最优潮流现代内点算法.
电力系统最优潮流分析
电力系统最优潮流分析电力系统是现代社会中最重要的系统工程之一,为社会生产和人民生活提供了绝大部分能量。
电能的生产需要耗费大量的燃料,而目前电能在输送、分配和消费过程中存在着大量的损耗。
因此如何采取适当措施节约能源,提高整个电力系统的运行效率,优化系统的运行方式,是国内外许多学者一直关注与研究的热点。
电力系统的最优化运行是指在确保电力系统安全运行、满足用户用电需求的前提下,如何通过调度系统中各发电机组或发电厂的运行,从而使系统发电所需的总费用或所消耗的总燃料达到最小的运筹决策问题。
数学上可将此问题描述为非线性规划或混合非线性规划问题。
最优潮流问题是指在满足必须的系统运行和安全约束条件下,通过调整系统中可利用控制手段实现预定目标最优的系统稳定运行状态。
同经典的经济调度法相比,最优潮流具有全面规划、统筹考虑等优点,它可将安全运行和最优经济运行等问题进行综合考虑,通过统一的数学模型来描述,从而将电力系统对经济性、安全性以及电能质量等方面的要求统一起来。
最优潮流问题的提出把电力系统的最优运行理论提高到一个新的高度,受到了国内外学者高度重视。
最优潮流已在电力系统中的安全运行、电网规划、经济调度、阻塞管理、可靠性分析以及能量管理系统等方面得到了广泛应用,成为了电力系统网络运行分析和优化中不可或缺的工具。
一、最优潮流问题研究的意义最优潮流可将电力系统可靠性与电能质量量化成相应的经济指标,并最终达到优化资源配置、降低成本、提高服务质量的目的。
因此最优潮流研究具有传统潮流计算无法比拟的意义,主要体现在以下两个方面。
一方面,通过最优潮流计算可指导系统调度员的操作,保证系统在经济、安全、可靠的状态下运行。
具体表现为:第一,当所求问题以目标函数、控制变量和约束条件的形式固定下来后,就一定可以求出唯一最优解,并且该结果不受人为因素的影响。
第二,最优潮流的寻优过程可以自动识别界约束,在解逐渐趋于最优的过程中可得到网络传输瓶颈信息,从而可以指导电网扩容与规划。
电力系统最优潮流计算
u s.t. g (u, x ) 0
式中： 为由拉格朗日乘子所构成的向量。
电力系统最优潮流计算
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L(u, x) f (u, x) T g (u, x)
这样便把原来的有约束最优化问题变成了 一个无约束最优化问题。 采用经典的函数求极值的方法，即将L分 别对变量x、u及求导并令其等于零，从而 得到求极值的一组必要条件为
电力系统最优潮流计算
9
建立在严格的数学基础上的最优潮流模型 首先是由法国的Carpentier于60年代初期 提出的。 40多年来，广大学者对最优潮流问题进行 了大量的研究，这方面的参考文献十分浩 瀚。这些研究工作分为两类：
提出了因为所采用的目标函数以及所包含的约 束条件的不同，因而构成的应用范围不同的最 优潮流模型。 从改善收敛性能、提高计算速度等等目的出发， 提出的最优潮流计算的各种模型和求解算法。
f ( x, u, p) 0
电力系统最优潮流计算
2
一次潮流计算所决定的运行状态可能由于 某些状态变量或者作为u,x 函数的其它变量 在数值上超出了它们所容许的运行限值(即 不满足不等式约束条件)，因而在技术上并 不是可行的。 工程实际上常用的方法是调整某些控制变 量的给定值，重新进行前述的基本潮流计 算，这样反复进行，直到所有的约束条件 都能够得到满足为止。这样便得到了一个 技术上可行的潮流解。
电力系统最优潮流计算
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二、最优潮流的数学模型 最优潮流问题的一般数学模型 (一)最优潮流的变量 在最优潮流的算法中，常将所涉及的变量 分成状态变量(x)及控制变量(u)两类。控 制变量通常由调度人员可以调整、控制的 变量组成；控制变量确定以后，状态变量 也就可以通过潮流计算而确定下来。
基于内点法的最优潮流计算及算例分析
基于内点法的最优潮流计算及算例分析
李春晓;何仁君
【期刊名称】《电气开关》
【年(卷),期】2018(055)001
【摘要】由于电力系统本身的复杂性,电力潮流优化具有规模大,约束条件多和非线性的特点.通过对最优潮流的求解,最终达到优化已有资源、降低发电厂耗量成本、减少电网线路损耗、提高电力系统输电能力等目标,其相比较传统的潮流计算具有良好的经济性.因此,最优潮流是电力系统中及受关注的课题,目前也有很多针对其做出的研究.本文综述了电力系统最优计算的数学模型和优化方法的研究现状.介绍了内点法的理论基石和基本原理,建立了最优潮流的数学模型,并对该模型采用内点法进行求解,最后通过实际算例加以验证.
【总页数】5页(P32-36)
【作者】李春晓;何仁君
【作者单位】广西大学电气工程学院,广西南宁 530004;广西大学电气工程学院,广西南宁 530004
【正文语种】中文
【中图分类】TM71
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现代电力系统分析理论与方法 第7章 电力系统最优潮流
最优潮流计算
在系统的结构参数及负荷情况给定情况下，通过控制变量的优选， 找到能够满足所有给定的约束条件，并使系统的某一技术指标达到 最优（如网损、煤耗）时的潮流分布。
注：u为待选变量 约束条件分为等式约束条件和不等式约束条件。 采用的方法为：非线性规划
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第一节
概述
随着电力系统规模扩大，对计算速度和系统安全性提出了更高要求，这 些经典调度理论已不能满足要求。将电力系统的潮流计算和优化理论结合， 并且计及系统的各种约束条件和电能质量，即形成了经典的优化理论—— 最优潮流(OPF)。OPF已在电力市场很多经济理论中广泛应用。
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第二节
最优潮流的数学模型
考虑电力系统的经济因素，20世纪60年代末出现了一些经济调度理论， 例如最优分配有功负荷分布的等耗量微增率和无功电源最优分布的等网损 微增率。等耗量微增率准则是指系统所有发电机组具有同样的耗量微增率 时，系统运行所需要的费用最小，等网损微增率是指系统所有无功电源配 置具有相同的网损微增率时，系统网损最小。
最优潮 流的目 标函数
全系统火电机组燃料总费用，即 f Ki (PGi ) inG
式中：nG 为全系统所有发电机的集合，Ki (PGi ) 为第i台发 电机的耗量特性，一般用二次多项式表示，PGi 为第i台发电
机的有功出力。
有功网损，即 f (Pij Pji ) (i, j )nl 式中，nl 表示所有支路的集合。 9
可以证明最优潮流包含了等耗量微增率和等网损微增率，是这2个准则 在电力系统中的进一步发展运用（通过对目标函数的比较、约束条件的比 较、物理含义的分析等等）。
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第三节
最优潮流的简化梯度算法
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第三节
基于Filter集合的内点最优潮流新算法
基于Filter集合的内点最优潮流新算法
孙英云;何光宇;梅生伟
【期刊名称】《电工电能新技术》
【年(卷),期】2007(026)002
【摘要】基于Filter集合的内点算法(FIPM),提出了一种最优潮流新算法(FIPOPF),该算法可针对最优潮流问题的实际情况对可行方向进行自适应校正,即在不可行情况下通过求解仅含"硬约束"的优化问题进行可行方向调整,从而可使系统在无可行解时收敛至一个对系统"软约束"违反最小的稳定点.对五个IEEE标准算例和两个实际系统的分析和试算均表明,所提出的算法具有很好的收敛性,运算速度较快,满足在线最优潮流计算的时间要求.
【总页数】6页(P29-33,53)
【作者】孙英云;何光宇;梅生伟
【作者单位】清华大学电机系电力系统国家重点实验室,北京,100084;清华大学电机系电力系统国家重点实验室,北京,100084;清华大学电机系电力系统国家重点实验室,北京,100084
【正文语种】中文
【中图分类】TM744
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最优潮流
线性规划法（linear Programming, LP） 混合规划法 内点算法 人工智能方法
非线性规划法
有约束非线性规划方法的基本思想是利用拉 格朗日乘子法和罚函数法建立增广目标函 数，使有约束非线性规划问题转化为无约束 的非线性规划问题，然后利用不用的数学方 法优化求解。
第一个成功的最优潮流算法是Ｄｏｍｍｅｌ 和Ｔｉｎｎｅｒｙ于１９６８年提出的简化 梯度算法。
μ = lT z − uT w
2r
Gap = lT z − uT w
如果参数 μ 按上式取值时，算法的收敛性较
差，所以建议采用
μ = σ Gap
2r
σ ∈ (0,1) 为中心参数，一般取0.1，在大多数
场合可获得较好的收敛效果。
线性化的方程为
[ ] −
∇
2 x
f
(
x
)
−
∇
2 x
h(
x)
y
−
∇
2 x
⎢⎢∇
T x
h(
x
)
0
常见最优潮流算法分析
［摘 要］最优化理论和算法是一个重要的数学分支，它研究的问题是讨论如何在众多的方案中找出最优方案的方法。这类问题普 遍存在。其中对于电力系统来说，最优潮流就属于这类问题。随着最优化理论的发展，最优潮流的算法层出不穷。本文回顾了近二 十年来最优潮流的逐步发展的过程，较为详细地分析了几种经典的优化方法，同时总结了各种优化方法的优缺点，并对最优潮流的 进一步发展进行了深入的探讨。 ［关键词］最优潮流 线性规划 非线性规划
２．３ 内点法 １９８４ 年，印度数学家 Ｎ．Ｋａｒｍａｒｋａｒ 提出了在线性规划中具有多项 式时间复杂度的算法，即内点法。内点法最初是作为一种线性规划算 法，是为了解决单纯形法计算量随变量规模急剧增加而提出来的。它本 质上是拉格朗日函数、牛顿法和对数障碍函数法三者的结合。内点法的 迭代次数和系统规模无关且始终在可行域内部寻优；并且在可行域边 界设置一道障碍，当迭代靠近边界时函数值陡增，使迭代点始终位于可 行域内部，因此也称之为障碍函数法。 考虑线性问题的一般形式：
内点法最优潮流MATLAB算法
内点法最优潮流MATLAB算法clear;%clc;%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%初始化%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%数据加载n=input('请输入要计算的节点系统(5):')load Node5.txt;%节点数据load Branch5.txt;%支路数据load Generator5.txt;%发电机数据Node=Node5;Branch=Branch5;Generator=Generator5;%节点数据处理N=Node(:,1);%节点号Type=Node(:,2);%节点类型Uamp=Node(:,3);%节点电压幅值Dlta=Node(:,4);%节点电压相角Pd=Node(:,5);%节点负荷有功Qd=Node(:,6);%节点负荷无功Pg=Node(:,7);%节点出力有功Qg=Node(:,8);%节点出力无功Umax=Node(:,9);%节点电压幅值上限 Umin=Node(:,10);%节点电压幅值下限Bc=Node(:,11);%节点补偿电容电纳值 %支路数据处理Nbr=Branch(:,1);%支路号Nl=Branch(:,2);%支路首节点Nr=Branch(:,3);%支路末节点R=Branch(:,4);%支路电阻X=Branch(:,5);%支路电抗Z=R+1i*X;%支路阻抗=支路电阻+支路电抗 Bn=Branch(:,6);%支路对地电纳K=Branch(:,7);%支路变压器变比，0表示无变压器 Ptmax=Branch(:,8);%线路传输功率上限%发电机数据处理Ng=Generator(:,1);%发电机序号Nbus=Generator(:,2);%所在母线号Pumax=Generator(:,3);%发电机有功出力上界 Qumax=Generator(:,4);%发电机无功出力上界 Pumin=Generator(:,5);%发电机有功出力下界Qumin=Generator(:,6);%发电机无功出力下界a2=Generator(:,7);%燃料耗费曲线二次系数a1=Generator(:,8);%燃料耗费曲线一次系数a0=Generator(:,9);%燃料耗费曲线常数项%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%n=length(N);%节点个数ng=length(Ng);%发电机台数nbr=length(Nbr);%支路个数x=zeros(2*(ng+n),1);%控制变量+状态变量x(1:ng)=Pg(Nbus);x(ng+1:2*ng)=Qg(Nbus);x((2*ng+2):2:2*(ng+n))=Uamp; x((2*ng+1):2:2*(ng+n)-1)=Dlta; l=0.8*ones(2*ng+n+nbr,1);%松弛变量u=1.1*ones(2*ng+n+nbr,1);%松弛变量w=-1.5*ones(2*ng+n+nbr,1);%拉格朗日乘子z=ones(2*ng+n+nbr,1);%拉格朗日乘子y=zeros(2*n,1);%拉格朗日乘子y(1:2:2*n-1)=1e-3;y(2:2:2*n)=-1e-3;%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%计算不等式约束的上下限%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%gmingmin=zeros(2*ng+n+nbr,1);gmin(1:ng)=Pumin;gmin(ng+1:2*ng)=Qumin;gmin(2*ng+1:2*ng+n)=Umin;gmin(2*ng+n+1:2*ng+n+nbr)=-Ptmax; %gmaxgmax=zeros(2*ng+n+nbr,1);gmax(1:ng)=Pumax;gmax(ng+1:2*ng)=Qumax;gmax(2*ng+1:2*ng+n)=Umax;gmax(2*ng+n+1:2*ng+n+nbr)=Ptmax;%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%形成导纳矩阵%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%Y=zeros(n,n);%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%计算非对角元素%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% for ii=1:nbr if K(ii)==0%非变压器支路Y(Nl(ii),Nr(ii))=-1/Z(ii);Y(Nr(ii),Nl(ii))=Y(Nl(ii),Nr(ii));else%变压器支路Y(Nl(ii),Nr(ii))=-1/Z(ii)/K(ii);Y(Nr(ii),Nl(ii))= Y(Nl(ii),Nr(ii));endend%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%计算对角元素%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%for ii=1:n%将支路导纳加入到对角元素中for jj=1:nbrif K(jj)==0&&(Nl(jj)==ii||Nr(jj)==ii)%非变压器支路Y(ii,ii)=Y(ii,ii)+1/Z(jj);else if K(jj)~=0&&(Nl(jj)==ii||Nr(jj)==ii)%变压器支路Y(ii,ii)=Y(ii,ii)+1/Z(jj)/K(jj);endendendendfor ii=1:nbr%将对地电纳加入到对角元素中if K(ii)==0%非变压器支路Y(Nl(ii),Nl(ii))=Y(Nl(ii),Nl(ii))+1i*Bn(ii);Y(Nr(ii),Nr(ii))=Y(Nr(ii),Nr(ii))+1i*Bn(ii);else%变压器支路Y(Nr(ii),Nr(ii))=Y(Nr(ii),Nr(ii))+(K(ii)-1)/K(ii)/Z(ii);Y(Nl(ii),Nl(ii))=Y(Nl(ii),Nl(ii))+(1-K(ii))/K(ii)/K(ii)/Z(ii);endendfor ii=1:nY(ii,ii)=Y(ii,ii)+i*Bc(ii);endG=real(Y);%电导B=imag(Y);%电纳%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%k=0;%迭代次数Kmax=150;%最大迭代次数iteration=1e-4;%误差精度delta=0.08;Gap=(l'*z-u'*w)*ones(Kmax,1);%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%主程序%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% while k<50%计算互补间隙GapGap(k+1)=l'*z-u'*w;if Gap>iterationmiu=delta*Gap(k+1)/(2*(2*ng+n+nbr)); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%形成系数矩阵%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%相角差计算%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%theta=zeros(n,n);for ii=1:nfor jj=1:ntheta(ii,jj)=Dlta(ii)-Dlta(jj);endend %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%1、等式约束雅克比矩阵%%%%%%%%%%%%%%%%pxh=zeros(2*(ng+n),2*n); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ah/aP%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%for ii=1:ngpxh(Ng(ii),2*Nbus(ii)-1)=1;end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ah/aQ%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%for ii=1:ngpxh(Ng(ii)+ng,2*Nbus(ii))=1;end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ah/ax%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%HH=zeros(n,n);JJ=zeros(n,n);NN=zeros(n,n);LL=zeros(n,n);for ii=1:nfor jj=1:nif ii~=jj%i!=j时的情况%非对角元素HH(ii,jj)=-Uamp(ii)*Uamp(jj)*(G(ii,jj)*sin(theta(ii,jj))-B(ii,jj)*cos(theta(ii,jj)));JJ(ii,jj)=Uamp(ii)*Uamp(jj)*(G(ii,jj)*cos(theta(ii,jj))+B(ii,jj)*sin (theta(ii,jj)));NN(ii,jj)=-Uamp(ii)*(G(ii,jj)*cos(theta(ii,jj))+B(ii,jj)*sin(theta(ii,jj)));LL(ii,jj)=-Uamp(ii)*(G(ii,jj)*sin(theta(ii,jj))-B(ii,jj)*cos(theta(ii,jj)));%对角元素HH(ii,ii)=HH(ii,ii)+Uamp(ii)*Uamp(jj)*(G(ii,jj)*sin(theta(ii,jj))-B(ii,jj)*cos(theta(ii,jj)));JJ(ii,ii)=JJ(ii,ii)-Uamp(ii)*Uamp(jj)*(G(ii,jj)*cos(theta(ii,jj))+B(ii,jj)*sin(theta(ii,jj)) );NN(ii,ii)=NN(ii,ii)-Uamp(jj)*(G(ii,jj)*cos(theta(ii,jj))+B(ii,jj)*sin(theta(ii,jj)));LL(ii,ii)=LL(ii,ii)-Uamp(jj)*(G(ii,jj)*sin(theta(ii,jj))-B(ii,jj)*cos(theta(ii,jj)));endendNN(ii,ii)=NN(ii,ii)-2*Uamp(ii)*G(ii,ii);LL(ii,ii)=LL(ii,ii)+2*Uamp(ii)*B(ii,ii);endpxh(1+2*ng:2:2*(n+ng)-1,1:2:2*n-1)=HH';pxh(1+2*ng:2:2*(n+ng)-1,2:2:2*n)=JJ';pxh(2+2*ng:2:2*(n+ng),1:2:2*n-1)=NN';pxh(2+2*ng:2:2*(n+ng),2:2:2*n)=LL';%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%2、不等式约束的雅克比矩阵%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %g1:电源有功出力上下限约束ag1aP=eye(ng,ng);ag1aQ=zeros(ng,ng);ag1ax=zeros(2*n,ng);%g2:电源无功出力上下限约束ag2aP=zeros(ng,ng);ag2aQ=eye(ng,ng);ag2ax=zeros(2*n,ng);%g3:节点电压幅值上下限约束ag3aP=zeros(ng,n);ag3aQ=zeros(ng,n);ag3ax=zeros(2*n,n);for ii=1:nag3ax(2*ii,ii)=1;end%g4:线路潮流上下限约束ag4aP=zeros(ng,nbr);ag4aQ=zeros(ng,nbr);ag4ax=zeros(2*n,nbr);for ii=1:nfor jj=1:nbrif Nl(jj)==iiag4ax(2*ii-1,jj)=-Uamp(Nl(jj))*Uamp(Nr(jj))*(G(Nl(jj),Nr(jj))*sin(theta(Nl(jj),N r(jj)))-B(Nl(jj),Nr(jj))*cos(theta(Nl(jj),Nr(jj))));ag4ax(2*ii,jj)=Uamp(Nr(jj))*(G(Nl(jj),Nr(jj))*cos(theta(Nl(jj),Nr(jj )))+B(Nl(jj),Nr(jj))*sin(theta(Nl(jj),Nr(jj))))-2*Uamp(Nl(jj))*G(Nl(jj),Nr(jj));endif Nr(jj)==iiag4ax(2*ii-1,jj)=Uamp(Nl(jj))*Uamp(Nr(jj))*(G(Nl(jj),Nr(jj))*sin(theta(Nl(jj),Nr (jj)))-B(Nl(jj),Nr(jj))*cos(theta(Nl(jj),Nr(jj))));ag4ax(2*ii,jj)=Uamp(Nl(jj))*(G(Nl(jj),Nr(jj))*cos(theta(Nl(jj),Nr(jj )))+B(Nl(jj),Nr(jj))*sin(theta(Nl(jj),Nr(jj))));endendendpxg=[ag1aP ag2aP ag3aP ag4aP;ag1aQ ag2aQ ag3aQ ag4aQ;ag1ax ag2ax ag3ax ag4ax];%此即为不等式约束的雅克比矩阵%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%3、对角矩阵%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% L_1Z=zeros(2*ng+n+nbr,2*ng+n+nbr);U_1W=zeros(2*ng+n+nbr,2*ng+n+nbr);for ii=1:2*ng+n+nbrL_1Z(ii,ii)=z(ii)/l(ii);U_1W(ii,ii)=w(ii)/u(ii);end%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%海森伯矩阵%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %将海森伯矩阵分为4块:H1,H2,H3,H4%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%H1%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%A2=diag(a2);H1=zeros(2*(ng+n),2*(ng+n));H1(1:ng,1:ng)=2*A2;%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%H2%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%H2=zeros(2*(ng+n),2*(ng+n));A=zeros(2*n,2*n);Apb=zeros(2*n,2*n,n);Aqb=zeros(2*n,2*n,n);for ii=1:nfor jj=1:n %元素位置为:1 2if ii~=jj % 3 4%对角线上与ii对应的元素%ApApb(2*ii-1,2*ii-1,ii)=Apb(2*ii-1,2*ii-1,ii)+Uamp(ii)*Uamp(jj)*(G(ii,jj)*cos(theta(ii,jj))+B(ii,jj)*sin(theta(i i,jj)));%对角线处1号元素Apb(2*ii-1,2*ii,ii)=Apb(2*ii-1,2*ii,ii)+Uamp(jj)*(G(ii,jj)*sin(theta(ii,jj))-B(ii,jj)*cos(theta(ii,jj)));%对角线处2号元素%%3号元素与之相等%AqAqb(2*ii-1,2*ii-1,ii)=Aqb(2*ii-1,2*ii-1,ii)+Uamp(ii)*Uamp(jj)*(G(ii,jj)*sin(theta(ii,jj))-B(ii,jj)*cos(theta(ii,jj)));%对角线处1号元素Aqb(2*ii-1,2*ii,ii)=Aqb(2*ii-1,2*ii,ii)-Uamp(jj)*(G(ii,jj)*cos(theta(ii,jj))+B(ii,jj)*sin(theta(ii,jj)));%对角线处2号元素%%3号元素与之相等%对角线上与jj对应的元素%ApApb(2*jj-1,2*jj-1,ii)=Uamp(ii)*Uamp(jj)*(G(ii,jj)*cos(theta(ii,jj))+B(ii,jj)*sin(theta(i i,jj)));%对角线处1号元素Apb(2*jj-1,2*jj,ii)=-Uamp(ii)*(G(ii,jj)*sin(theta(ii,jj))-B(ii,jj)*cos(theta(ii,jj))); %对角线处2号元素Apb(2*jj,2*jj-1,ii)=Apb(2*jj-1,2*jj,ii);%3号元素与2号元素相等%AqAqb(2*jj-1,2*jj-1,ii)=Uamp(ii)*Uamp(jj)*(G(ii,jj)*sin(theta(ii,jj))-B(ii,jj)*cos(theta(ii,jj)));%对角线处1号元素Aqb(2*jj-1,2*jj,ii)=Uamp(ii)*(G(ii,jj)*cos(theta(ii,jj))+B(ii,jj)*sin(theta(ii,jj ))); %对角线处2号元素Aqb(2*jj,2*jj-1,ii)=Aqb(2*jj-1,2*jj,ii);%3号元素与2号元素相等%4号元素为0%非对角线行元素%ApApb(2*ii-1,2*jj-1,ii)=-Uamp(ii)*Uamp(jj)*(G(ii,jj)*cos(theta(ii,jj))+B(ii,jj)*sin(theta(ii,jj)) );%非对角线行处1号元素Apb(2*ii-1,2*jj,ii)=Uamp(ii)*(G(ii,jj)*sin(theta(ii,jj))-B(ii,jj)*cos(theta(ii,jj)));%非对角线行处2号元素Apb(2*ii,2*jj-1,ii)=-Uamp(jj)*(G(ii,jj)*sin(theta(ii,jj))-B(ii,jj)*cos(theta(ii,jj)));%非对角线行处3号元素Apb(2*ii,2*jj,ii)=-(G(ii,jj)*cos(theta(ii,jj))+B(ii,jj)*sin(theta(ii,jj)));%非对角线行处4号元素%AqAqb(2*ii-1,2*jj-1,ii)=-Uamp(ii)*Uamp(jj)*(G(ii,jj)*sin(theta(ii,jj))-B(ii,jj)*cos(theta(ii,jj)));%非对角线行处1号元素Aqb(2*ii-1,2*jj,ii)=-Uamp(ii)*(G(ii,jj)*cos(theta(ii,jj))+B(ii,jj)*sin(theta(ii,jj)));%非对角线行处2号元素Aqb(2*ii,2*jj-1,ii)=Uamp(jj)*(G(ii,jj)*cos(theta(ii,jj))+B(ii,jj)*sin(theta(ii,jj)));%非对角线行处3号元素Aqb(2*ii,2*jj,ii)=-(G(ii,jj)*sin(theta(ii,jj))-B(ii,jj)*cos(theta(ii,jj)));%非对角线行处4号元素%非对角线列元素%ApApb(2*jj-1,2*ii-1,ii)=Apb(2*ii-1,2*jj-1,ii);%非对角线列处1号元素Apb(2*jj-1,2*ii,ii)=Apb(2*ii,2*jj-1,ii);%非对角线列处2号元素Apb(2*jj,2*ii-1,ii)=Apb(2*ii-1,2*jj,ii);%非对角线列处3号元素Apb(2*jj,2*ii,ii)=Apb(2*ii,2*jj,ii);%%非对角线列处4号元素%AqAqb(2*jj-1,2*ii-1,ii)=Aqb(2*ii-1,2*jj-1,ii);%非对角线列处1号元素Aqb(2*jj-1,2*ii,ii)=Aqb(2*ii,2*jj-1,ii);%非对角线列处2号元素Aqb(2*jj,2*ii-1,ii)=Aqb(2*ii-1,2*jj,ii);%非对角线列处3号元素Aqb(2*jj,2*ii,ii)=Aqb(2*ii,2*jj,ii);%%非对角线列处4号元素endend%对角线上与ii对应的元素%ApApb(2*ii,2*ii-1,ii)=Apb(2*ii-1,2*ii,ii);%对角线处3号元素与2号元素相等Apb(2*ii,2*ii,ii)=-2*G(ii,ii);%对角线处4号元素%AqAqb(2*ii,2*ii-1,ii)=Aqb(2*ii-1,2*ii,ii);%对角线处3号元素与2号元素相等Aqb(2*ii,2*ii,ii)=2*B(ii,ii);%对角线处4号元素endfor ii=1:nA=A+Apb(:,:,ii)*y(2*ii-1)+Aqb(:,:,ii)*y(2*ii);endH2(2*ng+1:2*(ng+n),2*ng+1:2*(ng+n))=A;%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%H3%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%H3=zeros(2*(ng+n),2*(ng+n));A3=zeros(2*n,2*n);Apc=zeros(2*n,2*n,nbr);for ii=1:nbr%对角线上iiApc(2*Nl(ii)-1,2*Nl(ii)-1,ii)=-Uamp(Nl(ii))*Uamp(Nr(ii))*(G(Nl(ii),Nr(ii))*cos(theta(Nl(ii),Nr(ii)))+B( Nl(ii),Nr(ii))*sin(theta(Nl(ii),Nr(ii))));Apc(2*Nl(ii)-1,2*Nl(ii),ii)=-Uamp(Nr(ii))*(G(Nl(ii),Nr(ii))*sin(theta(Nl(ii),Nr(ii)))-B(Nl(ii),Nr(ii))*cos(theta(Nl(ii),Nr(ii))));Apc(2*Nl(ii),2*Nl(ii)-1,ii)=Apc(2*Nl(ii)-1,2*Nl(ii),ii);Apc(2*Nl(ii),2*Nl(ii),ii)=-2*G(Nl(ii),Nr(ii));%对角线上jjApc(2*Nr(ii)-1,2*Nr(ii)-1,ii)=-Uamp(Nl(ii))*Uamp(Nr(ii))*(G(Nl(ii),Nr(ii))*cos(theta(Nl(ii),Nr(ii)))+B( Nl(ii),Nr(ii))*sin(theta(Nl(ii),Nr(ii))));Apc(2*Nr(ii)-1,2*Nr(ii),ii)=Uamp(Nl(ii))*(G(Nl(ii),Nr(ii))*sin(theta(Nl(ii),Nr(ii)))-B(Nl(ii),Nr(ii))*cos(theta(Nl(ii),Nr(ii))));Apc(2*Nr(ii),2*Nr(ii)-1,ii)=Apc(2*Nr(ii)-1,2*Nr(ii),ii);Apc(2*Nr(ii),2*Nr(ii),ii)=0;%非对角线ijApc(2*Nl(ii)-1,2*Nr(ii)-1,ii)=Uamp(Nl(ii))*Uamp(Nr(ii))*(G(Nl(ii),Nr(ii))*cos(theta(Nl(ii),Nr(ii )))+B(Nl(ii),Nr(ii))*sin(theta(Nl(ii),Nr(ii))));Apc(2*Nl(ii)-1,2*Nr(ii),ii)=-Uamp(Nl(ii))*(G(Nl(ii),Nr(ii))*sin(theta(Nl(ii),Nr(ii)))-B(Nl(ii),Nr(ii))*cos(theta(Nl(ii),Nr(ii))));Apc(2*Nl(ii),2*Nr(ii)-1,ii)=Uamp(Nr(ii))*(G(Nl(ii),Nr(ii))*sin(theta(Nl(ii),Nr(ii)))-B(Nl(ii),Nr(ii))*cos(theta(Nl(ii),Nr(ii))));Apc(2*Nl(ii),2*Nr(ii),ii)=G(Nl(ii),Nr(ii))*cos(theta(Nl(ii),Nr(ii))) +B(Nl(ii),Nr(ii))*sin(theta(Nl(ii),Nr(ii)));%非对角线jiApc(2*Nr(ii)-1,2*Nl(ii)-1,ii)=Apc(2*Nl(ii)-1,2*Nr(ii)-1,ii);Apc(2*Nr(ii)-1,2*Nl(ii),ii)=Apc(2*Nl(ii),2*Nr(ii)-1,ii);Apc(2*Nr(ii),2*Nl(ii)-1,ii)=Apc(2*Nl(ii)-1,2*Nr(ii),ii);Apc(2*Nr(ii),2*Nl(ii),ii)=Apc(2*Nl(ii),2*Nr(ii),ii);%求和c=z+w;A3=A3+Apc(:,:,ii)*c(2*ng+n+ii);endH3(2*ng+1:2*(ng+n),2*ng+1:2*(ng+n))=A3;%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%H4%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%H4=pxg*(L_1Z-U_1W)*pxg';%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%H=-H1+H2+H3-H4;%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%形成常数项%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %Lyh=zeros(2*n,1);for ii=1:nh(2*ii-1)=Pg(ii)-Pd(ii);h(2*ii)=Qg(ii)-Qd(ii);for jj=1:nh(2*ii-1)=h(2*ii-1)-Uamp(ii)*Uamp(jj)*(G(ii,jj)*cos(theta(ii,jj))+B(ii,jj)*sin(t heta(ii,jj)));h(2*ii)=h(2*ii)-Uamp(ii)*Uamp(jj)*(G(ii,jj)*sin(theta(ii,jj))-B(ii,jj)*cos(theta(ii,jj)));endendLy=h;%Lz%g(x)gx=zeros(2*ng+n+nbr,1);gx(1:ng)=x(1:ng);gx(ng+1:2*ng)=x(ng+1:2*ng);gx(2*ng+1:2*ng+n)=x(2*ng+2:2:2*(ng+n));for ii=1:nbrgx(2*ng+n+ii)=Uamp(Nl(ii))*Uamp(Nr(ii))*(G(Nl(ii),Nr(ii))*cos(theta( Nl(ii),Nr(ii)))+B(Nl(ii),Nr(ii))*sin(theta(Nl(ii),Nr(ii))))-Uamp(Nl(ii))*Uamp(Nl(ii))*G(Nl(ii),Nr(ii));endLz=gx-l-gmin;%LwLw=gx+u-gmax;%Lle=ones(2*ng+n+nbr,1);LZ=zeros(2*ng+n+nbr,2*ng+n+nbr);for ii=1:2*ng+n+nbr;LZ(ii,ii)=l(ii)*z(ii);endLl=LZ*e-miu*e;%LuUW=zeros(2*ng+n+nbr,2*ng+n+nbr);for ii=1:2*ng+n+nbrUW(ii,ii)=u(ii)*w(ii);endLu=UW*e+miu*e;%Lx'Lx1=zeros(2*(ng+n),1);Lx1(1:ng)=2*a2.*x(1:ng)+a1;Lx2=pxh*y;Lx3=pxg*c;Lx41=zeros(2*(ng+n),1);Lx42=zeros(2*(ng+n),1);for ii=1:2*ng+n+nbrLx41(ii)=(Ll(ii)+z(ii)*Lz(ii))/l(ii);Lx42(ii)=(Lu(ii)-w(ii)*Lw(ii))/u(ii);endLx4=pxg*(Lx41+Lx42);Lx=Lx1-Lx2-Lx3;Lxx=Lx+Lx4; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%求出修正量%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %dx,dyHxy=[H pxh;pxh' zeros(2*n,2*n)];LxLy=[Lxx;-Ly];I=eye(2*(ng+n)+2*n);dxdy=I/Hxy*LxLy;dx=dxdy(1:2*(ng+n));dy=dxdy(2*(ng+n)+1:2*(ng+n)+2*n);%dldl=pxg'*dx+Lz;%dudu=-pxg'*dx-Lw;%dzdz=zeros(2*ng+n+nbr,1);for ii=1:2*ng+n+nbrdz(ii)=(-Ll(ii)-z(ii)*dl(ii))/l(ii);end%dwdw=zeros(2*ng+n+nbr,1);for ii=1:2*ng+n+nbrdw(ii)=(-Lu(ii)-w(ii)*du(ii))/u(ii);end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%计算alfap和alfad%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% alfap=1;alfad=1;for ii=1:2*ng+n+nbrif dl(ii)<0&&-l(ii)/dl(ii)<alfapalfap=-l(ii)/dl(ii);endif du(ii)<0&&-u(ii)/du(ii)<alfapalfap=-u(ii)/du(ii);endif dz(ii)<0&&-z(ii)/dz(ii)<alfadalfad=-z(ii)/dz(ii);endif dw(ii)>0&&-w(ii)/dw(ii)<alfadalfad=-w(ii)/dw(ii);endendalfap=0.9995*alfap;alfad=0.9995*alfad;x=x+alfap*dx;l=l+alfap*dl;u=u+alfap*du;y=y+alfad*dy;z=z+alfad*dz;w=w+alfad*dw;%迭代功率、电压幅值和相角for ii=1:ngPg(Nbus(ii))=x(ii);Qg(Nbus(ii))=x(ng+ii);endfor ii=1:nUamp(ii)=x(2*(ng+ii));Dlta(ii)=x(2*(ng+ii)-1);end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% k=k+1;elsebreak;endendfcost=0;for ii=1:ngfcost=fcost+a2(ii)*Pg(Nbus(ii))*Pg(Nbus(ii))+a1(ii)*Pg(Nbus(ii))+a0( ii);endfcostkplot(0:k,Gap(1:k+1),':*');PgQgUampfor ii=1:nif Type(ii)==3Dlta=Dlta-Dlta(ii)*ones(n,1);endendDlta。
最优潮流现代内点算法
n
j 1 n
i 1,..., n
P Gi PGi P Gi
Q
Ri
i SG
QRi Q Ri
2
i SR i SB
i j
i ST
2 Vi (ei2 f i2 ) V i
P ij Pij P ij
T i Ti T i
二、最优潮流计算方法现状
• 形成拉格朗日函数：
~u L f ( x) y T h( x) z T [ g ( x) l g ] wT [ g ( x) u g ] ~ zl w
三、现代内点Biblioteka 法• 导出KKT一阶最优性条件：
L x0 x f ( x) x h( x) y x g ( x)( z w) 0
五、仿真结果
算法性能
Ô Å ¶ ¼ ¼ ä Ï ¶ 1.E+3 1.E+2 1.E+1 1.E+0 1.E-1 1.E-2 1.E-3 1.E-4 1.E-5 1.E-6 1 6 11 16 21 ü ´ µ ú ´ Î Ê ý
Â Õ ú ó ¡ Ê Ï è
六、结论
a.
采用节点电压直角坐标模型，使其Hessian矩阵元素为常数， 不需每次迭代形成，方便编程的同时，加快计算速度； 新颖的数据结构定义了一个 4 4 的块矩阵，使待分解的系数 矩阵某部分具有与节点导纳矩阵相同的稀疏结构，方便使用稀 疏编程技巧，减少算法的计算时间； 新颖的数据结构减少注入元的产生，大大节约计算机内存，提 高算法的计算速度； 现代内点算法的超线性收敛性保证了算法的速度，其多项式时 间特性使算法具有良好的鲁棒性，更适合于大型电力系统的应 用。
基于Filter集合的内点最优潮流新算法
代点 的修 正 。和传 统 内点 法 相 比， 该算 法在 迭 代 过
程中 即可判断 出不 可 行 问题 ， 且 在 优 化问 题 约 束 而
收 稿 日期 ： ０ ６０ —９ ２ ０ ．９２
基 金 项 目 ：国家 自然 科 学 基 金 资 助 项 目 （０ ２７ １ ５５５ １） ５５ ５２ ， ０ ９４ １
列 重 要 成 果 一 但 需 要 指 出 的 是 ， 于 系 统 规 模 ～。 由
２ Ｆ Ｐ 简 介 ＩＭ
考察 一类带 有等式 和不等式 约束 的非 线性 优化
问 题 ｍｉ（ （ ） ｎ 厂 ）
ｓｔ ． ．ｇ（ ） ＝ ０ （） １
的不 断扩大 和 电力系统 运行 时 对 电压等约 束条 件 的 严格 限制等原 因 ， 现有 的非 线 性 最 优 潮 流技 术 在 电 力 系统 中在线 应 用仍 有 两 个 问 题需 要 解 决 ： 一 是 其
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第２ ６卷 第 ２期
２０ ０ ７年 ４月
电 工 电 能 新 技 术
Ａｄ ａ ｃ ｄ Ｔ ｃ ｎ ｌｇ ｆＥ ｅ ｔ ｃ ｌＥ ｇｎ ｅ ｎ ｎ ｅｇ ｖ ｎ ｅ ｅ ｈ ｏｏ ｙ ｏ ｌｃｒ ａ ｎ ｉ ｅ ｒ ｇ ａ ｄ Ｅｎ ｒｙ ｉ ｉ
１ 引 言
随 着 电 力 系 统 规 模 的 不 断 扩 大 和 电力 市 场 改 革
基于内点法的最优潮流计算
点法是一种能在可liMSfl寻优的方法，即从初始点岀发，沿着中心胳径方向在可行域部直接走向最优解的方法。
其中路径跟踪法是目前最具有发展潜力的一类点算法，该方法鲁棒性强，对初值的选择不敏感，在目前电力系貌优化间题中得到了广泛的应用。
本文采用路径眼踪法进行最优求解，首先介绍了路径跟踪法的基本模型，并冃结合具It算例，用编写的Matlab程序进行仿真分析，StilT 该方法在最优潮流it算中的优越性能。
关最优潮流、自法、路径跟踪法、仿真目次0、引言11、路径跟踪法的基本数学模型22、路径跟踪法的最优潮流求解思路43、具体算例员程序实观流程73.1、算例描述73.2、程序具体实现流程94、运行结果及分析134. 1运行结果134. 2 结果ftflf 185、结论196、编程中遇到的间题20参考文献21附录210、引言电力系统最优潮流，简称OPF ( Optimal Power Flow )o OPF间题是一个夏杂的非线性规则间题，要求满足待定的电力系筑运行和安全约東条件下，通il调整系貌中可利用腔制手段实现预定目标最优的系貌隐定运行状态。
针湘不同的应用，OPF模塑课以选择不同的控制变量、状态变量集合，不同的目标函数，以员不同的约東条件，其数学模里可描述为确定一组最优控制变量u,以使目标函数取板小值,并冃满足如下等式和不等式。
(min u f(x t u)r-v S. t. \(x, u) = 0I 9(u u)生0 ( 0-1 )其中为优化的目标函数,可以表示系筑运行成本最小、或者系统运行网损最小°S・t・l(x,ii) = °为等贰约東，表示满足系统息定运行的助率平ftlo 为不等式约東，表示电源有功岀力的上下界约束、节点电压上下线约東、线路传输助率上下线约東等等。
电力系貌最优潮流算法大致可以分为两类：经典算法和智能算法。
其中经典算法主要是指以简化怫度法、牛顿法、自法和解耦法为代表的基干线性规则和非线性规解耦原则的算法，是研究最多的最优潮流算法，这类算法的特点是以一阶或二阶悌度作为寻找最优解的主要信息。
基于内点法最优潮流计算
-1.8264e-001
-7.6535e-002 -1.0597e-002 -2.4603e-004 1.3371e-004
1.9823e-001
7.7332e-002 7.0828e-003 2.6483e-005 -2.0941e-004
-2.0804e-002
-5.7025e-002 -6.3607e-002 4.5453e-003 1.3308e-002
基于内点法最优潮流计算
1
主要内容
课题研究的意义和现状 最优潮流的原对偶内点算法 最优潮流的预测校正内点算法
1、 2、 3、 4、
结论
2
一、课题研究的意义和现状
概念：
最优潮流问题（OPF）就是在系统结构参数及负荷 给定的情况下，通过优选控制变量，确定能满足所 有的指定约束条件，并使系统的某个性能指标达到 最优时的潮流分布。
0.032+0.161j
j0.25
j0.25 0.1+0.35j
1
3.7+1.3j
1.25+0.5j 0.088j 0.01+0.085j
1.6+0.8j
5节点系统结构图
9节点系统结构图
9
5节点算例求解过程
1、模型
10
5节点算例求解过程
11
5节点算例求解过程
2、形成系数矩阵
12
5节点算例求解过程
迭代次 数 ap ad
9
10
11
12
13
14
15
16
Байду номын сангаас
0.0011 0.9995
0.0048 0.0091
0.3227 0.0002
3.2 电力系统最优潮流解析
2.最优潮流模型
(5)各节点电压幅值上下限约束； (6)各支路通过的最大功率约束； (7)线路两端节点电压相角差约束等。
• 从数学观点来看，(6)为变量函数约束，若在数学模型中 节点电压则采用直角坐标形式，(5)也属于变量函数约束， 其余都属于简单变量约束； • 从约束的物理特性而言，(1)-(4)称为控制变量约束(硬约 束)，(5)-(7)称为状态变量约束(软约束)。 • 可以将上述的不等式约束条件统一表示为
内点法有三种:投影尺度法、仿射变换法、路径跟踪法。
该方法收敛迅速,鲁棒性强, 对初值的选择不敏感,是目 前研究最多的内点算法。
3.最优潮流的算法
6.人工智能方法
近几年随着计算机和人工智能等技术的发展，不断有新的方 法出现，模拟进化规划方法、模糊集理论、模拟退火算法等 人工智能方法先后用于电力系统最优潮流问题。
h(u, x) 0
2.最优潮流模型
• 最优潮流最常用的目标函数：
1.系统运行成本最小 该目标函数一般表示为火电组燃料费用最小，其中机组成本耗费曲 线是模型的关键问题。通常机组燃料费用函数常用其有功出力的多项式 表示，最高阶一般不大于3。 2.有功传输损耗最小 无功优化潮流通常是以有功损耗最小为目标函数，它在减少系统有 功损耗的同时，还能改善电压质量。
控制变量：是可以控制的自变量，通常包括： （1）各火电（核电）机组有功出力、各发电机／同步补偿机无功出 力（或机端电压）； （2）移相器抽头位置、可调变压器抽头位置、并联电抗器／电容器 容量； （3）在某些紧急情况下，水电机组快速启动，某些负荷的卸载也可 以作为控制的手段。 状态变量：是控制变量的因变量，通常包括各节点电压和各支路功 率等。
2.最优潮流模型
• 最优潮流问题在数学上可以描述为：在网络结构和参数以及系统负荷 给定的条件下，确定系统的控制变量，满足各种等式、不等式约束， 使得描述系统运行效益的某个给定目标函数取极值。
内点法——精选推荐
内点法内点法在求解⾮线性问题中的应⽤1、内点法求解线性规划问题本科时学过运筹学，线性规划是运筹学中的⼀个重要分⽀，研究较早，发展较快，应⽤⼴泛，⽅法也⽐较成熟。
单纯形法是求解线性规划问题的通⽤⽅法，我认为⽤单纯形法在求解线性规划问题时是很有效的。
单纯形法的基本思想是在顶点上找到最优解：先找出⼀个基本可⾏解，即可⾏域的⼀个极点，判断是否是最优解，若是，则问题就得到解决；否则，则要设法寻找另⼀个极点，使新的极点的⽬标值优于前⼀个极点。
因为基本可⾏解的个数有限，所以经过有限次迭代，⼀定可以得到问题的最优解。
如果问题⽆最优解也可以⽤这种⽅法判别。
⽤单纯形法求解线性规划问题所需的迭代次数主要取决于约束条件的个数。
⽤单纯形法求解线性规划问题可能会出现极端情况，就是对于具有n 个变量的问题，要最多寻找12-n 次才可获得最优解。
当变量太多时，12-n 呈现指数型，数值太⼤，此时⽤单纯形法求解线性规划问题计算时间太长，计算量太⼤。
现在⼀般的线性规划问题都是应⽤单纯形法标准软件在计算机上求解，很⽅便也很实⽤。
但是单纯形法不是很经济的算法，于是就有数学家提出了改进的单纯形法。
为了改进单纯形法每次迭代中积累起来的进位误差，美国数学家G.B.丹齐克提出改进单纯形法。
改进单纯形法的基本步骤和单纯形法⼤致相同，主要区别是在逐次迭代中不再以⾼斯消去法为基础，⽽是由旧基阵的逆去直接计算新基阵的逆，再由此确定检验数。
这样做不但可以减少迭代中的累积误差，提⾼计算精度，⽽且还减少了在计算机上的存储量。
单纯形法是从原始问题的⼀个可⾏解通过迭代转到另⼀个可⾏解，检验它的判别数是否全部⾮负。
如果所有的判别数⾮负，基可⾏解就是最优解。
如果存在负判别数，则迭代到另⼀个基可⾏解。
单纯形法迭代过程中始终保持基解的可⾏性，但不能保证对偶规划解的可⾏性。
⽽对偶单纯形法则是从满⾜对偶可⾏性条件出发，通过迭代逐步搜索原始问题的最优解。
在迭代过程中始终保持基解的对偶可⾏性，⽽使不可⾏性逐步消失。
一种改进的最优潮流算法研究
关
键
词： 最优潮流； 逐线性规划； 信赖域内点法； 改进
中图分类号：Ｐ ０．； ４ Ｔ １ Ｔ ７ ３ ６ Ｍ４
文献标识码 ： Ａ
文章编号： ０－ ４ （ ０）１ ０９ ４ １ ６ １ ２ ６０－ ２－ ０ ７０ ０ ０ ０
Ａ ｔ ｄ ｎ ａ ｍｐ ｏ ｅ ｇ ｒｔ ｍ ｏ ｔ ａ ｗｅ ｌｗ Ｓ ｕ ｙ ｏ ｎ Ｉ ｒ ｖ ｄ Ａｌｏ ｉ ｈ ｆｒＯｐ ｉ ｌＰｏ ｒＦ ｏ ｍ
ｃｍ ｕ ｔｎＰｏｌ ｆ ｐｍ ｏ ｅ Ｆ ｗ ｗ ｏｅｏ ｅｔｅｆ ｃｏ ｅ ｅｅ ｌ ｅｅ ｔｎｃｓ， ｏ ｐｔ ｉ ． ｒ ｅ ｏ Ｏ ｔ ａ Ｐｗ ｒ ｌ ，ｈｓ ｂ ｃｖ ｎｔ ｎｉ ｔ ｎｒ ｎｒ ｏ ｏ ｉ ａｏ ｂ ｍ ｉｌ ｏ ｊ ｉ ｕ ｉ ｓ ｇ ａｇ ａ ｈ ｉ ｔｓ
ｅ ｏｖ ｄ ｂ ｅ ｔ ｄ Ｎ ｍｅ ａ ｓｍｕａ ｏ ｎＩ Ｅ ４ ｒｓｌｅ ｙｔｅｎ ｗ ｍｅ ｏ ． ｕ ｒｃ ｉ ｌｔ ｎ ｏ Ｅ Ｅ１ —３ ０ ｔｓ ｙ ｔｍｓｓ ｏ ａ ｅｐｏ ｏｅ ｈ ｈ ｉｌ ｉ ０ ｅｔｓｓｅ ｈ ｗｓｔ ｔ ｒｐ ｓｄ ｈ ｔ ｈ ｍｅ ｏ ｓｐ ｏ ｅ ｄ ｅｆ ｉｎ ． ｈ ｔ ｄ ｉ ｒｐ ｒａ ｆｃｅ ｔ ｎ ｉ
Ｃ ＨＥＮ Ｊ ，Ｗ Ｅ ａ。Ｇａ ｎｑａ ｇ ｉ ＩＨｕ ｏＸｉ—ｉｎ
Hale Waihona Puke （ ．ｃｏｌ ｆ ｌｃｒ ａ Ｅ ｇ ｅｒ ｇ Ｇ 蚰 Ｕｖｍｉ ， ａｎｎ ５ ００ Ｃ ｉａ２ Ｈ ａ ｎＰ ｗ ｒ ｕ ｐｙＣ ｍｐｎ ， ｕ ｉ ２ ０２，ｈｎ ） １ Ｓｈｏ Ｅｅｔｃｌ ｎｉ ｅｉ ， ｕ ｏ ｉ ｎ ｎ ｉｅ ｔ Ｎ ｎ ｉｇ ３０ ４，ｈｎ ；． ｕｉ ｏ ｅ ｐ ｌ ｏ ａ ｇ Ｈ ａａ ２ ３０ Ｃ ｉａ ｙ ａ ｓ ｎ
2.PSAT潮流计算及最优潮流
在每次迭代中雅可比矩阵都要 变化并用线性方法解决，经过 反复迭代，如果变量的增量Δx 和Δy低于给定的允许值或迭代 次数大于给定的上限，程序会 停止运行。
在psat的设置界面中，可以指定 潮流的求解方法。
快速解耦法： 潮流计算的雅克比矩阵分解成以下四个子矩阵：
J LFV
J P J Q
计算结果：
内点法收敛过程
从结果上看，最优潮流实现了机组功率的最优分配，是计及潮流方程和约束， 以经济性为目标的优化潮流，在电力系统经济性计算中广泛使用。
搭好的model文件
PSAT可以接受纯文本作为数
据文件，但是文本文件的列 有其代表的含义，一定按照
规范要求编写，左侧数据文
件是通过load模型后自动生 成，可以看到，数据中包含 了模型中的全部信息。
.m格式的模型数据
PSAT计算最优潮流（OPF） 在PSAT中，可以选取三个不同的目标函数 1、社会效益的最大化 2、最大安全裕度 3、多目标优化法
PSAT进行潮流计算和最优潮流
潮流计算：指在给定电力系统网络拓扑、元件参数和发电、负荷参 量条件下，计算有功功率、无功功率及电压在电力网中的分布。 潮流问题可以用以下非线性等式简单表述：
0 f ( x, y ) x 0 g ( x, y )
其中x为状态变量，y为代数变量 G是每个节点的有功和无功平衡等式，f是微分方程。 潮流计算是根据给定的电网结构、参数和发电机、负荷等元件的运 行条件，确定电力系统各部分稳态运行状态参数的计算。通常给定 的运行条件有系统中各电源和负荷点的功率、枢纽点电压、平衡点 的电压和相位角。待求的运行状态参量包括电网各母线节点的电压 幅值和相角，以及各支路的功率分布、网络的功率损耗等。
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Lz0 g(x) l g 0 Lw0 g(x) u g 0
Ll LZe 0
Lu UWe 0
扰动互补条件：
LLul
LZe e 0 UWe e 0
三、现代内点算法
• 用牛顿法导出扰动KKT条件的修正方程为：
H xh(x) x g(x) x g(x) 0
四、应用技巧
一种新颖的数据结构
特点： a. 对问题的原始变量的顺序作一种特定的安排；
b. 定义一个的 4 4 块矩阵，最终使待分解的修正方程系数矩 阵某部分与节点导纳矩阵具有相同形式。
如果以h表示H`中的与节点导纳矩阵有相似结构的元素，用j 表示 xh 中的元素，则块矩阵的排列形式如下：
三、现代内点算法
min . f (x)
s.t. h(, x) 0
g gx g 基于扰动Karush Kuhn Tucker(KKT)条件的现代内点 算法由以下4个步骤组成： • 用松弛变量将不等式约束化为等式约束：g(x) u g ，g(x) l g 。
• 形成拉格朗日函数：
1.E-3
1.E-4
1.E-5
迭代次数
1.E-6 1
6
11
16
21
六、结论
a. 采用节点电压直角坐标模型，使其Hessian矩阵元素为常数， 不需每次迭代形成，方便编程的同时，加快计算速度；
b. 新颖的数据结构定义了一个4 4 的块矩阵，使待分解的系数
矩阵某部分具有与节点导纳矩阵相同的稀疏结构，方便使用稀 疏编程技巧，减少算法的计算时间； c. 新颖的数据结构减少注入元的产生，大大节约计算机内存，提 高算法的计算速度； d. 现代内点算法的超线性收敛性保证了算法的速度，其多项式时 间特性使算法具有良好的鲁棒性，更适合于大型电力系统的应 用。
优点及缺点
优点： 具有二次收敛性 缺点： 1. 对不等式约束处理困难
2. 初始点必须在最优点附近才能保证算法的收敛性
三、现代内点算法
发展
1. 1949年Dantzig提出求解线性规划问题的单纯形法； 2. 1979年由Khachian提出第一个多项式时间算法——椭球法； 3. 1984年由Kmarmarkar提出了求解线性规划问题的新算法—— 现代内点算法。 4.1985年Gill证明了古典障碍函数法与 Kmarmarkar内点算法之间 存在着等价联系，从而将现代内点算法应用到非线性规划问题的 求解中。
hh j j hh j j j j00 j j00
00 j j 00 j j j jhh j jhh
四、应用技巧
优点： a. 可充分利用稀疏编程技巧； b. 在系数矩阵分解时产生较少的注入元素 。
缺点： 同时满足：1. 该节点是PQ或PV节点；2. 该节点与编号比它
前的节点间没有支路相连。解方程时，系数矩阵的分解会出现病 态。
uk1 uk pu yk1 yk d y zlk1 zk d z wk1 wk d w
四、应用技巧
节点电压使用直角坐标表示
优点：1. 它的Hessian矩阵是常数 2. 它的Taylor展式的二阶项没有截断误差。
w
u
x) x
y
U 1Lu
Lw Lx
Ly
四、应用技巧
通过变量重组与矩阵即约将待分解的修正方程 中[5(m+r)+10l+9n]阶系数矩阵变为[m+r+2l+2n]阶矩 阵，之后的计算量只是回代，不仅减少计算量、加 快计算速度，同时减少内存的耗费。其中H`的一部 分是Hessian矩阵 ，xh 是Jacobi矩阵。两者都以 2 2的块矩阵与节点导纳矩阵有相似的结构。
三、现代内点算法
现代内点算法的分类：
1. 投影尺度法 (projective scaling ) 2. 仿射尺度法 (affine scaling) 3. 路径跟踪法 (path following)
优点： 1. 现代内点法对初始点要求不高，可起始于任意点；
2. 能方便地处理等式和不等式约束； 3. 现代内点法具有超线性收敛特性，保证了算法的可靠性； 4. 现代内点法具有多项式时间性，对于处理大规模问题特别有效。
Lz
Lw Ll Lu
其中：
H
[
2 x
f
(x)
2 x
h(x)
y
2 x
g(x)(
z
w)]
三、现代内点算法
解方程后得到第k次迭代的修正量，于是最优解的一个新的近似为： xk1 xk px
lk1 lk pl
L f (x) yT h(x) zT [g(x) l g] wT [g(x) u g] ~zl w~u
三、现代内点算法
• 导出KKT一阶最优性条件：
Lx0 x f (x) xh(x) y x g(x)(z w) 0
Ly0 h(x) 0
变量重组与矩阵即约
I L1Z 0 0
0
0 I 0 0 Tx g(x)
0 0
z
l
L1 Ll Lz
0 0 0 0
0 0 0 0
I U 1W 0I 00 00
0
T x
g
(
x
)
H
Tx h( x)
x
0 0 h( 0
五、仿真结果
采用IEEE30系统进行仿真计算：
系统参数表：
系统 满阵
节点/线路 30/41
等式约束 60
不等式约束 121（3/6/30/82）
稀疏
30/41
60
140（14/15/29/82）
五、仿真结果
算法性能
对偶间隙
1.E+3
1.E+2
满阵
1.E+1
稀疏
1.E+0
1.E-1
1.E-2
j1
i 1,..., n
PGi PGi PGi
i SG
Q Ri QRi Q Ri
iSR
V
2 i
(ei2
f i2
)
V
2 i
Pij Pij Pij
T i Ti T i
iSB i j
i ST
二、最优潮流计算方法现状
最优潮流的计算方法
1. 基于梯度的方法 2. 微分注入法 3. 序贯二次优化法、序贯线性规划法 4. 牛顿法
00 j j 00 j j j jhh j jhh
四、应用技巧
病态的处理： 将该节点转化为发电机节点，同时为保证它的出力为0，
定义它的Pmin=0； Pmax=10-3； 如果该节点是PQ节点，定义 Qmin=0； Qmax=10-3。
*付出的代价：变量和约束会相应增加，即方程组系数矩阵的
维数会相应增加；算法的迭代次数可能会成倍增加。但是对处 理大型系统而言，计算时间仍然快很多，且系统规模越大，优 势越明显。
最优潮流现代内点算法
2000.12.20
一、数学模型
min .
(a2i PG2i a1i PGi a0i )
iSG
n
s.t. PGi PDi [ei (e jGij f j Bij ) fi ( f jGij e j Bij )
j1 n
QGi QDi [ fi (e jGij f j Bij ) ei ( f jGij e j Bij )
Tx
h(x)
0
0
0
0
0 x Lx
0
y
L
y
TTxx
g g
( (
x) x)
0 0
0
0
0
0
0 0 L 0
0 0 0 U
I 0 Z 0
0 I 0 W
z w l u