浅谈复积分的计算方法
复积分的计算方法及其应用
摘要在复变函数的理论中,复积分是研究解析函数的重要工具.解析函数中的许多重要性质都要利用复变函数积分来证明.柯西积分定理在复积分的计算理论中处于关键地位,柯西积分公式、柯西积分定理及其推论、柯西高阶导数公式和留数定理对复积分的计算起到很大的作用.本文首先阐述复积分的相关概念，在此基础上介绍复积分的几种基本求法，如：用参数方程法、牛顿—莱布尼兹公式、柯西积分定理、柯西积分公式、复周线柯西积分定理、解析函数的高阶导数公式、留数定理.针对每一种计算方法给出相应的例子.对复积分的计算方法作出较系统的归纳总结，从中概括出求复变函数积分的解题方法和技巧.关键词：复积分；解析函数；柯西积分定理；柯西积分公式；留数定理ABSTRACTIn complex function theory, complex integration is an important tool of analytic function.Analytic function of many important properties are using the complex function integral to prove.Cauchy integral theorem in the calculation of complex integration theory in a key position,Cauchy integral formulas, Cauchy integral theorem and its corollary, Cauchy higher derivatives formula and residue theorem of integral to the complex calculation has played a significant role. This paper first describes the complex integration of related concepts introduced on this basis, the complex integration of several basic method for finding such as : parametric equations , Newton - Leibniz formula , Cauchy's integral theorem, Cauchy integral formula , complex contour Cauchy integral theorem, the formula of the higher order derivatives of analytic functions , residue theorem to give the corresponding examples for each type of calculation.The calculation method of complex integral to make a summary of the system, from which generalizes the complex functions for solving integral method and the skill.Key words:Complex integral; Analytic function; Cauchy integral theorem; Cauchy integral formula; the residue theorem目录摘要................................................................................... . (I)ABSTRACT............................................................................. .............................................I I 1前言................................................................................... (1)2 预备知识................................................................................... .. (2)3复变函数积分的计算方法................................................................................... . (6)法................................................................................... (6)3.2用牛顿—莱布尼兹公式计算复积分 (8)3.3 用柯西积分定理计算复积分 (10)3.4 用柯西积分公式计算复积分 (12)3.5 用复周线柯西积分定理计算复积分 (14)3.6用解析函数的高阶导数公式计算复积分 (16)3.7用留数定理计算复积分................................................................................... . (20)结论................................................................................... (24)参考文献................................................................................... .....................................2 5致谢................................................................................... .. (26)1前 言2006年3月淮南师范学院的崔东玲研究的《复积分的计算方法》，他通过变量代换、柯西积分公式、柯西积分定理、留数定理从中揭示诸多方法的内在联系.在研究复积分的计算方法这一方面取得了许多进展，证明了复变函数积分的计算方法.复变函数积分的计算方法灵活多样，而目前对复变函数积分的计算方法作出较系统的归纳却很少见.本文将利用复变函数积分基本原理，利用几种复积分的基本求法，针对每一种计算方法给出例子，并通过柯西积分定理、柯西积分公式、柯西高阶导数公式等来计算复积分，从中揭示诸多方法的内在联系，对复积分的计算方法作出较系统的归纳总结，从中概括出求复变函数积分的解题方法和技巧.2预备知识定义2.1[]1 设l 为复平面上以0z 为起点，而以z 为终点的光滑曲线（()y y x =有连续导数），在l 上取一系列分点011,,,,n n z z z z z -=把l 分为n 段，在每一小段1k k z z -上任取一点k ξ作和数()()()111nnn k k k k k k k S f z z f z ξξ-===-=∆∑∑,1k k k z z z -∆=-当n →∞，且每一小段的长度趋于零时，若lim n n S →∞存在，则称()f z 沿l 可积，lim n n S →∞称为()f z 沿l 的路径积分.l 为积分路径，记为()lf z dz ⎰(若l 为围线（闭的曲线），则记为()lf z dz ⎰).()()1lim lim nnk k ln n k f z dz Sf z ξ→∞→∞===∆∑⎰ (()f z 在l 上取值，即z 在l 上变化).定理 2.1 若函数()()(),,f z u x y iv x y =+沿曲线C 连续，则()f z 沿C 可积，且().CCCf z dz udx vdy i vdx udy =-++⎰⎰⎰(1.1)复变函数积分的基本性质 设函数()(),f z g z 沿曲线C 连续，则有下列性质： (1) ()(),CCaf z dz a f z dz a =⎰⎰是复常数：(2) ()()()()=C C C f z g z dz f z dz g z dz ++⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰; (3) ()()()12,+CC C f z dz f z dz f z dz =⎰⎰⎰其中C 由曲线1C 和2C 衔接而成;图2.1(4) ()();CCf z dz f z dz -=-⎰⎰(5) ()()().CCCf z dz f z dz f z ds ≤=⎰⎰⎰这里dz 表示弧长的微分，即定义2.2 如果函数()w f z =在区域D 内可微,则称()f z 为区域D 内的解析函数,或称()f z 在区域D 内解析.定理2.2 函数()f z 在区域G 内解析的充要条件是： (1) ()f z 在G 内连续；()2 对任一周线C ,只要C 及其内部全部含于G ，就有()0C f z dz =⎰.定义2.3 若函数()f z 在0z 不解析,但在0z 的任一邻域内总有()f z 的解析点,则称0z 为函数()f z 的奇点.定义2.4 如果函数()f z 在点a 的某一去心邻域{}:0K a z a R -<-<(即除去圆心a 的某圆)内解析，点a 是()f z 的奇点，则称a 为()f z 的一个孤立奇点.定义2.5 设a 为函数()f z 的孤立奇点.(1) 如果()f z 在点a 的主要部分为零，则称a 为()f z 的可去奇点. (2) 如果()f z 在点a 的主要部分为有限多项，设为()()()111m mmm c c c z az a z a -----++⋅⋅⋅+---(0m c -≠) 则称a 为()f z 的m 阶极点.一阶极点也称为单极点.(3) 如果()f z 在点a 的主要部分有无限多项，则称a 为()f z 的本质奇点. 定理2.3 如果a 为函数()f z 的孤立奇点，则下列三条是等价的.它们中的任何一条都是可去奇点的特征.(1) ()f z 在点a 的主要部分为零； (2) lim ()()z af z b →=≠∞；(3) ()f z 在点a 的某去心邻域内有界.定理2.4 如果函数()f z 以点a 为孤立奇点，则下列三条是等价的.它们中的任何一条都是m 阶极点的特征.(1) ()f z 在点a 的主要部分为()()()111m mmm c c c z az a z a -----++⋅⋅⋅+---（0m c -≠）； (2) ()f z 在点a 的某去心邻域内能表成()()()mz f z z a λ=-，其中()z λ在点a 邻域内解析，且()0z λ≠；(3) 1()()g z f z =以点a 为m 阶零点(可去奇点要当作解析点看，只要令()0g a =).注 第(3)条表明：()f z 以点a 为m 阶极点⇔()1f z 以点a 为m 阶零点. 定理2.5 函数()f z 的孤立奇点a 为极点的充要条件是lim ()z af z →=∞. 定理2.6 函数()f z 的孤立奇点a 为本质奇点的充要条件是:lim ()（有理数）z a b f z →⎧≠⎨∞⎩，即lim ()z a f z →不存在. 定理2.7 若z a =为函数 ()f z 之一本质奇点，且在点a 的充分小去心邻域内不为零，则z a =亦必为()1f z 的本质奇点. 定理2.8 如果函数()f z 在单连通域B 内处处解析，那么积分dz z f C⎰)(与连结起点与终点的路线C 无关.定理2.9 如果函数()f z 在单连通域B 内处处解析,那么函数 ζζd f F zz ⎰=0)(z ）（必为B 内一个解析函数，并且()()F z f z '=.定义2.6 如果函数)(z f z ='）（ϕ，那么称)(z ϕ为)(z f 在区域内的原函数. 注 原函数之间的关系：)(z f 的任何两个原函数相差一个常数.定义2.7 称)(z f 的原函数的一般表达式C z F +)(（C 为任意常数）为)(z f 的不定积分，记作()()f z dz F z C =+⎰.定义2.8 考虑1n +条周线01,,,n C C C ⋅⋅⋅,其中12,,,n C C C ⋅⋅⋅中的每一条都在其余各条的内部，而它们又全都在0C 的内部.在0C 内部的同时又在12,,,n C C C ⋅⋅⋅外部的点集构成一个有界的1n +连通区域D ,以012,,,,n C C C C ⋅⋅⋅为它的边界.在这种情况下，我们称区域D 的边界是一条复周线012n C C C C C ---=+++⋅⋅⋅+,它包括取正方向的0C ,以及取负方向的12,,,n C C C ⋅⋅⋅.换句话说,假如观察者沿复周线C 的正方向绕行时，区域D 的点总在它的左手边.定义2.9 如果函数()f z 在点a 是解析的,周线C 全在点a 的某邻域内，并包围点a ，则根据柯西积分定理得()0.Cf z dz =⎰注 如果a 为()f z 的一个孤立奇点,且周线C 全在a 的某个去心邻域内，并包 围点a ，则积分()Cf z dz ⎰的值，一般来说，不再为零.设函数()f z 以有限点a 为孤立奇点，即()f z 在点a 的某个去心邻域0z a R <-<内解析，则称积分()12f z d z iπΓ⎰ (:,0)z a R ρρΓ-=<<为()f z 在点a 的留数（residue ），记为Res ()f z .3复变函数积分的计算方法3.1用参数方程法设有光滑曲线C ：()()()z z t x t i t ==+（t αβ≤≤）， 这就表示()z t '在],αβ⎡⎣上连续且有不为零的导数，()()().z t x t iy t '''=+又设()f z 沿C 连续.令 由 (式1.1) 得 即()()(),C f z dz f z t z t dt βα'=⎡⎤⎣⎦⎰⎰ (1.2) 或()()(){}()(){}Re Im =+Cf z dz f z t z t dt i f z t z t dt ββαα''⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ (1.3) 公式(1.2)、(1.3)是从积分路径的参数方程着手，称为参数方程法. (1.2)、(1.3)称为复积分的变量代换公式.注 (1) 一个重要的常用积分： (这里C 是以a 为圆心，ρ为半径的圆周)(2) 如果C 是由12,,,n C C C 等光滑曲线依次相互连接所组成的按段光滑曲线,则(3)在今后讨论的积分中,总假定被积函数是连续的, 曲线C 是按段光滑的. 例3.1[2]计算d Cz z ⎰，其中C 为：圆周3z =.解 积分路径的参数方程为3(02)πi z e θθ=≤≤,3i dz ie d θθ=2033πi Cz dz ie d θθ=⋅⎰⎰(因为3z =)0=.例3.2 计算积分()2Cx y ix dz -+⎰,积分路径C 是连接由0到1i +的直线段. 解 C 的参数方程是()()()1,,,01,1z i t x t y t t dz i dt =+==≤≤=+ 由参数方程法得：13i-=-. 注 通过上面的例子，我们知道在计算沿光滑曲线的复变函数积分的时候，可利用曲线的参数方程把复积分化为定积分，这是计算复积分的基本方法.凡是在定积分和线积分中使用的技巧,在这里都可以照常使用.在解题的时候要注意曲线用参数方程来表示时,正方向是参数增大的方向.参数的取值应与起点和终点相对应；在分段光滑曲线时，要注意各段曲线的起点与终点所对应的参数值的准确性.3.2 用牛顿—莱布尼兹公式计算复积分牛顿-莱布尼兹公式[3] 如果函数)(z f 在单连通域内处处解析,()G z 为)(z f 的一个原函数，那么)()()(01z 10z G z G dz z f z -=⎰，这里01,z z 为B 内的两点.例3.3 求20cos iz z dz π⎰的值.解 222001cos cos 2iiz z dz z dz ππ=⎰⎰21sin 2π=-.注 此题先使用了微积分学中的“凑微分”法,然后运用牛顿-莱布尼兹公式进行求解.例3.4 求0cos iz zdz ⎰的值.解 ()0cos sin i iz zdz zd z =⎰⎰11e -=-.注 此题先使用了微积分中的“分部积分法”，然后运用牛顿-莱布尼兹公式进行求解.例 3.5 求()2281Czz dz ++⎰的值，其中C 是连接0到2a π的摆线：()()sin ,1cos .x a y a θθθ=-=-解 因为函数2281z z ++在复平面内处处解析，所以积分与路线无关，由牛顿—莱布尼兹公式得：3322161623a a a πππ=++. 注 利用这种方法将复变函数积分转化成定积分来计算，方法虽然很好，但是要求非常苛刻，函数必须在单连通域内解析，而很多函数都不具备这一性质，所以在应用时需注意.3.3用柯西积分定理计算复积分柯西积分定理[4] 如果函数()f z 在单连通区域B 内处处解析,那么函数()f z 沿B 内的任何一条周线C 的积分为零. 即:()0Cf z dz =⎰.注 (1) 定理中的C 可以不是简单曲线.(2) 如果曲线C 是区域B 的边界，函数在()f z 在B 内C 上解析,即在闭区域B BC =+上解析，那么()0Cf z dz =⎰。
浅析复积分的计算
浅析复积分的计算复积分是数学上重要的概念，其计算具有重要的应用价值。
本文旨在从理论和应用方面，浅析复积分的计算。
一、定义首先，从定义上来讲，复积分是一种多元积分，它是指将一个函数在一个或多个变量上求几阶连续积分而形成的一种积分。
它可以被定义为：在多元函数f(x1,x2,…,xn)关于n个变量求解n次积分后得到的积分，即：$$intcdotsint f(x_1, x_2, ... , x_n) dx_1 dx_2 cdots dx_n$$ 其中的n次连续积分称为复积分，也叫做多元积分。
二、计算方法复积分的计算需要从一般情况入手，从一个拆分成低阶积分开始，最终能够拆分成每个变量只积分一次，即可转化为普通的多元函数积分。
具体计算方法有两种：1.义Fubini定理广义Fubini定理也称为Fubini-Tonelli定理，它的定义如下：设f(x、y)是在[a,b]*[c,d]区域中连续可积函数，且存在F(x)、G(y)是[a,b]、[c,d]上分别可积函数，且满足：$$int_a^b F(x) dx=int_c^d G(y) dy$$若F(x)、G(y)，以及f(x、y)都可以从每边以相同方式积分，则 $$int_a^bint_c^d f(x,y)dxdy=int_c^dint_a^b f(x,y)dydx$$ 2.变积分顺序在积分时，有时需要改变各项积分的顺序，以使积分更加方便。
具体的方法是，根据实际的情况，分别进行积分，以改变积分的顺序。
一般来说，当有多个变量参与运算时，复积分的积分顺序应从低阶变量开始，逐步上升至高阶变量。
三、应用复积分可以用于计算向量、空间等高维数据，以及多变量函数的相关计算，其应用十分广泛。
1.算空间形状复积分可以用于计算空间形状，如椭圆形、平面、柱面等。
它可以用来计算空间物体的体积、表面积及空间物体的位移、速度等。
2.理空间的描述复积分也可以用于描述物理空间，如物理空间的能量、动能等，物理空间的磁场、电场等。
计算复积分的常用方法
2020.36科学技术创新计算复积分的常用方法麻桂英(包头师范学院,内蒙古包头014030)1概述《复变函数》中复积分的形式多样,计算灵活。
从复积分的计算到留数的定义与计算;从留数定理到计算一些特殊的实积分,通过知识整合,引导学生系统化认识,培养学生逻辑思维能力。
复积分不仅要求理解和掌握基础知识和思维方法,更注重知识间的前后贯通,相互融合,直至学生数学思想和数学素养的升华。
2复积分的计算问题2.1积分路径C 是开口路径2.1.1参数方程法设积分路径例1计算积分-c∫z dz ,其中路径c 是(1)从0到1+i 的直线段(2)圆周|z -i |=1上过0与1+i 的圆弧解:(1)原式=1∫(1+i )(1-i )t dt =10∫2t dt =1(2)c:z =i +e i θ,θ∈[0,π4],dz =i e i θd θ原式=π40∫(-i +e -i θ)i e i θd θ=(1+π4)i -i e π4i注:由例1可以得出:积分路径不同,积分结果不一样,即积分与积分路径有关。
例2.计算积分c∫z 2dz ,积分路径C 为(1)从0到1+i 的直线段(2)从0到1,1到1+i 的折线段解:(1)(2)注:由例2可以得出:积分与积分路径无关。
2.1.2N ewt on-Lei bni z 公式设f (z )在单连通区域D 内解析,则F (z )为f (z )在单连通区域D 内的一个原函数,则注:f (z )在单连通区域D 内解析,则f (z )在D 内积分与路径无关,只与连接路径的起点与终点有关。
例3计算2πz 0∫(2z 2+8z +1)dz ,其中积分路径是连接0与2πa 的摆线。
解:被积函数在复平面处处解析,故积分与路径无关,取积分路径为沿正实轴连接0与2πa 的直线段2.2积分路径C 是闭曲线2.2.1Cauchy 积分定理设C 是一条闭曲线,区域D 的边界是C ,f (z )在D 内无奇点,即f (x )在D 内解析,则例4计算解:被积函数在复平面上的奇点是故z 1,z 2都在积分路径c 外,由柯西积分定理得原式=0。
复积分的求法
关于求积分的各种方法的总结数学科学学院08级应数汉班 高盼 20081115021 指导老师 毛生荣摘要：函数的积分问题是复变函数轮的主要内容，也是其基础部分，因此有必要总结归纳求积分的各种方法.其主要方法有：利用柯西积分定理，柯西积分公式和用留数定理求积分等方法.现将这些方法逐一介绍.关键词：积分，解析，函数，曲线1.利用定义求积分例1、计算积分()dz ix y x c⎰+-2，积分路径C 是连接由0到i +1的直线段. 解：()10≤≤=x x y 为从点0到点i +1的直线方程，于是()dz ix y x c ⎰+-2()()iy x d ix y x i ++-=⎰+102()()ix x d ix x x ++-=⎰12 ()dx x i i ⎰+=1021 31i --=. 2.利用柯西积分定理求积分 柯西积分定理：设()z f 在单连通区域D 内解析，C 为D 内任一条周线，则()0=⎰dz z f c. 柯西积分定理的等价形式：设C 是一条周线，D 为C 之内部，()z f 在闭域C D D +=上解析，则()0=⎰dz z f c. 例2、求dz iz z c ⎰+cos ，其中C 为圆周13=+i z ， 解：圆周C 为()13=--z z ，被积函数的奇点为i -，在C 的外部， 于是，iz z +cos 在以C 为边界的闭圆13≤+i z 上解析， 故由柯西积分定理的等价形式得dz iz z c ⎰+cos 0=. 如果D 为多连通区域，有如下定理： 设D 是由复周线---+++=nC C C C C 210所构成的有界多连通区域，()z f 在D 内解析，在C D D +=上连续，则()0=⎰dz z f c. 例3.计算积分()⎰=+6113z z z dz . 分析：被积函数()()131+=z z z F 在C 上共有两个奇点0=z 和31-=z ，在1=z 内作两个充分小圆周，将两个奇点挖掉，新区域的新边界就构成一个复周线，可应用上定理.解：显然，()1331131++=+z z z z 任作以0=z 与以31-=z 为心，充分小半径61<r 的圆周r z =Γ:1及r z =⎪⎭⎫ ⎝⎛--Γ31:2，将二奇点挖去，新边界构成复周线--Γ+Γ+21C ()1:=z C . ()()⎰⎰Γ+Γ=+=+2113131z z dz z z dz z()()⎰⎰ΓΓ+++=211313z z dz z z dz ⎰⎰⎰⎰ΓΓΓΓ+-++-=2211133133z dz z dz z dz z dz ⎰⎰⎰⎰ΓΓΓΓ⎪⎭⎫ ⎝⎛---+⎪⎭⎫ ⎝⎛---=22113131z dz z dz z dz z dz 0=.3.利用柯西积分公式求积分设区域D 的边界是周线或复周线C ，函数()z f 在D 内解析，在C D D +=上连续，则有()()()ζζζπd z f i z f c ⎰-=21 ()D z ∈，即()()()z if d z f c πζζζ2=-⎰. 例4.计算积分dz z z z c ⎰-+-1122的值，其中2:=z C 解：因为()z f 122+-=z z 在2≤z 上解析， 21<∈=z z ，由柯西积分公式得()122112222+-=-+-⎰=z z i dz z z z z π. 设区域D 的边界是周线或复周线C ，函数()z f 在D 内解析，在C D D +=上连续，则函数()z f 在区域D 内有各阶导数，并且有()()()()ζζζπd z f i n z f c n n ⎰+-=12!()D z ∈ () 2,1=n 即()()()()z f n i d z f n c n !21πζζζ=-⎰+. 例5.计算积分()dz i z z c ⎰-3cos ，其中C 是绕i 一周的周线. 解：因为z cos 在z 平面上解析，所以()()i z c z i dz i z z ="=-⎰|cos !22cos 3πi i cos π-= i e e 21+-=-π. 例6. 求积分()()ζζζζd c ⎰+-192，其中C 为圆周2=ζ.解：()()ζζζζd c ⎰+-192()ζζζζd i c ⎰---=29 5π= 另外,若a 为周线C 内部一点，则()⎰-c a z dz i π2= ()0=-⎰c n a z dz （1≠n ，且n 为整数）.4.应用留数定理求复积分 ()z f 在复周线或周线C 所围的区域D 内，除n a a a ,,21外解析，在闭域C D D +=上除n a a a ,,21外连续，则()()z f s i dz z f nk a z c k ∑⎰===1Re 2π.设a 为()z f 的n 阶极点，()z f ()()n a z z -=ϕ，其中()z ϕ在点a 解析，()0≠a ϕ，则()()()()!1Re 1-=-=n a z f s n a z ϕ.例7.计算积分()dz z z z z ⎰=--22125 解：被积函数()z f ()2125--=z z z 在圆周2=z 的内部只有一阶极点0=z 及1=z ， ()()2|225Re 020-=--===z z z z z f s ()2|2|25Re 1211=='⎪⎭⎫ ⎝⎛-====z z z z z z z f s 因此，由留数定理可得()dz z z z z ⎰=--22125()0222=+-=i π.例8.计算积分dz z z z ⎰=13cos . 解：()z f 3cos zz =只以0=z 为三阶极点， ()[]21cos !21Re 00-="=∴==z z z z f s 由留数定理得 dz z z z ⎰=13cos i i ππ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=212. 5.用留数定理计算实积分某些实的定积分可应用留数定理进行计算，尤其是对原函数不易直接求得的定积分和反常积分，常是一个有效的办法，其要点是将它划归为复变函数的周线积分.5.1计算()θθθπd R ⎰20sin ,cos 型积分 令θi e z =，则2cos 1-+=z z θ，i z z 2sin 1--θ，iz dz d =θ， 此时有()θθθπd R ⎰20sin ,cos iz dz i z z z z R z ⎰=--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=1112,2.例9.⎰+πθθ20cos a d ()1>a 解：令θi e z =，则()121cos -+=z z θ，iz dz d =θ， ()()⎰=--=12z z z dz i I βα，其中12-+-=a a α，12---=a a β， 1,1,1><=βααβ，应用留数定理得122-=a I π.若()θθsin ,cos R 为θ的偶函数，则()θθθπd R ⎰0sin ,cos 之值亦可用上述方法求之，因为此时()θθθπd R ⎰0sin ,cos ()θθθππd R ⎰-=sin ,cos 21，仍然令θi e z =. 例10.计算()θθπd ia ⎰+0tan （a 为实数且0≠a ）分析：因为()()()111tan 22+-=+++ai i ai i e e i ia θθθ， 直接令()z e ai i =+θ2，则()θθid e dz ai i 22+=，于是()111tan +-=+z z i ia θ. 解：()dz z z z dz iz z z i I c c ⎰⎰+--=+-=112121111 应用留数定理，当0>a 时，πi I =当0<a 时，πi I -=.5.2计算()()dx x Q x P ⎰∞+∞-型积分 例11.计算()⎰∞+∞-+42432x dxx .解：函数()()42432z z z f +=在上半平面内只有i z 32=一个四阶极点， 令a i =32 ，t a z =-则()()43224z z z f += ()()44443a z a z z +-= ()()444423a t t a t ++= 43223433223444824321646431t at t a a a t at t a t a a t ++++++++= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++= 224432816131a t a t t ()343231Re a z f s az -== 即()6576323231Re 3432i i z f s i z -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-== 故()⎰∞+∞-+42432x dxx i π2=6576i -6288π=. 参考文献：[1]钟玉泉.《复变函数论》.北京：高等教育出版社，2004.1.[2]王玉玉.《复变函数理论（第三版）及全程导学及习题全解》.北京:中国时代经济出版社，2008.3.[3]钟玉泉.《复变函数学习指导书》.北京：高等教育出版社，2005.。
复积分的几种算法
复积分的几种算法摘要复积分的计算方法按照积分路径分为闭合积分路径和非闭合积分路径两类。
当给定起点、终点的积分路径（非闭合积分路径）的复积分，若被积函数在某一个包含起点、终点在内的单连通区域内解析，可以采用不定积分法，找到被积函数的原函数；若积分路径参数方程易写出，可以采用参数方程法，写出路径参数方程，确定起点和终点所对应的参数值，从而确定积分的上、下限；闭合积分路径的复积分，主要观察被积函数的在闭合路径中有几个奇点：若没有奇点，运用柯西积分定理，积分值为零；若只有一个奇点，可以运用柯西积分公式或者柯西留数定理；若有若干个奇点，可以运用柯西留数定理，或者先借助柯西积分定理挖去奇点，再利用柯西积分定理或柯西积分公式来计算。
1) 化为实、虚部两个二元实函数若函数),(),()(y x iv y x u z f +=沿曲线C 连续，则⎰)(z f 沿C 可积分，且⎰⎰⎰++-=CCCudy vdx i vdy udx dz z f )(.2) 参数方程法设有光滑曲线C ：)(),()()(βα≤≤+==t t iy t x t z z ，又设)(z f 沿C 连续.令[][][])()()(),()(),()(t iv t u t v t v iv t y t x u t z f +=+= 则[]⎰⎰=Cdt t z t z f z f βα)(')()(3) 不定积分法如果在单连通区域D 内函数)(z f 解析，则沿D 内任意曲线L 的积分ζζd f L⎰)(只与其起点和终点有关.当起点0z 固定时，这积分就在D 内定义了一个变上限z 的单值函数，我们把它记成变上限积分ζζd f z F z z ⎰=0)()( ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈∈D z D z 0动点定点 （3.1） 设函数)(z f 在z 平面上的单连通区域D 内解析，则由（3.1）定义的函数)(z F 在D 内解析，且)()('z f z F =.称函数)(z F 为)(z f 的一个不定积分或原函数. （不定积分法）如果)(z F 为)(z f 在单连通区域D 内的任意一个原函数，则⎰-=zz z F z F d f 0)()()(0ζζ ),(0D z z ∈4) 柯西积分定理a ）设函数)(z f 在z 平面上的单连通区域D 内解析，C 为D 内任一闭曲线（不必是简单的），则0)(=⎰Cdz z f .b ）设函数)(z f 在z 平面上的单连通区域D 内解析，则)(z f 在D 内积分与路径无关.即对D 内任意两点0z 和1z ，积分⎰1)(z z z f 之值，不依赖于D 内连线起点0z 与终点1z 的曲线.5) 复周线柯西积分定理设D 是由复周线，所围成的界多连通区域_10...n C C C C +++=-)(z f 在D 内解析，在C D D +=_上连续，则0)(=⎰Cdz z f ，或写成⎰⎰⎰++=01)(...)()(CC C ndzz f dz z f dz z f （沿外界积分等于沿内边界积分之和） 6) 形如⎰-Cd z f ξξξ)(的复积分，且z =ξ是被积函数z f F -=ξξξ)()(在C 内部的唯一奇点，运用柯西积分公式（柯西积分公式）设区域D 的边界是周线（或复周线）C ，函数)(z f 在D 内解析，在C D D +=_上连续，则有⎰-=C d z f i z f ξξξπ)(21)( （D z ∈）,即⎰=-Cz if d z f )(2)(πξξξ 7) 形如⎰+πϕϕ200)Re (d z f i 的复积分，运用解析函数平均值定理（解析函数平均值定理）如果函数)(z f 在圆R z <-||0ζ内解析，在闭圆Rz ≤-||0ζ上面连续，则⎰+=πϕϕπ2000)Re (21)(d z f z f i 即)(2)Re (0200z f d z f i πϕπϕ=+⎰8) 形如⎰+-Cn d z f ξξξ1)()( （n=1,2，…）的复积分，且z =ξ是被积函数1)()()(+-=n z f F ξξξ在C 内部的唯一奇点，运用解析函数的无穷可微性（解析函数的无穷可微性）设区域D 的边界是周线（或复周线）C ，函数)(z f 在D 内解析，在C D D +=_上连续，函数)(z f 在区域D 内有各阶导数，且有⎰+-=C n n d z f i n z fξξξπ1)()()(2!)( （D z ∈，n=1,2，…） 即⎰=-+Cn n n z if d z f !)(2)()()(1πξξξ （D z ∈，n=1,2，…） 9) 形如⎰Cdz z f )(的复积分，且被积函数)(z f 在C 内有一个或若干个奇点，运用柯西留数定理（柯西留数定理）)(z f 在周线或复周线C 所范围的区域D 内，除n a a a ,...,,21外解析，在闭域C D D +=_上除n a a a ,...,,21外连续，则∑⎰===nk a z Cz f s i dz z f k1)(Re 2)(π柯西留数定理是最实用的求复积分的方法，实际上柯西积分定理和柯西积分公式都是柯西留数定理的特殊情形，而运用柯西留数定理的关键在于如何准确快速地求出被积函数)(z f 的在C 内的所有奇点的留数。
复积分的计算方法
复积分的计算方法孟小云 20072115025（数学科学学院 数学与应用数学专业 2007级3班）指导老师 海泉摘要：本文归纳了计算复积分的多种方法，并举例说明了它们的应用。
关键词：复变函数；复积分在复变函数的分析理论中，复积分是研究解析函数的重要工具，解析函数的许多重要性质都要利用复积分来表述和证明的，因此，对复积分及其计算的研究显得尤为重要。
本文介绍了复变函数积分常规的计算方法、利用级数法、拉普拉斯变换法及对数留数与辐角原理进行复积分计算方法。
利用这些方法可以使一些复杂的复积分计算变得简单、快捷。
接下来要介绍计算复积分的常见的一些方法。
方法1：参数方程法定理：设光滑曲线c:z=z(t)=x(t)+iy(t) (t αβ≤≤),'()z t 在[,]αβ上连续，且'()z t ≠0，又设()f z 沿c 连续，则'()[()]()c f z dz f z t z t dt βα=⎰⎰。
1、若曲线c 为直线段，先求出c 的参数方程。
c 为过12,z z 两点的直线段，c ：121(),[0,1]z z z z t t =+-∈1,z 为始点2,z 为终点。
例1 计算积分1Re zdz ι-⎰，路径为直线段.解：设1(1)(1),[0,1],z i t t it t =-++=-+∈原式=112001(1)()22i t idt t t -=-=-⎰2、若曲线ｃ为圆周或圆周的一部分，例如c 为以a 为心Ｒ为半径的圆。
设c ：,z a R -=即Re ,[0,2],i z a θθπ=+∈（曲线的正方向为逆时针） 例2 计算积分,cz dz ⎰c 为从－１到１的下半单位圆周.解：设,,[,0]i i z e dz e d θθιθθπ==∈- 原式0(cos sin )2i ie d i i d θθπθθθθ--==+=⎰⎰注：上述方法只适用于积分曲线式特殊类型的曲线。
浅析复积分的计算
一 、 １Ｉ盯 吾
１．留数定理 ：若 ，（ｚ）在 Ｃ内有有限孤立 奇点 ， ，… ，
＝ ÷（·＋÷＋ ＋ ＋ ‘）
ｔ２＋ｔ４＋ｔ６ ·，＝÷（·＋者＋者＋者 ·）＋不含÷的项
＝ ÷ １＋不含÷ 的项，
故 ，＝２￣ｉｃｈ１． 解法 ３ 由复合 闭路定理 ，可得
，
÷ 出 ＋ ÷ 出
：
：
ｅ
ｅ
＝
｝ ｄｚ＋ ｝
：
：
再 由 柯 西 积 分 公 式 ，可 得
数 学 学 习与 研 究 ２０１８．１４
， 除此之外处处解析 ，则 ｚ）出 ＝２ ＲｅｓＩｆ（：）， ］，
其 中 Ｃ为一 条 正 向简 单 闭 曲 线 ； ２．柯西积分公式 ：若 ，（ ）在区域 Ｄ内处处解析 ，Ｚ０∈Ｄ，
Ｃ为 Ｄ内绕 的一条正 向简单 闭曲线 ，且 其内部全含 于 Ｄ，
则
：２１ｒ ）．
二 、例 题 计算积分 ，。
２．解法 ３主要是 由柯 西积 分公 式得 到 的 ，与 由留数 定 理计算 的解法 １相 比，柯 西积分 公式 要求 被积 函数 具有 特
上
定 的形式 ，若被 积 函数 ，（ ）＝ｅ＿２，则不 能使 用柯 西 积分 公
式．特别地 ，当闭曲线 Ｃ内部 的奇点 数多 于一个 时 ，就 不能 直接 利用柯 西积分公式 ，须结合 复合 闭路 定理计 算积 分 ，这 就是 解 法 ３．
综 上可知 ，解析 函数 的积分 有多种计算 方法 ，而 留数定 理计算 积分时没有形式的要求 ，计算方 法更具有 普遍性 ，适 用范围更广泛 ，因此 ，留数定理 的影 响力更 大．可 以说 ，留数 定 理 是 复 积 分 计 算 的最 有 效 的方 法 ，而 柯 西 积 分 公 式 ，还 有 高阶导数公式 ，柯 西一 古萨基 本定 理 （可 以简单 验证 ）都 是 留数定理 的特殊情 况 ，所 以留数 定理联 系 了柯 西等定 理及 级数理论 ，是 复变函数积分理论 中最 核心 的内容 ，并 且 留数 理论在控制论及 稳定 性理论 中 都有重 要应 用 ，而通 过本 论 文的解析 ，就使得复变函数的核心 内容更加 突 出，学 习更 加 轻 松 、愉 快．
复变函数的积分及其计算方法
复变函数的积分及其计算方法石睿(北京林业大学工学院自动化10-1班,学号:101044118)摘要：复变函数的积分是研究解析函数的一个重要工具,解析函数的很多重要性质都是通过复积分证明的。
本文主要介绍柯西定理和柯西积分公式。
关键词：柯西定理；柯西积分公式引言：首先介绍复积分的概念、性质和计算法，然后介绍解析函数积分的柯西积分定理及其推广——复合闭路定理. 在此基础上，建立柯西积分公式，然后利用这一重要公式证明解析函数的导数仍然是解析函数这一重要结论.复积分的概念：设C 是平面上一条光滑的简单曲线，其起点为A ，终点为B 。
函数f(z)在C 上有定义。
把曲线C 任意分成n 个小弧段。
设分点为A=z 0,z 1,…,z n-1,z n =B,其中z k =x k +iyl k (k=0,1,2,…,n)，在每个弧段zk-1zk 上任取一点ζk =ξk +i ηk ，做合式k nk k nk k k kn Δz )f(ζ)z (z )f(ζS ∑∑==-⋅=-⋅=111，其中k k k k k y i x z z z ∆+∆=-=∆-1 。
记 当λ→0时，如果和式的极限存在，且此极限值不依赖与ζk 的选择，也不依赖对C 的分法，那么就称此极限值为f(z)沿曲线C 自A 到B 的复积分，记作复积分的计算方法：复积分可以通过两个二元实变函数的线积分来计算设⎩⎨⎧==,)(,)(:t y y t x x C .βα≤≤t 则⎰⎰⎰'+'+'-'=βαβαtt y t y t x u t x t y t x v i tt y t y t x v t x t y t x u z z f C d )}()](),([)()](),([{d )}()](),([)()](),([{d )(⎰'+'+=βαt t y i t x t y t x iv t y t x u d )}()()]}{(),([)](),([{ .d )()]([⎰'=βαt t z t z f即⎰⎰'=βαt t z t z f z z f Cd )()]([d )(例1求⎰-c n z z dz)(0，C 为以z 0为中心，r 为半径的正向圆周，n 为整数解：积分路径C 的参数方程为 |,|max 1k nk z ∆=≤≤λ.)(lim d )(10k nk k C z f z z f ∆⋅=∑⎰=→ζλ0(02π),i zz re θθ=+≤≤⎰-Cn z z dz)(0⎰=π20d θθθin n i e r ire ,d π20)1(1⎰---=θθn i n e r i当n=1时⎰-Cn z z dz)(0⎰=π20d θi ;2i π= 当n ≠1时⎰-Cn z z dz )(0⎰---=-π201d ])1sin()1[cos(θθθn i n r i n ;0=⎰=--rz z n z z dz0)(0所以=⎩⎨⎧≠=.1,0,1,2n n i π结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关柯西积分定理：设函数f （z ）在单连通域D 内解析，则f （z ）在D 内沿任意一条简单闭曲线C 的积分.0d )(⎰=cz z f 此定理为柯西—古萨基本定理 例1 求d cos 02⎰iz z z π的值解：⎰iz z z π02d cos ⎰=i z z π022d cos 21iz π02sin 21=)sin(212π-=.sin 212π-=.1 ,d 12 22曲线在内的任何正向简单闭为包含圆周计算积分例⎰Γ=Γ--z z z z z解：函数在复平面内有z=0和z=1两个奇点=--⎰Γz z z z d 122⎰⎰--+--21d 12d 1222C C z z z z z z z z ⎰⎰⎰⎰+-++-=2211d 1d 11d 1d 11C C C C z z z z z z z z 0220+++=i i ππ.4i π=柯西积分公式：, )( 内处处解析在区域如果函数D z f D C 为,闭曲线内的任何一条正向简单它的内部全含于D ，, 0内任一点为C z 那么⎰-=C dz z z z f i z f .)(21)(00π例1 ⎰⎰==⎪⎭⎫ ⎝⎛-++44.d 3211)2(;d sin 21(1)z z z z z z z z iπ 解：（1）⎰=4d sin 21z z z ziπ, sin )( 在复平面内解析因为z z f =, 4 0内位于<=z z 由柯西积分公式⎰=4d sin 21z z z ziπ0sin 221=⋅⋅=z z i i ππ=0 （2）dz z z z ⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++4||3211⎰⎰==-++=44d 32d 11z z z z z z 2212⋅+⋅=i i ππ.6i π=例2 .d )1(1212⎰=-+i z z z z 计算积分解：⎰=-+212d )1(1i z z z z ⎰=--+=21d )(1i z z iz i z z i z i z z i =+⋅=)(12π2212i i ⋅=π.i π-=例3 ;211 (1): ,d 14sin2=+-⎰z C z z zC其中计算积分π解：⎰=+-2112d 14sin)1(z z z zπ=⎰=++-211d 114sinz z z z zπ114sin 2-=-⋅=z z z i ππ;22i π=;211 (2)=-z解：⎰=--2112d 14sin)2(z z z zπ=⎰=--+211d 114sinz z z z zπ114sin 2=+⋅=z z z i ππ;22i π=.2 (3)=z解：⎰=-22d14 sin)3(zzzzπ=⎰=+-2112d14sinzzzzπ⎰=--+2112d14πsinzzzziiππ2222+=.2iπ=结论:复变函数是一门很基本的课程，通过对复变函数的学习，我已经掌握了复积分的基本知识和解题方法，并感悟到了一些初步应用能力。
复积分的各种计算方法与应用
复积分的各种计算方法与应用复积分（double integral）是积分学中的重要概念，它是对二重积分的一种扩展，用于计算在二维平面上一些区域上的函数值的总和。
在实际应用中，复积分涉及到物理、工程、经济等领域。
一、复积分的计算方法：1.面积法：复积分可以用来计算二维平面上的面积。
通过将函数视为高度，对函数进行积分可以得到平面上一些区域的面积。
2.矩形法：将复积分区域划分为若干个小矩形，在每个小矩形上计算函数值，并对所有小矩形的函数值求和，即可得到复积分的近似值。
3.累次积分法：复积分可以通过累次积分的方式计算。
先对一个变量进行积分，再对另一个变量进行积分，得到的结果即为复积分的值。
4.极坐标法：当复积分的计算区域具有旋转对称性时，可以使用极坐标系来简化计算。
先将复积分换算为极坐标系下的积分，再进行计算。
5.曲线坐标法：当复积分的计算区域具有弯曲特点时，可以使用曲线坐标系来简化计算。
将复积分换算为曲线坐标系下的积分，再进行计算。
二、复积分的应用：1.几何应用：复积分可以用来计算曲线与坐标轴之间的面积，或者计算曲线围成的封闭区域的面积。
例如：计算圆的面积、计算椭圆的面积等。
2.物理应用：复积分经常用于计算质量、力、能量等物理量。
例如：计算平面上的质心坐标、计算质点受到的力的合力、计算电场的电势能等。
3.经济应用：复积分可以用来计算经济学中的一些重要量，如总产出、消费量、利润等。
例如：计算一些城市的总GDP、计算一些行业的总销售额等。
4.概率应用：复积分可以用来计算概率密度函数。
例如：计算一些随机变量在一些区间内取值的概率、计算一些随机事件发生的概率等。
5.工程应用：复积分在工程领域也有广泛的应用。
例如：计算工程中一些曲线的长度、计算工程中一些区域的质量等。
综上所述，复积分是计算二维平面上函数值总和的一种方法，在几何、物理、经济、概率和工程等领域都有广泛的应用。
掌握复积分的计算方法和应用，对于解决实际问题具有重要的意义。
关于复积分的几种计算方法
名
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二
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1
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姗
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柯 西 积分 定理 推 广 到 复 周 线 的 情 形
,
参 数 方程 法
,
当 被积 函 数在 复 连 通 区 域 上 解 析 时 且积 分 路 径 的 参 数
,
。 。
则 可 以 将沿 着
当被 积 函 数在 光 滑 路径 上 连 续
方程 可 求
,
区 域 的外 边 界 曲 线 的 积 分 转 化 为 沿 着 内边 界 曲线 的 积
例
3
:
留 数 定理 就 是 柯 西 积 分 定理
分 区域 内只 有 一 阶 极 点
留 数定理 就 是 柯 西 积分 公 式
。
计 算 坛不
不 畏
,
c 为单 位 圆周
}}
:
一
`
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若 被积 函 数在 积分 区 域 内有 二 阶或 二 阶 以 上 的极 点 数 定理 就 是 柯 西 高 阶 导数 公 式 分 中的 柯 西 积 分定 理
z 一
1
,
利用 牛 顿 一 莱 布 尼 兹公式 计 算复积 分 当 给 定 的 复 积 分 的 路径 不 是 闭合 的 且 积 分与 路 径
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无关 时
,
就 可 以 像 实积 分 中的 定积 分 一 样
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利 用牛 顿
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一
7
利用 留 数 定理 计 算 复积 分
浅谈复积分的计算方法
山东财经大学学士学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究工作所取得的成果。
除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。
对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。
本声明的法律结果由本人承担。
学位论文作者签名：年月日山东财经大学关于论文使用授权的说明本人完全了解山东财经大学有关保留、使用学士学位论文的规定，即：学校有权保留、送交论文的复印件，允许论文被查阅，学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印或其他复制手段保存论文。
指导教师签名：论文作者签名：年月日年月日浅谈复积分的计算方法摘要复积分即是指复变函数积分.在复变函数的分析理论中,复积分是研究解析函数的重要工具.解析函数中的许多重要性质都要利用复变函数积分来证明.柯西积分定理在复积分的计算中理论上处于关键地位, 因此，对复积分及其计算的研究显得尤为重要.复变函数中的积分不仅是研究解析函数的重要工具,也是它的后继课程积分变换的基础,所以就复变函数的积分计算方法进行总结和探讨是十分必要的.柯西积分公式、柯西高阶导数公式和留数定理对复积分的计算起到很大的作用.留数定理不仅可以用来计算复积分，而且可以用来计算实积分，它把实积分和复积分的相关知识有机的结合起来.本文讨论了留数定理与复变函数积分之间的内在联系，并举例说明了留数定理、柯西积分定理、柯西积分公式和柯西高阶导数公式之间的密切关系.本文将利用复变函数积分基本原理，利用几种复积分的基本求法，针对每一种计算方法给出例子，并通过柯西积分定理、柯西积分公式、柯西高阶导数公式、留数定理等来计算复积分，从中揭示诸多方法的内在联系，对复积分的计算方法作出较系统的归纳总结，从中概括出求复变函数积分的解题方法和技巧.复变函数中积分分闭曲线和非闭曲线两类.本文就这两种积分的计算方法进行总结和探讨.关键词：复积分；柯西积分定理；柯西积分公式；留数定理Discussion on the computational methods of complex integrationABSTRACTComplex integration entails Complex integration.In the analysis of the complex function theory,Complex integration is an important tool for analytic functions.Many important properties of analytic functions must use the complex function points to prove that the Cauchy integral theorem in a key position in the calculation of the complex integral theory,Therefore,Complex integral calculation is particularly important ..The integral in the complex variable function is not only an important tool for the study of analytic functions,Also the basis for its successor course integral transforms , integral calculation of the complex function method summary and discussion is very necessary.Cauchy integral formula , Cauchy order derivative formula and residue theorem has played a significant role in the calculation of complex integration.The residue theorem can not only be used to calculate the complex integration,And can be used to calculate the real integral,It organic combination of real integral and complex integration of knowledge ..This paper discusses the intrinsic link between the stay theorem Complex integration,And illustrates the residue theorem, the close relationship between the Cauchy integral theorem, Cauchy integral formula and the Cauchy higher derivative formula.This article will use the basic principles of Complex integration,The basic method for finding several complex integration,Give examples for each type of calculation,And by the Cauchy integral theorem, Cauchy's integral formula, Cauchy higher derivative formula of the residue theorem to calculate the complex integration,Which reveals the many ways the intrinsic link,Make a more systematic method of calculation of the complex integral summarized,Generalize from seeking complex variable of the function of problem-solving methods and plex variable integral function closed curve and non- closed curves of two types of.In this paper, the method of calculating these two points were summarized and discussed.Keywords：Complex integration ; Cauchy's integral theorem ; Cauchy integral formula ; the residue theorem目录一、复变函数积分 (4)（一）复积分的概念 (4)1．有向曲线 (4)2．复积分的定义 (4)3．定义说明 (5)二、复积分的计算 (5)（一）函数沿非闭曲线的积分的计算 (5)1．定义法 (5)2．参数方程法 (5)（二）函数沿闭曲线的积分的计算 (9)1．参数方程法 (9)2．积分定理 (9)3．挖奇点法 (10)4．积分公式 (12)5．高阶导数公式 (12)三、复积分计算的其他方法 (16)（一）留数定理及其应用 (16)1．留数的定义 (16)2．留数定理 (16)3．留数的计算 (17)附录 (19)参考文献 (19)一、复变函数积分㈠、复积分的概念1、有向曲线: (1-1-1)设C 为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线, 如果选定C 的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向), 那么我们就把C 理解为带有方向的曲线, 称为有向曲线。
复积分(cauchy积分公式)
C
1 f ( z0 ) f ( z ) d z 2 if ( z ). dz 0 0 C z z z z0 0
4
2.Cauchy积分公式
如 果 函 数 f ( z )在 区 域 D 内 处 处 解 析 ， C 为 D 内 的 任 何 一 条 正 向 简 单 闭 曲 线 ， 它 的 内 部 完 全 含 于 D , z 为 C 内 任 一 点 , 那 末 0
2
解 根据Cauchy积分公式知, 当 z 在 C 内时 ,
2 2 2 i ( 3 z 7 z 1 ), f ( z ) 2 π i ( 3 7 1 )
z
故 f ( z ) 2 i ( 6 z 7 ), 而 1 i 在 C 内 ,
所以 f ( 1 i ) 2 ( 6 13 i ).
14
第七周练习
P99-101 6--(6), 7—(2)(3)(7)(9)(10), 8—(3)(5), 9—(1), 15
15
z z z d z d z d z 2 2 2 z 1 c z 1 c z 1 z 2 1 2
πi
10
z z z z 1 dz dz 2π i[ ] 2 z 1 z 1 z 1 c2 c2
πi
z 1
故
z dz 2π i 2 z 1 z 2
sin z 2 isin z dz ; z 0 0 z z 4
8
例2
ez 计算积分 d z. z1 z 2
1 位于 z 2 内 , 解 f (z) ez 在复平面内解析 , z
由Cauchy积分公式 z e z d z 2 i e 2 e i . z 1 z 1 z 2
计算复积分的方法
谢谢
即函数 f ( z )在有限可去奇点处的留数总为零 （这是可去奇点处留数的一个特征）．
（二）极点处的留数
定理6.3 设点a为函数 f ( z ) 的 n 阶极点，即 f ( z )在a点 0 U 的某去心邻域 (a) : 0 z a R内, 可以表示成
f ( z)
( z)
( z a)n
为沿这些小圆周的积分来计算．我们把这种方法
称为挖洞法。
4、牛顿—莱布尼茨公式
基于原函数、不定积分以及变上限积分的相 关定理，有以下定理：
f ( z )在单连通区域D解析，若(z)为f ( z )在单 连通区域D内的一个原函数，则
z
z0
f ( )d = ( z ) ( z0 )
z z0
（2）解析函数的无穷可微性 若函数f ( z )在区域D内解析，则f ( z )在D内具有 任意阶导数，从而f ( z )在D内的任意阶导数也是 D内的解析函数。 由此：解析函数的实部和虚部这两个二元实函 数的各阶偏导数均连续。
（3）莫勒拉定理与解析函数的积分 定义
莫勒拉定理： 若f ( z )在区域D内连续，且对D内任意围线C, 总有
2、解析函数的平均值定理
若函数f ( z )在圆域 z a R内解析，在闭圆盘 z a R上连续，则 1 f (a) 2
2 0
f (a Rei )d
3、解析函数的无穷可微性
（1）解析函数的高阶导数公式： 设D为一个有界区域，其边界为C （当D为单连通 区域时，C是一条围线；当D为多连通区域时，C 就是一条复合闭路），如果函数f ( z )在区域D内 解析，在闭区域 D D C上连续，则f ( z )在区域 D内有任意阶导数，且 n! f ( ) (n) f ( z) d ( z D) n 1 2 i C ( z ) 高阶导公式在计算中常用。
复积分计算方法
复积分计算方法复积分是一类对函数f(x)在一定区间[a,b]上反复积分的技术，它可以求出函数f(x)在[a,b]上的定积分。
它是数学及其它科学计算中常用的方法之一，也是强大的科学计算工具。
一、复积分的定义复积分是一类技术，它可以求出函数f(x)在[a,b]上的定积分，其定义为：F(x) =a b f(t)dt其中a < b, 且f(x)为连续函数，即需要求出f(x)在[a,b]上的定积分，其计算步骤为：1.[a,b]上将函数f(x)分割成n份；2.每个分割点的函数值分别积分，直至[a,b]的积分和为F (x)；3.用梯形公式求解积分，直至达到满意精度。
二、复积分的积分方法1.梯形公式梯形公式是复积分中常用的一种方法，它是在[a,b]上将函数f(x)分割成n份，然后在这n份上分别计算，最终将这n份的积分之和相加，得到函数在[a,b]上的定积分。
梯形公式的计算公式为：F（x）=∑i=1n(f(x_i)+(f(x_i+1)-f(x_i))/2)Δx_i 其中n为分割的份数，x_i为每个分割点的函数值，Δx_i为每份的步长，f(x_i)为每个分割点函数值的积分梯形结果。
2.抛物线公式抛物线公式是根据函数f(x)在[a,b]上的连续二阶导数和抛物线方程构建的，通过三个点的函数值，来构建三角形，再将三角形分成三角形及抛物线两部分，最终将三个小积分的和作为整个积分的结果。
三、复积分的优点复积分是一类技术，它可以作为集积分、解常微分方程以及应用数学模型的有效工具，是精确的数学计算方法。
复积分的优点：1.积分步骤简单，节省时间；2.算准确，结算精确；3.算范围广，可以用于计算复杂多变的函数；4.算过程透明，可以清楚地掌握每一步的结果；5.算可视化，可以利用复积分计算结果来绘制反应曲线；6.算过程可调整，可以根据计算结果调整步长，达到满意精度。
四、复积分的应用复积分的应用非常广泛，常被用于物理及工程中，典型的如：1.势场力学：用于求解电势场力学中的电场力、磁场力；2.学力学：用于求解声学力学中的声场力；3.力学：用于求解热力学中的热量，以及求解温度场；4.他：还可用于管道流体力学、流变学中的复杂问题，应用范围很广。
复合积分运算公式
复合积分运算公式复合积分（通常指的是复合函数的积分）相关运算公式如下：一、换元积分法（第一类换元法 - 凑微分法）1. 公式形式。
- 设u = φ(x)在区间[a,b]上可导，且α≤slantφ(x)≤slantβ，函数f(u)在[α,β]上有定义且有原函数F(u)，则。
∫ f[φ(x)]φ^′(x)dx=∫ f(u)du=F(u)+C = F[φ(x)]+C2. 示例。
- 计算∫ 2xcos(x^2)dx。
- 令u = x^2，则du=2xdx。
- 所以∫ 2xcos(x^2)dx=∫cos udu=sin u + C=sin(x^2)+C二、换元积分法（第二类换元法）1. 公式形式。
- 设x = φ(t)是单调的、可导的函数，并且φ^′(t)≠0，又设f[φ(t)]φ^′(t)具有原函数F(t)，则。
∫ f(x)dx=∫ f[φ(t)]φ^′(t)dt=F(t)+C=F[φ^-1(x)]+C- 其中t=φ^-1(x)是x = φ(t)的反函数。
2. 示例。
- 计算∫(1)/(1 + √(x))dx。
- 令t=√(x)，即x = t^2(t≥slant0)，则dx = 2tdt。
- ∫(1)/(1+√(x))dx=∫(2t)/(1 + t)dt=2∫(t + 1-1)/(1 + t)dt=2∫(1-(1)/(1 + t))dt - =2(t-ln1 + t)+C = 2(√(x)-ln(1+√(x)))+C三、分部积分法。
1. 公式形式。
- ∫ u(x)v^′(x)dx=u(x)v(x)-∫ v(x)u^′(x)dx，通常简记为∫ udv = uv-∫ vdu 2. 示例。
- 计算∫ xsin xdx。
- 令u = x，dv=sin xdx，则du = dx，v =-cos x。
- 根据分部积分公式∫ xsin xdx=-xcos x-∫(-cos x)dx=-xcos x+sin x + C。
复变函数积分计算公式
复变函数的积分
ez z2 (z 1)3
dz
解：f(z)=cosz， z0 =i在|z|<2内
cos z
z 2 z i2
dz
2i
1!
f
' i
2icos' z 2i sin i zi
I
| z 1|0.5
ez / z2 (z 1)3
dz
2i
2!
ez z2
(2)
3ei
z 1
3、复连通的Cauchy公式
f
z
(0,0)
i
3、利用极坐标计算
例：计算积分I dz
z |Z |1
解： z ei 0 2
dz iei d
I
dz
2
i d 2i
z |Z |1
0
五、Cauchy定理 1、区域的连通阶数
被有界区域D分割成的，各自不相连部分的数目为区域的连通阶数。如：
单连通区域
二连通区域
三连通区域
(2) f (z)在D内解析，C f zdz （0 C是D内任一围线）
证明：由A到B，与路径无关
f zdz f zdz f zdz
AEB
AFB
BFA
f zdz f zdz 0
AEB
BFA
f zdz 0
C
cos zdz 0
|z|1
推广：若f (z)在D内解析，在闭域D连续，l为区域边界，
2i -i
2、Cauchy导数公式
f
'z
1
2i
l
f
d
z
(1)
1
2i
l
f z2
d
f
z
1
复积分的各种计算方法及应用
第1章 引言曹1.1研究背景及研究内容复变函数的积分理论是复变函数理论的重要组成部分，是研究解析函数的重要工具之一.但对于如何计算复变函数积分以及如何处理有关复变函数积分的问题，往往很难迅速找到解决问题的方法.因此，理解复变函数积分，并能够灵活运用复积分计算方法进行复积分计算就显得极其重要.复积分中的Cauchy 积分定理在理论上处于关键地位，由它派生出的Cauchy 积分公式、留数定理、辐角原理等都涉及到积分的计算问题.解析函数在孤立奇点的留数原本是一个积分，而实际计算却需要Laurent 展式.因而把积分与级数结合起来的留数定理使复积分理论甚至是复变函数理论达到高潮，且其用途十分广泛.因此，研究复变函数积分计算的各种方法有着非常重要的意义，本文以所列参考文献[3]中的复积分计算方法为基础，并通过查阅相关资料，借鉴了文献[4]-[7]的结果，总结复积分计算的各种方法，并通过应用[1],[2],[8],[9]中的相关知识和方法，对所列出的每种方法作典型例证和分析.1.2预备知识定义1.1[3] 复积分 设有向曲线C ：()()βα≤≤=t t z z ,，以()αz a =为起点，()βz b =为终点，()z f 沿C 有定义.顺着C 从a 到b 的方向在C 上依次取分点：011,,,,n n a z z z z b -==.把曲线C 分成若干个弧段.在从1-k z 到k z ()n k ,..,2,1=的每一弧段上任取一点k ζ.作成和数()1nn k k k S f z ζ==∆∑，其中1k k k z z z -∆=-.当分点无限增多，而这些弧段长度的最大值趋于零时，如果和数n S 的极限存在且等于J ，则称()z f 沿C (从a 到b ）可积，而称J 为()z f 沿C (从a 到b ）的积分，并记以()cf z dz ⎰.C 称为积分路径. ()cf z dz ⎰表示沿C 的正方向的积分，()c f z dz -⎰表示沿C 的负方向的积分.定义1.2[3] 解析函数 如果函数()z f 在0z 点及()z f 的某个邻域内处处可导，那么称 ()z f 在0z 点解析，如果()z f 在区域D 内解析就称()z f 是D 内的一个解析函数.定义1.3[3] 孤立奇点 若函数()z f 在点的0z 邻域内除去点0z 外处处是解析的，即在去心圆域{}00()N z z z z δδ=-<内处处解析，则称点0z 是()z f 的一个孤立奇点.定义 1.4[3] 留数 函数()z f 在孤立奇点0z 的留数定义为()12c f z dz iπ⎰，记作()0Re ,s f z z ⎡⎤⎣⎦.第2章 复积分的各种计算方法2.1复积分计算的常见方法（1）参数方程法定理[3] 设光滑曲线:()()()()C z z t x t iy t t αβ==+≤≤，(()z t '在[,]αβ上连续，且()0z t '≠)，又设()f z 沿C 连续，则()d [()]()d Cf z z f z t z t t βα'=⎰⎰.(α、β分别与起、终点对应)1.若曲线C 为直线段，先求出C 的参数方程C 为过12,z z 两点的直线段，1211:(),[0,1],C z z z z t t z =+-∈为始点，2z 为终点. 例1 计算积分1Re d iz z -⎰，路径为直线段.解 设1(1)(1),[0,1]z i t t it t =-++=-+∈，则2.若曲线C 为圆周的一部分，例如C 是以a 为圆心，R 为半径的圆. 设:C z a R -=，即Re ,[0,2]i z a θθπ=+∈，（曲线的正方向为逆时针）. 例2 计算积分d ,Cz z C ⎰为从1-到1的下半单位圆周.解 设,d d ,[,0]i i z e z ie θθθθπ==∈-，d (cos sin )d 2Cz z i i πθθθ-=+=⎰⎰.用Green 公式法也可计算复积分, Green 公式法是参数方程法的一种具体计算方法.例3 设C 为可求长的简单闭曲线，A 是C 所围区域的面积，求证：2czdz iA =⎰.证明 设z x iy =+，则 由Green 公式，有： 得证.本题目用Green 公式解决了与区域面积有关的复积分问题. （2）用Newton-Leibnize 公式计算复积分在积分与路径无关的条件下（即被积函数()f z 在单连通区域内处处解析）也可直接按类似于实积分中的Newton-Leibnize 公式计算.例4 计算222(2)d i z z -+-+⎰.解 因为2()(2)f z z =+在复平面上处处解析，所以积分与路径无关.22222322221(2)d (44)d 2433ii i iz z z z z z z z -+-+-+---+=++=++=-⎰⎰.（3)用Cauchy 定理及其推论计算复积分Cauchy 积分定理[3] 设函数()f z 在复平面上的单连通区域D 内解析，C 为D 内任一条周线，则()d 0Cf z z =⎰.Cauchy 积分定理的等价定理[3]设函数()f z 在以周线C 为边界的闭域D D C =+上解析, 则()d 0Cf z z =⎰例5 计算2d ,22C zC z z ++⎰为单位圆周1z =.解 1z =是21()22f z z z =++的解析区域内的一闭曲线，由Cauchy 积分定理有2d 022C zz z =++⎰.注1 利用Cauchy 积分定理也有一定的局限性，主要是要求被积函数的解析区域是单连通的，计算起来较为方便.注2 此题可用参数方法，但计算要复杂得多，而用Cauchy 积分定理很简单. 另外，Cauchy 积分定理可推广到复周线的情形.定理[3] 设D 是由复周线012nC C C C C ---=++++ 所围成的有界1n +连通 区域，函数()f z 在D 内解析，在D D C =+上连续，则()0Cf z dz =⎰，或写成 ()()()010nC C C f z dz f z dz f z dz --++=⎰⎰⎰，。
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山东财经大学学士学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究工作所取得的成果。
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指导教师签名：论文作者签名：年月日年月日浅谈复积分的计算方法摘要复积分即是指复变函数积分.在复变函数的分析理论中,复积分是研究解析函数的重要工具.解析函数中的许多重要性质都要利用复变函数积分来证明.柯西积分定理在复积分的计算中理论上处于关键地位, 因此，对复积分及其计算的研究显得尤为重要.复变函数中的积分不仅是研究解析函数的重要工具,也是它的后继课程积分变换的基础,所以就复变函数的积分计算方法进行总结和探讨是十分必要的.柯西积分公式、柯西高阶导数公式和留数定理对复积分的计算起到很大的作用.留数定理不仅可以用来计算复积分，而且可以用来计算实积分，它把实积分和复积分的相关知识有机的结合起来.本文讨论了留数定理与复变函数积分之间的内在联系，并举例说明了留数定理、柯西积分定理、柯西积分公式和柯西高阶导数公式之间的密切关系.本文将利用复变函数积分基本原理，利用几种复积分的基本求法，针对每一种计算方法给出例子，并通过柯西积分定理、柯西积分公式、柯西高阶导数公式、留数定理等来计算复积分，从中揭示诸多方法的内在联系，对复积分的计算方法作出较系统的归纳总结，从中概括出求复变函数积分的解题方法和技巧.复变函数中积分分闭曲线和非闭曲线两类.本文就这两种积分的计算方法进行总结和探讨.关键词：复积分；柯西积分定理；柯西积分公式；留数定理Discussion on the computational methods of complex integrationABSTRACTComplex integration entails Complex integration.In the analysis of the complex function theory,Complex integration is an important tool for analytic functions.Many important properties of analytic functions must use the complex function points to prove that the Cauchy integral theorem in a key position in the calculation of the complex integral theory,Therefore,Complex integral calculation is particularly important ..The integral in the complex variable function is not only an important tool for the study of analytic functions,Also the basis for its successor course integral transforms , integral calculation of the complex function method summary and discussion is very necessary.Cauchy integral formula , Cauchy order derivative formula and residue theorem has played a significant role in the calculation of complex integration.The residue theorem can not only be used to calculate the complex integration,And can be used to calculate the real integral,It organic combination of real integral and complex integration of knowledge ..This paper discusses the intrinsic link between the stay theorem Complex integration,And illustrates the residue theorem, the close relationship between the Cauchy integral theorem, Cauchy integral formula and the Cauchy higher derivative formula.This article will use the basic principles of Complex integration,The basic method for finding several complex integration,Give examples for each type of calculation,And by the Cauchy integral theorem, Cauchy's integral formula, Cauchy higher derivative formula of the residue theorem to calculate the complex integration,Which reveals the many ways the intrinsic link,Make a more systematic method of calculation of the complex integral summarized,Generalize from seeking complex variable of the function of problem-solving methods and plex variable integral function closed curve and non- closed curves of two types of.In this paper, the method of calculating these two points were summarized and discussed.Keywords：Complex integration ; Cauchy's integral theorem ; Cauchy integral formula ; the residue theorem目录一、复变函数积分 (4)（一）复积分的概念 (4)1．有向曲线 (4)2．复积分的定义 (4)3．定义说明 (5)二、复积分的计算 (5)（一）函数沿非闭曲线的积分的计算 (5)1．定义法 (5)2．参数方程法 (5)（二）函数沿闭曲线的积分的计算 (9)1．参数方程法 (9)2．积分定理 (9)3．挖奇点法 (10)4．积分公式 (12)5．高阶导数公式 (12)三、复积分计算的其他方法 (16)（一）留数定理及其应用 (16)1．留数的定义 (16)2．留数定理 (16)3．留数的计算 (17)附录 (19)参考文献 (19)一、复变函数积分㈠、复积分的概念1、有向曲线: (1-1-1)设C 为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线, 如果选定C 的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向), 那么我们就把C 理解为带有方向的曲线, 称为有向曲线。
如图1-1-1所示。
如果A 到B 作为曲线C 的正向,记为C 。
.那么B 到A 就是曲线C 的负向, 记为C 。
-。
.一般曲线C 的正方向总是指从起点到终点的方向. 那么终点到起点的方向就是曲线C 的负向,记为C 。
-。
.闭曲线方向的定义:逆时针方向为正方向记为C 。
.顺时针方向为负方向，记为C 。
-.对区域的边界线C 而言, C 的正向是指当曲线上的点P 沿此方向前进时, C 所围区域始终在 P 点的左方.单连通区域的边界线C 的正向沿逆时针方向；记为C 。
多连通区域的外边界线C 的正向沿逆时针方向；记为C 。
.内边界线C1的正向沿顺时针方向；记为1c -.2、复积分的定义 （1-1-2）设l 为复平面上以0z 为起点，而以z 为终点的光滑曲线（()y y x =有连续导数），在l 上取一系列分点011,,,,n n z z z z z-= 把l 分为n 段，在每一小段1k k z z -上任取一点k ξ作和数()()()111nnn k k k k k k k S f z z f z ξξ-===-=∆∑∑,1k k k z z z -∆=-当n →∞，且每一小段的长度趋于零时，若lim n n S →∞存在，则称()f z 沿l 可积，lim n n S →∞称为()f z 沿l 的路径积分。
l 为积分路径，记为()lf z dz ⎰【若l 为围线（闭的曲线），则记为()lf z dz ⎰ 】.()()1lim lim nnk k ln n k f z dz Sf z ξ→∞→∞===∆∑⎰（()f z 在l 上取值，即z 在l 上变化）.如图（1-1-2）所示。
3、定义说明（1）如果C 是闭曲线，那么沿此闭曲线的积分记为()cf z dz ⎰ .（2）如果C 是x 轴上的区间a x b ≤≤，而()()f z u x =，这个积分定义就是一实变函数积分的定.二、复积分的计算（一）函数沿非闭曲线的积分的计算1．定义法定义：设l 为复平面上以0z 为起点，而以z 为终点的光滑曲线（()y y x =有连续导数），在l 上取一系列分点011,,,,n n z z z z z-= 把l 分为n 段，在每一小段1k k z z -上任取一点k ξ作和数()()()111nnn k k k k k k k S f z z f z ξξ-===-=∆∑∑,1k k k z z z -∆=-当n →∞，且每一小段的长度趋于零时，若lim n n S →∞存在，则称()f z 沿l 可积，lim n n S →∞称为()f z 沿l 的路径积分.l 为积分路径，记为()lf z d z ⎰【若l 为围线（闭的曲线），则记为()l f z d z ⎰ 】.()()1lim lim nn k k ln n k f z dz S f z ξ→∞→∞===∆∑⎰（()f z 在l 上取值，即z 在l 上变化）.例1、命c 表连接a 及b 的任意曲线，试求cdz ⎰.解：因()()111,,nn kk k f z s zz b a -===-=-∑故max||0lim,k n n z s b a →∞∆→=-即cdz b a =-⎰.2．参数方程法在简单光滑曲线上连续,欲计算积分的步骤如下:第一步:写出曲线的参数方程z x iy =+，dz dx idy =+，()()(),,f z u x y iv x y =+ (常遇到的是圆弧或直线段) ;第二步:求出()lf z dz ⎰,将()(),,,u x y v x y 代入其中;第三步:将积分化为关于的定积分，并计算该定积分。