函数的性质例题讲解

函数的性质的应用举例

一、知识点回顾

1. 定义法判断和证明函数的单调性

用定义法判断函数单调性的一般步骤:取值、作差、变形、判号、定论. （1）取值 设21,x x 是给定区间上的任意两个值,且21x x <; （2）作差 计算()()21x f x f -;

（3）变形 对()()21x f x f -进行有利于判断符号的变形,如因式分解、配方、通分、有理化等;

（4）判号 即判断()()21x f x f -的符号,当符号不确定时,需要进行分类讨论; （5）定论 根据函数单调性的定义得出结论,即确定函数在给定区间上的单调性. 在以上步骤中,作差是基础,变形是关键,判号是目的. 2. 抽象函数的单调性

抽象函数是指没有给出具体解析式的函数. 判断抽象函数单调性的方法:

（1）凑 凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;

（2）赋值 给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试. 注意

①若给出的是“和型”抽象函数() =+y x f ,判断符号时要变形为:

()()()()111212)(x f x x x f x f x f -+-=-

或

()()()()221212)(x x x f x f x f x f +--=-;

②若给出的是“积型”抽象函数() =xy f ,判断符号时要变形为:

()()()11

2112x f x

x x f x f x f -⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛

⋅=- 或

()()()⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛

⋅-=-212212x x x f x f x f x f .

3. 函数奇偶性的判定

判断函数奇偶性的方法有三种:定义法、图象法和性质法. 用定义法判断函数的奇偶性

（1）求 求函数的定义域,若定义域关于原点对称,则进行第（2）步;若定义域关于原点不对称,则函数是非奇非偶函数.

（2）判 求出)(x f -,然后根据)(x f -与)(x f 的关系,确定函数的奇偶性;

①若)()(x f x f =-,或0)()(=--x f x f ,或1)

()

(=-x f x f （0)(≠x f ）,则函数)(x f 是偶函数;

②若)()(x f x f -=-,或0)()(=+-x f x f ,或1)

()

(-=-x f x f （0)(≠x f ）,则函数)(x f 是奇函数;

③若)()(x f x f ±≠-,则函数)(x f 是非奇非偶函数.

说明: 若要说明一个函数不是偶函数（或奇函数）,只需在函数定义域内找到一个数a ,有

)()(a f a f ≠-（或)()(a f a f -≠-）即可.(见后面的相关例题)

图象法判断函数的奇偶性

对于容易画出图象的函数,若函数的图象关于y 轴对称,则它是偶函数;若函数的图象关于原点对称,则它是奇函数. 性质法判断函数的奇偶性

两个在公共定义域上具有奇偶性的函数,它们的和与积所构成的函数的奇偶性为: 奇+奇=奇; 偶+偶=偶;（一奇一偶的和的单调性不能确定） 奇⨯奇=偶; 偶⨯偶=偶; 奇⨯偶=奇. 二、函数性质的应用举例

例1. 已知函数x q px x f 32)(2-+=是奇函数,且3

5

)2(-=f .

（1）求函数)(x f 的解析式;

（2）判断)(x f 在区间()1,0上的单调性,并用定义证明.

解:（1）∵3

5

)2(-=f ,∴

35624-=-+q p ,整理得:24512=+q p . ∵函数)(x f 是奇函数,∴()()x f x f -=-

∴q

x px x q px -+=++32

3222,∴q x x q -=+33,解之得:0=q .

把0=q 代入24512=+q p ,解得2=p .

∴函数)(x f 的解析式为()x

x x x x f 32232222+-

=-+=; （2）)(x f 在区间()1,0上为增函数,理由如下: 任取∈21,x x ()1,0,且21x x <,则有

()()()()

2

1212122

212121312322322x x x x x x x x x x x f x f --=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+-=- ∵∈21,x x ()1,0,且21x x <,∴0,01,0212121>>-<-x x x x x x ∴()()021<-x f x f ,∴()()21x f x f < ∴)(x f 在区间()1,0上为增函数.

例2. 定义在[]2,2-上的偶函数)(x g ,当x ≥0时,)(x g 单调递减,若()()m g m g <-1,求m 的取值范围.

解:∵)(x g 是定义在[]2,2-上的偶函数,()()x g x g =. ∵()()m g m g <-1,∴()()m g m g <-1 ∵当x ≥0时,)(x g 单调递减,∴m m >-1

由题意可得:⎪⎩⎪

⎨⎧>-≤≤-≤-≤-m

m m m 1222

12,解之得:1-≤21

∴m 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣

⎡

-21,1.

例3. 已知)(x f 是定义在R 上的奇函数,且当x ≥0时,()a x a x x f ++-=4)(2. （1）求实数a 的值及)(x f 的解析式; （2）求使得6)(+=x x f 成立的x 的值.

解:（1）∵)(x f 是定义在R 上的奇函数,∴0)0(=f ∵当x ≥0时,()a x a x x f ++-=4)(2 ∴0)0(==a f ,∴x x x f 4)(2-=. 当0-x ,则有

()()x f x x x f -=+=-42,∴x x x f 4)(2--=

∴0=a ,)(x f 的解析式为⎩⎨⎧<--≥-0

,40

,422

x x x x x x ;

（2）∵6)(+=x x f

∴当x ≥0时,642+=-x x x ,解之得:1,621-==x x （不合题意,舍去）; 当0

()()()12121-+=+x f x f x x f 成立,且当0>x 时,1)(>x f .

（1）求证:()1-=x f y 为奇函数; （2）求证:)(x f 是R 上的增函数; （3）若5)4(=f ,解不等式()323<-m f .

（1）证明:令021==x x ,则有1)0()0()0(-+=f f f ,∴1)0(=f . 设1)()(-=x f x F ,则0111)0()0(=-=-=f F .

令x x x x -==21,,则有()1)()()0(--+=-=x f x f x x f f ∴)(1)()0(1)(x f x f f x f -=-=--