必修第一册函数的定义域和值域学案

函数的定义域和值域（一）求函数定义域的一般原则：（1）如果f (x )是整式，那么函数的定义域是实数集R .（2）如果f (x )是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合 .（3）如果f (x )是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合. （4）如果f (x )是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各集合的交集）（5）满足实际问题有意义. （二）：抽象函数的定义域求法：①函数f (x )的定义域是指x 的取值范围所组成的集合。

②函数[])(x f ϕ的定义域还是指x 的取值范围，而不是)(x ϕ的取值范围。

③已知f(x)的定义域为A ，求[])(x f ϕ的定义域:其实质是（求法）：已知)(x ϕ的取值范围为A ，求出x 的取值范围；解得的x 的取值范围即是[])(x f ϕ的定义域。

④已知[])(x f ϕ的定义域为B ，求f(x)的定义域:其实质是（求法）：已知[])(x f ϕ中x 的取值范围为B ，求出)(x ϕ的取值范围；解得的)(x ϕ的取值范围即是f(x)的定义域。

⑤同在对应法则f 下的范围相同：即[][])(,)(),(x h f x f t f ϕ三个函数中)(),(,x h x t ϕ的范围相同。

（三）：复合函数的定义域及其求法：（1）定义：如果函数)(t f y =的定义域为A,函数)(x g t =的定义域为D ，值域为C ，则当A C ⊆时，称函数[])(x g f y =为)(x f 与)(x g 在D 上的复合函数，其中t 叫做中间变量，)(x g t =叫做内层函数，)(t f y =叫做外层函数。

(2）复合函数定义域求法：①函数[])(x g f 的定义域还是指x 的取值范围，而不是)(x g 的取值范围。

②已知f(x)的定义域为A ，求[])(x g f 的定义域:其实质是（求法）：已知)(x g 的取值范围为A ，求出x 的取值范围；解得的x 的取值范围即是[])(x g f 的定义域。

③已知[])(x g f 的定义域为B ，求f(x)的定义域:其实质是（求法）：已知[])(x g f 中x 的取值范围为B ，求出)(x g 的取值范围；解得的)(x g 的取值范围即是f(x)的定义域。

④同在对应法则f 下的范围相同：即[][])(,)(),(x h f x g f t f 三个函数中)(),(,x h x g t 的范围相同。

（四）：函数值域的确定方法：（1）观察法：直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到.例如：211xy +=的值域是{}10≤<y y 。

（2）分离常数法：分子、分母是一次函数的有理函数，形如,dcx bax y ++=，,,,,(d c b a 为常数，)0≠c 可用分离常数法，将bax a bcd a c b ax a bc d b ax ac b axd cx +-+=+-++++)(变形为，再结合x 的取值范围确定b ax a bc d +-的取值范围，从而确定函数的值域。

（3）换元法：运用代数代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，如d cx b ax y +±+=（d c b a ,,,均为常数且0≠a ）的函数常用此法求解.（4）配方法：若函数是二次函数形式，即可化为)0(2≠++=a c bx ax y 型的函数，通过配方后再结合二次函数的性质求值域。

（求最值问题）（5）判别式法：形如）不同时为0,,,,,(22f e d c b a fex dx cbx ax y ++++=的值域，常利用去分母的形式，把函数转化成关于x 的二次方程),(y x F ，通过方程有实根，判别式0≥∆，求出y 的取值范围。

（6）单调性法：利用单调性，端点的函数值确定值域的边界.（7）函数的有界性：在直接求函数值域困难的时候，可以利用已学过函数的有界性，反过来确定函数的值域.（8）不等式法：利用不等式的性质确定上下边界.（9）数形结合法：函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点间的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目.例题讲解 【夯实基础】考点一：求一般函数的定义域 【例1】求下列函数的定义域 ① 21)(-=x x f ； ② 23)(+=x x f ； ③ xx x f -++=211)(【例2】（1）函数23212---=x x xy 的定义域为（ ）A ．(]1,∞-B ．(]2,∞-C ．⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-1,2121, D ．⎥⎦⎤ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-1,2121,【例3】定义两种运算：222)(,b a b a b a b a -=⊗-=⊕，则函数2)2(2)(-⊗⊕=x xx f 的解析式为（ )A.[)(]2,00,2,4)(2-∈-=x xx x f B.),2[]2,(,4)(2+∞--∞∈-=x xx x f C.),2[]2,(,4)(2+∞--∞∈--= x x x x f D [)(]2,00,2,4)(2-∈--=x xx x f考点二：复合函数（抽象函数）定义域求解 【例1】（1）已知f(x)的定义域为[0,1]，求f(x ＋1)的定义域____________。

（2）已知f(x-1)的定义域为[-1,0]，求f(x)的定义域________________。

【例2】)1(+=x f y 的定义域为[1,2],求下列函数的定义域：).()3();3()2();()1(2x f x f x f -【例3】已知函数)(x f 定义域为),23,21(-∈x 求)0)(()()(>+=a axf ax f xg 的定义域。

考点三：求函数的值域 【例1】求下列函数的值域 （1）1-=x y （2）2415+-=x x y（3）123422--+-=x x x x y （4）3274222++-+=x x x x y （5）12--=x x y【能力提升】考点四：函数定义域和值域的综合运用 【例1】求下列函数的定义域：（1）6222-+--=x x x x y （2）xy --=113（3)2253x x y -+-=（4）2322---=x x xy （5）11-⋅-=x x y【例2】（1）求函数3254-+-=x x y 的值域。

（2）求函数21-++=x x y 的值域。

【例3】若函数1)(2++=x bax x f 的最大值为4，最小值为-1，求实数a,b 的值。

【挑战高考】【例2】已知函数)(x f 满足：.____)2010(),)(()()()(4,41)1(=∈-++==f R y x y x f y x f y f x f f 则课后练习 【夯实基础】________.2、设函数._____,2)(,14)(==-=a a f xx f 则实数若 3、已知函数()f x 的定义域为[1,2)-，则(1)f x -的定义域为（ ）.A ．[1,2)-B ．[0,2)-C ．[0,3)D ．[2,1)-4、若()y f x =的定义域是[]0,2，则函数()()121f x f x ++-的定义域是 （ ）Ａ．[]1,1-Ｂ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦Ｃ．13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦Ｄ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦5、若函数f (x )＝x 2－2x ＋m 在[2，＋∞)上的最小值为－2，则实数m 的值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．16、在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“⊕”如下：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ，当a <b 时，a ⊕b ＝b 2.则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值是( )A ．－1B ．6C ．1D ．127、函数12)(-=x x f 的定义域是()[)5,21,⋃∞-，则其值域是（ ） A.()⎥⎦⎤⎝⎛⋃∞-2,210, B.(]2,∞- C.[)-∞⋃⎪⎭⎫⎝⎛∞-,221,D.()+∞,0【能力提升】8、函数1y x x =++的值域为_______.9、函数y=ƒ(x)的定义域为(0,+∞),且对于定义域内的任意x,y 都有ƒ(xy)=ƒ(x)+ƒ(y),且ƒ(2)=1,则ƒ(22)的值为 .10、（1）已知函数f(x)的定义域为[0，1]，求2(1)f x +的定义域___________；（2）已知函数f(2x-1)的定义域为[0，1]，求f(1-3x)的定义域___________。

11、函数y ＝|x ＋2|＋(x －3)2的值域为________．12、求下列函数的定义域． (1)y ＝x ＋1＋12－x ； (2)y=1||212-+-x x13、求下列函数的值域:(1)ƒ(x)=x 2-4x,x ∈[1,5) . (3)222++-=x x y ;。