第16讲 综合除法和余数定理练习题
小学数学思维-余数的性质与计算练习题
余数的性质与计算知识精讲这一讲我们来学习余数的问题，在整数的除法中，只有能整除和不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余数。
一般的，如果a是整数，b是整数（b≠0），若有a÷b=q……r（也就是a=b×q+r），0≤r＜b当r=0时，我们称a能被b整除当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的商余数问题和整除问题是密切关系的，因为只要我们去掉余数，就能和整除问题联系在一起，余数有一些重要性质被除数=除数×商（当余数大于0时也可称为不完全商）+余数除数=（被除数-余数）÷商商=（被除数-余数）÷除数余数小于除数例1.用一个自然数去除另一个整数，商是40，余数是16，被除数、除数的和是877，求被除数和除数各是多少？练习1.甲、乙两数的和是2014，甲数除以乙数商99余14，求甲、乙两数。
我们之前学过一些特殊数（如2、3、4、5、7、8、9、11、13、25、99、125）的整除特性。
这些数的整除特性稍加改造，即可成为求解余数的一类简便算法：（1）一个数除以2或5的余数，等于这个数的个位数字除以2或5的余数一个数除以4或25的余数，等于这个数的末两位数字除以4或25的余数一个数除以8或125的余数，等于这个数的末三位数字除以8或125的余数（2）一个数除以3或9的余数，等于这个数的各位数字之和除以3或9的余数一个数除以99（包括11、33）的余数，等于将它两位截断在求和之后除以99的余数（3）一个数除以11的余数，等于它的奇位数字和减去偶位数字和除以11的余数，如果奇位数字和比偶位数字和小，则先加上若干个11再减即可（4）一个数除以7、11、13的余数，等于将它三位截断之后，奇数段之和减去偶数段之和除以7、11、13的余数，如果奇数段字和比偶数段字和小，则加上若干个7、11、13再减即可。
这种利用整除特征性来计算余数的方法叫做特性求余法例2.（1）201320123除以4和8的余数分别是多少？（2）20142014除以3和9的余数分别是多少？练习2.（1）20121221除以5和25的余数分别是多少？（2）20130209除以3和9的的余数分别是多少？例3.（1）123456789除以7或11的余数分别是多少？87654321呢？（2）360360360除以99的余数是多少？练习3.201420132012除以13和99的余数分别是多少？为了更好地了解余数的其他一些重要性质，我们再来做几道练习：（1）211除以9的余数是（2）137除以9的余数是（3）211+137的和除以9的余数（4）211－137的差除以9的余数（5）211×137的积除以9的余数（6）1372除以9的余数是比较上面的结果，我们发现余数还有一些很好的性质：和的余数等于余数的和差的余数等于余数的差积的余数等于余数的积这三条性质分别称为余数的可加性、可减性和可乘性。
整除和有余数除法练习
14÷2=7（件） ÷ （
3.有18块糖，平均分给 个小朋友每 有 块糖 平均分给5个小朋友每 块糖， 人最多分几块？还剩几块？ 人最多分几块？还剩几块？
18÷5=3（块）……3（块） ÷ （ （
4. 7名同学参加跳绳比赛，平均分成两 名同学参加跳绳比赛， 名同学参加跳绳比赛 组，每组有几人？剩下的人怎么办？ 每组有几人？剩下的人怎么办？
7÷2=3（人）……1（人） ÷ （ （
3×（ × （
）×4＜27 ＜ ）×4
39＞（ ＞（
判断题： 判断题： ÷ 24÷5=3……9 （× ） 24÷5=4……4 ÷ 46÷8=5……6 （√ ） ÷ 30÷5=5……5 （× ） ÷ 18÷3=4……6（×） ÷ （ 24÷4=6……0 （ ×） ÷ 30÷5=6 ÷ 18÷3=6 ÷ 24÷4=6 ÷
看图列式： 看图列式：
8÷2=4 ÷
12÷3=4 ÷
1.学校开运动会，把8面红旗平均挂 学校开运动会， 学校开运动会 面红旗平均挂 在运动场主席台的两边， 在运动场主席台的两边，每边挂几 面？
8÷2=4（面） ÷ （
2.黄老师有一根电线长 米，做一件教 黄老师有一根电线长14米 黄老师有一根电线长 具要用2米 一共可以做几件教具？ 具要用 米，一共可以做几件教具？
整除和有余数除法练习
根小棒。 有18根小棒。 根小棒 1.平均分成 份，每份几根？ 平均分成2份 每份几根？ 平均分成 18÷2=9（根） ÷ （ 2.每份 根，有几份？ 每份3根 有几份？ 每份 18÷3=6（份） ÷ （ 3.平均分成 份，每份几根？ 平均分成6份 每份几根？ 平均分成 18÷6=3（根） ÷ （ 4.每份 根，有几份？ 每份9根 有几份？ 每份 18÷9=2（份） ÷ （
最新初中数学竞赛——余数定理和综合除法
第1讲 余数定理和综合除法知识总结归纳一．除法定理：()f x 和()g x 是两个一元多项式，且()0g x ≠，则恰好有两个多项式()q x 及()r x ，使()()()()f x q x g x r x =⋅+，其中()0r x =，或者()r x 比()g x 次数小。
这里()f x 称为被除式，()g x 称为除式，()q x 称为商式，()r x 称为余式.二．余数定理：对于一元n 次多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++，用一元多项式x c -去除()f x ，那么余式是一个数。
设这时商为多项式()g x ，则有()()()()f x x c g x f c =-+也就是说，x c -去除()f x 时，所得的余数是()f c .三．试根法的依据（因式定理）：如果()0f c =，那么x c -是()f x 的一个因式.反过来，如果x c -是()f x 的一个因式，那么()0f c =。
四．试根法的应用：假定1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++是整系数多项式，又设有理数p c q =是()f x 的根（p q 、是互质的两个整数），则p 是常数项0a 的因数，q 是首项系数n a 的因数.特别的，如果1n a =，即()f x 是首1多项式，这个时候1q =，有理根都是整数根。
典型例题一. 多项式的除法【例1】 已知32()4523f x x x x =+--，2()21g x x x =++，试求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余式()R x .【例2】 已知5432()342352818f x x x x x x =----+，32()213g x x x x =-+-，试求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余式()R x .【例3】 已知432()571023f x x x x x =-+--,2()1g x x =-，试求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余式()R x .二. 综合除法【例4】 用综合除法计算：432(531)(1)x x x x x -----÷+.【例5】 用综合除法求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余数R .（1）2()253f x x x =--，()3g x x =-；（2）32()321f x x x =-+，1()3g x x =+.【例6】 用综合除法计算：432(6534)(21)x x x x x ---+÷+.【例7】 先用综合除法求出()f x 除以()g x 所得的商式和余式，不再作除法，写出()f x 除以()h x 的商式和余式.32()243f x x x x =-+-，()3g x x =-.（1）()2(3)h x x =-；（2）1()(3)2h x x =-.三. 余数定理和多项式理论【例8】 43()241f x x x x =+++，()2g x x =+，求余数R 的值.【例9】 32()23814f x x x x =-+-除以23x -的余数R 是多少？【例10】 （1）求1x -除542()7465f x x x x =--+所得的余数；（2）求22x -除542()7465f x x x x =--+所得的余数.【例11】 多项式324715ax bx x +--可以被31x +和23x -整除，求a ，b .【例12】 试确定a 、b 的值，使多项式432()235f x x x ax x b =-+++被(1)(2)x x --整除.【例13】 已知432()22f x x ax x bx =+++-能被22x x --整除，求a b -的值.【例14】 证明：当a ，b 是不相等的常数时，若关于x 的整式()f x 能被x a -，x b -整除，则()f x 也能被积()()x a x b --整除.【例15】 多项式()f x 除以1x -、2x -所得的余数分别为3和5，求()f x 除以(1)(2)x x --所得的余式.【例16】 已知关于若x 的三次多项式()f x 除以21x -时，余式是21x -；除以24x -时，余式是34x --.求这个三次多项式.【例17】 已知关于x 的三次多项式()f x 除以21x -时，余式是25x -；除以24x -时，余式是34x -+，求这个三项式.【例18】 已知32()232f x x x x =+++除以整数系数多项式()g x 所得的商式及余式均为()h x ，试求()g x 和()h x ，其中()h x 不是常数.【例19】 已知323x kx ++除以3x +，其余数比1x +除所得的余数少2，求k 的值.【例20】 若多项式432x x ax bx c -+++能被3(1)x -整除，求a ，b ，c 的值.【例21】 如果当x 取0，1，2时，多项式分别取值0，0，1，试确定一个二次多项式()f x .四.因式分解（试根法）【例22】分解因式：354-+.x x【例23】分解因式：32x x x+++.6116【例24】分解因式：432x x x x+--+.2928【例25】分解因式：432-+--.93732x x x x【例26】 分解因式：65432234321x x x x x x ++++++【例27】 分解因式：322392624x x y xy y -+-【例28】 分解因式：32511133x x x ---【例29】 分解因式：32()()x a b c x ab bc ca x abc -+++++-【例30】 分解因式：32(1)(3)(2)a x ax a x a ----+-【例31】 分解因式：32()(32)(23)2()l m x l m n x l m n x m n +++-+---+思维飞跃【例32】 若2310x x +-=，求325518x x x +++的值.【例33】 若2()f x x mx n =++（m n 、都是整数）既是多项式42625x x ++的因子，又是多项式4234285x x x +++的因子，求()f x .【例34】 求证：若a b ≠，则多项式()f x 除以()()x a x b --所得的余式是()(()(f a f b af b bf a x a b a b --+--））.【例35】 ()f x 除以1x -，2x -，3x -多得的余数分别为1，2，3，求()f x 除以(1)(2)(3)x x x ---多得的余式.【例36】 求证：99998888777722221111()1f x x x x x x =++++++能被9872()1g x x x x x x =++++++整除.作业1. 分解因式：（1）3246a a a -++.（2）43233116a a a a +---.（3）4322347136x x y x y xy y --+-.2. 若32()23f x x x ax b =-++除以1x +所得的余数为7，除以1x -所得的余数为5，试求a b 、的值.3. 多项式()f x 除以1x -、2x -和3x -所得的余数分别为1、2、3，试求()f x 除以(1)(2)(3)x x x ---所得的余式.4. 若554x qx r -+能被22)x -（整除，求q 与r 的值.5. 分解因式：3245x x +-.6. 分解因式：4322344x x x x +--+.7. 分解因式：4322744x x x x +++-.8. 分解因式：5432271214103x x x x x +++++.9. 分解因式：33(2)(2)x y x y x y ---.10. 分解因式：32236532x x y xy y --+.11. 分解因式：3284()2()x a b c x ab bc ca x abc +++++++.12. 分解因式：32(1)(3)(2)a x ax a x a ----+-.13. 已知多项式543()3811f x x x x x k =++++能被2x +整除，求k 的值.14. 求证：a b -，b c -，c a -都是222()()()a b c b c a c a b -+-+-的因式，并分解因式.15. 一个整系数3次多项式()f x ，有三个不同的整数123,,a a a ，使123()()()1f a f a f a ===.又设b 为不同于123a a a ，，的任意整数，试证明：()1f b ≠.16. 已知a 、b 、c 、d 是正整数，则4414243a b c d x x x x ++++++能被321x x x +++整除.中考文言文阅读精选100题（附答案）（一）阅读下列文言文语段，完成1－ 5题。
小学奥数余数性质(二)精选练习例题含答案解析(附知识点拨及考点)
余数性质（二）教学目标1. 学习余数的三大定理及综合运用2. 理解弃 9 法，并运用其解题知识点拨一、三大余数定理：1.余数的加法定理a与 b的和除以 c的余数，等于 a,b分别除以 c的余数之和，或这个和除以 c的余数。
例如： 23，16除以 5的余数分别是 3 和 1，所以 23+16＝39除以 5的余数等于 4，即两个余数的和 3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。
例如： 23，19除以 5的余数分别是 3和 4，所以 23+19＝42除以 5的余数等于 3+4=7 除以 5的余数为 22.余数的加法定理a与 b的差除以 c的余数，等于 a,b分别除以 c的余数之差。
例如： 23，16除以 5的余数分别是 3和 1，所以 23－ 16＝7除以 5的余数等于 2，两个余数差 3－1＝2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。
例如： 23，14除以 5的余数分别是 3和 4，23－14＝9除以 5的余数等于 4，两个余数差为 3＋5－4＝43.余数的乘法定理a与 b的乘积除以 c的余数，等于 a,b分别除以 c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如： 23，16除以 5的余数分别是 3和 1，所以 23×16 除以 5的余数等于 3×1＝3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以 c 的余数。
例如： 23，19除以 5的余数分别是 3和 4，所以 23×19 除以 5的余数等于 3×4除以 5的余数，即 2. 乘方：如果 a与 b除以 m的余数相同，那么 a n与b n除以 m的余数也相同．二、弃九法原理在公元前 9 世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式1234 1898 18922 678967 178902 8899231234除以 9 的余数为 11898除以 9 的余数为 818922 除以 9 的余数为 4678967 除以 9 的余数为 7178902 除以 9 的余数为 0这些余数的和除以 9 的余数为 2而等式右边和除以 9 的余数为 3，那么上面这个算式一定是错的。
小学三年级 (有余数的除法练习)
小学三年级 (有余数的除法练习)
概述
这份文档为小学三年级学生提供了有余数的除法练题目，旨在帮助学生巩固和提高他们在除法运算方面的能力。
题目一
小明有12个苹果，要平分给2个朋友，请问每个朋友能分到几个苹果？
题目二
小华有16只饼干，要平均分给3个同学，请问每个同学能分到几只饼干？
题目三
小李有18个糖果，要平均分给5个朋友，请问每个朋友能分到几个糖果？是否还有剩余的糖果？
题目四
小红有25条彩带，要平均分给4个同学，请问每个同学能分到几条彩带？是否还有剩余的彩带？
题目五
小燕有30本故事书，要平均分给6个同学，请问每个同学能分到几本故事书？
结论
通过完成这些有余数的除法练题，学生们可以提高他们的除法计算能力，并加深对平均分配概念的理解。
这些练可以在课堂上或家庭作业中使用，给学生提供更多的练机会。
以上为小学三年级 (有余数的除法练)的内容，希望对您有所帮助！
注意：以上是一个简单的示例文档，你可以根据实际需要自行调整内容和长度。
【七年级奥数】第15讲 综合除法和余数定理（例题练习）
第15讲综合除法和余数定理——练习题一、第15讲综合除法和余数定理（练习题部分）1.计算3x3−5x+6 除以(x-2)所得的商式及余数．2.求2x3+5x2−4x4+8 除以x+3所得的商式及余数．3.用综合除法计算(−6x4−7x2+8x+9)÷(2x−1) ．4.用综合除法计算(27x3−9x2+5x−2)÷(3x−2) ．5.求除以x+1所得的余数．6.设f(x)=x4+3x3+8x2−kx+11 被x+3整除，试求k的值．7.设f(x)=2x3+x2+kx−2 能被2x+整除，求k 值.8.设f(x)=3x5−17x4+12x3+6x2+9x+8 ，求f(-) ．9.设f(x)=x4−ax2−bx+2 被(x+1)(x+2)整除，求a、b的值．10.求f(x)=3x4−8x3+5x5−x+8 除以2x-4所得的余数．11.若f(x)=2x3−3x2+ax+b 除以x+1所得的余数为7，除以x-1所得的余数为5，试求a、b的值．12.设f(x)=x2+mx+n (m、n都是整数)既是多项式x4+6x2+25 的因式，又是多项式3x4+4x2+28x+5 的因式，求f(x) 。
13.多项式f(x)除以(x-1)、(x-2)和(x-3)所得的余数分别是1、2、3，试求f(x)除以(x-1)(x-2)(x-3)所得的余式。
14.已知多项式f(x)=ax3+bx2−8x−12 被x-2和x-3整除，试求a、b的值，并求f(x)除以(x-2)(x-3)后所得的商式。
15.若x5−5qx+4r 被(x−2)2整除，求q与r的值．16.已知关于x的三次多项式，f(x)除以x2−1 时，余式是2x-5；除以x2−4 时，余式是-3x+4．求这个三次式．17.一个整系数三次多项式f(x)，有三个不同的整数a1、a2、a3，使f(a1)=f(a2)=f(a3)=1 ．又设b 为不同于a1、a2、a3的任意整数，试证明：f(b)≠1.答案解析部分一、第15讲综合除法和余数定理（练习题部分）1.【答案】解：用综合除法计算如下：∴商式为：3x2+6x+7，余数为：20.【解析】【分析】综合除法过程如下：( 1 )被除式按x的降幂排列好，依次写出各项的系数，遇到缺项，必须用“0”补足．( 2 )将(-a的相反数)a写在上述系数的左边，彼此用竖线隔开．( 3 )将被除式的第一个系数作为第二行的第一个数．用它乘a，加上第二个系数，得到第二行的第二个数．再把这第二个数乘a，加上第三个系数，得到第二行的第三个数……依此类推．最后得到的数为余数，把它用线隔开，线外就是商式的系数．由此计算即可得出答案.2.【答案】解：将多项式按x的降幂排列为：−4x4+2x3+5x2+8，由综合除法得：∴商式为：-4x3+14x2-37x+111，余数为：-325.【解析】【分析】综合法过程如下：( 1 )被除式按x的降幂排列好，依次写出各项的系数，遇到缺项，必须用“0”补足．( 2 )将(-a的相反数)a写在上述系数的左边，彼此用竖线隔开．( 3 )将被除式的第一个系数作为第二行的第一个数．用它乘a，加上第二个系数，得到第二行的第二个数．再把这第二个数乘a，加上第三个系数，得到第二行的第三个数……依此类推．最后得到的数为余数，把它用线隔开，线外就是商式的系数．由此计算即可得出答案.3.【答案】解：∵(2x−1)=2（x-），∴先用(−6x4−7x2+8x+9)÷（x-），∴−6x4−7x2+8x+9=（x-）（-6x3-3x2-x+）+，=2（x-）×（-6x3-3x2-x+）+，=(2x−1)（-3x3-x2-x+）+，∴商式为：-3x3-x2-x+，余数为：.【解析】【分析】如果除式是一次式，但x的系数不为1，即除式ax+b (a≠0且a≠1)，可先用f(x) 除以x+(这时可用综合除法)，得到f(x)=(x+)⋅q(x)+r；从而f(x)=a(x+)⋅⋅q(x)+r= (ax+b)(⋅q(x))+r.因此所求的商式是⋅q(x) ，余数仍为r．4.【答案】解：∵(3x−2)=3（x-），∴先用(27x3−9x2+5x−2)÷(x-)，∴27x3−9x2+5x−2=(x-)（27x2+9x+11）+，=3(x-)×（27x2+9x+11）+，=(3x−2)（9x2+3x+）+，∴商式为：9x2+3x+，余数为：.【解析】【分析】如果除式是一次式，但x的系数不为1，即除式ax+b (a≠0且a≠1)，可先用f(x) 除以x+(这时可用综合除法)，得到f(x)=(x+)⋅q(x)+r；从而f(x)=a(x+)⋅⋅q(x)+r= (ax+b)(⋅q(x))+r.因此所求的商式是⋅q(x) ，余数仍为r．5.【答案】解：综合除法计算如下：∴余数为8.【解析】【分析】综合法过程如下：( 1 )被除式按x的降幂排列好，依次写出各项的系数，遇到缺项，必须用“0”补足．( 2 )将(-a的相反数)a写在上述系数的左边，彼此用竖线隔开．( 3 )将被除式的第一个系数作为第二行的第一个数．用它乘a，加上第二个系数，得到第二行的第二个数．再把这第二个数乘a，加上第三个系数，得到第二行的第三个数……依此类推．最后得到的数为余数，把它用线隔开，线外就是商式的系数．由此计算即可得出答案.6.【答案】解：∵设f(x) 被x+3整除，由余数定理可得：f(-3)=0，∴f(-3)=（-3）4+3×（-3）3+8×（-3）2-k×（-3）+11=0，解得：k=-.∴k值为-.【解析】【分析】因为f(x) 被x+3整除，由余数定理可得f(-3)=0，代入、解方程即可.7.【答案】解：∵2x+=2（x+），∴ f(x)=2x3+x2+kx−2 能被x+整除，由余数定理可知：f(-)=0，即2×（-）3+（-）2+（-）k-2=0，解得：k=-7.∴ k值为-7.【解析】【分析】如果f(x)能被ax+b (a≠0且a≠1)整除，则f(x)能被x+整除，由余数定理可知f（-）=0，代入、解方程即可.8.【答案】解：∵f(x)=3x5−17x4+12x3+6x2+9x+8，∴ f(-)=3×（-）5-17×（-）4+12×（-）3+6×（-）2+9×（-）+8，=---+-3+8，=5.另解：原题等介于求（3x5−17x4+12x3+6x2+9x+8 ）÷（x+）的余数，用综合法计算得：∴余数为5，即f(-)=5.【解析】【分析】根据题意将x=-代入f（x），计算即可得出答案.9.【答案】解：∵ f(x) 被(x+1)(x+2)整除，∴ f(x) 被x+1和x+2整除，根据因式定理，有f(−1)=(−1)4−a×(−1)2-b×(−1)+2=a-b=3，f(-2)=（-2）4−a×（-2）2-b×（-2）+2=2a-b=9，即，解得：.∴a=6，b=3.【解析】【分析】根据因式定理，结合题意可得f(−1)=0，f(2)=0，即得到一个关于a、b的二元一次方程组，解之即可.10.【答案】解：f（x）先按x的降幂排列：f(x)=5x5+3x4−8x3−x+8，∵2x-4=2（x-2），∴先用（5x5+3x4−8x3−x+8）÷（x-2），∴∴5x5+3x4−8x3−x+8=（x-2）（5x4+13x3+18x2+36x+71）+150，=2（x-2）×（5x4+13x3+18x2+36x+71）+150，=（2x-4）（x4+x3+9x2+18x+）+150，∴f(x)=3x4−8x3+5x5−x+8 除以2x-4所得的余数是150.【解析】【分析】如果除式是一次式，但x的系数不为1，即除式ax+b (a≠0且a≠1)，可先用f(x) 除以x+(这时可用综合除法)，得到f(x)=(x+)⋅q(x)+r；从而f(x)=a(x+)⋅⋅q(x)+r= (ax+b)(⋅q(x))+r.因此所求的商式是⋅q(x) ，余数仍为r．11.【答案】解：根据题意，由余数定理可知：f(-1)=7，f(1)=5 ，即，解得：.∴a=-3，b=9.【解析】【分析】根据余数定理可得f(-1)=7，f(1)=5 ；从而得一个关于a、b的二元一次方程组，解之即可.12.【答案】解：令g（x）= x4+6x2+25 ，h（x）=3x4+4x2+28x+5 ，∵f(x)既是多项式x4+6x2+25 的因式，又是多项式3x4+4x2+28x+5 的因式，∴f(x)必定是g（x）与h（x）差的因式，∴3g（x）-h（x）=3（x4+6x2+25 ）-（3x4+4x2+28x+5 ），=14x2-28x+70，=14（x2-2x+5），∴f(x)=x2-2x+5.【解析】【分析】根据g（x）、h（x）能被f(x)整除，所以他们的和、差、倍都能被f(x)整除，通过3g（x）-h（x）实现降次，从而得出f(x).13.【答案】解：根据题意，由余数定理可知：f（1）=1，f（2）=2，f（3）=3，设f(x) 除以(x-1)(x-2)(x-3)，所得商式为q(x)，余式为ax2+cx+d，则f(x)=(x−1)(x−2)(x-3)⋅q(x)+(ax2+cx+d) ，依题可得：，解得：.∴所求的余式为x．【解析】【分析】设f(x) 除以(x-1)(x-2)(x-3)，所得商式为q(x)，余式为ax2+cx+d，则f(x)=(x−1)(x−2)(x-3)⋅q(x)+(ax2+cx+d) ，利用余数定理列出方程组，解之即可．14.【答案】解：∵ f(x)=ax3+bx2−8x−12能被x-2和x-3整除，∴ f(2)=0，f(3)=0，即，解得：，∴ f(x)=-3x3+13x2−8x−12 ，又∵ f(x)=-3x3+13x2−8x−12能被x-2和x-3整除，∴f(x)=-3x3+13x2−8x−12能被(x-2)(x-3)整除，设f(x) 除以(x-2)(x-3)，所得商式为q(x)=cx+d，则f(x)=(x−2)(x−3)⋅q(x)，∴f(x)=-3x3+13x2−8x−12=(x−2)(x−3)⋅（cx+d），即-3x3+13x2−8x−12=cx3+（d-5c）x2+（6c-5d）x+6d，∴，解得：，∴商式是-3x-2.【解析】【分析】根据题意由余数定理可知f(2)=0，f(3)=0，列出一个关于a、b的方程，解之可得f （x）解析式；根据题意可得f(x)能被(x-2)(x-3)整除，设f(x) 除以(x-2)(x-3)，所得商式为q(x)=cx+d，则f(x)=(x−2)(x−3)⋅q(x)，由待定系数法列出方程，解之即可.15.【答案】解：∵ x5−5qx+4r 被(x−2)2整除，∴令f（x）= x5−5qx+4r = (x−2)2（ax3+bx2+cx+d），即x5−5qx+4r =ax5+（b-4a）x4+（c-4b+4a）x3+（d+4b-4c）x2+4（c-d）x+4d，∴a=1，b-4a=0，c-4b+4a=0，d+4b-4c=0，4（c-d）=-5q，4r=4d，解得：a=1，b=4，c=12，d=32，q=16，r=32，∴q=16，r=32.【解析】【分析】根据x5−5qx+4r 被(x−2)2整除，从而可设f（x）= x5−5qx+4r = (x−2)2（ax3+bx2+cx+d），根据待定系数法列出方程，解之即可.16.【答案】解：依题可设：f(x)=（x2−1）（ax+b）+（2x-5），f(x)=（x2−4）（cx+d）+（-3x+4），∴（x2−1）（ax+b）+（2x-5）=（x2−4）（cx+d）+（-3x+4），即ax3+bx2+（2-a）x+（-b-5）=cx3+dx2+（-4c-3）x+（4-4d），∴，解得：.∴这个三次多项式是-x3+3x2+x-8．【解析】【分析】根据题意可设f(x)=（x2−1）（ax+b）+（2x-5）=（x2−4）（cx+d）+（-3x+4），化简，根据待定系数法列出方程，解之即可.17.【答案】解：依题可设：f(x)=a(x-a1)(x-a2)(x-a3)+1（a≠0），∴f（b）=a(b-a1)(b-a2)(b-a3)+1，∵b为不同于a1、a2、a3的任意整数，∴a(b-a1)(b-a2)(b-a3)≠0，∴f（b）=a(b-a1)(b-a2)(b-a3)+1≠1，即f（b）≠1.【解析】【分析】根据题意设f(x)=a(x-a1)(x-a2)(x-a3)+1（a≠0），将x=b代入得f（b），由b为不同于a1、a2、a3的任意整数得a(b-a1)(b-a2)(b-a3)≠0，从而得证.。
六年级数学同余定理试题
六年级数学同余定理试题1.有一个自然数，用它分别去除63，90，130都有余数，3个余数的和是25．这3个余数中最大的一个是多少?【答案】20【解析】设这个自然数为☆，设它除63，90，130所得的余数依次为a，b，c，商依次为A，B，C．显然有63+90+130＝☆×(A+B+C)+(a+b+c)＝☆×(A+B+C)+25，所以☆×(A+B+C)＝(63+90+130)－25＝258，所以☆是258的约数．258＝2×3×43，显然当除数☆为2、3、6时，3个余数的和最大为3×(2－1)＝3，3×(3－1)＝6，3×(6－1)＝15，所以均不满足．而当除数☆为43×2，43×3，43×2×3时，它除以63的余数均是63，所以也不满足．那么除数☆只能是43，它除以63，90，130的余数依次为20，4，1，余数的和为25，满足．显然这3个余数中最大的为20．2.用某自然数去除，得到商是46，余数是，求和．【答案】43,14【解析】因为是的倍还多,得到，得，所以，．3.求除以17的余数．【答案】1【解析】先求出乘积再求余数，计算量较大．可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除以17的余数．除以17的余数分别为2，7和11，．4.除以7的余数是多少？【解析】由于，而1001是7的倍数，所以这个乘积也是7的倍数，故除以7的余数是0；5.已知，问：除以13所得的余数是多少？【答案】6【解析】2008除以13余6，10000除以13余3，注意到；；；根据这样的递推规律求出余数的变化规律：20082008除以13余，200820082008除以13余，即200820082008是13的倍数．而除以3余1，所以除以13的余数与除以13的余数相同，为6.6.甲、乙、丙三数分别为603，939，393．某数除甲数所得余数是除乙数所得余数的2倍，除乙数所得余数是除丙数所得余数的2倍．求等于多少？【答案】17【解析】根据题意，这三个数除以都有余数，则可以用带余除法的形式将它们表示出来：由于，，要消去余数, , ,我们只能先把余数处理成相同的，再两数相减．这样我们先把第二个式子乘以2，使得被除数和余数都扩大2倍，同理，第三个式子乘以4．于是我们可以得到下面的式子：这样余数就处理成相同的．最后两两相减消去余数，意味着能被整除．，，．51的约数有1、3、17、51，其中1、3显然不满足，检验17和51可知17满足，所以等于17．7.著名的裴波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21……这串数列当中第2008个数除以3所得的余数为多少？【解析】斐波那契数列的构成规则是从第三个数起每一个数都等于它前面两个数的和，由此可以根据余数定理将裴波那契数列转换为被3除所得余数的数列：1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0……第九项和第十项连续两个是1，与第一项和第二项的值相同且位置连续，所以裴波那契数列被3除的余数每8个一个周期循环出现，由于2008除以8的余数为0，所以第2008项被3除所得的余数为第8项被3除所得的余数，为0.8.已知2008被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个？【答案】11【解析】本题为一道余数与约数个数计算公式的小综合性题目。
综合除法
第五节综合除法、余数定理内容讲解一般地，多项式f（x）除以一次多项式（x-a）•的商式系数和余数有如下规律：商式的最高次项系数就是f（x）（按降幂排列后）的第一项系数，把这个数乘以b后再加上f（x）的第二项系数就得商的次商为次项系数，如此类推最后得余数，这种方法叫做综合除法．余数定理：多项式f（x）除以（x-a）所得的余数等于f（a）．如果f（x）能被（x-a）•整除，也就是（x-a）是f（x）的因式．反之，如果（x-a）是f（x）的因式，那么f（x）•能被（x-a）整除．因此，由余数定理，容易得出：因式定理：如果f（a）=0，那么（x-a）是f（x）的因式，反之，如果（x-a）是f（x）•的因式，那么f（a）=0．例题剖析例1 用综合除法求（3x3+5x2-2）除以（x+3）的商式和余数．分析：整式的除法我们可以用竖式法和分离系数法，这里我们主要是熟悉综合除法．解：把除式变成（x-a）形为x-（-3）．如右式所示：所以商式＝3x2-4x+12．余数＝－38．评注：在用综合除法时，①被除式和除式均按降幂排列，其缺项要用"0•"补项．②除式一定要变成（x-a）的形式．③若f（x）的除式为px-q形（p≠0），•可先变除式为：p（x- ）。
再用综合除法求出除以（x- ）的商式Q′（x）和余数k′，则f（•x）•÷（px-q）的商式为Q（x）= Q′（x），余数R=R′．例2 分解因式x4+2x3-9x2-2x+8．分析：原式可能有x±1，x±2，x±4，x±8因式，由于f（1）=0，f（-1）=0，•所以由因式定理，原多项式含有（x-1）（x+1）这两个因式，然后用综合除法即可求解．解：∵f（1）=0，f（-1）=0，∴原式中含有（x-1）和（x+1）这两个因式．•由综合除法得：原式＝（x-1）（x+1）（x-2）（x+4）评注：（1）如果多项式f（x）中各项系数的和等于零，那么f（x）有一次因式（x-1）；若奇次项的系数的和等于偶次项系数的和，则f（x）有一次因式（x+1），记住这个结论很有用．（2）本题用分组分解也较简单，请同学们自己求解．例3 已知x+x-6是多项式2x4+x3-ax2+6x+a+b-1的因式，求a，b的值．分析：此题如果用以前的方法求解，就显得特别的繁琐，•但用因式定理就比较简单．解：∵x2+x-6=（x+3）（x-2），又x2+x-6是多项式2x4+x3-ax2+bx+a+b-1的因式．∴x+3，x-2是它的两个因式．由因式定理，得f（-3）=0，f（2）=0，即∴a=16，b=3．评注：因式定理在因式分解及其他地方得到广泛的应用，必须高度重视并熟悉掌握．例4 2x+1除6x4-5x3-3x2-x+4所得的余数．分析：我们可以用竖式除法，分离系数法和综合除法求此题的余数，这里我们主要尝试余数定理求解．解：∵2x+1=2[x-（- ）]由余数定理，得：r=f（- ）=6×（- ）4-5×（- ）3-3×（- ）2-（- ）+4=4 ．评注：余数定理可以直接求多项式f（x）除以（x-a）式除以（px-q）的余数．例5 证明：（1）对任意自然数n，an-bn能被（a-b）整除．（2）当n为偶数时,an-bn能被（a+b）整除；（3）当n为奇数时，an-bn被（a+b）除的余数为-2b．分析：如果我们把an-bn看成是字母a或b的多项式f（a）或f（b），问题就转化为f （a）•或f（b）被（a-b）或（b-a）整除的问题，于是可用余数定理求解．证明：把an-bn看成是字母a的多项式f（a）．（1）对任意自然数n，当a=b时，f（b）=bn-bn=0，所以f（a）=an-bn能被（a-b）整除．（2）当n为偶数时，f（-b）=（-b）n-bn=0，所以an-bn能被a-（-b）=a+b整除．（3）当n为奇数时，f（-b）=（-b）n-bn=-2bn，故an-bn被（a+b）除的余数为-2bn．评注：正确使用余数定理，可以快捷地解答一些复杂的问题，希望读者仔细体会．巩固练习1．用综合除法求（2x3+x-7）÷（2x+1）的商式、余数．2．已知x= ，求f（x）=3x3-2x2+5的值．3．求证2x+3是2x4-5x3-10x2+15x+18的因式．4．利用因式分定理分解因式x3+y3+z3-3xyz．5．已知f（x）=ax3+bx2-47x-15可被3x+1和2x-3整除，求a，b．答案:1．商式=x2- x+ 余数=- ．2．用综合除法求f（x）÷（x- ）的余数得f（）= ．3．令f（x）=2x4-5x3-10x2+15x+18．∵f（- ）=2（- ）4-5（- ）3-10（- ）2+15（- ）+18=0，∴2x+3是f（x）的因式．4．令f（x）=x3+y3+z3-3xyz，当x=-（y+z）时，f（x）=f（-（x+y））=-（y+z）3+y3+z3+3（y+z）yz=-（y+z）3+（y+z）3=0，由因式定理知原式有因式x+y+z，又因为原式是关于x，y，z•的三次齐次式，故令原式=（x+y+z）[a（x2+y2+z2）+b（xy+yz+zx）]，比较两边x3的系数，得a=1，取x=1，y=1，z=1，得0=3×（3+3b），∴b=-1，故原式=（x+y+z）（x2+y2+z2-xy-yz-zx）．5．由因式定理有f（- ）=0和f（）=0，即有解此方程，得：a=24，b=2．。
综合除法
综合除法40本词条百科名片缺少名片信息, 正文无图片, 百科名片缺少图片, 无基本信息模块, 欢迎各位编辑词条，额外获取40个积分。
目录1 符号2 例题3 因式分解4 方法介绍1 符号2 例题3 因式分解4 方法介绍1 符号编辑本段Q 商式R 余式2 例题编辑本段( 2x^3 - 6x^2 + 11x - 6) ÷(x - 1)解：Image:MathEquation.GIF被除数：被除数的未知数应是降幂排列，抽取系数用以计算，但若题目的被除数出现，降幂次数中没有3，则在演算的过程中在该系数的位置上补上0，然后如常计算。
除数：除数中的未知数前的系数有时并不一定会是1，当出现别的系数时，如：3x –2中的3，我们会把它变做3 (x - 2/3) ，同样以 - 来计算，但当得出结果的时候除余式外全部除以该系数。
∴答：商式Q = 2x^2 - 4x + 7余式R = 1注意：演算时，须紧记末项是余式之系数，即原被除式末项文字之系数。
商式之首项文字必较原被除式之首项文字次数少1，余依齐次式类推。
3 因式分解编辑本段综合除法的依据是因式定理即若(x-a)能整除某一多项式，则(x-a)是这一多项式的一个因式。
用x－b除有理整式f(x)=A0+A1x+A2x^2+…+An-1x^n-1+AnX^n所得的余数为f(b)=a0b+a1b+a2b+…+an-1b+an(余数定理)，若f(b)=0时，f(x)有x－b的因式．用综合除法找出多项式的因式，从而分解因式的方法．例分解因式3x^3-4x^2-13x-6∴原式=(x－3)(3x+2)(x+1).说明：(1)用综合除法试商时，要由常数项和最高次项系数来决定．常数项的因数除以最高次项系数的因数的正负值都可能是除的整除商．上例中常数项是6，最高次项系数是3它们的因式可能是x±1，x±2，x±3，x±6，3x±1，3x±2．试除时先从简单的入手．(2)因式可能重复．4 方法介绍编辑本段另外告诉你一下有关综合除法的计算对这个很有帮助比如(3x^3-6x^3+4x^2-1)÷（x-1）将x-1的常数项-1做除数将被除式的每一项的系数列下来由高幂到低幂排列缺项的系数用零代替，将最高项的系数落下来，用除数-1乘以落下的3，得-3，写在第二项-6下，用-6减-3写在横线下（补：若是用x-1=0的解即取x=1作为除数则是用加），再用-1乘以-3的3写在第三项4下，用4减3得1写在横线下一直除...直到最后一项得0所以就有(3x^3-6x^2+4x-1)÷（x-1）=3x^2-3x+1 0横线下的就是商式的每一项系数，而最后的一个就是余式这里商式是3x^2-3x+1，余式是0-1┃3 -6 4 -1 (用1 1┃3 -6 4 -1（-）┃ -3 3 -1 做除数（+ ) ┃ 3 -3 1┗━━━━━ ┗━━━━━3 -3 1 |0 -3 1 |0又如(4x^3-3x^2-4x-1)÷（x+1）1┃4 -3 -4 -1┃ 4 -7 3┗━━━━━4 -7 3|-4所以(4x^3-3x^2-4x-1)÷（x+1）=4x^2-7x+3……-4商式是4x^2-7x+3，余式是-4注意！！这个方法仅用于除式为x-a的形式的多项式除法。
混合运算、有余数的除法
混合运算一、计算84＋42÷6＝ 54－4×6＝ 8×9-42＝ 24÷8－1＝68＋1×9＝ 2×7－0＝ 42÷7－1＝ 65－3×9＝二、做一做小松鼠回家。
3. 猴子采了多少香蕉？列式计算。
38 20144. 下面的机器猫计算对吗？如果不对，把它改正过来。
三、应用题1. 体育老师买了一条36米长的绳子,做长跳绳用去15米,还剩多少米?2.体育老师买了一条36米长的绳子,做长跳绳用去15米,做短跳绳用去8米,还剩多少米?3.学校用80元买体育用品,买篮球用去60元,还剩多少元?4.学校用80元买体育用品,买篮球用60元,剩下的买了4根跳绳,每根跳绳多少元?有余数的除法练习题一、填空1、有余数的除法中，被除数=（ ）×（ ）+（ ）45÷3×3=45÷9 =545-25+3 =45-28 =17 5×8÷4 =40÷4=102、20以内能被3整除的数有：3、6、（）、（）、（）、（）3、计算有余数的除法时，余数要比除数( )。
4.在5与1的和、差、积、商中，最大的是( )，最小的是( )。
5.一个星期有7天，五月份有31天，有( )个星期多( )天。
二、选择题（将正确答案的序号填在括号里）1、20以内能被6整除的数有（）（1）12 （2）18 （3）6，12，18 （4）62、23664÷231的商和余数分别是（）（1）102和12 （2）102和102 （3）102和1203、13600÷300的商和余数分别是（）（1）45和1 （2）45和10 （3）45和1004、甲数除以乙数的商是36．甲数是108，乙数是多少？列式是（）（1）36×108（2）108÷36（3）36÷1085、商是7的算式是( )。
初中数学《综合除法、大除法》讲义及练习
板块一 综合除法、多项式除法记号()f x关于x 的代数式常用记号()f x 或()g x 等表示，例如，用()f x 表示代数式223x x +-，则可记为 ()223f x x x =+-．这时()1f 就表示1x =时，代数式223x x +-的值，即()2121130f =⨯+-=，同样地，有()2020033f =⨯+-=-；()()()2121132f -=⨯-+--=-等等．用()f x 可以代表关于x 的各种不同的代数式，但在同一个问题中，不同的代数式要用不同的字母表示，如()f x ，()g x ，()q x ，()r x 等．综合除法在学习多项式除法时，我们有带余除法：()()()()f x g x q x r x =⋅+ （1）其中()f x 表示被除式，()g x 表示除式，()q x 表示商式，()r x 表示余式，且余式()r x 的次数小于除式()g x 的次数．如果()g x 是一次式x a -，则()r x 的次数小于1，因此，()r x 只能为常数（0或非零常数）．这时，余式也叫余数，记为r ，即有()()()f x x a q x r =-⋅+ （2）当一个多项式除以一个形如x a -的一次式时，有一种简便的运算方法——综合除法，我们用一个例子来说明，如求()2357f x x x =+-除以2x +所得的商式和余式． 解析：先用一般的竖式除法计算2231235736725x x x x x xx x -++-+----所以，商式为31x -，余数为5-．从运算中我们可以发现上述运算实际上是它们系数之间的运算，所以我们可以省去字母，将上面的除法用下面的简便方式来表示．3 5 726 2 3 1 5+-----商式为31x -，余数为5-．这种简便的除法，称为综合除法，其演算过程如下：⑴被除式按x 的降幂排列好，依次写出各项的系数，遇到缺项，必须用“0”补足． ⑵把除式x a -的常数项的相反数a 写在各项系数的左边，彼此用竖线隔开．⑶下移第一个系数作为第三行的第一个数；用它乘以a ，加上第二个系数，得到第三行的第二个数；再例题精讲综合除法和余数定理把这个数乘以a ，加上第三个系数，就得到第三行的第三个数，…，依此进行运算，最后一个数即为余数，把它用线隔开，线外就是商式的多项式系数．【例 1】 求4222356x x x x --++除以()1x +所得的商式和余数． 【解析】 用综合除法计算如下：2 3 1 +5 +612 5 4 1 2 5 4 1 5-------所以，商式为322541x x x -++，余数为5．点评：本题介绍的是不含缺项且除式系数为1的综合除法．【巩固】 求多项式()3243525f x x x x =+--除以2x -所得的商式和余数． 【解析】 先将()f x 按降幂排列，()3243525f x x x x =+--43223505x x x x =-+++⋅-用综合除法，计算如下：2 +3 5 0 524 2 6 12 2 1 3 6 7-+----- 所以，商式为32236x x x --++，余数为7．点评：本题介绍的是含有缺项且除式的系数为1的综合除法， 注意应先将()f x 缺项，应该用零补足．【巩固】 求多项式43223248x x x +--除以2x -的商式和余数． 【解析】 商式()32271224q x x x x =+++，余数0r =．用余数定理可知余数为()20f =．【例 2】 用综合除法计算()()43267821x x x x --+÷+． 【解析】12122x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，先用432678x x x --+除以12x +． 6 7 1 0 +81 3 5 2 12 6 10 4 2 9-------所以，我们有432678x x x --+()3216104292x x x x ⎛⎫=+-+-+ ⎪⎝⎭()3211261042922x x x x ⎡⎤⎛⎫⎡⎤=+⋅-+-+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦()()322135219x x x x =+⋅-+-+因此，所求的商式为323521x x x -+-，余数为9．点评：如果除式是一次式，但x 前的系数不为1，即除式为()ax b +，（0a ≠，1a ≠），则可先用()f x 除以b x a +，这时就可用综合除法了，若通过计算得到()()b f x x q x r a ⎛⎫=+⋅+ ⎪⎝⎭，则()()()()11b f x a x q x r ax b q x r a a a ⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎡⎤=+⋅+=+⋅⋅+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦．因此所以的商式是()1q x a ⋅，余数仍为r ．【巩固】 用综合除法计算：()()432653421x x x x x ---+÷+．【解析】 先将原式变形，原式()4321653422x x x x x ⎛⎫=---+÷+÷ ⎪⎝⎭，用综合除法求出()432165342x x x x x ⎛⎫---+÷+ ⎪⎝⎭的商式和余式，然后再求原式的商式和余式．综合除法计算()432165342x x x x x ⎛⎫---+÷+ ⎪⎝⎭如下：再把商式323682x x x -+-除以2得，商式()32133424q x x x x =-+-，余数194r =．点评：本例介绍的是除式的系数不为1的综合除法，其解法的理论依据是余数定理，令12x +与21x +的值为0，均有12x =-，由余数定理可知，余数均为12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭．由余数定理可知，()()()b f x f ax b q x a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，()()b b f x f x aq x a a ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故43219153442bx x x x x ⎛⎫⎛⎫---+-÷+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的商式为()()432653421x x x x x ---+÷+的12，但它们的余数相同，这就是该解法的来历．【例 3】 计算：()()432229291x x x x x +--+÷-.【解析】 看看此题，我们发现除式的次数不是1，我们还能用综合除法吗？显然是不能直接使用综合除法了，因为综合除法要求除式的次数为1，那么我们可不可以依照上例的解题思路呢？反正，余数是一定的，那么我们可以先求()()43223291x x x x x +--+÷+的商式，然后再求()()()432292911xx x x x x +--+÷+÷-的商式，不管可行不可行，先试试再说！综合除法求()()43229291x x x x x +--+÷+的同式如下： 商式为32108x x x +-+，余数为1再求()()321081x x x x +-+÷-的商式如下：从而可知，()()432229291x x x x x +--+÷-的商式为228x x +-，余数为1．此方法虽然可行，但我们发现比较复杂，那么有没有更好的更直接的办法呢？有！答案就是多项式除法，我们在做前面的例题时，发现多项式除法不如综合除法那么简单，那是在除式的最高次数为1的情况下，若除式的最高次不为1，则多项式除法更快，更准确！如果除式不可分解，则不可行，其实以上就是综合除法与多项式除法之间的异同！ 下面我们看看多项式除法解本题，如下：22432423232228129292822289881x x x x x x x x x x x xx xx x +--+--+-----+-+()()432229291xx x x x +--+÷-的商式为228x x +-，余数为1．点评：本题介绍的是除式为非1次的多项式或除法，可作为从综合除法到多项式除法的过渡．【巩固】 计算：()()643355571x x x x x -+-+÷+． 【解析】 显然本题应该使用多项式除法来解，过程如下：323265432654343243232320540010550570054055005400740043x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x +-+++++-++-++++-++-----++++++故商式为354x x -+，余数为3．点评：本题中，除式和被除式均有缺项．【巩固】 计算：()()43223471361x x y x y xy y x y --+-+÷-．【解析】 3234322344322322334347671361713776661x y x y x y x yx y x y x y x yx y x y x y x y xy x y y x by -+---+-+--+-+--故商式为32376x xy y -+，余数为1．点评：本题在前面例题变式的基础上更进一步，介绍的是二元的多项式除法，请大家体会其解题步骤．板块二 余数定理和因式定理余数定理和因式定理由()()()f x x a q x r =-⋅+式，当x a =时，有()()()f a a a q x r r =-⋅+=，因此，我们有以下重要定理：余数定理：多项式()f x 除以()x a -所得的余数等于()f a ，有些时候余数定理作余式定理． 如求()2357f x x x =+-除以2x +的余数．解析：由于()22x x +=--，()()()22325275f -=⨯-+⨯--=-．所以，所求的余数为5-．这与我们前面用综合除法求得的余数相同．再由（2）式知，如果()f x 能被x a -整除，那么必有0r =；反之，如果0r =，那么()f x 能被x a -整除，由此，我们有：因式定理：若多项式()f x 能被x a -整除，亦即()f x 有一个因式x a -，则()0f a =；反之，如果()0f a =，那么x a -必为多项式()f x 的一个因式．【例 4】 求()4353858f x x x x x =-+-+除以24x -所得的余数．【解析】 根据余数定理：多项式()f x 除以x a -所得的余数等于()f a ，也就是说令除式为零求出的x ，代入原多项式所得的值，就是两式相除的余数．从而可知，原式除以24x -所得的余数为：()435232825228150f x =-+⨯-+=．【巩固】 设()543231015987f x x x x x x =+--++，求13f ⎛⎫- ⎪⎝⎭．【解析】 先用综合除法，计算()13f x x ⎛⎫÷+ ⎪⎝⎭．求得()13f x x ⎛⎫÷+ ⎪⎝⎭的余数4，根据余数定理，143f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．点评：本题也可用13-直接代入()f x 来计算，但计算时比较麻烦，改用综合除法，利用余数定理来计算，则相对较简单．【例 5】 多项式()f x 除以1x -，2x -所得的余数分别为3和5，求()f x 除以()()12x x --所得的余式．【解析】 根据题意，由余数定理，知()13f =，()25f =．设()f x 除以()()12x x --后所得商式为()q x ，余式为ax b +，（因为除式是二次的，所以余式至多是一次的），则()()()()()12f x x x q x ax b =--⋅++⎡⎤⎣⎦， 所以，有()()13,(1)22 5.(2)f a b f a b ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩由⑴，⑵解得2a =，1b =． 因此，所求的余式为21x +．说明：余数定理讨论的是()f x 除以一次式x a -的余数问题，当除式超过一次时，余式的形式就变得复杂了，本题的方法具有普遍性，可看作是余数定理的一种推广．【巩固】 多项式()f x 除以1x -，2x -，3x -所得的余数分别为1，2，3，试求()f x 除以()()()123x x x ---所得的余式． 【解析】 设()()()()()2123f x x x x q x ax bx c =---+++，则有()11f a b c =++=，()2422f a b c =++=，()3933f a b c =++=解之得，0a =，1b =，0c =，故()()()()()123f x x x x q x x =---+， 从而可知()f x 除以()()()123x x x ---所得的余式为x ．【巩固】 已知()32232f x x x x =+++除以整数系数多项式()g x 所得的商式及余式均为()h x ，试求()g x 和()h x ，其中()h x 不是常数．【解析】 设()()()()f x g x h x h x =⋅+，则有()()()1f x g x h x =+⎡⎤⎣⎦又()()()()()322223212111f x x x x x x x x x x ⎡⎤=+++=+++=++++⎣⎦，根据余数定理可知，()h x 的次数小于()g x ，故()21g x x x =++，()1h x x =+．【巩固】 求一个关于x 的二次三项式()f x ，它能被1x -除余2，被2x -除余8，并且它被1x +整除． 【解析】 设()2f x ax bx c =++，则由余数定理可知，()12f =，()28f =，()10f -=，故5234281023a a b c a b c b a b c c ⎧=⎪++=⎧⎪⎪++=⇒=⎨⎨⎪⎪-+=⎩⎪=-⎩，故()25233f x x x =+-．【巩固】 试确定a 和b 的值，使()432235f x x x ax x b =-+++被()()12x x +-整除． 【解析】 因为()f x 被()()12x x +-整除，所以()f x 被1x +和2x -整除，根据因式定理，有()()()()()43212131151f a b -=⨯--⨯-+⨯-+⨯-+0a b =+=，()43222232252f a b =⨯-⨯+⨯+⨯+4180a b =++=，即0,4180.a b a b +=⎧⎨++=⎩ 解之得 6a =-，6b =．【巩固】 设()4323811f x x x x kx =++-+被3x +整除，试求k 的值． 【解析】 由题意知()30f -=，亦即：()()()()432333833110k -+⨯-+⨯---+=，即3830k +=，从而833k =-．【巩固】 已知关于x 的三次多项式()f x 除以21x -时，余式是25x -；除以24x -时，余式是34x -+，求这个三次多项式． 【解析】 设()32f x ax bx cx d =+++，则由余数定理可知()1253f =-=-， ()1257f -=--=-， ()2642f =-+=-，()210414f -=+=故有533738422113842108a a b c d a b c d b a b c d c a b c d d ⎧=-⎪+++=-⎧⎪⎪-+-+=-=⎪⎪⇒⎨⎨+++=-⎪⎪=⎪⎪-+-+=⎩⎪=-⎩故所求多项式为()325113833f x x x x =-++-．【例 6】 若554x qx r -+被()22x -整除，求q 与r 的值．【解析】 （解法一）设()()2532542x qx r x x ax bx r -+=-+++，则有()()()()5543254444544444x qx r x a x b a x b a x b r x r -+=+-+-++-++-+对比各项系数可知，40a -=，440b a -+=，440r b a -+=，445b r q -=-解之得，4a =，12b =，32r =，16q = 故16q =，32r =． （解法二）也可使用未知数系数含字母的多项式除法来求解本题，如下：322543254343243232322241232440005444440416161216512484832(548)432128128x x x x x x x x x qx rx x x x x x x x x x x qx x x xx q x r x x +++-++++-+-+-+-+---+-++-+故548128q +=，412816r q =⇒=，32r =．【巩固】 设()2f x x mx n =++（m ，n 都是整数）既是多项式42625x x ++的因子，又是多项式4234285x x x +++的因子，求()f x ．【解析】 经观察发现，426250x x ++>，故不可能根据因式定理找出一个一次式是它的因式，这样，我们就无法根据因式定理直接来求()f x ，但是根据因式定理可知，若()()()f x q x g x =⋅，()()()h x p x g x =⋅，则有()()()()()f x nh x q x np x g x -=-⋅⎡⎤⎣⎦ 我们可以利用这一点消去高次项，然后求出()f x ．设()()4234285x x x f x g x +++=⋅，()()42625x x f x h x ++=⋅，则有()()()()()()4242325342853x bx x x x f x h x f x g x ++-+++=⋅-⋅即()()()21428703x x f x h x g x -+=-⎡⎤⎣⎦ 即()()()()214253x x f x h x g x -+=-⎡⎤⎣⎦又()2f x x mx n =++，故()225f x x x =-+．点评：本题是间接利用因式定理的一个典型的例题，解题思想值得反复回来．【拓展】证明：当a 、b 是不相等的常数时，若关于x 的整式()f x 被x a -和x b -整除，则()f x 也被()()x a x b --整除．【解析】 设()f x 被()()x a x b --除时，商式为()q x ，余式为mx n +，其中m ，n 为待定常数，则()()()()f x x a x b q x mx n =--⋅++．因为()f x 能被x a -和x b -整除，由因式定理得：()()()()0f a a a a b q a ma n =--⋅++=， ()()()()0f b b a b b q b mb n =--⋅++=，即0(1)(2)ma n mb n +=⎧⎨+=⎩ 由（1）-（2）得()0a b m -=，又因为a b ≠，所以0m =． 把0n =代入（1），得0n =．所以0mx n +=，因此，()f x 除以()()x a x b --的余式为0，即()f x 被()()x a x b --整除．点评：本题的结论也非常有用．【拓展】整系数三次多项式()f x ，有三个不同的整数1a ，2a ，3a ，使()()()1231f a f a f a ===，又设b 为不同于1a ，2a ，3a 的任意整数，试证明：()1f b ≠．【解析】 解法一：由()()()1231f a f a f a ===可知，()()()1231110f a f a f a -=-=-=．由因式定理可知1x a -，2x a -，3x a -是多项式()1f x -的三个因式，故()()()()1231f x a x a x a x a -=---（a 为非零常数）故()()()()1231f b a b a b a b a -=---又b 为不同于1a ，2a ，3a 的任意整数，故()1f b ≠．解法二：由题意可知()()()123()1f x a x a x a x a =---+，其中，a 为整数且0a ≠，则()()()()1231f b a b a b a b a =---+（因为b 不同于1a ，2a ，3a ）．点评：本题是经过变形的因式定理的应用，关键在于对()1f x -运用因式定理．。
第16讲 余数—完整版
第16讲余数内容概述掌握余数的概念与基本性质，掌握除以某些特殊数的余数的计算方法。
学会利用余数的可加性、可减性和可乘性计算余数；学会运用周期性处理各类余数计算问题；学会求解“物不知数”问题。
兴趣篇1．72除以一个数，余数是7．商可能是多少？答案：1或5解析： 72-7=65，除数是65的约数．65 =1×65=5×13，因为除数大于余数7，所以它是13或者65.如果除数是13，那么商是5；如果除数是65，那么商是1．2．97和79除以一个数的余数都是7，那么这个数可能是多少？答案： 9或1解析： 97-7=90，79-7=72，这个数能整除90和72，因此能整除它们的最大公约数18.再根据除数要比余数大，可知除数可能是9或18.3．100和84除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为0．这个除数可能是多少？答案： 8或16解析：由于 100和84除以同一个数的余数相同，所以它们的差100 - 84—16是这个除数的倍数，16的约数有1，2，4，8，16．所以这个除数只能是这5个数之一，我们来一一验算看哪些数满足要求，由于100是1，2，4的倍数，所以它除以1，2，4的时候余数是0，即除数不能是1，2，4．当除数是8时，100和84除以8的余数都是4，满足要求．当除数是16时，100和84除以16的余数都是4，也满足要求，所求的除数可以是8或者16.4．20080808除以9的余数是多少？除以8和25的余数分别是多少？除以11的余数是多少？答案： 8；0；8；0解析：20 080 808的各位数字之和为2+8+8+8 = 26，26÷9—2-8，所以20 080 808除以9的余数是8．20 080 808的末三位数是808，808÷8=101，所以20 080 808除以8的余数是0．20 080 808昀末两位数是08，8÷25=0……8，所以20 080 808除以25的余数是8．20 080 808奇位和是8+8+8—24，偶位和是2，它们的差是22，可以被11整除，所以20 080 808除以11的余数是0．5．(1)135×137+139除以5的余数是多少？(2)3579×1357+13579除以9的余数是多少？答案： (1) 4 (2)4解析：(1)135除以5的余数是0，137除以5的余数是2，139除以5的余数是4。
【七年级奥数】第15讲 综合除法和余数定理（例题练习）
第15讲综合除法和余数定理——例题一、第15讲综合除法和余数定理（例题部分）1.求多项式除以x+2，所得的商和余式．【答案】解:先用一般的竖式除法计算所以，商式为3x-1，余数为-5．从运算中我们可以发现上述运算实际上是它们系数之间的运算，所以我们可以省去字母，将上面的除法用下面的简便方式来表示．商式为3x-1．，余数为-5．【解析】【分析】在除式为一次式x-a时，可以采用这种简便的除法，称为综合除法．演算过程如下：( 1 )被除式按x的降幂排列好，依次写出各项的系数，遇到缺项，必须用“0”补足．( 2 )将(-a的相反数)a写在上述系数的左边，彼此用竖线隔开．( 3 )将被除式的第一个系数作为第二行的第一个数．用它乘a，加上第二个系数，得到第二行的第二个数．再把这第二个数乘a，加上第三个系数，得到第二行的第三个数……依此类推．最后得到的数为余数，把它用线隔开，线外就是商式的系数．x的代数式常用记号f(x)或g(x)等表示，例如，用f(x)表示代数式，可记为f(x)=这时，f(1)就表示x=1时，代数式的值，即f(1)=同样地，有,等等．f(x)可以代表x的任一个代数式．但在同一个问题中，不同的代数式要用不同的记号表示，如f(x)、g(x)、q(x)、(rx)等.采用上述记号，在除法中，我们有①其中，f(x)表示被除式，g(x)表示除式，q(x)表示商式，r(x)表示余式，余式r(x)的次数小于除式g(z)的次数．如果g(x)是一次式x-a，那么r(x)的次数小于1，因此，r(x)只能为常数(0或非零常数).这时．余式也叫余数，记为r，即有②在②中令x=a得f(a)=r因此，我们有以下重要定理：如除以x+2的余数为这与我们前面用综合除法求得的余数相同.又由②式．如果能被x-a整除，那么必有r=0．反之，如果r=0，那么能被x-a整除．因此，我们有：因式定理：如果多项式能被x-a整除，亦即有一个因式x-a，那么，反之，如果，那么x-a必为如果多项式的一个因式。
综合除法
综合除法、余数定理内容讲解一般地，多项式f（x）除以一次多项式（x-a）•的商式系数和余数有如下规律：商式的最高次项系数就是f（x）（按降幂排列后）的第一项系数，把这个数乘以b后再加上f（x）的第二项系数就得商的次商为次项系数，如此类推最后得余数，这种方法叫做综合除法．余数定理：多项式f（x）除以（x-a）所得的余数等于f（a）．如果f（x）能被（x-a）•整除，也就是（x-a）是f（x）的因式．反之，如果（x-a）是f（x）的因式，那么f（x）•能被（x-a）整除．因此，由余数定理，容易得出：因式定理：如果f（a）=0，那么（x-a）是f（x）的因式，反之，如果（x-a）是f（x）•的因式，那么f（a）=0．例题剖析例1 用综合除法求（3x3+5x2-2）除以（x+3）的商式和余数．分析：整式的除法我们可以用竖式法和分离系数法，这里我们主要是熟悉综合除法．解：把除式变成（x-a）形为x-（-3）．如右式所示：所以商式＝3x2-4x+12．余数＝－38．评注：在用综合除法时，①被除式和除式均按降幂排列，其缺项要用“0 ”补项．②除式一定要变成（x-a）的形式．③若f（x）的除式为px-q形（p≠0），•可先变除式为：p（x- ）。
再用综合除法求出除以（x- ）的商式Q′（x）和余数k′，则f（•x）•÷（px-q）的商式为Q（x）= Q′（x），余数R=R′．例2 分解因式x4+2x3-9x2-2x+8．分析：原式可能有x±1，x±2，x±4，x±8因式，由于f（1）=0，f（-1）=0，•所以由因式定理，原多项式含有（x-1）（x+1）这两个因式，然后用综合除法即可求解．解：∵f（1）=0，f（-1）=0，∴原式中含有（x-1）和（x+1）这两个因式．•由综合除法得：原式＝（x-1）（x+1）（x-2）（x+4）评注：（1）如果多项式f（x）中各项系数的和等于零，那么f（x）有一次因式（x-1）；若奇次项的系数的和等于偶次项系数的和，则f（x）有一次因式（x+1），记住这个结论很有用．（2）本题用分组分解也较简单，请同学们自己求解．例3 已知x2+x-6是多项式2x4+x3-ax2+6x+a+b-1的因式，求a，b的值．分析：此题如果用以前的方法求解，就显得特别的繁琐，•但用因式定理就比较简单．解：∵x2+x-6=（x+3）（x-2），又x2+x-6是多项式2x4+x3-ax2+bx+a+b-1的因式．∴x+3，x-2是它的两个因式．由因式定理，得f（-3）=0，f（2）=0，即∴a=16，b=3．评注：因式定理在因式分解及其他地方得到广泛的应用，必须高度重视并熟悉掌握．例4 2x+1除6x4-5x3-3x2-x+4所得的余数．分析：我们可以用竖式除法，分离系数法和综合除法求此题的余数，这里我们主要尝试余数定理求解．解：∵2x+1=2[x-（- ）]由余数定理，得：r=f（- ）=6×（- ）4-5×（- ）3-3×（- ）2-（- ）+4=4 ．评注：余数定理可以直接求多项式f（x）除以（x-a）式除以（px-q）的余数．例5 证明：（1）对任意自然数n，a n-b n能被（a-b）整除．（2）当n为偶数时,a n-b n能被（a+b）整除；（3）当n为奇数时，a n-b n被（a+b）除的余数为-2b．分析：如果我们把a n-b n看成是字母a或b的多项式f（a）或f（b），问题就转化为f（a）•或f（b）被（a-b）或（b-a）整除的问题，于是可用余数定理求解．证明：把a n-b n看成是字母a的多项式f（a）．（1）对任意自然数n，当a=b时，f（b）=b n-b n=0，所以f（a）=a n-b n能被（a-b）整除．（2）当n为偶数时，f（-b）=（-b）n-b n=0，所以a n-b n能被a-（-b）=a+b整除．（3）当n为奇数时，f（-b）=（-b）n-b n=-2b n，故a n-b n被（a+b）除的余数为-2b n．巩固练习1．用综合除法求（2x3+x-7）÷（2x+1）的商式、余数．2．已知x=，求f（x）=3x3-2x2+5的值．3．求证2x+3是2x4-5x3-10x2+15x+18的因式．4．利用因式分定理分解因式x3+y3+z3-3xyz．5．已知f（x）=ax3+bx2-47x-15可被3x+1和2x-3整除，求a，b．答案:1．商式=x2- x+ 余数=- ．2．用综合除法求f（x）÷（x- ）的余数得f（）=．3．令f（x）=2x4-5x3-10x2+15x+18．∵f（- ）=2（-）4-5（- ）3-10（- ）2+15（- ）+18=0，∴2x+3是f （x ）的因式．4．令f （x ）=x 3+y 3+z 3-3xyz ，当x=-（y+z ）时，f （x ）=f （-（x+y ））=-（y+z ）3+y 3+z 3+3（y+z ）yz=-（y+z ）3+（y+z ）3=0，由因式定理知原式有因式x+y+z ， 又因为原式是关于x ，y ，z•的三次齐次式，故令原式=（x+y+z ）[a （x 2+y 2+z 2）+b （xy+yz+zx ）]，比较两边x 3的系数，得a=1，取x=1，y=1，z=1，得0=3×（3+3b ）， ∴b=-1，故原式=（x+y+z ）（x 2+y 2+z 2-xy-yz-zx ）． 5．由因式定理有f （- ）=0和f （ ）=0，即有解此方程，得：a=24，b=2．1.設()43224f x x x x =--++，()324369g x x x x =+-+，則(1)()()f x g x +=____________，(2)()()f x g x -=____________。
奥数专题-余数定理
奥数专题-余数定理练习二（余数定理）A组1、甲数除以11的余数为9，乙数除以11的余数为7，丙数除以11的余数为6，那么：①（甲数＋乙数＋丙数）÷11的余数为；②（甲数＋乙数－丙数）÷11的余数为；③（甲数×乙数×丙数）÷11的余数为；④（甲数－乙数＋丙数）÷11的余数为。
2、17×354×409×672除以3所得的余数是。
3、5678964×47165432的积除以7的余数是。
4、19917被7除，余数是。
5、（203×203×…×203－2003）除以29的余数是。
2002个2036、某个大于1的自然数分别除442、297、210得到相同的余数，则该自然数是。
7、有一个（大于1）数，除300，262，205得到相同的余数，这个数是（第一届华杯赛题）8、某个自然数分别除13511、13903、14589得到的余数相同，则该自然数最大是。
9、有一个自然数，用它分别去除63、91、129得到三个余数的和是25，这个数是。
（1998年北京市小学数学邀请赛决赛试题）B组1、一个数除以84余70，这个数除以42的余数是。
2、一个数除以96，余数是37，这个数除16，余数是。
3、161989＋171990＋181991除以5的余数是。
4、11＋22＋33＋43＋55＋66＋77＋88＋99除以3的余数是。
5、有一个自然数，用它分别去除83、109、161都有余数，三个余数的和是29，这个数是。
6、有四个数：2613、2243、1503、985，它们分别被同一个数除所得的余数相同，且余数不为零，那么除数是，余数是。
（1994年陕西省小学数学奥赛总决赛试题）7、将数1×2×3×4×…×1997×1998－5分别除以2、3、4、…99、100，那么所得99个余数的和是。
余数与同余练习
余数与同余（一）知识要点：1.被除数=除数×商＋余数2.余数＜除数3.余数的性质性质1：如果两个整数a,b除以同一个数m,而余数相同，那么a和b的差能被m 整除。
性质2：如果被除数扩大（或缩小）若干倍，除数不变，那么余数也扩大（或缩小）同样的倍数。
性质3：如果被除数增加（或减少）除数的若干倍，除数不变，那么余数也不变。
例1：两数相除，商是499，余数是3，被除数最小是几？练习1：下面算式中的两个括号内应该填什么数，才能使这道整数除法题的余数最大？（）÷85＝99……（）（）÷24＝56……（）例2：两个数相除的商是21，余数是3.如果把被除数、除数、商和余数相加，它们的和是225。
被除数、除数各是多少？练习2：两个数相除，商是4，余数是6，被除数、除数、商和余数的和是121，求被除数。
练习3：两个整数相除商是12，余数是8，并且被除数与除数的差是822，求这两个整数。
例3. 有一个整数，除300，262，205得到的余数相同，问这个整数是几？例4. 692，608，1126三个数分别除以同一个自然数，得到的余数相同，那么这个自然数是多少？练习4：346，304，563三个数分别除以同一个自然数，得到的余数相同，那么这个自然数是多少？练习5：数713，1103，830，947被某一个数除，所得余数相同（不为0），求除数。
余数与同余（二）例5. 学生在操场上列队做操，只知道人数是在90至110之间，如果排成3列不多也不少；如果排成5列则少2人；如果排成7列则少4人。
问共有学生多少人？练习1：今有物不知其数，凡三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？练习2：某市举行大型体操表演，小学生队的人数在2000到2150之间，排成3列则刚好，排成5列则少2人，排成7列则少4人。
这队小学生共有多少人？练习3：一筐梨，三三数之余1，四四数之余3，五五数之差1。
这筐梨最少有几个？练习4：红旗小学表演团体操的同学在操场排队，如果每排12人，最后一排少1人；如果每排15人，最后一排少4人；如果每排18人，最后一排少7人。
整除问题及余数与同余问题
整除问题及余数与同余问题姓名得分一、整除问题基础训练题1、六位数26AAA1能被9整除，A是几？2、各位数字都是5，能被21整除的最小自然数是多少？3、已知3A4A7A9A5能被11整除，A是几？4、若五位数12ABC能被1125整除，则ABC只能是多少？5、已知五位数7□4□5能被75整除，且各个数位上的数字各不相同，那么方框里的数字有几种填法？6、既能被9整除，也能被25整除的最小四位数是多少？7、在自然数5537的前后各填一个数字，使重新得到的六位数是45的倍数，那么填上去的两个数字之和是几？8、有一个自然数，它是一个7、三个5、四个3、六个2的连乘积，在这个数的因数中，最大的两位数是多少？9、三个均小于20的质数，它们的和是30，它们的乘积是多少？10、在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有多少个？11、50×49×48×…×2×1的乘积中，末尾有多少个零？12、已知自然数a有两个因数，那么4a有多少个因数？13、三个自然数的乘积是1224，其中第一个自然数与第二个自然数的和等于第三个自然数，求第三个自然数是多少？14、两个数的最大公因数是6，最小公倍数是108，两个数的和是66，这两个数各是多少？15、三个连续自然数的最小公倍数是360，这三个自然数分别是多少？16、已知三个质数的倒数和等于215／429，求它们的和。
17、有一列数1、1、2、3、5、8、13、21、34…，从第3个数开始，每个数都是它前边两个数的和，那么前100个数中，有多少个偶数？18、将分母为15的所有最简假分数按由小到大的顺序依法排列，第1998个最简假分数化成带分数，整数部分是多少？二、整除问题竞赛提高题1、三位数2ab加299得5ac,如果已知2ab能被9整除，5ab能被11整除，求a+b+c的值。
2、一个三位数能被3整除，去掉它的末位数字后，所得的两位数是17的倍数，这样的三位数中，最大的是多少？3、三个数的和是918，这三个数分别被3，5，11所除得的商都相同，且余数也相同，求这三个数及相同的商、余数。
关于除法有余数的练习题
关于除法有余数的练习题一、填空题1. 13除以4的商是______，余数是______。
2. 25除以6的商是______，余数是______。
3. 39除以8的商是______，余数是______。
4. 52除以9的商是______，余数是______。
5. 65除以11的商是______，余数是______。
二、判断题（对的写“√”，错的写“×”）1. 17除以5的商是3，余数是2。
（______）2. 23除以4的商是5，余数是3。
（______）3. 31除以7的商是4，余数是3。
（______）4. 41除以8的商是5，余数是1。
（______）5. 49除以6的商是8，余数是1。
（______）三、选择题（请在括号内填写正确答案的序号）1. 14除以3的商是（）。
A. 4B. 5C. 62. 22除以5的余数是（）。
A. 2B. 3C. 43. 35除以7的商和余数分别是（）。
A. 5, 0B. 4, 2C. 6, 34. 46除以9的商和余数分别是（）。
A. 5, 1B. 5, 6C. 6, 15. 58除以10的商和余数分别是（）。
A. 5, 8B. 6, 2C. 5, 3四、简答题1. 请写出5个除法算式，使得商为3，余数为2。
2. 请写出5个除法算式，使得商为4，余数为1。
3. 请写出5个除法算式，使得商为6，余数为5。
五、应用题1. 小明有23个苹果，他想平均分给7个小朋友，每个小朋友能得到几个苹果？还剩下几个苹果？2. 小红有36本书，她要把这些书平均放在书架上，每个书架放9本书，需要几个书架？还剩下几本书？3. 学校买了50个足球，准备平均分给8个班级，每个班级能分到几个足球？还剩下几个足球？六、计算题1. 计算73 ÷ 8 的商和余数。
2. 计算81 ÷ 9 的商和余数。
3. 计算97 ÷ 11 的商和余数。
4. 计算114 ÷ 13 的商和余数。
余数的除法单元综合检测
余数的除法单元综合检测ppt xx年xx月xx日•余数除法的基本概念•余数除法的性质和规则•余数除法在数学中的应用目录•余数除法的测试题目及解析•如何提高余数除法运算能力•总结与反思01余数除法的基本概念余数除法是指对于给定的被除数和除数，通过多次尝试将除数加在被除数上，直到余数不能再加为止，此时余数即为所求。
定义以17÷4为例，第一次尝试将4加在17上得到余数为3，第二次再尝试将4加在余数3上得到余数为3，此时不能再加4，则余数3即为所求。
例子余数除法的定义原理余数除法的基本原理是利用除数和被除数的关系，通过多次尝试将被除数除以除数得到商和余数，直到余数为0为止。
例子以23÷6为例，第一次尝试6加在23上得到余数为5，第二次再尝试6加在余数5上得到余数为1，第三次再尝试6加在余数1上得到余数为0，此时不能再加6，则余数0即为所求。
余数除法的基本原理区别整除是指被除数能够被除数整除，没有余数；而余数除法则是指被除数除以除数得到商和余数，余数不为0。
例子以15÷4为例，15能够被4整除，因此没有余数；而23÷6的余数为1，因此不属于整除。
余数除法与整除的区别02余数除法的性质和规则当被除数能够被除数整除时，余数为0。
余数除法的性质完全不余当被除数不能被除数整除时，余数唯一确定。
余数的唯一性当被除数为负数，除数为正数时，余数为负数；当被除数为正数，除数为负数时，余数为正数。
余数的符号余数除法的规则商与余数的计算规则被除数=除数 × 商+余数。
余数的求法余数=被除数-除数 × 商。
余数的简化当余数为0时，商即为被除数除以除数的值；当余数不为0时，商为被除数除以除数的整数部分，余数为被除数除以除数的余数。
余数的符号与计算当被除数为负数，除数为正数时，余数为负数。
当被除数为正数，除数为正数时，余数为正数。
当被除数为负数，除数为负数时，余数为正数。