第二章控制系统的数学模型.ppt

3. 对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量的时域表达式，
即为所求微分方程的解。
i 1(t) R1
例2.3 已知R1=1，C1=1F，uc(0)=0.1v,
ur(t)=1(t)，求 uc(t)
解：R1C1
duc dt
uc
ur
ur(t)
C1
R1C1sUc (s) R1C1uc (0) Uc (s) Ur (s)
一、假设：x,y在平衡点（x0,y0)附近变化，即 x=x0+△x, y=y0+△y
二、近似处理 y df ( x) x
三、数学方法
dx x x0
df ( x)
y y0 y f ( x0 )
dx
x
x x0
1 d 2 f (x) 2! dx2
(x)2
x x0
略去高阶无穷小项:
df ( x)
例• 2.1 图为机械位移系统。试列写质量m在外力F作用下位移
y(t)的运动方程。
解:
阻尼器的阻尼力:
弹簧弹性力: F2
F1(t ) f
(t) ky(t)
dy(t dt
)
k
F
d 2 y(t) m dt 2 F (t ) F1(t ) F2 (t )
整理得:
m
d
2 y(t dt 2
)
f
dy(t) ky(t) F (t) dt
3.建模方法
分析法 本课研究 实验法 系统辨识课研究
4.常用数学模型
微分方程(differential equation)（或差分difference方程） 传递函数(transfer function) （或结构图block diagram ） 频率特性(frequency characteristics) 状态空间表达式（或状态模型state space model ）
y y0 y f ( x0 )
dx
x
x x0
2.2.4 线性定常微分方程的求解 2.2.1 2.2.2 2.2.3
• 求解方法：经典法、拉氏变换法。零状态响应、零输入响应。
拉氏变换法求解步骤：
1. 考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换，
得到变量s的代数方程；
2. 求出输出量拉氏变换函数的表达式；
d m r(t) d m1r(t)
dr(t )
b0 dt m b1 dt m1 bm1 dt bm r(t )
(a0sn a1sn1 an1s an )C(s) (b0sm b1sm1 bm1s bm )R(s)
2.建立数学模型的目的 ●建立系统的数学模型，是分析和设计控制系统的首要工作 （或基础工作）。 ●自控系统的组成可以是电气的、机械的、液压或气动的等等， 然而描述这些系统发展的模型却可以是相同的。因此，通过数学 模型来研究自动控制系统，可以摆脱各种不同类型系统的外部特 征，研究其内在的共性运动规律。
第二章 控制系统的数学模型
2.1 数学模型基础 2.2 线性系统的微分方程 2.3 线性系统的传递函数 2.4 系统的结构图 2.5 信号流图及梅逊公式 本章作业
End
2.1 数学模型基础
2.2 2.3 2.4 2.5
1.定义：数学模型(mathematical model)是指出系统内部物理量 （或变量）之间动态关系的表达式。
5.由数学模型求取系统性能指标的主要途径
求解
观察
线性微分方程
时间响应
性能指标
傅 氏 变
拉氏变换 传递函数
拉氏反变换 估算
估算
换
S=jω
频率特性 计算 频率响应
2.2 线性系统的微分方程 2.1 2.3
2.4 2.5
2.2.1 微分方程的列写 2.2.2 2.2.3 2.2.4
1
ur i1 R1 c1 i1dt
动画演示
uc(t)
sUc (s) 0.1 Uc (s) Ur (s)
1
0.1
Uc (s) s(s 1) s 1
uc (t ) 1 et 0.1et
零初始条件下取拉氏变换： R1C1sUc (s) Uc (s) Ur (s)
Uc (s)
Hale Waihona Puke Baidu
1
Ur (s) R1C1s 1
2.3 传递函数
uc
(t)
ur
(t)
动画演示
2.2.2 微分方程的类型 2.2.1 2.2.3 2.2.4
• 非线性(nonlinear)系统：用非线性微分方程描述。
f dy ky2 y F(t) dt
• 线性(linear)系统：用线性微分方程描述。 • 线性定常系统：用线性微分方程描述,微分方程的系数是常数。
2.3.1 传递函数的定义 2.3.2 2.3.3 2.3.4
2.1 2.2 2.4 2.5
• 线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入 量的拉氏变换之比，称为传递函数。
d nc(t)
d n1c(t)
dc(t )
a 0 dt n a1 dt n1 an1 dt anc(t )
1
uc c i1dt
化简, 得 R 1C1
duc dt
uc
ur
i1 (t) R1
ur(t)
C1 uc(t)
微分方程的列写步骤
动画演示
1）确定系统的输入、输出变量； 2）从输入端开始，按照信号的传递顺序，根据各变量所遵循的 物理定理写出各微分方程； 3）消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程； 4）变换成标准形式。
f dy ky F(t) dt
• 线性时变系统：用线性微分方程描述，微分方程的系数是 随时间而变化的。
f dy k(t) y F(t) dt
• 线性系统的重要性质：满足叠加性和均匀性（齐次性）。即： 如果输入r1(t)—>输出y1(t)，输入r2(t)—>输出y2(t) 则输入a r1(t)+b r2(t) —>输出a y1(t)+by2(t)
m
f
y(t)
• 例2.2 如图RLC电路，试列写以ur(t)为输入量，uc(t)为输出量 的网络微分方程。
• 解:
di(t ) L dt uc (t) Ri(t) ur (t)
i(t) R L
uc (t)
1 c
i (t )dt
ur(t)
C uc(t)
返回
LC
d
2uc (t ) dt 2
RC
duc (t ) dt
2.2.3 非线性元件微分方程的线性化 2.2.1 2.2.2 2.2.4
• 严格地说，实际控制系统的某些元件含有一定的非线性特性，而
非线性微分方程的求解非常困难。如果某些非线性特性在一定的工
作范围内，可以用线性系统模型近似，称为非线性模型的线性化。
小偏差线性化：用台劳级数展开，略去二阶以上导数项。