最优潮流现代内点算法.

Lz0 g(x) l g 0 Lw0 g(x) u g 0
Ll LZe 0
Lu UWe 0
扰动互补条件：
LLul
LZe e 0 UWe e 0
三、现代内点算法
• 用牛顿法导出扰动KKT条件的修正方程为：
H xh(x) x g(x) x g(x) 0
00 j j 00 j j j jhh j jhh
四、应用技巧
病态的处理： 将该节点转化为发电机节点，同时为保证它的出力为0，
定义它的Pmin=0； Pmax=10-3； 如果该节点是PQ节点，定义 Qmin=0； Qmax=10-3。
*付出的代价：变量和约束会相应增加，即方程组系数矩阵的
维数会相应增加；算法的迭代次数可能会成倍增加。但是对处 理大型系统而言，计算时间仍然快很多，且系统规模越大，优 势越明显。
四、应用技巧
一种新颖的数据结构
特点： a. 对问题的原始变量的顺序作一种特定的安排；
b. 定义一个的 4 4 块矩阵，最终使待分解的修正方程系数矩 阵某部分与节点导纳矩阵具有相同形式。
如果以h表示H`中的与节点导纳矩阵有相似结构的元素，用j 表示 xh 中的元素，则块矩阵的排列形式如下：
uk1 uk pu yk1 yk d y zlk1 zk d z wk1 wk d w
四、应用技巧
节点电压使用直角坐标表示
优点：1. 它的Hessian矩阵是常数 2. 它的Taylor展式的二阶项没有截断误差。
j1
i 1,..., n
PGi PGi PGi
i SG
Q Ri QRi Q Ri
iSR
V
2 i
(ei2

f i2
)

V
2 i
Pij Pij Pij
T i Ti T i
iSB i j
i ST
二、最优潮流计算方法现状
最优潮流的计算方法
1. 基于梯度的方法 2. 微分注入法 3. 序贯二次优化法、序贯线性规划法 4. 牛顿法
变量重组与矩阵即约
I L1Z 0 0
0
0 I 0 0 Tx g(x)
0 0
z

l



L1 Ll Lz

0 0 0 0
0 0 0 0
I U 1W 0I 00 00
0

T x
g
(
x
)
H
Tx h( x)

x
0 0 h( 0
最优潮流现代内点算法
2000.12.20
一、数学模型
min .
(a2i PG2i a1i PGi a0i )
iSG
n
s.t. PGi PDi [ei (e jGij f j Bij ) fi ( f jGij e j Bij )
j1Fra Baidu bibliotekn
QGi QDi [ fi (e jGij f j Bij ) ei ( f jGij e j Bij )
三、现代内点算法
min . f (x)
s.t. h(, x) 0
g gx g 基于扰动Karush Kuhn Tucker(KKT)条件的现代内点 算法由以下4个步骤组成： • 用松弛变量将不等式约束化为等式约束：g(x) u g ，g(x) l g 。
• 形成拉格朗日函数：
1.E-3
1.E-4
1.E-5
迭代次数
1.E-6 1
6
11
16
21
六、结论
a. 采用节点电压直角坐标模型，使其Hessian矩阵元素为常数， 不需每次迭代形成，方便编程的同时，加快计算速度；
b. 新颖的数据结构定义了一个4 4 的块矩阵，使待分解的系数
矩阵某部分具有与节点导纳矩阵相同的稀疏结构，方便使用稀 疏编程技巧，减少算法的计算时间； c. 新颖的数据结构减少注入元的产生，大大节约计算机内存，提 高算法的计算速度； d. 现代内点算法的超线性收敛性保证了算法的速度，其多项式时 间特性使算法具有良好的鲁棒性，更适合于大型电力系统的应 用。
w

u

x) x

y



U 1Lu
Lw Lx
Ly

四、应用技巧
通过变量重组与矩阵即约将待分解的修正方程 中[5(m+r)+10l+9n]阶系数矩阵变为[m+r+2l+2n]阶矩 阵，之后的计算量只是回代，不仅减少计算量、加 快计算速度，同时减少内存的耗费。其中H`的一部 分是Hessian矩阵 ，xh 是Jacobi矩阵。两者都以 2 2的块矩阵与节点导纳矩阵有相似的结构。
三、现代内点算法
现代内点算法的分类：
1. 投影尺度法 (projective scaling ) 2. 仿射尺度法 (affine scaling) 3. 路径跟踪法 (path following)
优点： 1. 现代内点法对初始点要求不高，可起始于任意点；
2. 能方便地处理等式和不等式约束； 3. 现代内点法具有超线性收敛特性，保证了算法的可靠性； 4. 现代内点法具有多项式时间性，对于处理大规模问题特别有效。
优点及缺点
优点： 具有二次收敛性 缺点： 1. 对不等式约束处理困难
2. 初始点必须在最优点附近才能保证算法的收敛性
三、现代内点算法
发展
1. 1949年Dantzig提出求解线性规划问题的单纯形法； 2. 1979年由Khachian提出第一个多项式时间算法——椭球法； 3. 1984年由Kmarmarkar提出了求解线性规划问题的新算法—— 现代内点算法。 4.1985年Gill证明了古典障碍函数法与 Kmarmarkar内点算法之间 存在着等价联系，从而将现代内点算法应用到非线性规划问题的 求解中。
hh j j hh j j j j00 j j00
00 j j 00 j j j jhh j jhh
四、应用技巧
优点： a. 可充分利用稀疏编程技巧； b. 在系数矩阵分解时产生较少的注入元素 。
缺点： 同时满足：1. 该节点是PQ或PV节点；2. 该节点与编号比它
前的节点间没有支路相连。解方程时，系数矩阵的分解会出现病 态。


Lz
Lw Ll Lu

其中：
H

[
2 x
f
(x)


2 x
h(x)
y


2 x
g(x)(
z

w)]
三、现代内点算法
解方程后得到第k次迭代的修正量，于是最优解的一个新的近似为： xk1 xk px
lk1 lk pl
L f (x) yT h(x) zT [g(x) l g] wT [g(x) u g] ~zl w~u
三、现代内点算法
• 导出KKT一阶最优性条件：
Lx0 x f (x) xh(x) y x g(x)(z w) 0
Ly0 h(x) 0

Tx
h(x)
0
0
0
0
0 x Lx
0


y



L
y

TTxx
g g
( (
x) x)
0 0
0
0

0
0
0 0 L 0
0 0 0 U
I 0 Z 0
0 I 0 W

z w l u
五、仿真结果
采用IEEE30系统进行仿真计算：
系统参数表：
系统 满阵
节点/线路 30/41
等式约束 60
不等式约束 121（3/6/30/82）
稀疏
30/41
60
140（14/15/29/82）
五、仿真结果
算法性能
对偶间隙
1.E+3
1.E+2
满阵
1.E+1
稀疏
1.E+0
1.E-1
1.E-2