弹塑性力学试题

弹塑性力学试题Revised on November 25, 2020
考试科目：弹塑性力学试题
班号 研 班 姓名 成绩 一、 概念题
（1） 最小势能原理等价于弹性力学平衡微分方程和静力边界条件，用最小势能原理求解弹性力学近似解时，仅要求位移函数满足已知位移边界条件。

（2） 最小余能原理等价于 应变协调 方程和 位移 边界条件，用最小余能原理求解弹性力学近似解时，所设的应力分量应预先满足平衡微分方程 和静力边界条件。

（3） 弹性力学问题有位移法和应力法两种基本解法，前者以位移为基本未知量，后者以 应力为基本未知量。

二、已知轴对称的平面应变问题，应力和位移分量的一般解为：
利用上述解答求厚壁圆筒外面套以绝对刚性的外管，厚壁圆筒承受内压p 作用，试求该问题的应力和位移分量的解。

解：边界条件为：
a r =时：p r -=σ；0=θτr
b r =时：0=r u ；0=θu 。

将上述边界条件代入公式得： 解上述方程组得：
则该问题的应力和位移分量的解分别为：
三、已知弹性半平面的o
量为： 这些力到所设原点的距离分别为y
y
解：由题设条件知，第i 个力i p 在点（x ，y ）处产生的应力将为： 故由叠加原理，n 个集中力构成的力系在点（x ，y ）处产生的应力为： 四、一端固定，另一端弹性支承的梁，其跨度为l ，抗弯刚度EI 为常数，弹簧系数为k ,承受分布荷载)(x q 作用。

试用最小势能原理导出该梁以挠度形式表示的平衡微分方程和静力边界条件。

解：第一步：全梁总应变能为：dx dx w d EI wdv U l v 2
02221⎰⎰⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡==
外力做功为：⎰=-=l
l x kw qwdx T 02|2
1
总势能为：l x l l
kw qwdx dx dx w d EI T U =⎰⎰+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-=∏|2
1
21202
022
第二步：由最小势能原理可知：
0=∏δ等价于平衡微分方程和静力边界条件。

l x l l
w kw wdx q dx dx w d dx w d EI =⎰⎰+-⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡=|0
22022δδδ （*） 其中=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰dx dx w d dx w d EI l
22022δdx dx dw dx d dx w d EI l ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝
⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰δ022 将其代入（*）式并整理可得：
y
由于当0=x 时，0=dx
dw
，022=dx w d ；
所以平衡微分方程为：0)(222
2
=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛x q dx w d EI dx
d （0≤x ≤l ）
静力边界条件为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==0
022
22l x l
x dx w d dx w d EI dx d kw
五、已知空间球对称问题的一般解为：
B R
E
A E
B R E
A E R B
R A u T R R 3
3
2
)1(21)1(221μμσμμσ++-=+--=
+
=
其中R 是坐标变量，R u 是径向位移，
空心球受均匀内外压b a q q ,洞，半径为a ，内壁受有均匀压力q 时的解答。

解：（1）相应空心球受均匀内外压b a q q ,时的边界条件为：
a R =：a R q -=σ
b R =：b R q -=σ
将上述边界条件代入得： 可解得：
故空心球受均匀内外压b a q q ,时的解为：
（2）当无限大体中有球形孔洞，半径为a ，内壁受有均匀压力q 时，即在上式中令q q a = 、0=b q 、∞→b ，则可得： 六、已知
b
推导以位移分量表示的平衡微分方程。

解：由)(2
1
,,i j j i ij u u +=
ε得 将上述两式代入ij ij ij e μεδλσ2+=，得到 代入0,=+i j ij F σ得
而ji j ki k ij kj k u u u ,,,λλδλ==，ij j ji j u u ,,= 故平衡方程可写成 由因为i
i i j j ji
j x e
e u u ∂∂===,,,)()(；i i jj i jj i u u z y x u u 2222222,,)()(∇=∂∂+∂∂+∂∂==
所以以位移分量表示的平衡微分方程的最终形式为：
0)
(2=+∂∂++∇i i
i F x e
u μλμ。

七、证明弹性力学功的互等定理（用张量标记）。

证明：（1）先证可能功原理
考虑同一物体的两种状态，这两种状态与物体所受的实际荷载和边界约束没有必然的联系。

第一状态全用力学量（()s i F 、()s i P 、()s ij σ）来描述，它在域内满足平衡方程
并在全部边界条件上满足力的边界条件：
第二状态全用几何量（()()k i k ij u ,ε）来描述。

它在域内满足几何方程 且要求全部边界位移等于域内所选位移场在边界处的值。

从而利用力的边界条件和高斯积分定理，可得
利用平衡方程，式（*）右端第一项可化为 第二项利用张量的对称性和几何方程可改写成 即式（*）成为
式（**）即为可能功原理。

（2）考虑同一物体的两种不同真实状态，设第一状态的体力和面力为()1i F 和
()1i P ，相应的应力、应变状态为()()()111,,i ij ij u εσ；第二状态则为()2i F 、()
2i
P 和()()()222,,i ij ij u εσ。

由于都是真实状态，所以两个状态都同时是静力可能状态和变形可能状态，且都满足广义虎克定律 根据可能功原理（令s =1、k =2）有 对于线弹性体，有弹性张量的对称性得
即积分后（a ）（b ）两式的右端相等，相应地左端也应相等，故得到 八、证明受均匀内压的厚壁球壳，当处于塑性状态时，用Mises 屈服条件或Tresca 屈服条件计算将得到相同的结果。

证明：1、厚壁球壳的弹性应力分布（采用球坐标系）
平衡方程：
02=-+r
dr d r r
θσσσ 几何方程：dr du r =ε，r
u
==ϕθεε
物理方程：()[]()⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧+-+=+--+=r r r E E νεεμμσμεεμμμσθθ
θ)21)(1(21)21)(1(
022=++u dt
du dt du ，特征方程为：022=-+k k 解得：⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧⋅++-=⋅+--=331211221r B E A E r B E A E r μμσμμσθ
引入边界条件：1|p a r r -==σ，0|==b r r σ可得：
最大周向拉应力为：()
p a
b b a 3
33
3max 22)(-+=θσ
2、塑性分析
Mises 屈服准则：()()()2
2
132
322
212s σσσσσσσ=-+-+-
Tresca 屈服准则：⎪
⎩⎪
⎨⎧≤-≤-≤-s
s s σσσσσσσσσ133221
在球坐标下，球对称厚壁球壳内部无剪应力，故r σ、θσ、ϕσ即为三个主应力，有对称性可知θσ=ϕσ，代入两屈服准则便可得到相同的形式：
s r σσσθ≤-，故原结论得证。