2014年秋高中数学 2.2.2 对数函数及其性质课件 新人教A版必修

对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1 还是小于1.而已知条件中并未指出底数a与1哪个大, 因此需要对底数a进行讨论: 当a＞1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是增函数,于是 log a5.1＜log a5.9 当0＜a＜1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是减函数,于 是log a5.1＞log a5.9
第二章 基本初等函数（I） 2.2 对数函数
2.2.2 对数函数及其性质
复习对数的概念
定义：一般地，如果 aa 0, a 1
的b次幂等于N, 就是 ab N ，那么数 b叫做
以a为底 N的对数，记作 loga N b a叫做对数的底数，N叫做真数。
由前面的学习我们知道：如果有一种细胞分裂时，由1个分 裂成2个，2个分裂成4个，···，1个这样的细胞分裂x次会得 到多少个细胞？
x … 1/4 1/2 1 2 4 …
列 表
y log2 x … -2 -1
01
2…
y log 1 x … 2
2
描
y
点
2
1 0 -1 -2 …
y=log2x
1 11 42
0 1 23 4
这两个函 x 数的图象
连
-1
有什么关
线
-2
y=log1/2xຫໍສະໝຸດ 系呢？关于x轴对称
2.思考：对数函数:y = loga x (a＞0,且a≠ 1) 图象随着a 的取值变化图象如何变化？有规律吗？
在 ( 0 , + ∞ ) 上是增函数 在 ( 0 , + ∞ ) 上是减函数
当 x＞1 时，y＞0 当 0＜x ＜1 时， y＜0
当 x＞1 时，y＜0 当 0＜x＜1 时，y＞0
例 1 求下列函数的定义域： (1)y＝logax2；(2)y＝loga(4－x)；(3)y＝loga(9－x2)； (4)y＝log2(16－4x)． 解 (1)由 x2>0，得 x≠0， ∴函数 y＝logax2 的定义域是{x|x≠0}；
A．1
B．2
C．3
( C) D．4
解析 在同一直角坐标系画出 f(x)与 g(x)的图象如图所示，
f(x)与 g(x)的图象有 3 个交点，故选 C.
例3 比较下列各组数中两个值的大小：
⑴ log 23.4 , log 28.5 ⑵ log 0.31.8 , log 0.32.7
⑶ log a5.1 , log a5.9 ( a＞0 , a≠1 )
注:例3是利用对数函数的增减性比较两个对数的大 小的,对底数与1的大小关系未明确指出时,要分情况 对底数进行讨论来比较两个对数的大小.
练习 1 求下列函数的定义域： (1)y＝log3(1－x)；(2)y＝log12x；(3)y＝log71－13x；
(4)y＝ log3x.
解 (1)由 1－x>0 得 x<1，∴所求函数定义域为{x|x<1}； (2)由 log2x≠0，得 x≠1，又 x>0， ∴所求函数定义域为{x|x>0 且 x≠1}；
y 2x
如果知道了细胞的个数y，如何确定分裂的次 数x呢？ 由对数式与指数式的互化可知：
x log2 y
上式可以看作以y为自变量的函数表达式
对于每一个给定的y值都有惟一的x的值与之对应， 把y看作自变量，x就是y的函数，但习惯上仍用x表 示自变量，y表示它的函数：即
y log2 x
这就是本节课要学习的：
(2)由 4－x>0，得 x<4， ∴函数 y＝loga(4－x)的定义域是{x|x<4}；
(3)由 9－x2>0，得－3<x<3， ∴函数 y＝loga(9－x2)的定义域是{x|－3<x<3}． (4)由 16－4x>0，得 4x<16＝42，由指数函数的单调性得 x<2， ∴函数 y＝log2(16－4x)的定义域为{x|x<2}．
类比指数函数图象和性质的研究，研究对数函数
的性质并填写如下表格：
3.对数函数的图象与性质：
函数 底数
y = log a x ( a＞0 且 a≠1 )
a ＞1
y
0 ＜a ＜1
y
图象
o
1
x
1
o
x
定义域
奇偶性 值域
定点
单调性 函数值 符号
(0,+∞)
非奇非偶函数
非奇非偶函数
R
( 1 , 0 ) 即 x = 1 时，y = 0
y＝lloogg22x－x
x>0 x<0
，
其图象如图所示(其特征是关于 y 轴对称)．
小结 画对数函数 y＝logax 的图象时，应抓住三个关键点 (a,1)，(1,0)，1a，－1.
练习 2
函数
f(x)＝
4x－4， x2－4x＋3，
x≤1， x＞1 的图象和函数
g(x)＝log2x 的图象的交点个数是
猜猜: 对数函数 y log3 x和y log 1 x 的图象。
3
y
底2
大 y=1 1 11
图
0 42 1 2 3 4 -1
右
-2
y log2 x
y log3 x
x
y log 1 x
3
y log 1 x
2
问题：你能类比前面讨论指数函数性质的思路， 提出研究对数函数性质的内容和方法吗？
研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最 大（小）值、奇偶性．
解 ⑴考察对数函数 y = log 2x,因为它的底数2＞1 所以它在(0,+∞)上是增函数,于是 log 23.4＜log 28.5
⑵考察对数函数 y = log 0.3 x,因为它的底数0.3, 即0＜0.3＜1,所以它在(0,+∞)上是减函数,于是log 0.31.8＞log 0.32.7
⑶ log a5.1 , log a5.9 ( a＞0 , a≠1 )
(3)由1－13x>0 1－3x≠0
，得 x<13；∴所求函数定义域为x|x<13；
(4)由xlo>g03x≥0 ，得xx>≥01 ； ∴x≥1，∴所求函数定义域为{x|x≥1}．
例 2 求函数 y ＝log2|x|的定义域，并画出它的图象． 解 函数的定义域为{x|x≠0，x∈R}．
函数解析式可化为
对数函数
定义：函数 y loga x(a 0，且 a 1)
叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定 义域是（0，+∞）。
，
判断：以下函数是对数函数的是 （4 ）
1. y=log2(3x-2)
2. y=log(x-1)x
3. y=log1/3x2
4.y=lnx
5. y 3 log2x 5
对数函数的图象: 1.描点画图 注意只要把指数函数y=ax (a>0,a≠1) 的变量x,y的对应值对调即可得到 y=logax(a>0,a≠1)的变量对应值表如下.