高三第一轮复习正态分布

概率
课时 正态分布
主干知识归纳
(1)正态曲线
函数φμ，σ(x )＝1
2πσ
e －(x －μ)22σ2，x ∈(－∞，＋∞)，①
其中μ，σ(σ>0)分别表示总体的 与 ，函数①的图象称为正态曲线． (2)正态曲线的性质
①曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交． ②曲线关于直线x ＝μ . ③曲线在x ＝μ时位于 .
④当x <μ时，曲线 ；当x >μ时，曲线 .并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线向它无限靠近．
⑤当μ一定时，曲线形状由σ确定．σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越 ；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越 .
(3)正态分布
一般地，如果对于任意实数a ，b (a <b )，随机变量X 满足P (a <X ≤b )＝⎠⎛a
b φμ，σ(x )d x (即直线x ＝a ，x
＝b ，正态曲线及x 轴围成的曲边梯形的面积)，则称随机变量X 服从正态分布，记作X ～N(μ，σ)．当μ＝0，σ＝1时，正态分布称为标准正态分布．
(4)3σ原则
牢记正态分布在三个特殊区间的概率值．
P(μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.9544， P(μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.9974. 方法规律总结
1.正态分布在某个区间内取值的概率求法：
(1)熟记P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)，P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)，P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)的值．
(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间面积为1.
①正态曲线关于直线x ＝μ对称，从而在关于x ＝μ对称的区间上概率相等； ②P (X ＜a )＝1－P (X ≥a )，P (X ＜μ－a )＝P (X >μ＋a )． 2．正态分布中要注意：
(1)先弄清正态分布的均值μ和方差σ2分别是多少；
(2)充分利用如下结论：若均值为μ，则由对称性可知P(X ≥μ)＝0.5；P(X ≤μ)＝0.5；P(X ≤μ＋c)＝P(X ≥μ－c)(c>0)等结论；
(3)需要熟记P(μ－σ<X ≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X ≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X ≤μ＋3σ)的值，充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间的面积为1来解题．
【指点迷津】
【典例分析】
【例1】：(1)设随机变量X ～N (3,1)，若P (x ＞4)＝p ，则P (2＜x ＜4)＝( )
A.12＋p B ．1－p C ．1－2p D.1
2
－p
(2)为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男
生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X (kg)服从正态分布N (μ，22
)，且正态分布密度曲线如图所示．若体重大于58.5 kg 小于等于62.5 kg 属于正常情况，则这1 000名男生中体重属于正常情况的人数是( )
A ．997
B ．954
C ．819
D ．683 【解析】：(1)∵随机变量X ～N (3,1)，观察图得，
P (2＜X ＜4)＝1－2P (X ＞4)＝1－2p .
(2)由题意，可知μ＝60.5，σ＝2，故P (58.5＜X ≤62.5)＝P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.682 6，从而体重属于正常情况的人数是1 000×0.682 6≈683. 答案：(1) C ． (2) 683.
【例2】：（1）已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( ) (附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%.)
A ．4.56%
B ．13.59%
C ．27.18%
D ．31.74%
（2）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )
A ．2386
B ．2718
C ．3413
D ．4772
附：若X ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.9544. 【解析】：（1）因为μ＝0，σ＝3，由正态分布的概率公式知：P(－3＜ξ＜3)＝0.6826，P(－6＜ξ＜6)＝0.9544，故P(3＜ξ＜6)＝
P (－6＜ξ＜6)－P (－3＜ξ＜3)
2
＝
0.9544－0.6826
2
＝0.1359＝13.59%.
（2）利用阴影部分的面积所占正方形的比例，估计落入阴影部分的点的个数．
由P(－1<X≤1)＝0.6826，得P(0<X≤1)＝0.3413， 则阴影部分的面积为0.3413， 设落入阴影部分的个数为x ， 由几何概型可知x 10000＝0.3413
1×1
，
故落入阴影部分的点的个数为10000×0.3413
1×1＝3413.
答案：（1）13.59%. （2）3413.
【同步训练】
【一级目标】基础巩固组
一．选择题
1.设两个正态分布N(μ1，σ21)(σ1>0)和N(μ2，σ2
2)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有( )
A ．μ1<μ2，σ1<σ2
B ．μ1<μ2，σ1>σ2
C ．μ1>μ2，σ1<σ2
D ．μ1>μ2，σ1>σ2
【解析】：根据正态分布的性质：对称轴x ＝μ，σ表示总体分布的分散与集中，由图可得，选A. 答案：A.
2.已知随机变量ξ服从正态分布N(3，σ2)，则P(ξ<3)的值为( )
A.15
B.14
C.13
D.12 【解析】：由ξ～N(3，σ2)，知μ＝3，故P(ξ<3)＝12
.
3.若ξ～N (－2，σ2
)，且P (－4＜ξ＜－2)＝0.3，则P (ξ＞0)＝( )
A ．0.2
B ．0.3
C ．0.7
D ．0.8
【解析】：因为ξ～N (－2，σ2
)，所以P (ξ＞0)＝P (ξ＜－4)＝1－2P －4＜ξ＜－22
＝0.2.
答案：A ．
4.设随机变量X ～N (1,52
)，且P (X ≤0)＝P (X ＞a －2)，则实数a 的值为( )
A ．4
B ．6
C ．8
D ．10 【解析】：由正态分布的性质可知P (X ≤0)＝P (X ≥2)，所以a －2＝2，故a ＝4，选A. 答案：A.
5.已知随机变量X ＋η＝8，若X ～B (10,0.6)，则E (η)和D (η)分别是( )
A ．6和2.4 B.2和2.4 C ．2和5.6 D.6和5.6 【解析】：若两个随机变量η，X 满足一次关系式η＝aX ＋b (a ，b 为常数)，当已知E (X )、D (X )时，则有E (η)
＝aE (X )＋b ，D (η)＝a 2
D (X )．由已知随机变量X ＋η＝8，所以η＝8－X .
因此，E (η)＝8－E (X )＝8－10×0.6＝2，D (η)＝(－1)2
D (X )＝10×0.6×0.4＝2.4. 答案：B. 二．填空题
6.设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象，f(x)＝1
8πe －(x －10)28，x ∈(－∞，＋∞)，则这
个正态总体的平均数与标准差分别是 .
【解析】：由函数φμ，σ(x )＝1
2πσe －(x －μ)2
2σ2，知平均数与标准差分别是10、2.
答案：10、2.
7.已知随机变量ξ服从正态分布2
(2)N σ
，，(4)0.84P ξ=≤，则(0)P ξ=≤
【解析】：(0)(4)1()0.16P P P ξξξ=≥=-=≤≤4
答案：0.16.
8.已知随机变量ξ满足正态分布N (μ，σ2)，且P (ξ<1)＝0.5，P (ξ>2)＝0.4，则P (0<ξ<1)＝________． 【解析】：由题知随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，又P (ξ＜2)＝0.6，∴P (0＜ξ＜1)＝0.6－0.5＝0.1. 答案：0.1. 三．解答题
9.在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正态分布N(60,100)，已知成绩在90分以上(含90分)的学生有13人．
(1)求此次参加竞赛的学生总数共有多少人？
(2)若计划奖励竞赛成绩排在前228名的学生，问受奖学生的分数线是多少？ 【解析】：(1)设学生的成绩为X ，共有n 人参加竞赛， ∵X ～N(60,100)，∴μ＝60，σ＝10. ∴P(X≥90)＝1
2
[1－P(30＜X ＜90)] ＝
1
2
(1－0.9974)＝0.0013. 又P(X≥90)＝13n ，∴13
n
＝0.0013.∴n ＝10000.
故此次参加竞赛的学生总数共有10000人． (2)设受奖的学生的分数线为x 0. 则P(X≥x 0)＝
228
10000
＝0.0228.
∵0.0228＜0.5，∴x 0＞60.
∴P(120－x 0＜X ＜x 0)＝1－2P(X≥x 0)＝0.9544， ∴x 0＝60＋20＝80.故受奖学生的分数线是80分． 答案：(1) 10000人． (2) 80分．
10.已知某种零件的尺寸X(单位：mm)服从正态分布，其正态曲线在(0,80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，且f(80)＝
182π
.
(1)求正态分布密度函数的解析式；
(2)估计尺寸在72mm ～88mm 之间的零件大约占总数的百分之几．
【解析】：(1)由于正态曲线在(0,80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数， 所以正态曲线关于直线x ＝80对称，且在x ＝80处取得最大值． 因此得μ＝80，
12πσ
⋅＝
1
82π
，所以σ＝8.
故正态分布密度函数的解析式是
(2)由μ＝80，σ＝8，得
μ－σ＝80－8＝72，μ＋σ＝80＋8＝88，
所以零件尺寸X 在区间(72,88)内的概率是0.6826.因此尺寸在72mm ～88mm 间的零件大约占总数的68.26%. 答案：(1)
， (2) 68.26%.
【二级目标】能力提升题组
一．选择题
1．设X~N （1,2
σ）,其正态分布密度曲线如图所示，且P （X ≥3）=0．0228，那么向正方形OABC 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（ ） （附：若随机变量
ξ
服从正态分布N （
2
,σμ），则
)(σμξσμ+<<-P =68．26％． )22(σμξσμ+<<-P =95．44％）
A ．6038
B ．6587
C ．7028
D ．7539 【解析】：由
-12
1
（0228.0))22(=+<<-σμσμX P ，可得22=σ，即1=σ，则 %26.68)20(=<<X P ，所以%13.34)10(=<<X P ，所以落入阴影部分的点的个数的估计值是
658710000%)13.341(=⨯-个
答案：B ．
2．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布()2
0,3N ，从中随机取一件，其长度误差落在
区间
()3,6内的概率为（ ）
（附：若随机变量
ξ
服从正态分布
()
2,N μσ，则
()68.26%
-<<+=P μσξμσ，
()2295.44%-<<+=P μσξμσ）
A ．4.56%
B ．13.59%
C ．27.18%
D ．31.74%
【解析】：由题意3368.26%6695.44%3695.44%68.26%2
P P P ξξξ-=-=∴=
-=（＜＜），（＜＜），（＜＜）（）
1
695.44%3695.44%68.26%13.59%2P ξξ=∴=-=＜＜），（＜＜）（）．
答案：B ．
二．填空题
3.已知随机变量ξ服从正态分布N (2，9)，若P (ξ>3)＝a ，P (1<ξ≤3)＝b ，则函数f (a )＝a 2＋a －1
a ＋1
的值域是
________．
【解析】：易知正态曲线关于直线x ＝2对称，所以P (ξ>3)＝P (ξ<1)＝a ，则有⎩⎨⎧2a ＋b ＝1，a >0，b >0，
即0<a <1
2.f (a )＝a
－1a ＋1＝(a ＋1)－1a ＋1
－1，令t ＝a ＋1∈（1，32），则函数g (t )＝t －1t －1在1，32上是增函数，所以g (t )∈g (1)，
g （32）＝－1，－16，故所求值域为（－1，－16
）.
答案：（－1，－1
6
）.
三．解答题
从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：
（I ）求这500件产品质量指标值的样本平均值x 和样本方差2
s （同一组的数据用该组区间的中点值作代表）； （II ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标
Z
服从正态分布
()2,N μσ，其中μ近似为样本平
均数x ，2
σ近似为样本方差2
s . （i ）利用该正态分布，求()187.8212.2P
Z <<；
（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记
X
表示这100件产品中质量指标值位于区间
()187.8,212.2的产品件数.利用（i ）的结果，求EX .
附：15012.2≈，若()2
~,Z N
μσ则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，()220.9544P Z μσμσ-<<+=.
【解析】：（I ）抽取产品的质量指标值的样本平均值x 和样本方差2
s 分别为
1700.021800.091900.22x =⨯+⨯+⨯+2000.332100.242200.08⨯+⨯+⨯+ 2300.02⨯ 200=，
2222222(30)0.02(20)0.09(10)0.2200.33100.24200.08300.02
s =-⨯+-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
150
=． （II ）（i ）由（I ）知，Z 服从正态分布(200,150)N ，
从而()187.8212.2P Z <<(20012.2Z 200P =-<<12.2)0.6826+=． （ii ）由（i ）可知，一件产品的质量指标值位于区间()187.8,212.2的概率为0.6826，
依题意知(100,0.6826)X B ，所以1000.682668.26EX =⨯=．
答案：（I ）x 200=，2s 分别为150=． （
II ）（i ）)0.6826+=．（ii ）668.26EX =⨯=．
【高考链接】
1.未来制造业对零件的精度要求越来越高.3D 打印通常是采用数字技术材料打印机来实现的，常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，后逐渐用于一些产品的直接制造，已经有使用这种技术打印而成的零部件．该技术应用十分广泛，可以预计在未来会有广阔的发展空间．某制造企业向A 高校3D 打印实验团队租用一台3D 打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件．该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取10件零件，度量其内径的茎叶图如图所示（单位：μm）．
（I ）计算平均值μ与标准差σ
（Ⅱ）假设这台3D 打印设备打印出品的零件内径Z 服从正态分布N （μ，σ）；该团队到工厂安装调试后，试打了5个零件．度量其内径分别为（单位：μm）：86、95、103、109、118，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么？
参考数据：P （μ﹣2σ＜Z ＜μ+2σ）=0.9544，P （μ﹣3σ＜Z ＜μ+3σ）=0.9974，0.95443
=0.87，0.99744
=0.99，0.04562
=0.002． 【解析】：（I ）平均值μ==105μm
方差=
=36，标准差σ=6
（Ⅱ）需要进一步调试，Z 服从正态分布N （105，36），
P （μ﹣3σ＜Z ＜μ+3σ）=0.9974，∴内径在（87，123）之外的概率为0.0026， 而86∉（87，123），根据3σ原则，需要进一步调试． 答案：（I ）μ=105，σ=6. （Ⅱ）需要进一步调试．
2.在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布(70,100)N 。

已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名。

（1）、试问此次参赛学生总数约为多少人？
（2）、若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？ 可供查阅的（部分）标准正态分布表00()
()x P x x Φ=<
0x
0 1 2 3
4
5
6
7
8
9
【解析】： (1)设参赛学生的分数为，因为～N(70，100)，由条件知，
P(ξ≥90)＝1－P （ξ<90）＝1－F(90)＝1－Φ)10
7090(-＝1－Φ(2)＝1－0.9772＝0.228.
这说明成绩在90分以上（含90分）的学生人数约占全体参赛人数的2.28％，因此， 参赛总人数约为
0228
.012≈526（人）。

(2)假定设奖的分数线为x 分，则P(ξ≥x)＝1－P(ξ＜x) )10
70(1-Φ-=x ＝526
50＝0.0951，即Φ)
10
70(-x ＝0.9049，查表得10
70-x ≈1.31，解得x ＝83.1.故设奖得分数线约为83.1分。

答案：(1) 526人. (2) 83.1.。