极坐标与参数方程知识点、题型总结

极坐标与参数方程知识点、题型总结

一、伸缩变换：点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换

⎩⎨

⎧>⋅='>⋅=').

0(,y y 0),

(x,x :μμλλϕ的作用下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称伸缩变换 一、 1、极坐标定义：M 是平面上一点，ρ表示OM 的长度，θ是MOx ∠，则有序实数实

数对(,)ρθ,ρ叫极径，θ叫极角；一般地，[0,2)θπ∈，0ρ≥。，点P 的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)

2、直角坐标⇒极坐标 cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩2、极坐标⇒直角坐标2

2

2

tan (0)x y y x x ρθ⎧=+⎪

⎨=≠⎪⎩

3、求直线和圆的极坐标方程：方法一、先求出直角坐标方程，再把它化为极坐标方程 方法二、（1）若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：

ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)（2）若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆方

程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ02－r 2＝0

-

二、参数方程：（一）．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数⎩⎨

⎧==),

(),

(t g y t f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确

定的点),(y x M 都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数y x ,的变数t 叫做参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。

（二）．常见曲线的参数方程如下：直线的标准参数方程

1、过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线：

α

αsin cos 00t y y t x x +=+=（t 为参数）

（1）其中参数t 的几何意义：点P （x 0，y 0），点M 对应的参数为t ，则PM =|t|

(2)直线上12,P P 对应的参数是12,t t 。|P 1P 2|＝|t 1－t 2|＝t 1＋t 2

2

－4t 1t 2.

直线的一般参数方程：

00x x at y y bt

=+=+（t 为参数）若221a b +=，则上面（1）、（2）中

的几何意义成立，否则，不成立。

（2）圆心在（x 0，y 0），半径等于r 的圆：

|

θ

θsin cos 00r y y r x x +=+= （θ为参数）

（3）椭圆22221x y a b +=（或22

221y x a b +=）：

θθsin cos b y a x ==（θ为参数） （或 θ

θsin cos a y b x ==）

（4）抛物线2

2y px

=

：

pt

y pt x 222==（t 为参数，p ＞0）

题型归类：（1）极坐标与直角坐标的互相转化

（2） 参数方程与普通方程互化(3) {

利用参数方程求值域

参数的几何意义

一、极坐标方程与直角方程的互化，求极坐标方程：方法：代公式

)

1．已知某圆的极坐标方程为

（I ）将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程； （II ）

（III ）

若点在该圆上，求的最大值和最小值．6,2

2极坐标方程2

4sin 52

θ

ρ⋅=表示的曲线是（ ） 抛物线

3、直线的极坐标方程为2sin 42πρθ

⎛

⎫+=

⎪⎝⎭

，则极点到该直线的距离是 2 4、极坐标方程2cos 0ρθρ-=转化成直角坐标方程为 201y +==2x 或x 二、参数方程与普通方程的互化

06)4

cos(

242=+--π

θρρ(,)P x y x y +

)

1、参数方程⇒普通方程：方法;消参, 普通方程⇒参数方程：代公式

5、方程22

22

t t

t t

x t y --⎧=-⎪⎨=+⎪⎩（为参数）表示的曲线是（ ） A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆

6. 已知直线为参数), 曲线 （为参数）.

（Ⅰ）设与相交于两点,求；1

（Ⅱ）若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的

倍,纵坐标压缩为原来的倍,得

到曲线,设点是曲线上的一个动点,求它到直线的距离的最小值.

—

7.曲线C ：cos (sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数）

曲线D

：2(x t t y ⎧

=⎪⎪

⎨⎪=

⎪⎩

为参数）。 （1）指出曲线C 、D 分别是什么曲线并说明曲线C 与D 公共点人的个数。 （2）若把曲线C 、D 上各点的纵坐标压缩为原来的

倍，分别得到曲线C1、D1，请写出曲线C1、D1的参数方程，说明其公共点的个数和曲线C 、D 公共点是否相同

2、普通方程化为参数方程

8.直线l 过点(1,1)P ，倾斜角6

π

α=

，（1）写出l 的参数方程；

: t t y t x (.23,211⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

=+=:1C cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩θ 1C B A ,||AB 1C 2

1

232C P 2C )12(46

-2

1