特征值与特征向量相似矩阵
线性代数第五章特征值和特征向量矩阵的对角化
(5)若f(x)是x的多项式,则f()是f(A)的特征值
特征向量保持不变
10
证：(2)∵AX=X A(AX)=A(X) =(AX)=(X)
A2X=2X
再继续施行上述步骤m2次,就得
AmX=mX m是矩阵Am的特征值,且X是Am的对应于 m的特征向量.
(4)当A可逆时, 0 ∵AX=X A1(AX)=A1(X) =A1X
1
1
1
1
3 2
3 1
3
3
1 3
2 3
5100 2
1 3
5100
5100
1 1
5100 1 5100 2 5100 1
5100 1 5100 1 5100 2
33
5.3 实对称矩阵的对角化 1.实对称矩阵特征值的相关性质 2.求正交矩阵的方法
34
共轭矩阵 如果A=(aij)为复矩阵时,用 aij 表示aij的
1=5: 解方程组 (5IA)X=0
4 2 2 1 0 1 5IA= 2 4 2 →0 1 1
2 2 4 0 0 0
1 基础解系: P1 1
1
对应于1=5的全部特征向量为: k1P1 (k10)
2=3= 1 : 解方程组 (IA)X=0
2 2 2 1 1 1 IA= 2 2 2 →0 0 0
k11+k22=0 (2) (2)2(1)k1(12)=0 ∵12 ,0 ∴k1=0 同理可得k2=0
∴与线性无关
推广 设1,2,,r是矩阵A的对应于不同特 征值1,2,,r的特征向量,则1,2,,r线性
无关.
定理 如果1,2,,r是矩阵A的不同特征值, 而(i=1i,12,,i2,,r)的, 线是性ikAi无的关对的应特于征特向征量值,则i向量组 也11线,性12,无,关1.k1,21,22,, 2k2,,r1,r2,,rkr
矩阵的特征值、特征向量和矩阵的相似
特征值和特征向量与矩阵相似的关系
01
特征值和特征向量是矩阵的重要属性，它们与矩阵 的相似性有着密切的联系。
02
如果两个矩阵相似，它们的特征值和特征向量也必 须相同。
03
特征值和特征向量的性质决定了矩阵的稳定性、可 逆性和可约性等重要性质。
特征值和特征向量在矩阵相似中的应用
在解决线性方程组时，可以利用特征值和特征向量的性质，将原方程组转 化为易于求解的形式。
|λ|=√aii，其中aii为矩阵A的对角线元素。
特征值和特征向量的计算方法
定义法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Av=λv来计算特征 值和特征向量。
幂法
通过迭代计算矩阵A的幂，然后观 察幂的迹的变化，从而找到特征 值和特征向量。
谱分解法
将矩阵A分解为若干个简单的矩阵 的乘积，然后通过计算这些简单 矩阵的特征值和特征向量来得到 原矩阵的特征值和特征向量。
矩阵的特征值、特 征向量和矩阵的相 似
目录
• 矩阵的特征值和特征向量 • 矩阵的相似 • 矩阵的特征值、特征向量和矩阵的相似的
关系 • 矩阵的特征值、特征向量和矩阵的相似的
应用
01
CATALOGUE
矩阵的特征值和特征向量
特征值和特征向量的定义
特征值
对于给定的矩阵A，如果存在一个标 量λ和对应的非零向量v，使得Av=λv 成立，则称λ为矩阵A的特征值。
02
CATALOGUE
矩阵的相似
矩阵相似的定义
定义：如果存在一个可逆矩阵P，使 得$P^{-1}AP=B$，则称矩阵A与B相 似。
相似矩阵具有相同的行列式值、迹、 秩和特征多项式。
矩阵相似的性质
01 相似的矩阵具有相同的特征多项式和行列式值。
两矩阵相似得出的结论总
两矩阵相似得出的结论总
两个矩阵相似意味着它们具有相同的特征值，但是特征向量可能不同。
从这个结论我们可以得出以下总结：
1. 相似矩阵具有相同的特征值：特征值是矩阵的一个重要性质，它描述了矩阵转换后的向量的放大或缩小倍数。
两个相似矩阵具有相同的特征值意味着它们具有相似的特征变换效果。
2. 相似矩阵的特征向量可能不同：特征向量是与特征值相对应的向量，描述了特征变换后的向量的方向。
即使两个矩阵具有相同的特征值，它们的特征向量可能是不同的，因为不同矩阵的特征变换可能会将向量方向变换为不同的方向。
3. 相似矩阵可以通过可逆矩阵进行转换：两个相似矩阵可以通过一个可逆矩阵进行转换，使得它们具有相同的特征值。
这种转换称为相似转换，可以利用矩阵的特征值和特征向量来进行。
4. 相似矩阵具有相似的性质：由于相似矩阵具有相同的特征值，它们也具有相似的矩阵性质，比如迹、行列式、秩等。
5. 相似矩阵可以简化计算：相似矩阵具有相同的特征值，这意味着它们具有相似的特征分解形式。
通过对一个相似矩阵进行特征分解，我们可以得到另一个
相似矩阵的特征分解，从而简化计算。
相似矩阵特征向量的关系
相似矩阵特征向量的关系矩阵是线性代数中的重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。
而矩阵的特征向量和特征值是矩阵分析中的重要内容。
相似矩阵是指具有相同特征值的矩阵，在矩阵分析中也有着重要的作用。
本文将探讨相似矩阵特征向量的关系。
我们来了解一下特征向量和特征值的概念。
对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量X，使得AX=λX，其中λ是一个标量，那么X就是A的一个特征向量，λ是对应的特征值。
特征向量是在矩阵作用下只发生伸缩变化而不改变方向的向量，特征值则表示该伸缩的比例。
在矩阵分析中，相似矩阵是指对于两个矩阵A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^-1AP=B，那么矩阵A和B就是相似矩阵。
相似矩阵具有相同的特征值，但特征向量可以不同。
为了更好地理解相似矩阵特征向量的关系，我们可以通过一个例子来说明。
假设有两个相似矩阵A和B，它们具有相同的特征值λ1和λ2，但特征向量分别为X1和X2。
根据相似矩阵的定义，存在一个可逆矩阵P，使得P^-1AP=B。
我们可以将矩阵A和B分别写成特征向量和特征值的形式：A=X1λ1X1^T+X2λ2X2^T，B=X1λ1X1^T+X2λ2X2^T。
我们可以观察到，虽然A和B具有相同的特征值，但它们的特征向量却不同。
特征向量X1在矩阵A和B中都出现，但它们对应的特征值可能不同；同样地，特征向量X2也在A和B中出现，但它们对应的特征值也可能不同。
这说明了相似矩阵的特征向量可以不同，但特征值必须相同。
特征向量的不同意味着在不同的变换下，矩阵A和B可能具有不同的特征向量，而特征值的相同意味着它们具有相同的伸缩比例。
相似矩阵特征向量的关系对于矩阵分析和线性代数的理解非常重要。
通过研究相似矩阵的特征向量，我们可以更好地理解矩阵的特性和变换规律。
相似矩阵特征向量的关系还可以应用于矩阵的对角化。
对于一个n 阶方阵A，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^-1AP=D，其中D是一个对角矩阵，那么矩阵A就可以被对角化。
1、矩阵的特征值与特征向量及方阵的相似
A)x 0的一个基础解系:
4 x1 2 x2 4 x3 0,
2
x1
x2
2
x3
0,
4 x1 2 x2 4 x3 0,
求解得此方程组的一个基础解系:
2
1 0 1
,
1
2 2.
0
于是A的属于 2 3 1的全部特征向量为 k2 2 k3 3,
k 2 , k 3是不全为零的实数.
三、特征值与特征向量的求法
第一步 计算 A 的特征多项式；
第二步 求出特征多项式的全部根，即得 A 的全部 特征值； 第三步 将每一个特征值代入相应的线性方程组， 求出基础解系，即得该特征值的特征向量．
例3
计算3阶实矩阵A
3 2
2 0
4 2
的 计算A 的特征多项式
的一个基础解系.
5 x1 2 x2 4 x3 0, 2 x1 8 x2 2 x3 0, 4 x1 2 x2 5 x3 0,
化简求得此方程组的一个基础解系
2
1 1.
2
属于 1 8的全部特征向量为k1 1(k1 0为实
数).
同理对 2 3 1,求相应线性方程组( 2 E
3 2 4
f ( ) E A 2 2
4 2 3
( 8)( 1)2.
第二步 求出特征多项式f ( )的全部根,即A
的全部特征值.
令f ( ) 0,解之得1 8, 2 3 1,为A的
全部特征值.
第三步 求出 A 的全部特征向量
对1 8,求相应线性方程组(1 E A)x 0
第五章 矩阵的特征值和特征向量
一、主 要 内 容 1、矩阵的特征值与特征向量及 方阵的相似
６ 方阵的特征值和特征向量
5_1_2特征值特征向量的性质、相似矩阵内容
两个有用的关系：根据一元n 次方程根与系数之间的关系有：设n λλλ,,,21L 是n 阶矩阵A 的全部特征值（其中可以是相等的），那么(1) n λ++λ+λL 21=nn a a a +++L 2211=A 的对角线元素之和（称为A 的迹，记为tr (A ).）.(2) n λλλL 21= |A |.特征值特征向量的性质：1. 设s λλλ,,,21L 是矩阵A 的互异特征值, s ξξξ,,,21L 是分别属于它们的特征向量，那么s ξξξ,,,21L 线性无关.2. 设21,λλ是矩阵A 的两个互异的特征值，s ξξξ,,,21L 和t ηηη,,,21L 分别是属于21,λλ的线性无关的特征向量，那么,,,,21s ξξξL t ηηη,,,21L 线性无关.性质2对于任意多个互异的特征值也是成立的.3. n 阶矩阵A 与它的转置矩阵A T 有相同的特征值.4. 属于不同特征值的特征向量是线性无关的.5. 属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量.6. 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一，一个特征向量不能属于不同的特征值.若i λ为n 阶矩阵A 的k i 重特征值，则属于特征值i λ的线性无关特征向量个数不超过其特征值的重数k i .相似变换、相似矩阵的定义：设A , B 都是n 阶矩阵, 如果有n 阶可逆矩阵P ，使,1B AP P =−那么称A 与B 相似，记为A ∼ B . 对A 进行运算AP P 1−称为对A 进行相似变换，称可逆矩阵P 为相似变换矩阵.矩阵的相似关系是一种等价关系，满足：1. 反身性：A ∼ A ;2. 对称性：若A ∼ B ，则B ∼ A ；3. 传递性：若A ∼ B ，B ∼ C , 则A ∼ C .两个常用的运算表达：1. ()()111P ABP P APP BP −−−= 2. ()111P kA lB P kP AP lP BP −−−+=+ 其中,k l 为任意实数.相似矩阵的性质：1. 相似矩阵有相同的特征多项式，因此也有相同的特征值.2.相似矩阵的秩相等.3.相似矩阵的行列式相等.相似矩阵有相同的可逆性，当它们可逆时，则它们的逆矩阵也相似.。
第2节 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵-文档资料
1
解得基础解系 X
2
1
．k2 X2（k2 ≠ 0）就是对应的特征向量．
2
2 1 1
例5.2.2：求矩阵 A
0
2
0
的特征值和特征向量．
4 1 3
解：
l2 lEA 0
4
1
l2
1
1 0
(l2)l2
l3
4
1
l3
(l2)(l2l2)(l1)(l2)2
4 1 1 4 1 1 2EA0 0 0~r 0 0 0
4 1 1 0 0 0
解方程组 (2E-A) X= 0． 1
0
解得基础解系
p2
0
,
p3
1
．
4
1
k2 p2 + k3 p3 （k2 , k3 不同时为零）就是对应的特征向量．
4 1 4 0 0 0
解方程组 (-E - A) X = 0．
1
解得基础解系 p 1
0
．
k
p1（k
≠
0）就是对应的特征向量．
1
2 1 1
例5.2.2：求矩阵 A
0
2
0
的特征值和特征向量．
4 1 3
解（续）：当 l2 = l3 = 2 时，因为
5 1 1
例5.2.1：求矩阵
A
3
1
1
的特征值和特征向量．
4 2 1
第六章矩阵的相似特征值和特征向量
第六章矩阵的相似特征值和特征向量矩阵的相似性：在线性代数中，如果两个矩阵具有相同的特征值，则它们被称为相似矩阵。
当两个矩阵A和B相似时，它们之间可以通过一个可逆矩阵P进行相互转换，即A=PBP^(-1)。
相似矩阵具有一些有用的性质和应用。
特征值和特征向量：一个n阶矩阵A的特征值是一个标量λ，满足方程Av=λv，其中v 是一个非零的n维向量，称为特征向量。
特征值和特征向量可以通过求解矩阵的特征方程来计算。
特征值和特征向量对于理解矩阵的性质和应用非常重要。
特征值和特征向量的求解：要求解矩阵的特征值和特征向量，可以通过以下步骤进行：1. 对于矩阵A，计算其特征方程det(A-λI) = 0，其中det表示矩阵的行列式，I为单位矩阵。
2.解特征方程，得到特征值λ1，λ2，...，λn。
3. 对于每个特征值λi，求解方程(A-λiI)v = 0，其中v为特征向量。
得到多组特征向量v1，v2，...，vn。
特征值和特征向量的性质：特征值和特征向量具有一些重要的性质：1.相似矩阵具有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量。
2.特征向量可以用于将线性变换A表示为对角矩阵D的相似变换，即A=PDP^(-1)。
3.特征值的和等于矩阵的迹（主对角线上元素的和），特征值的乘积等于矩阵的行列式。
4.如果矩阵A是对称矩阵，则其特征向量是相互正交的。
特征值和特征向量的应用：特征值和特征向量在多个领域都有广泛的应用：1.物理学中，特征值和特征向量用于描述物理系统的振动模式和稳定性。
2.图像处理中，特征值和特征向量用于图像压缩、图像恢复等算法。
3.机器学习中，特征值和特征向量用于降维、主成分分析等特征提取方法。
4.工程学中，特征值和特征向量用于结构分析、系统控制等问题的求解。
总结：特征值和特征向量是矩阵相似性的重要概念，它们可以帮助我们理解矩阵的性质和应用。
通过求解特征方程，我们可以得到矩阵的特征值和特征向量。
它们具有许多有用的性质和应用，在多个领域中得到广泛的应用。
相似矩阵及特征值和特征向量性质
定理4.2.1 若n阶矩阵A与B相似,则A与B的特征多项 式相同, 从而A与B的特征值亦相同.
证明 A与B相似
可逆阵P,使得P 1 AP B
E B P1EP P1AP P1E AP
P1 E A P E A.
第2页/共23页
推论 若 n 阶方阵A与对角阵
求x, y, z的值.
3 z ，已知A的特征值为1,3,5， 1
解：根据A的所有特征值之和为A的迹，A得全体 特征值的积为| A | ，有
y 2 9, y 2x 15,
解得x 4, y 7,观测A的最后页/共23页
18
例 设4阶方阵A满足条件:det3E A 0,
9
第10页/共23页
例４ 证明：若 是矩阵A的特征值，x是A的属于
的特征向量，则
(1) m是Am的特征值m是任意常数.
(2) 当A可逆时,1是A1的特征值.
证明 1 Ax x AAx Ax Ax x A2 x 2 x
再继续施行上述步骤 m 2次，就得 Am x m x 故m 是矩阵Am的特征值,且 x是 Am 对应于m的特
从定义出发
省略不讲了
例6 设1，2是n阶方阵A的两个不同的特征值，
对应的特征向量分别为
1，
，
2
证明：1 2不是A的特征向量。
证明（用反证法）
假设 2 2是A的属于特征值 的特征向量，则有
A(1 2 ) (1 2 )
即 A1 A2 1 2 由题设知 A1 11, A2 22 ,
征向量.
第11页/共23页
2当A可逆时, 0,
由Ax x可得
A1Ax A1x A1x
A1 x 1 x 故 1是矩阵A 1的特征值, 且x是A 1对应于 1
第五章 相似矩阵(2)
k1X1 k2 X 2 ... km X m 0中，
X m 0,km 0
X
1,
X
2,
...X
线性
m
无关
。
定理4：设1, 2,... m是方阵A的m个互不相同的特征
值,xi1,xi2,…xiki是矩阵A对应于特征值i(i=1,2,…m)的
线性无关的特征向量,则向量组x11,x12,…x1k1, x21,x22,…x2k2, …xm1,xm2,…xmkm线性无关
的特征向量,则有
(1)当A可逆时,
1
是A-1的特征值;
(2)当A可逆时, A是A的伴随矩阵A*的特征值;
(3)f(x)是x的一个一元多项式,则f()是f(A)的一个特征值,并且x仍
是矩阵A-1,A*,f(A)的分别对应于特征值 1 ,
A
, f()的特征向量.
定理3：设1，2，m 是方阵A的m个互不相同的特征 值， X1，X2，Xm依次为与之相对应的特征向 量， 则X1，X2，Xm线性无关。
AX= X
成立，则称数为方阵A的特征值，非零列向量X称为A对应
于特征值的特征向量。
a11 a12
f () E A
a21
a22
a1n
a2n
an1 an2 ann n (a11 a22 ann ) (1)n A
称为方阵A的特征多项式,|E-A|=0称为矩阵A关于的特 4 征方程.
相似矩阵一定等价，但矩阵等价不一定相似。
定理6：相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。
证明：设A与B相似，则P1AP B
E B E P1AP P1EP P1AP
P1(E A)P P1 E A P E A 11
第四章相似矩阵
2 1 1 求矩阵A 0 2 0 的特征值与特征向量 . 4 1 3 解：令 A E 0, 解得1 1，2 3 2 1 当1 1，解方程组（ A E）x 0, 解得基础解析为 1 0 1 则k11为A关于特征值1 1的特征向量，其中 k1 0. 1 1 当2 3 2，解方程组（ A 2 E）x 0, 解得基础解析为 2 4 , 3 0 0 4 则k 2 2 k3 3为A关于特征值2 3 2的特征向量，其中 k 2 , k3不全为零.
2 1 1 1 求相似矩阵 P , 使得 P AP Λ , 其中 A 0 2 0 例1、 . 4 1 3 解：令 A E 0, 解得1 1，2 3 2 1 当1 1，解方程组（ A E）x 0, 解得基础解析为 1 0 . 1 1 1 当2 3 2，解方程组（ A 2 E）x 0, 解得基础解析为 2 4 , 3 0 . 0 4 1 1 令P (1 , 2 , 3 ), Λ 2 , 则P AP Λ. 2
由上式可知i为A的特征值，i为A关于i的特征向量 , 又因为相似变换矩阵 P可逆，所以1 , 2 ,, n线性无关. 可知Λ由A的n个特征值构成， P由A的n个线性无关的特征向量 构成.
A可对角化的条件： 定理1：n阶矩阵A可对角化 A有n个线性无关的特征向量 定理2：n阶矩阵A可对角化 A的每个ti重根i都对应ti 个线 性无关的特征向量 定理3：A有n个互异的特征值 n阶矩阵A可对角化
第四章
相似矩阵
第
一
节
方阵的特征值与特征向量
第六章 矩阵的相似 特征值和特征向量教材
2 2
4 3
0 0
0
1 6
第 6章
2.3
矩阵的相似 特征值和特征向量
根与系 数 A 有相同 设 A 是 n 阶方阵，则 AT 与 的关系 Proof
特征值与特征向量的性质
Theorem 6.2
的特征值. Theorem 6.3 设 n 阶方阵 A = (aij) 的 n 个特征值为 1，2， ，n ，则
说明特征向量不是被特征值所唯一确定，相反，特
征值却是被特征向量所唯一确定。 一个特征向量只能属于一个特征值
若非零向量 x 是属于两个特征值 1，2 的特征向量, 1 x 2 x 则有 Ax 1x，Ax 2 x 即
于是 (1 2 ) x 0 又因为 x 0 所以 1 2 . A 的属于特征值 0 的全体特征向
A E 0 E A 0
ann ) n1 (1)n A ()
E A n (a11 a22
又因为 1，2， ，n 是 A 的全部特征值，故
E A ( 1 )( 2 ) ( n ) n (1 2 n ) n1 (1)n 12
2 2 1 1 3 5 2全部特征向量为 2 Solution : A 对应于 2 A k E 2 1 2 ( 1) (5 ) x （ k 是不为零的任意常数） 3 3 3 2 2 1
特征值是 1 2 1，3 5
未必有两 个
当 1 2 1， 解方程组 ( A E ) x 0 ( A 5E ) x 0 52 x 当 ， 解方程组 3x 1 0 2 2 x 0 1 2 3 0 1 4 2 2 1 1 x 0 x 1 解得基础解系 1 2 2 x 2 x 0 即 2 x 1 2 3 r 1 x 1 A 5E 2 4 2 0 1 1 1 2 x 3 2 x 2 x 0 解得基础解系
矩阵相似的本质
矩阵相似的本质
矩阵相似是指两个矩阵之间存在一种线性变换，使得一个矩阵可以通过这种变换得到另一个矩阵。
矩阵相似的本质可以从以下几个方面来理解：
1. 线性变换：矩阵相似是基于线性变换的概念。
矩阵相似的本质是指存在一个可逆矩阵P，使得两个矩阵A和B满足关系
式A = PBP^-1。
这个关系式可以表示为B是A通过线性变换
的结果。
因此，矩阵相似的本质可以理解为矩阵B是矩阵A
通过一种线性变换得到的。
2. 特征值和特征向量：矩阵相似的定义中涉及到矩阵的特征值和特征向量。
特征值是线性变换中的一个重要概念，它描述了变换后向量的方向和缩放因子。
特征向量是与特征值对应的向量，表示了变换后仍然与原向量方向相同的向量。
矩阵相似的本质可以从特征值和特征向量的角度来理解，即通过线性变换，两个矩阵具有相同的特征值和特征向量。
3. 矩阵的性质保持：矩阵相似的本质还可通过矩阵的性质来理解。
矩阵相似意味着两个矩阵的一些性质保持不变，比如迹、行列式、秩等。
这是因为通过线性变换，这些性质在变换后保持不变。
总的来说，矩阵相似的本质是通过线性变换，使得两个矩阵具有相同的特征值和特征向量，并保持一些性质不变。
这种相似性在矩阵理论和线性代数中具有重要的应用。
相似矩阵与特征值特征向量问题1一种证明矩阵相异特征值对应的特征
相似矩阵与特征值特征向量问题1：一种证明矩阵相异特征值对应的特征向量线性无关的方法。
例：设12,,,r λλλ是n n ⨯矩阵A 的相异的特征值，12,,,r x x x 分别是从属于特征值12,,,r λλλ的特征向量，证明，向量组12,,,r x x x 线性无关。
证明：（反证法）假设12,,,r x x x 线性相关，则其中必然有1p r ≤<个向量线性无关，不妨设12,,,p x x x 线性无关，而任意121,,,,p p x x x x +必线性相关，且有： 1122121122111000p p p p p p p p l x l x l x l l l k x k x k x k x k ++++++=⇒===+++=⇒≠12121111p p p p p p k k k x x x x k k k +++++++= （2）将（2）式两边乘A ，又由i i i Ax x λ= 得到： 12121111p p p p p p k k k Ax Ax Ax Ax k k k +++++++= 12112211111p p p p p p p p k k k x x x x k k k λλλλ++++++++= （3）将（2）式两边乘1p λ+，又得：121112111111p p p p p p p p p p k k k x x x x k k k λλλλ+++++++++++= （4）将（3）式与（4）是相减，得：121112*********()()()()0p p p p p p p p p p p p k k k x x x x k k k λλλλλλλλ+++++++++-+-++-=-=（5）又因为，12,,,r λλλ是互异的特征值，所以，10,1i p i p λλ+-≠≤≤， 且12,,,p x x x 线性无关，所以，由（5）式得出： 120p k k k ===代入（2）式得：10p x +=，1p x +是特征向量所以10p x +≠，矛盾。
3.1 相似矩阵 特征值与特征向量
λi (i = 1,2,L, n)
2.对于每个不同的 λi , 代入(λi E − A) X = 0. 对于每个不同的 解出方程组的一个基础解系 α1 ,α2 ,L,αs ;
k1α1 + k2α2 + L+ ksαs (k1 , k2 ,L, ks为不全为零的常数) + . 是A属于λi的全部特征向量
即 Aα = λα
其中λ = 2
的一个特征值， λ = 2是A的一个特征值，α是属于特征值 λ = 2的一个特征向量
1 −2 2 比如， 比如， 取A = − 2 − 2 4 4 − 2 2
2 α = 0 1
则有
1 −2 2 − 2 − 2 4 4 − 2 2
−1
例.
1 1 A= , 1 1
2 0 B= , 0 0
1 1 -1 P AP = 1 − 1
1 1 1 1 2 0 = =B 1 1 1 − 1 0 0
阶方阵， 称为A的特征矩阵。 设A为n阶方阵，矩阵 λ E − A 称为 的特征矩阵。 为 阶方阵
λ − a11
− a21 其行列式: 其行列式 λ E − A = ... − an1
− a12 λ − a22 ... − an 2
... − a1n ... − a2n ... ... ... λ − ann
λ1 , λ2 的特征向量， 求证α1 , α 2 线性无关。 的特征向量， 线性无关。
推广情形： 推广情形：
设 α 1,α 2 , L α s 为 n 阶矩阵 A 分别对应于互不相同的 特征值
λ1 , λ 2 , L , λ s , 的特征向量 , 则向量组 α 1 ,α 2 , L α s 线性无关 .
第1节-特征值与特征向量、相似矩阵
例题
例1.求矩阵 A =
34 52
的特征值与特征向量.
1 1 0
例2.求矩阵
A
=
4 1
3 0
0 2
的特征值与特征向量.
2 1 1
例3.求矩阵
A
=
0 4
2 1
0 3
的特征值与特征向量.
§1 特征值与特征向量、相似矩阵
例4 求矩阵
1 2 2 A 2 1 2 ,
2 2 1
特征值与特征向量.
当
2 3 1 时, 解方程组
(E A)X 0 ,
2 2 2 x1
即
2 2 2 x2 0,
2 2 2 x3
§1 特征值与特征向量、相似矩阵
2 2 2 x1 2 2 2 x2 0, 2 2 2 x3
解之得基础解系为
(1 , 1 , 0)T , (0 , 1 , 1)T ,
§1 特征值与特征向量、相似矩阵
4 2 2 4 2 2
解之得基础解系为
2 x1 2 x2 0, 4 x3
(1 , 1 , 1)T ,
所以属于 1 5 的一个线性无关的特征向量就是
1 = 1 + 2 + 3，
全部特征向量就是 k11 (0 k1 P) .
§1 特征值与特征向量、相似矩阵
1i jn
1n 12 n
—（2）
比较（1）与（2）的展开式中同次项的系数，
§1 特征值与特征向量、相似矩阵
得根与系数的关系为：
a1 1 n a2 12 13 n1n
a3 123 124 n2n1n
an1 1 n1 12 n1 13 n 23 n an 1n 12 n
第六章 矩阵的相似 特征值和特征向量
量，构成向量空间吗？ 不！因为不含零向量。
4
第 6章
矩阵的相似 特征值和特征向量
(1)
a1n a2 n ann 0
2.2 特征值与特征向量的求法 由 Ax x
a11 a12 a22 an 2
可得 ( A E ) x 0
(2)
显然，（2）有非零解的充要条件是 det( A E ) 0 即
§2 特征值和特征向量
2.1 特征值与特征向量的概念 Definitቤተ መጻሕፍቲ ባይዱon 6.1 设 A 是 n 阶方阵，如果数 和 n 维非
零向量 x 使关系式
对应于特征值 Theorem 6.1
Ax x
（1）
成立，则称 为 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 的
的特征向量.
特征向量，则 k1x1 k2x2 也是A 的属于特征值 0 的特
( x1 x2 ) x 1 1 2 2x
( ) x 0 即 (1 ) x 1 2 2
因 1 2 , 由Th. 4.5 知 x1，x2 线性无关，故由上式 得 1 2 0 即 1 2 与题设矛盾 15 因此， x1+ x2 不是 A 的特征向量.
2 2 1 1 3 5 2全部特征向量为 2 Solution : A 对应于 2 A k E 2 1 2 ( 1) (5 ) x （ k 是不为零的任意常数） 3 3 3 2 2 1
特征值是 1 2 1，3 5
theorem612的对应于特征值的线性无关的特征向量恰有r344242实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化theorem613阶实对称矩阵则必存在n阶正交阵u1au其中是以a对实对称矩阵a求正交阵u1au1求出a的全部互不相等的特征值它们的重数分别为k重特征值求方程的基础解系1au注意中对角元的排序应与u中列向量排序相对应
矩阵的特征值与特征向量
3 32 24 28
上式 ( 2)( 5 14) ( 2)( 7)( 2) 1 2 2, 3 7 （这就是特征值。）
2
经试根知，2是一个根。故
（下面求特征向量。）
对1 2 2, (解( A 2E ) X O) 1 2 2 1 2 2 0 0 x1 2 x2 2 x3 A 2E 2 4 4 0 2 0 0 0 4 4
矩阵的相似对角形
矩阵的特征值与特征向量
一、相似矩阵： 1.定义1：设A与B都是n阶矩阵，若存在一个 n阶可逆阵P，使
B P 1 AP，则称矩阵A与B相似，记作 A~B
可逆阵P称为相似变换矩阵。
(1) 相似矩阵具有自反性、对称性、传递性。 (2) A~B AB,反之不对。 相似与等价的关系
(i ) A ~ B r( A) r( B)
3.特征值的求法公式：设为A的特征值，则
(i ) k为kA的特征值； (ii) m为Am的特征值； (iii) f ( )为f ( A)的特征值； (iv) 1为A1的特征值；
(v ) A
非常重要的公 式，一定要背过。
(vi) 为AT的特征值 .
(i) 12 n A;
证明详见课本。 在求行列式时特别有用。
A的特征值为 1 ， 1 ， 2，求 A 3E . 例2：设三阶方阵
三、特征值与特征向量的性质：
40
性质1：n阶矩阵A的相异特征值 1，2， ，m所对应的 特征向量1 , 2 , , m线性无关。
推论：
n阶矩阵A的相异特征值为 1，2， ，m , i1 , i 2 , , iri 是特征值i 所对应的线性无关的特 征向量，则 ri 个特征
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注：
（1 ） 若 是A的属于特征值 的特征向量，则 k (k 0) 也是A的属于 的特征向量. （2） 若 1,2 ,L ,s 是A的属于特征值 的特征向量， 则 k11 k22 L kss , k1, k2 ,L , ks 不全为零 也是A的属于 的特征向量.
2 2 4 x3
§1 特征值与特征向量、相似矩阵
4 2 2 4 2 2
解之得基础解系为
2 x1 2 x2 0, 4 x3
(1 , 1 , 1)T ,
所以属于 1 5 的一个线性无关的特征向量就是
1 = 1 + 2 + 3，
全部特征向量就是 k11 (0 k1 P) .
11
12
1n
E A
a 21 M
a ... 22 M
a 2n M
a a ... a
n1
n2
nn
n (a a L a ) n1 L (1)n A
11
22
nn
称为A的特征多项式. 方程 E A 0 称为A的
特征方程，其根称为A的特征根，即A的特征值. 注. n阶方阵A在复数范围内有n个特征值.
| E - A | = ( - 1)( - 2) … ( - n) .
比较上述两式可得
1 + 2 + … + n = a11 + a22 + … + ann ;
12 …n = |A|.
证毕
§1 特征值与特征向量、相似矩阵
n次多项式的根与系数的关系
韦达定理： 设 1,2 是 ax2 bx c 的两个根，则
性质2：设n阶矩阵 A (aij )nn ，则
①
A的全体特征值的和＝
a 11
a 22
L
a nn
解之得基础解系为
(1 , 1 , 0)T , (0 , 1 , 1)T ,
所以属于 2 3 1的一个线性无关的特征
向量就是 2 1 2 , 3 2 3 ,
全部特征向量就是
k22 k33 (k2 , k3 P,且不全为0).
§1 特征值与特征向量、相似矩阵
主要性质
性质1：n阶矩阵A与它的转置矩阵 AT的特征值相同.
1i jn
—（2）
比较（1）与（2）的展开式中同次项的系数，
§1 特征值与特征向量、相似矩阵
得根与系数的关系为：
a1 1 L n a2 12 13 L n1n
a3 123 124 L n2n1n
LLLLL
an1 1 n1 12 L n1 13 L n L 23 L n an 1n 12 L n
（3）一个 特征值可以有多个特征向量. （4）一个特征向量只能属于一个特征值.
§1 特征值与特征向量、相似矩阵
求矩阵的特征值与特征向量的一般步骤
i)求A的特征多项式 E A的全部根，它们就是A的
全部特征值. ii)把所求得的特征值逐个代入方程组
( E A)x 0
并求出它的一组基础解系，它们就是属于这个特征值 的全部线性无关的特征向量.
因而, A 的特征多项式中, n 与 n-1 的系数由该项
§1 特征值与特征向量、相似矩阵
确定. 不难看出, n 的系数为 1 , n-1 的系数为
-(a11 + a22 + … + ann). 另外, 在特征多项式中
令 = 0 可得其常数项为 |A| . 故
| E - A | = n
- (a11 + a22 + … + ann)n-1+ … + (-1)n |A| . 由于 1 , 2 , … , n 是 A 的 n 个特征值, 所以
§1 特征值与特征向量、相似矩阵
当
2 3 1 时, 解方程组
(E A)X 0 ,
2 2 2 x1
即
2 2 2 x2 0,
2 2 2 x3
§1 特征值与特征向量、相似矩阵
2 2 2 x1 2 2 2 x2 0, 2 2 2 x3
2 2 1
特征值与特征向量.
解 A 的特征多项式为
1 2 2 E A 2 1 2
2 2 1
§1 特征值与(特征向1量)2、(相似矩5)阵.
所以，A 的特征值为
1 5 , 2 3 1,
当 1 5 时, 解方程组
(5E A)X 0 ,
4 2 2 x1
即
2 4 2 x2 0,
1
2
b a
,12
c a
§1 特征值与特征向量、相似矩阵
C上多项式的根与系数关系：
设 f x xn a1xn1 L an1x an
—（1）
是一个n（n>0）次多项式，则它在C中有n个根，记
为 1,2 ,L ,n 则
f x x 1x 2 L x n
xn 1 L n xn1
i j xn2 L 1n 12 L n
第五章 矩阵的特征值与特征向量
§1 特征值与特征向量、相似矩阵 §2 矩阵可对角化的条件、实对称
矩阵的对角化
§1 特征值与特征向量、相似矩阵
一、特征值与特征向量 二、相似矩阵
§1 特征值与特征向量、相似矩阵
一、特征值与特征向量
定义1：设A是n阶方阵，若对于数 ，存在n维非零
列向量 ，使得 A =
§1 特征值与特征向量、相似矩阵
证 由行列式的定义可知, 矩阵 A 的特征多项式
a11 a12
E A a21 a22
a1n a2n
an1 an2 ann
中, 有一项是主对角线上 n 个元素的积( - a11) ( - a22) ( - ann)
而其他各项至多含有主对角线上的 n - 2 个元素.
§1 特征值与特征向量、相似矩阵
例题
例1.求矩阵 A =
34 52
的特征值与特征向量.
1 1 0
例2.求矩阵
A
=
4 1
3 0
0 2
的特征值与特征向量.
2 1 1
例3.求矩阵
A
=
0 4
2 1
0 3
的特征值与特征向量.
§1 特征值与特征向量、相似矩阵
例4 求矩阵
1 2 2 A 2 1 2 ,
则称数 为方阵A的一个特征值，非零向量 称为 A的属于特征值 的一个特征向量.
注： A = ( E A) 0 存在非零向量 , 使 A E A 0.
§1 特征值与特征向量、相似矩阵
定义2: 设 是一个未知量，矩阵 E A称为A的
特征矩阵，它的行列式
a a ... a