 一年递减一次 一年递减m次
一年递减无穷次（连续递减）
一年递减一次
现值随机变量 趸缴保费厘定
Var(z3) Var(z1) Var(z2 ) 2Cov(z1, z2 )
Var(z1) Var(z2 ) 2E(z1 z2 ) 2E(z1) E(z2 )
因为
z1 z2 0
所以
Var ( z3 )
Var
(
z1
)
Var
(
z2
)
2A1 x:n
1
Ax:n
例4.3.4（例4.3.1续）
设
S(x) 1 x 100
假定：(x)岁的人，保额1元终身寿险
基本函数关系
vt vt , t 0 bt 1 , t 0
zt btvt vt , t 0
趸缴纯保费的厘定
符号：Ax
厘定：
Ax E(zt ) 0 zt fT (t)dt
0
vt
t
pxxt dt
0
e t
t
pxxt dt
现值随机变量的方差
x
即剩余寿 命的分布
f (x) x s(x) x exp{ sds}
0
函数tqx 死亡效力表示剩余寿命的密度函数 g(t)
s(x) s(x t)
G(t) 1 t px
s(x)
g(t)
d G(t) dt
d dt
s(
x)
s(x s(x)
t)
s(x t)xt
s(x)
t px xt
方差公式
Var(zt ) E(zt2 ) E(zt )2
0
e2 t
fT
(t)dt
E(zt
)2
记
2 Ax
0
e2 t
fT
(t )dt
所以方差等价为
Var(zt )2Ax ( Ax )2
例4.3.2
设(x)投保终身寿险，保险金额为1元 保险金在死亡即刻赔付 签单时，(x)的剩余寿命的密度函数为
(A1 x:n
)2
例4.3.1
设
S(x) 1 x 100
i 0.1
计算
（1）A1 30:10
, 0 x 100
(2)Var(zt )
例4.3.1答案
(1)
fT
(t)
S(x t) S(x)
1 100
x
A1 30:10
10 0
vt
f30
(t)dt
101.1t
1
dt
1
1.1t
0 10
zt
btvt
vt , t n
v
n
,
tn
趸缴纯保费的厘定
符号：Ax:n
厘定
记：n年定期寿险现值随机变量为 z1 n年定期生存险现值随机变量为 z2
n年定期两全险现值随机变量为 z3
已知
z3 z1 z2
则
1
1
E(z3) E(z1) E(z2 ) Ax:n Ax:n Ax:n
现值随机变量方差
Ax:m
A x m:n
A1
m x:n
1
m Ax:n
现值随机变量的方差
记：
m年延期n年定期寿险现值随机变量为 z1 m年延期n年定期生存险现值随机变量为 z2 m年延期n年定期两全险现值随机变量为 z3
已知
z3 z1 z2
则
Var ( z3 )
Var(z1) Var(z2 ) 2m
A1 x:n
第四章
人寿保险趸缴纯保费的厘定
第三节
死亡即刻赔付 趸缴纯保费的厘定
死亡即刻赔付
死亡即刻赔付的含义
死亡即刻赔付就是指如果被保险人在保障期 内发生保险责任范围内的死亡 ，保险公司将 在死亡事件发生之后，立刻给予保险赔付。 它是在实际应用场合，保险公司通常采用的 理赔方式。
由于死亡可能发生在被保险人投保之后的任 意时刻，所以死亡即刻赔付时刻是一个连续 随机变量，它距保单生效日的时期长度就等 于被保险人签约时的剩余寿命。
被保险人投保后如果在n年期内发生保险责任范围内的死 亡，保险人即刻给付保险金；如果被保险人生存至n年期 满，保险人在第n年末支付保险金的保险。它等价于n年生 存保险加上n年定期寿险的组合。
假定：(x)岁的人，保额1元，n年定期两全保险
基本函数关系
vt
vt
v
n
, ,
tn tn
bt 1 , t 0
假定：(x)岁的人，保额1元，延期m年的n年定期两全保险
基本函数关系
vt
vt
v
m
,
n
t mn , t mn
0, t m zt btvt vt , m t m n
0 , t m bt 1 , t m
vmn , t m n
趸缴纯保费的厘定
符号：m Ax:n
厘定
1
A m x:n
则在死亡时立即给付保险金2元， 。。。。。
一年递增一次
现值随机变量
zt [t 1]vt
趸缴保费厘定
(IA)x E(zt ) [t 1]vt t px xtdt 0 k k vt t px xtdt k 1 k 1
一年递增m次
将每一个保单年度分为均等的m个时间段， 如被保险人在第一保单年度的第一个1/m年内死
基本符号
(x) —— 投保年龄x 的人。
——人的极限年龄 bt ——保险金给付函数。
vt ——贴现函数。
zt ——保险给付金在保单生效时的现
时值
zt bt vt
1、n年定期寿险
定义
保险人只对被保险人在投保后的n年内发生的保险 责任范围内的死亡给付保险金的险种，又称为n年 死亡保险。
m
1
Ax:n
7、递增终身寿险
定义：递增终身寿险是变额受益保险的一种特 殊情况。假定受益金额为剩余寿命的线性递增 函数
特别： 一年递增一次 一年递增m次 一年递增无穷次（连续递增）
一年递增一次
保险利益： 如被保险人在第一保单年度内死亡，
则在死亡时立即给付保险金1元， 如被保险人在第二保单年度内死亡，
一年递增m次
现值随机变量
zt
[mt 1] vt m
趸缴保费厘定
(I (m) A)x
E(zt )
0
[mt 1] vt m
t
px
xtdt
mk s
k 1
m s 1
mk m
s
m
vt
mk s1
t
px
xt dt
m
一年递增无穷次（连续递增）
如被保险人在时刻T时死亡，则在死亡时立 即给付保险金T元
0.422
(2)
Var(zt )2
v20
10
p30
1
A30:10
2
0.0185
Var(zt )3
Var ( zt
)1
Var ( zt
)2
2A1 30:10
1
A30:10
0.0431
6、延期m年n年定期两全保险
定义
被保险人在投保后的前m年内的死亡不获赔偿，从第 m+1年开始为期n年的定期两全保险
计算
1
fT
(t)
60
, 0 t 60
0 , 其它
（1）Ax (2)Var(zt )
(3) Pr(z 0.9 ) 0.9的0.9.
例4.3.2答案
(1) Ax
0
e t
fT
(t)dt
e 60 t
1
1 e60 dt
0
60
60
（2）Var(zt ) 2 Ax ( Ax )2
e 60 2 t
ln 0.9 6 ln v 0.9 v6 e6
3、延期终身寿险
定义
保险人对被保险人在投保m年后发生的保险责 任范围内的死亡均给付保险金的险种。
假定：(x)岁的人，保额1元，延期m年的终身寿险
基本函数关系
vt vt , t 0
vt , t m
1 , t m bt 0 , t m
亡，则在死亡时立即给付保险金1/m元， 如被保险人在第一保单年度的第二个1/m年内死
亡，则在死亡时立即给付保险金2/m元， 。。。。。 如被保险人在第二保单年度的第一个1/m年内死
亡，则在死亡时立即给付保险金1+1/m元， 如被保险人在第二保单年度的第二个1/m年内死
亡，则在死亡时立即给付保险金1+2/m元， 。。。。。。
n et
0
t
px xt dt
现值随机变量的方差
方差公式
Var(zt ) E(zt2 ) E(zt )2
en 2t
0
fT
(t )dt
E ( zt
)2
记
2 A1 x:n
e n 2t
0
fT
(t)dt
（相当于利息力翻倍以后求n年期寿险的趸缴保费）
所以方差等价为
V
ar(
zt
)2A1 x:n
i 0.1
计算
（1）A 30:10
, 0 x 100
(2)Var(zt )
例4.3.4答案
由例3.1已知：
A1 0.092 30:10
Var(zt )1 0.055
(1)
1
A30:10
v10 10 p30
1.110 60 0.33 70
A 30:10
A1 30:10
1
A30:10
例4.3.3答案
(1)
fT
(t)
S(x t) S(x)
0.04e0.04t
m Ax
e0.06t 0.04e0.04t dt 0.04 e0.1t dt 0.147
10
10
(2)
2 m
Ax
e0.12t 0.04e0.04t dt 0.04e0.16t
10
0.16
10
0.05047
{n [t]}vt ,t n
zt 0
,t n
(DA)1 x:n
E(zt )
n t vt t px xtdt
0
n
k
(n k 1) vt t px xtdt
k 1
k 1
一年递减m次
现值随机变量 趸缴保费厘定
zt
n
tm m
vt
, tn
0
, tn
(D(m) A)1 x:n
0
1 60
dt
( Ax )2
1 e120
(1 e60 )2
120 60
例4.3.2答案
(3) Pr(zt 0.9 ) Pr(vt 0.9 )
=
Pr(t
ln
v
ln 0.9 )
wk.baidu.com
P(t
ln 0.9
ln v
)
60 ln 0.9
60
ln0.9 fT (t)dt ln v
ln v 0.9 60
E(zt )
n 0
n
mt m
vt
t
px
xt
dt
mk s
n k 1
m s 1
n
s 1 m
m
vt
mk s1
t
px
xt dt
m
一年递减无穷次（连续递减）
现值随机变量
(n t)vt , t n zt 0 , t n