第二章控制系统的数学模型.ppt

例• 2.1 图为机械位移系统。试列写质量m在外力F作用下位移
y(t)的运动方程。
解:
阻尼器的阻尼力:
弹簧弹性力: F2
F1(t ) f
(t) ky(t)
dy(t dt
)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
k
F
d 2 y(t) m dt 2 F (t ) F1(t ) F2 (t )
整理得:
m
d
2 y(t dt 2
)
f
dy(t) ky(t) F (t) dt
y y0 y f ( x0 )
dx
x
x x0
2.2.4 线性定常微分方程的求解 2.2.1 2.2.2 2.2.3
• 求解方法：经典法、拉氏变换法。零状态响应、零输入响应。
拉氏变换法求解步骤：
1. 考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换，
得到变量s的代数方程；
2. 求出输出量拉氏变换函数的表达式；
5.由数学模型求取系统性能指标的主要途径
求解
观察
线性微分方程
时间响应
性能指标
傅 氏 变
拉氏变换 传递函数
拉氏反变换 估算
估算
换
S=jω
频率特性 计算 频率响应
2.2 线性系统的微分方程 2.1 2.3
2.4 2.5
2.2.1 微分方程的列写 2.2.2 2.2.3 2.2.4
1
ur i1 R1 c1 i1dt
2.3.1 传递函数的定义 2.3.2 2.3.3 2.3.4
2.1 2.2 2.4 2.5
• 线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入 量的拉氏变换之比，称为传递函数。
d nc(t)
d n1c(t)
dc(t )
a 0 dt n a1 dt n1 an1 dt anc(t )
d m r(t) d m1r(t)
dr(t )
b0 dt m b1 dt m1 bm1 dt bm r(t )
(a0sn a1sn1 an1s an )C(s) (b0sm b1sm1 bm1s bm )R(s)
m
f
y(t)
• 例2.2 如图RLC电路，试列写以ur(t)为输入量，uc(t)为输出量 的网络微分方程。
• 解:
di(t ) L dt uc (t) Ri(t) ur (t)
i(t) R L
uc (t)
1 c
i (t )dt
ur(t)
C uc(t)
返回
LC
d
2uc (t ) dt 2
RC
duc (t ) dt
1
uc c i1dt
化简, 得 R 1C1
duc dt
uc
ur
i1 (t) R1
ur(t)
C1 uc(t)
微分方程的列写步骤
动画演示
1）确定系统的输入、输出变量； 2）从输入端开始，按照信号的传递顺序，根据各变量所遵循的 物理定理写出各微分方程； 3）消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程； 4）变换成标准形式。
2.2.3 非线性元件微分方程的线性化 2.2.1 2.2.2 2.2.4
• 严格地说，实际控制系统的某些元件含有一定的非线性特性，而
非线性微分方程的求解非常困难。如果某些非线性特性在一定的工
作范围内，可以用线性系统模型近似，称为非线性模型的线性化。
小偏差线性化：用台劳级数展开，略去二阶以上导数项。
2.建立数学模型的目的 ●建立系统的数学模型，是分析和设计控制系统的首要工作 （或基础工作）。 ●自控系统的组成可以是电气的、机械的、液压或气动的等等， 然而描述这些系统发展的模型却可以是相同的。因此，通过数学 模型来研究自动控制系统，可以摆脱各种不同类型系统的外部特 征，研究其内在的共性运动规律。
uc
(t)
ur
(t)
动画演示
2.2.2 微分方程的类型 2.2.1 2.2.3 2.2.4
• 非线性(nonlinear)系统：用非线性微分方程描述。
f dy ky2 y F(t) dt
• 线性(linear)系统：用线性微分方程描述。 • 线性定常系统：用线性微分方程描述,微分方程的系数是常数。
3.建模方法
分析法 本课研究 实验法 系统辨识课研究
4.常用数学模型
微分方程(differential equation)（或差分difference方程） 传递函数(transfer function) （或结构图block diagram ） 频率特性(frequency characteristics) 状态空间表达式（或状态模型state space model ）
第二章 控制系统的数学模型
2.1 数学模型基础 2.2 线性系统的微分方程 2.3 线性系统的传递函数 2.4 系统的结构图 2.5 信号流图及梅逊公式 本章作业
End
2.1 数学模型基础
2.2 2.3 2.4 2.5
1.定义：数学模型(mathematical model)是指出系统内部物理量 （或变量）之间动态关系的表达式。
3. 对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量的时域表达式，
即为所求微分方程的解。
i 1(t) R1
例2.3 已知R1=1，C1=1F，uc(0)=0.1v,
ur(t)=1(t)，求 uc(t)
解：R1C1
duc dt
uc
ur
ur(t)
C1
R1C1sUc (s) R1C1uc (0) Uc (s) Ur (s)
一、假设：x,y在平衡点（x0,y0)附近变化，即 x=x0+△x, y=y0+△y
二、近似处理 y df ( x) x
三、数学方法
dx x x0
df ( x)
y y0 y f ( x0 )
dx
x
x x0
1 d 2 f (x) 2! dx2
(x)2
x x0
略去高阶无穷小项:
df ( x)
f dy ky F(t) dt
• 线性时变系统：用线性微分方程描述，微分方程的系数是 随时间而变化的。
f dy k(t) y F(t) dt
• 线性系统的重要性质：满足叠加性和均匀性（齐次性）。即： 如果输入r1(t)—>输出y1(t)，输入r2(t)—>输出y2(t) 则输入a r1(t)+b r2(t) —>输出a y1(t)+by2(t)
动画演示
uc(t)
sUc (s) 0.1 Uc (s) Ur (s)
1
0.1
Uc (s) s(s 1) s 1
uc (t ) 1 et 0.1et
零初始条件下取拉氏变换： R1C1sUc (s) Uc (s) Ur (s)
Uc (s)
1
Ur (s) R1C1s 1
2.3 传递函数