初中数学难点 去绝对值符号
初中“绝对值”教学的难点和对策
初中“绝对值”教学的难点和对策【摘要】：初中数学教学中绝对值是非常重要的内容，同时也是理解难度较大的知识点，在初中数学教学中教师需加以重视，并且掌握绝对值知识还对后续高中绝对值方程、数形结合、绝对值不等式等相关知识的学习有着基础作用。
从教学实践中可以了解到多数学生对绝对值知识内容的认识与理解存在难度，这也正是教学难点所在，本文对“绝对值”教学难点进行分析，并探讨有效的教学对策，希望进一步提高“绝对值”教学的质量和效率。
【关键词】：初中；绝对值；难点；对策引言初中数学课程是学生数学学习生涯中重要的过渡，掌握初中数学知识点对其未来的数学探索之路十分关键，“绝对值”是初中数学体系中的重点概念，也是高中数学中的重点内容，打好初中阶段的学习基础才能保障高中数学课程学习的效果。
在“绝对值”教学中许多学生对其概念的理解还不够全面与深入，实际运用上也缺乏灵活性，解题正确率较低，为此教师需精准把握教学中的难点，采取有效对策进行突破，引导学生更好的掌握“绝对值”这部分知识。
一、初中“绝对值”教学的难点（一）字母替代数概念理解不到位初中生对于代数知识的认识与理解不够到位，从算术思维转向由字母所代替数的概念的过程中产生一些思维上的偏差，表现在一些学生只能理解有理数的绝对值，而对于带有字母的绝对值却无法理解，这主要是由于对绝对值概念和含义认识不清晰而导致的，单一把字母作为数影响数学计算的准确性。
[1]（二）数形结合利用不充分绝对值的定义为“数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|”，此定义中将点与点之间的长度定义为绝对值，而长度必然属于正值，即绝对值肯定是大于0的，这是绝对值的基本性质之一。
为了让学生更清楚的理解数轴，通常将0作为分界点进行左右划分，左边为负有理数，右边为正有理数，以这种分类思想来锻炼学生的数形意识，将有理数均通过数轴呈现，然后让学生对应数轴确定正、负有理数的位置和关系，如此可以加深学生对绝对值概念的理解和认识。
去绝对值常用方法
去绝对值常用“六招”（初一）去绝对值常用“六招”（初一）绝对值是初中数学的一个重要概念，是后续学习的必备知识。
解绝对值问题要求高，难度大，不易把握，解题易陷入困境。
下面就教同学们去绝对值的常用几招。
一、根据定义去绝对值例1、当a = -5，b = 2，c = - 8时，求3│a│-2│b│- │c│的值分析：这里给出的是确定的数，所以根据绝对值的意义即正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
代值后即可去掉绝对值。
解：因为：a = -5＜0，b =2＞0，c = -8＜0所以由绝对值的意义，原式= 3 [ -（-5）] – 2 ×2 - [ - ( - 8 ) ] = 7二、从数轴上“读取”相关信息去绝对值例2、有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，且│a│=│b│，化简│c-a│+│c-b│+│a+b│-│a│分析：本题的关键是确定c - a、c-b、a + b的正负性，由数轴上点的位置特征，即可去绝对值。
解：由已知及数轴上点的位置特征知：a＜0＜c＜b 且- a = b从而c – a ＞0 ，c - b＜0，a + b = 0故原式= c - a + [ - ( c – b ) ] + 0 - ( - a ) = b 三、由非负数性质去绝对值例3：已知│a2-25│+ ( b – 2 )2= 0，求ab的值。
分析：因为绝对值、完全平方数为非负数，几个非负数的和为零，则这几个数均为“0”。
解：因为│a2-25│+ ( b – 2 )2= 0 由绝对值和非负数的性质：a2-25 = 0 且b – 2 = 0即a = 5b = 2 或a = - 5b = 2故ab = 10或ab = - 10四、用分类讨论法去绝对值例4、若abc≠0，求+ + 的值。
分析：因abc≠0，所以只需考虑a、b、c同为正号还是同为负号；两个同为正（负）号，另一个为负（正）号，共八种情况。
七年级数学上学期 绝对值重难点突破(含解析)
初中数学人教版七年级上学期第一章有理数绝对值重难点突破一、解答题1.(8分)（2020七上·硚口期中）已知是有理数.（1）当时，先判断的正、负符号，再求的值；（2）当时，直接写出的值.2.(8分)（2021七上·相城月考）已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：|2a|﹣|a＋c|﹣|1﹣b|＋|﹣a﹣b|3.(10分)（2021七上·苏州月考）如图所示，有理数a，b，c在数轴上的对应点分别是A、B、C，原点为点O.①化简：|a﹣c|+2|c﹣b|﹣|b﹣a|.②若B为线段AC的中点，OA＝6，OA＝4OB，求c的值.4.(12分)（2020七上·金华期中）数轴是一个非常重要的数学工具，实数和数轴上的点能建立一一对应的关系，它建立了数与形的联系，是初中“数形结合”的基础。
我们知道一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，如：，：表示数的点到原点的距离。
同样的，：表示数的点到表示数3的点的距离。
请结合数轴解决下列问题：①当时，表示什么意思？________；②若，则________；③若，则的值是________；④求使的值最小的所有符合条件的整数.二、综合题5.(10分)（2021七上·薛城期中）数轴上两点之间的距离等于这两个点所对应的数的差的绝对值，例如：点A、B在数轴上对应的数分别是a、b，则点A、B两点间的距离表示为．利用上述结论，回答以下问题（1）若点A在数轴上表示－3，点B在数轴上表示1，那么AB=；（2）若数轴上两点C、D表示的数为x、－1①C、D两点之间的距离可用含x的式子表示为；②若该两点之间的距离是3，那么x值为；（3）若数轴上表示a的点位于－5和2之间，化简．6.(11分)（2021七上·建昌期中）“数形结合”是重要的数学思想．如：表示与差的绝对值，实际上也可以理解为与在数轴上所对应的两个点之间的距离．进一步地，数轴上两个点A，B所对应的数分别用，表示，那么A，B两点之间的距离表示为．利用此结论，回答以下问题：（1）数轴上表示和两点之间的距离是．（2）可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．（3）若，则．（4）若表示一个有理数，的最小值为．（5）直接写出所有符合条件的整数x，使得，的值为7.(10分)（2021七上·温岭期中）点A、B在数轴上分别表示数a，b，A、B两点之间的距离表示为|AB|．数轴上A、B两点之间的距离|AB|=|a-b|回答下列问题：（1）数轴上表示－1和－4的两点之间的距离是；（2）数轴上表示x和－1的两点A之和B之间的距离是，如果|AB|＝2，那么x的值是；（3）若x表示一个有理数，且﹣1＜x＜3，则|x﹣3|+|x+1|=；（4）若x表示一个有理数，且|x﹣1|+|x+2|＞3，则有理数x的取值范围是.8.(15分)（2020七上·武汉期中）（问题背景）在数轴上，点表示数在原点的左边，点表示的数在原点的右边，如图1，所示，则有：①；②线段的长度等于.（问题解决）点、点、点在数轴上的位置如图2所示，三点对应的数分别为，、.①线段的长度为▲；②若点为线段的中点，则点表示的数是▲；③化简：.（关联运用）①已知：点、点、点、点在数轴上的位置如图3所示，点对应的数为，点对应的数为，若定长线段沿数轴正方向以每秒个单位长度匀速运动，经过原点需要1秒，完全经过线段需要2秒，求的值；②已知，当式子取最小值时，相应的的取值范围是▲，式子的最小值是▲.（用含、的式子表示）9.(16分)（2020七上·孝南期中）已知是最小的正整数，且，满足，请回答：（1）请直接写出，，的值：=，=，=；（2）在（1）的条件下，若点为一动点，其对应的数为，点在0到1之间运动，即时，化简：；（3）在（1）（2）的条件下，，，分别对应的点、、开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为.请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值.答案解析部分一、解答题1.【答案】（1）解：，；（2）解：当同正时，；当两正一负时，；当一正两负时，；当同负时，；综上：或±1.【考点】绝对值及有理数的绝对值，代数式求值【解析】【分析】（1）利用有理数的乘法法则可知a，b同号，再利用有理数的加法法则，结合已知可得到a，b同为负数，然后化简绝对值，可求出结果。
初中数学绝对值重点难点突破(含练习题和答案)
初中数学知识点绝对值重点难点突破（含练习题和答案）一、绝对值定义数轴上表示数a的点与原点的距离，叫做数a的绝对值。
数a的绝对值记作|a|，读作a的绝对值.二、由绝对值的定义可知：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.即(1)如果a>0，那么|a|=a；(2)如果a=0，那么|a|=0；(3)如果a<0，那么|a|=-a.用式子可表示为：三、重点归纳①绝对值为正数的数有两个，它们互为相反数.②两个互为相反数的数的绝对值相等.反之，绝对值相等的两个数相等或互为相反数。
③求一个数的绝对值就是去绝对值符号，所以求一个数的绝对值，必须先判断绝对值符号里的数，再去绝对值符号.如果绝对值里的数是非负数，那么这个数的绝对值就是它本身，如果绝对值里面的数是负数，那么这个数的绝对值就是它的相反数，当绝对值里面的数的正负性不能确定时，要分类讨论，即将其分成大于0、小于0、等于0、这三类来计论。
例题1|x-2|的绝对值为答案解析(1）如果x-2>0，即x>2，那么|x-2|=x-2(2)如果x-2=0，即x=2，那么|x-2|=0(3)如果x-2<0，即x<2，那么|x-2|=2-x④一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大，离原点的距离越近，绝对值越小。
⑤在数轴上，由于距离总是正数和零，则有理数的绝对值不可能是负数，因此任何一个有理数的绝对值都是非负数，即a取任意有理数，都有|a|≥0.绝对值的这一性质表现为：(1） |a|≥0，即 |a| 有最小值；(2）若几个非负数的和为零，则每一个非负数都为零，即|a|+|b| +|c|+…+|z|=0,则a=b=c=…=z=0.例题2已知|3-x|+(2x-y)²=0，那么x+y的值为答案 9解析由绝对值和偶次幂的非负性可得3-x=0，x=3；2x-y=0,y=6，所以x+y=9.练习题1、检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，4个足球检测质量分别是，+0.9，-3.6，-0.8，+2.5，从轻重的角度看，最接近标准的是。
七年级数学专题-绝对值问题的几种解法
小结：
• 这节课你有什么收获？
一、直接推理法
说明: 本题是直接利用有理数加法法则和有理数乘法法则确定字母符号
二、巧用数轴法
说明:本题是通过数轴，运用数形结合的方法确定字母的大小顺序， 从而达到去掉绝对值的目的.
三、零点分段法
说明:本题是求两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时 去掉两个绝对值符号
四、分类讨论法
练习：
思路点拨 解本例的关键是利用绝对值的几何意义确定括号内每个式子的 取值范围
绝对值问题几种解法
• 绝对值是初中代数中的一个基本概念， 在竞赛中经常会遇到含有绝对值符号 的问题，同学们要注意知识的创新运 用， 掌握好方法，顺利解决这些问 题．
知识回顾
• 1．去绝对值的符号法则： • 2．绝对值基本性质 • ①非负性：
• 3．绝对值的几； |a-b|表示数a 、数 b的两点 间的距离．
去绝对值常用方法
去绝对值常用“六招”（初一）去绝对值常用“六招” （初一）绝对值是初中数学的一个重要概念，是后续学习的必备知识。
解绝对值问题要求高，难度大，不易把握，解题易陷入困境。
下面就教同学们去绝对值的常用几招。
一、根据定义去绝对值例1、当a = -5，b = 2， c = - 8时，求3│a│-2│b│- │c│的值分析：这里给出的是确定的数，所以根据绝对值的意义即正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
代值后即可去掉绝对值。
解：因为：a = -5＜0，b =2＞0，c = -8＜0所以由绝对值的意义，原式= 3 [ -（-5）] – 2 ×2 - [ - ( - 8 ) ] = 7二、从数轴上“读取”相关信息去绝对值例2、有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，且│a│=│b│，化简│c-a│+│c-b│+│a+b│-│a│分析：本题的关键是确定c - a、c-b、a + b的正负性，由数轴上点的位置特征，即可去绝对值。
解：由已知及数轴上点的位置特征知：a＜0＜c＜b 且- a = b从而 c – a ＞0 ， c - b＜0， a + b = 0 故原式= c - a + [ - ( c – b ) ] + 0 - ( - a ) = b三、由非负数性质去绝对值例3：已知│a2-25│+ ( b – 2 )2 = 0，求ab的值。
分析：因为绝对值、完全平方数为非负数，几个非负数的和为零，则这几个数均为“0”。
解：因为│a2-25│+ ( b – 2 )2 = 0 由绝对值和非负数的性质：a2-25 = 0 且b – 2 = 0即a = 5 b = 2 或a = - 5 b = 2 故ab = 10或ab = - 10四、用分类讨论法去绝对值例4、若abc≠0，求+ + 的值。
分析：因abc≠0，所以只需考虑a、b、c同为正号还是同为负号；两个同为正（负）号，另一个为负（正）号，共八种情况。
绝对值大全(零点分段法、化简、最值)
绝对值年夜全（零点分段法、化简、最值）之欧侯瑞魂创作一、去绝对值符号的几种经常使用方法解含绝对值不等式的基本思路是去失落绝对值符号, 使不等式酿成不含绝对值符号的一般不等式, 而后, 其解法与一般不等式的解法相同.因此掌握去失落绝对值符号的方法和途径是解题关键.1利用界说法去失落绝对值符号根据实数含绝对值的意义, 即|x |=(0)(0)x x x x ≥⎧⎨-<⎩, 有|x |<c (0)(0)c x c c c -<<>⎧⇔⎨∅≤⎩；|x |>c (0)0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>⎧⎪⇔≠=⎨⎪∈<⎩或 2利用不等式的性质去失落绝对值符号利用不等式的性质转化|x |<c 或|x |>c (c >0)来解, 如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或ax b +<－c ；|ax b +|<c 可化为－c <ax +b <c , 再由此求出原不等式的解集.对含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解, 也可利用结论“a ≤|x |≤b ⇔a ≤x ≤b 或－b ≤x ≤－a ”来求解, 这是种典范的转化与化归的数学思想方法.3利用平方法去失落绝对值符号对两边都含有“单项”绝对值的不等式, 利用|x |2=2x 可在两边脱去绝对值符号来解, 这样解题要比按绝对值界说去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷, 解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围, 如果没有明确不等式两边均为非负数, 需要进行分类讨论, 只有不等式两边均为非负数(式)时, 才可以直接用两边平方去失落绝对值, 尤其是解含参数不等式时更必需注意这一点.4利用零点分段法去失落绝对值符号所谓零点分段法, 是指：若数x, 2x, ……, n x分别使含有1|x－x|, |x－2x|, ……, |x－n x|的代数式中相应绝对值为零, 1称x, 2x, ……, n x为相应绝对值的零点, 零点1x, 2x, ……, n x 1将数轴分为m+1段, 利用绝对值的意义化去绝对值符号, 获得代数式在各段上的简化式, 从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解, 即令每项即是零, 获得的值作为讨论的分区点, 然后再分区间讨论绝对值不等式, 最后应求出解集的并集.零点分段法是解含绝对值符号的不等式的经常使用解法, 这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法, 它可以把求解条理化、思路直观化.5利用数形结合去失落绝对值符号解绝对值不等式有时要利用数形结合, 利用绝对值的几何意义画出数轴, 将绝对值转化为数轴上两点间的距离求解.数形结合法较为形象、直观, 可以使复杂问题简单化, 此解法适用于-+-<(m为正常数)类型不等式.对x a x b m||||-+->或||||x a x b m+++>(或<m), 当|a|≠|c|时一般不用.||||ax b cx d m二、如何化简绝对值绝对值的知识是初中代数的重要内容, 在中考和各类竞赛中经常呈现, 含有绝对值符号的数学问题又是学生遇到的难点之一, 解决这类问题的方法通常是利用绝对值的意义, 将绝对值符号化去, 将问题转化为不含绝对值符号的问题, 确定绝对值符号内部份的正负, 借以去失落绝对值符号的方法年夜致有三种类型.（一）、根据题设条件例1：设化简的结果是（）.（A）（B）（C）（D）思路分析：由可知可化去第一层绝对值符号, 第二次绝对值符号待合并整理后再用同样方法化去．解：∴应选（B）．归纳点评只要知道绝对值将合内的代数式是正是负或是零, 就能根据绝对值意义顺利去失落绝对值符号, 这是解答这类问题的惯例思路．（二）、借助数轴例2：实数a、b、c在数轴上的位置如图所示, 则代数式的值即是（）．（A）（B）（C）（D）思路分析由数轴上容易看出, 这就为去失落绝对值符号扫清了障碍．解：原式∴应选（C）．归纳点评这类题型是把已知条件标在数轴上, 借助数轴提供的信息让人去观察, 一定弄清：1．零点的左边都是负数, 右边都是正数．2．右边点暗示的数总年夜于左边点暗示的数．3．离原点远的点的绝对值较年夜, 牢记这几个要点就能沉着自如地解决问题了．（三）、采纳零点分段讨论法例3：化简思路分析本类型的题既没有条件限制, 又没有数轴信息, 要对各种情况分类讨论, 可采纳零点分段讨论法, 本例的难点在于的正负不能确定, 由于x是不竭变动的, 所以它们为正、为负、为零都有可能, 应当对各种情况—一讨论．解：令得零点：；令得零点：, 把数轴上的数分为三个部份（如图）①那时,∴原式②那时, ,∴原式③那时, ,∴原式∴归纳点评：虽然的正负不能确定, 但在某个具体的区段内都是确定的, 这正是零点分段讨论法的优点, 采纳此法的一般步伐是：1．求零点：分别令各绝对值符号内的代数式为零, 求出零点（纷歧定是两个）．2．分段：根据第一步求出的零点, 将数轴上的点划分为若干个区段, 使在各区段内每个绝对值符号内的部份的正负能够确定．3．在各区段内分别考察问题．4．将各区段内的情形综合起来, 获得问题的谜底．误区点拨千万不要想固然地把等都当做正数或无根据地增加一些附加条件, 以免得犯毛病的结果．三、带绝对值符号的运算在初中数学教学中, 如何去失落绝对值符号？因为这一问题看似简单, 所以往往容易被人们忽视.其实它既是初中数学教学的一个重点, 也是初中数学教学的一个难点, 还是学生容易搞错的问题.那么, 如何去失落绝对值符号呢？我认为应从以下几个方面着手：（一）、要理解数a的绝对值的界说.在中学数学教科书中, 数a的绝对值是这样界说的, “在数轴上, 暗示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值.”学习这个界说应让学生理解, 数a的绝对值所暗示的是一段距离, 那么, 不论数a自己是正数还是负数, 它的绝对值都应该是一个非负数.（二）、要弄清楚怎样去求数a的绝对值.从数a的绝对值的界说可知, 一个正数的绝对值肯定是它的自己, 一个负数的绝对值肯定是它的相反数, 零的绝对值就是零.在这里要让学生重点理解的是, 当a是一个负数时, 怎样去暗示a的相反数（可暗示为“-a”）, 以及绝对值符号的双重作用（一是非负的作用, 二是括号的作用）.（三）、掌握初中数学罕见去失落绝对值符号的几种题型.1、对形如︱a︱的一类问题只要根据绝对值的3个性质, 判断出a的3种情况, 便能快速去失落绝对值符号.当a>0时, ︱a︱=a (性质1：正数的绝对值是它自己)；当a=0 时, ︱a︱=0(性质 2：0的绝对值是0) ；当 a<0 时；︱a︱=–a (性质3：负数的绝对值是它的相反数) .2、对形如︱a+b︱的一类问题首先要把a+b看作是一个整体, 再判断a+b的3种情况, 根据绝对值的3个性质, 便能快速去失落绝对值符号进行化简.当a+b>0时, ︱a+b︱=(a+b) =a +b (性质1：正数的绝对值是它自己)；当a+b=0 时, ︱a+b︱=(a+b) =0 (性质 2：0的绝对值是0)；当 a+b<0 时, ︱a+b︱=–(a+b)=–a-b (性质3：负数的绝对值是它的相反数).3、对形如︱a-b︱的一类问题同样, 仍然要把a-b看作一个整体, 判断出a-b 的3种情况, 根据绝对值的3个性质, 去失落绝对值符号进行化简.但在去括号时最容易呈现毛病.如何快速去失落绝对值符号, 条件非常简单, 只要你能判断出a与b的年夜小即可（不论正负）.因为︱年夜-小︱=︱小-年夜︱=年夜-小, 所以当a>b时, ︱a-b︱=（a-b）= a-b, ︱b-a︱=（a-b）= a-b .口诀：无论是年夜减小, 还是小减年夜, 去失落绝对值, 都是年夜减小.4、对数轴型的一类问题,根据3的口诀来化简, 更快捷有效.如︱a-b︱的一类问题, 只要判断出a在b的右边（不论正负）, 即可获得︱a-b︱=（a-b）=a-b, ︱b-a︱=（a-b）=a-b .5、对绝对值符号前有正、负号的运算非常简单, 去失落绝对值符号的同时, 不要忘记打括号.前面是正号的无所谓, 如果是负号, 忘记打括号就惨了, 差之毫厘失之千里也！6、对绝对值号里有三个数或者三个以上数的运算万变不离其宗, 还是把绝对值号里的式子看成一个整体, 把它与0比力, 年夜于0直接去绝对值号, 小于0的整体前面加负号.四、去绝对值化简专题练习（1）设化简的结果是（ B ）.（A）（B）（C）（D）(2) 实数a、b、c在数轴上的位置如图所示, 则代数式的值即是（ C ）.（A）（B）（C）（D）(3) 已知, 化简的结果是 x-8 .(4) 已知, 化简的结果是 -x+8 .(5) 已知, 化简的结果是 -3x .(6) 已知a、b、c、d满足且, 那么a+b+c+d= 0 （提示：可借助数轴完成）(7) 若, 则有（ A ）.（A）（B）（C）（D）(8) 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示, 则式子化简结果为（ C ）．（A）（B）（C）（D）(9) 有理数a、b在数轴上的对应点如图所示, 那么下列四个式子, 中负数的个数是（B ）．（A）0 （B）1 （C）2 （D）3(10) 化简 =(1)-3x (x<-4) (2)-x+8(-4≤x≤2) (3)3x(x>2)(11) 设x是实数, 下列四个结论中正确的是（ D ）.（A）y没有最小值（B）有有限多个x使y取到最小值（C）只有一个x使y取得最小值（D ）有无穷多个x 使y 取得最小值五、绝对值培优教案绝对值是初中代数中的一个基本概念, 是学习相反数、有理数运算及后续二次根式的基础．绝对值又是初中代数中的一个重要概念, 在解代数式化简求值、解方程（组)、解不等(组)、函数中距离等问题有着广泛的应用, 全面理解、掌握绝对值这一概念, 应从以下方面人手：l ．绝对值的代数意义：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a2．绝对值的几何意义从数轴上看, a 暗示数a 的点到原点的距离(长度, 非负) ；b a -暗示数a 、数b 的两点间的距离．3．绝对值基赋性质 ①非负性：0≥a ；②b a ab ⋅=；③)0(≠=b ba b a ；④222a a a ==． 培优讲解（一）、绝对值的非负性问题【例1】若3150x y z +++++=, 则x y z --=.总结：若干非负数之和为0, .（二）、绝对值中的整体思想【例2】已知4,5==b a , 且a b b a -=-, 那么b a +=． 变式1. 若|m －1|=m －1, 则m_______1; 若|m －1|>m －1, 则m_______1;（三）、绝对值相关化简问题（零点分段法）【例3】阅读下列资料并解决有关问题： 我们知道()()()0000<=>⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x x x , 现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式, 如化简代数式21-++x x 时, 可令01=+x 和02=-x , 分别求得2,1=-=x x （称2,1-分别为1+x 与2-x 的零点值）.在有理数范围内, 零点值1-=x 和2=x 可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：（1）那时1-<x , 原式=()()1221+-=--+-x x x ;（2）那时21<≤-x , 原式=()321=--+x x ；（3）那时2≥x , 原式=1221-=-++x x x .综上讨论, 原式=()()()221112312≥<≤--<⎪⎩⎪⎨⎧-+-x x x x x 通过以上阅读, 请你解决以下问题：（1） 分别求出2+x 和4-x 的零点值；（2）化简代数式42-++x x变式1.化简 (1)12-x ； (2)31-+-x x ；23++-x x 的最小值是a , 23+--x x 的最年夜值为b , 求b a +的值. （四）、b a -暗示数轴上暗示数a 、数b 的两点间的距离．【例4】（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2-, 3与5, 2-与6-, 4-与3.并回答下列各题：（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：___.（2）若数轴上的点A 暗示的数为x , 点B 暗示的数为―1, 则A与B 两点间的距离可以暗示为 ______________.（3）结合数轴求得23x x -++的最小值为, 取得最小值时x 的取值范围为 ___.（4）满足341>+++x x 的x 的取值范围为 ______ .（5） 若1232008x x x x -+-+-++-的值为常数, 试求x 的取值范围． （五）、绝对值的最值问题 【例5】（1）当x 取何值时, 3-x 有最小值？这个最小值是几多？（2）当x 取何值时, 25+-x 有最年夜值？这个最年夜值是几多？（3）求54-+-x x 的最小值.（4）求987-+-+-x x x 的最小值.【例6】．已知1,1≤≤y x , 设421--++++=x y y y x M , 求M 的最年夜值与最小值．课后练习：1、若|1|a b ++与2(1)a b -+互为相反数, 求321a b +-的值.2．若1++b a 与2)1(+-b a 互为相反数, 则a 与b 的年夜小关系是( )．A ．b a >B ．b a =C ．b a <D ．b a ≥3．已知数轴上的三点A 、B 、C 分别暗示有理数a , 1, 一l, 那么1+a 暗示( )．A ．A 、B 两点的距离 B ．A 、C 两点的距离C ．A 、B 两点到原点的距离之和D ． A 、C 两点到原点的距离之和23x x -++, 可以看出, 这个式子暗示的是x 到2的距离与x 到3-的距离之和, 它暗示两条线段相加：⑴那时x >, 发现, 这两条线段的和随x 的增年夜而越来越年夜；⑵那时x <, 发现, 这两条线段的和随x 的减小而越来越年夜；⑶那时x ≤≤, 发现, 无论x 在这个范围取何值, 这两条线段的和是一个定值, 且比⑴、⑵情况下的值都小.因此, 总结, 23x x -++有最小值, 即即是到的距离5. 利用数轴分析71x x +--, 这个式子暗示的是x 到7-的距离与x 到1的距离之差它暗示两条线段相减：⑴那时x ≤, 发现, 无论x 取何值, 这个差值是一个定值；⑵那时x ≥, 发现, 无论x 取何值, 这个差值是一个定值；⑶那时x <<, 随着x 增年夜, 这个差值渐渐由负变正, 在中点处是零.因此, 总结, 式子71x x +--那时x , 有最年夜值；那时x , 有最小值；9．设0=++c b a , 0>abc , 则c b a b a c a c b +++++的值是（）．A ．-3B ．1C ．3或-1D ．-3或110．若2-<x , 则=+-x 11；若a a -=, 则=---21a a ．12．设c b a 、、分别是一个三位数的百位、十位和个位数字, 而且c b a ≤≤, 则a c c b b a -+-+-可能取得的最年夜值是．4、当b 为______时, 5-12-b 有最年夜值, 最年夜值是_______当a 为_____时, 1＋|a +3 |有最小值是_________.5、当a 为_____时, 3＋|2a －1 |有最小值是________；当b 为______时, 1- | 2＋b|有最年夜值是_______.2、已知b 为正整数, 且a 、b 满足| 2a －4|＋b ＝1, 求a 、b 的值.7.化简：⑴13x x -++；⑵213x x +-+4、如果2x ＋| 4－5x|＋ |1－3x |＋4恒为常数, 求x 的取值范围.7、若|5||2|7x x ++-=, 求x 的取值范围.。
初一数学暑期复习资料1化简绝对值
绝对值及其化简绝对值的知识是初中代数的重要内容，在中考和各类竞赛中经常出现，含有绝对值符号的数学问题又是学生遇到的难点之一，解决这类问题的方法通常是利用绝对值的意义，将绝对值符号化去，将问题转化为不含绝对值符号的问题.绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a.绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5.求字母a 的绝对值：①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩②(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ③(0)(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小. 绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0. 例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c = 绝对值的其它重要性质：（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数， 即a a≥，且a a≥-；（2）若a b=，则a b =或a b =-；（3）ab a b =⋅；a ab b=(0)b ≠； （4）222||||a a a ==；（5）a b a b a b-≤+≤+，对于a b a b+≤+，等号当且仅当a 、b 同号或a 、b 中至少有一个0时，等号成立；对于a b a b-≤+，等号当且仅当a 、b 异号或a 、b 中至少有一个0时，等号成立．绝对值几何意义 当x a =时，x a -=，此时a 是x a-的零点值．零点分段讨论的一般步骤：找零点、分区间、定符号、去绝对值符号．即先令各绝对值式子为零，求得若干个绝对值为零的点，在数轴上把这些点标出来，这些点把数轴分成若干部分，再在各部分内化简求值．a的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．a b-的几何意义：在数轴上，表示数a 、b 对应数轴上两点间的距离．化简绝对值的关键是确定绝对值符号内部分的正负，从而去掉绝对值符号，常用的方法大致有五种类型。
中考数学：分类例说绝对值化简问题
分类例说绝对值化简问题绝对值化简问题在初中数学中是一个难点，学生在解题时存在如下一些障碍:首先，不理解去绝对值的真正含义，不知道去绝对值是一种运算，求一个数的绝对值就是根据绝对值的性质去掉绝对值符号.其次，对绝对值的性质理解有偏差，0既不是正数，也不是负数，它是正数与负数的分界线，0没有正负性，0=0=0±.非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它相反数.运用性质解题就很少出错.再次，在解答不等式、二次根式及化简绝对值的综合试题时，不会合理运用不等式的性质来确定绝对值内的代数式的符号.下面对几种典型问题作出分析.一、已知不等式的解集.化简绝对值例1已知1x <-，化简:3113x x+--分析要去掉绝对值，确定31x +，13x -的符号是关键，根据条件运用不等式的性质就可以确定31x +，13x -的符号.1x <- ，33x ∴<-(根据不等式的性质2)，312x +<-(根据不等式的性质1)，就可以确定31x +的符号为负号.同理，由不等式的性质3，可以先得出3x -的符号，再由不等式的性质1可以得出13x -的符号，1x <- ，33x ∴->(根据不等式的性质3)，134x ∴->(根据不等式的性质1)，可以得出13x -的符号为正号，根据绝对值的性质就可以轻松化简.解1x <- 3120x ∴+<-<，1340x ->>(31)(13)x x ∴=-+--原式3113x x=---+2=-二、通过求不等式的解集，再化简绝对值例2已知2(1)3x x -<-，化简:242x x+---分析要去掉绝对值，就得知道2x +，42x --的符号.要知道2x +，42x --的符号就得知道x 的解集，要知道x 的解集就要运用不等式的解法求出其解.求出x 的解集后由例1的方法就可以确定2x +，42x --的符号，进而化简绝对值.解2(1)3x x-<-解得：2x <-20x ∴+<，420x -->(2)(42)x x ∴=-+---原式=2x +三、已知不等式的解集，化简多重绝对值例2已知3x <-，化简:321x +-+分析要去掉绝对值符号，我们只能从最里面一层一层的去掉.先由不等式的性质用例1的方法判断1x +的符号，去掉第一个绝对值，然后再合并同类项后判断符号，去掉第二个绝对值，最后去掉第三个绝对值.解答本题的关键是确定去绝对值符号的顺序.解3x <- 120x ∴+<-<32(1)x ∴=+---原式=3+3x +3x <- ，30x ∴+<3(3)x x∴=+--=-原式3x <- ， 30x ∴-><x∴=-原式四、已知不等式组的解集，化简绝对值例4-23x <<，化简:23x x +--分析要去掉绝对符号，只要知道2x +，3x -的符号即可，但是这里已知条件是不等式组的解集，该如何用呢?实际上只要我们按照不等式的性质代进去一试结论就有了.-23x << ，021x ∴<+<(由不等式的性质1)，同样，可以确定2x +的符号为正号;-23x << ，530x ∴-<-<由不等式的性质1)，可以确定3x -的符号为负号.这样去绝对值符号就迎刃而解.解-23x << 021x ∴<+<，530x -<-<，2(3)x x ∴=+--原式=21x +五、先解不等式组，再化简绝对值例5已知不等式组415x -<①215222x x -<-+②化简：451x x +--分析要去掉绝对值得知道45x +，1x -的符号.必须运用解不等式组的方法先求得x的解集，再运用例4的方法确定45x +，1x -的符号，然后化简绝对值.解解不等式①，得54x >-解不等式②，得1x <514x ∴-<<0459x ∴<+<，9104x -<-<45(1)x x ∴=+--原式=51x +六、已知不等式组的解集，变形二次根式后再化简绝对值例6已知01x <<，化简:2x +分析本题涉及到了二次根式的性质2a =，a =的运用.解答时先将二次根式变形，进行第一次化简，再根据不等式的性质确定绝对值内的式子的符号，最后就可以化简绝对值.解原式(1)12x x x x =+-----01x << 110x ∴-<-<，221x -<-<-1(1)(2)x x x x ∴=+-----原式=22x -七、解不等式组，再变形二次根式化简绝对值例7已知53m +>①220m -<②化简:1m -分析a =的运用.解答时，先求出m 的解集，再将二次根式转化为绝对值，由不等式的性质确定绝对值内代数式的符号，然后由绝对值的性质化简.解121m m m=-++--原式由不等式①，得2m >-由不等式②，得1m <21m ∴-<<310m ∴-<-<，023m <+<，013m <-<(1)21m m m∴=--++--原式1(2)(1)m m m =-+++--2m =+八、由方程组的解建立不等式组，求出解集，再化简绝对值例8已知关于x 、y 的方程组x-y=3a+6①x+y=-a-12②的解，满足0y x <≤，化简:31a a -++分析要去掉绝对值，得知道a 的解集，必须先求出二元一次方程组的解，由二元一次方程组的解建立不等式组，求出a 的解集;最后根据不等式的性质，结合零点分段法分类讨论，确定3a -a ，1a +的符号，然后化简绝对值.解由①+②得226x a =-，3x a =-③把③代入②，得29y a =--∴329x a y a =-⎧⎨=--⎩0y x <≤ ∴29330a a a --<-⎧⎨-≤⎩解得23a -<≤∴530a -<-≤当13a -≤≤时，014a ≤+≤=314a a ∴-++=原式当21a -<<-时110a -<+<=3(1)22a a a ∴-+--=-+原式九、由二次根式性质求不等式的解集，根据二次根式的性质变形为绝对值，再化简例9已知x y 、为实数，且3y <+，化简3y -分析要解答此题，最终还是要化简绝对值.先根据二次根式的性质求出y 的解集，a =将二次根式转化为绝对值，最后由不等式的性质确定绝对值里面的式子的符号.解由题意，得1010x x -≥⎧⎨-≥⎩1x ∴=3y <+3y ∴<3041y y ∴-<-<-，(3)y ∴=---原式34y y =-+--3(4)y y =-+--34y y=-+-+1=-十、由二次根式的性质建立不等式组求出解集，再变形为绝对值化简例10化简:2223x--+-分析要化简此题，需要运用二次根式的性质2a =a =对化简式变形，再运用隐含条件10x -≥，20x +≥建立不等式组求出x 的解集，并运用完全平方公式将二次根式变形后转化为绝对值，最后由不等式的性质判断绝对值里面的式子的符号，就可以去掉绝对值符号，进而达到化简目的.解由题意，得1020x x -≥⎧⎨+≥⎩解得21x -≤≤2356220x x ∴≤-≤-≤-≤，=1(2)(3)x x x --+--原式12223x x x x=-----+-32(22)x x =-+--3222x x =-+-+x=-综上，绝对值的化简问题，一般都与不等式或不等式组、二次根式综合在一起，从而增加了化简的难度.但是万变不离其宗，只要大家熟练掌握不等式的性质、二次根式的性质和绝对值的性质，运用这些性质进行变形、化简，确定绝对值内的代数式的符号，那么绝对值化简的问题就很简单.。
初中数学常见去掉绝对值符号的几种题型
初中数学常见去掉绝对值符号的几种题型1、对于形如︱a︱的一类问题只要根据绝对值的3个性质，判断出a的3种情况，便能快速去掉绝对值符号。
当a>0时，︱a︱=a(性质1：正数的绝对值是它本身)；当a=0 时︱a︱=0(性质2：0的绝对值是0) ；当a<0 时；︱a︱=–a (性质3：负数的绝对值是它的相反数) 。
2、对于形如︱a+b︱的一类问题首先要把a+b看作是一个整体，再判断a+b的3种情况，根据绝对值的3个性质，便能快速去掉绝对值符号进行化简。
当a+b>0时，︱a+b︱=(a+b) =a +b(性质1：正数的绝对值是它本身)；当a+b=0 时，︱a+b︱=(a+b) =0(性质2：0的绝对值是0)；当a+b<0 时，︱a+b︱=–(a+b)= –a -b(性质3：负数的绝对值是它的相反数)。
3、对于形如︱a-b︱的一类问题同样，仍然要把a-b看作一个整体，判断出a-b 的3种情况，根据绝对值的3个性质，去掉绝对值符号进行化简。
但在去括号时最容易出现错误。
如何快速去掉绝对值符号，条件非常简单，只要你能判断出a与b的大小即可（不论正负）。
因为︱大-小︱=︱小-大︱=大-小，所以当a>b时，︱a-b︱=（a-b）= a-b，︱b-a︱=（a-b）= a-b。
口诀：无论是大减小，还是小减大，去掉绝对值，都是大减小。
4、对于数轴型的一类问题，根据3的口诀来化简，更快捷有效。
如︱a-b︱的一类问题，只要判断出a在b的右边（不论正负），便可得到︱a-b︱=（a-b）=a-b，︱b-a︱=（a-b）=a-b。
5、对于绝对值符号前有正、负号的运算非常简单，去掉绝对值符号的同时，不要忘记打括号。
前面是正号的无所谓，如果是负号，忘记打括号就惨了，差之毫厘失之千里也！去绝对值化简专题练习：（1）设x<-1化简2−2−x−2的结果是（）。
（A） 2-x （B）2+x （C） -2+x （D）-2-x(2) 实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式a−a+b+c−a+b−c的值等于（）。
绝对值大全(零点分段法、化简、最值)
绝对值大全（零点分段法、化简、最值）一、去绝对值符号得几种常用方法解含绝对值不等式得基本思路就是去掉绝对值符号,使不等式变为不含绝对值符号得一般不等式,而后,其解法与一般不等式得解法相同。
因此掌握去掉绝对值符号得方法与途径就是解题关键。
1利用定义法去掉绝对值符号根据实数含绝对值得意义，即|｜=,有|｜〈;｜｜>2利用不等式得性质去掉绝对值符号利用不等式得性质转化||＜或|｜>（>0)来解,如｜｜〉（＞0）可为＞或<-;|｜〈可化为－＜+＜，再由此求出原不等式得解集。
对于含绝对值得双向不等式应化为不等式组求解，也可利用结论“≤｜｜≤≤≤或－≤≤-”来求解，这就是种典型得转化与化归得数学思想方法。
3利用平方法去掉绝对值符号对于两边都含有“单项”绝对值得不等式,利用|｜=可在两边脱去绝对值符号来解，这样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷，解题时还要注意不等式两边变量与参变量得取值范围,如果没有明确不等式两边均为非负数，需要进行分类讨论,只有不等式两边均为非负数（式）时，才可以直接用两边平方去掉绝对值，尤其就是解含参数不等式时更必须注意这一点。
4利用零点分段法去掉绝对值符号所谓零点分段法，就是指：若数，，……,分别使含有｜－|,｜—|，……,｜—｜得代数式中相应绝对值为零，称，，……，为相应绝对值得零点，零点，，……,将数轴分为+1段，利用绝对值得意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上得简化式，从而化为不含绝对值符号得一般不等式来解，即令每项等于零,得到得值作为讨论得分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集得并集。
零点分段法就是解含绝对值符号得不等式得常用解法,这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法，它可以把求解条理化、思路直观化。
5利用数形结合去掉绝对值符号解绝对值不等式有时要利用数形结合，利用绝对值得几何意义画出数轴,将绝对值转化为数轴上两点间得距离求解。
绝对值大全(零点分段法、化简、最值)
绝对值大全(零点分段法、化简、最值）一、去绝对值符号的几种常用方法解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号,使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。
因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。
1利用定义法去掉绝对值符号根据实数含绝对值的意义,即|x |=(0)(0)x x x x ≥⎧⎨-<⎩，有｜x |〈c (0)(0)c x c c c -<<>⎧⇔⎨∅≤⎩；｜x ｜>c (0)0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>⎧⎪⇔≠=⎨⎪∈<⎩或2利用不等式的性质去掉绝对值符号利用不等式的性质转化｜x |<c 或｜x ｜〉c （c 〉0）来解，如｜ax b +｜〉c (c >0)可为ax b +〉c 或ax b +〈－c ；|ax b +｜〈c 可化为－c 〈ax +b 〈c ,再由此求出原不等式的解集。
对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解，也可利用结论“a ≤|x ｜≤b ⇔a ≤x ≤b 或－b ≤x ≤－a ”来求解，这是种典型的转化与化归的数学思想方法。
3利用平方法去掉绝对值符号对于两边都含有“单项”绝对值的不等式,利用|x |2=2x 可在两边脱去绝对值符号来解,这样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷，解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围,如果没有明确不等式两边均为非负数,需要进行分类讨论,只有不等式两边均为非负数(式)时，才可以直接用两边平方去掉绝对值，尤其是解含参数不等式时更必须注意这一点.4利用零点分段法去掉绝对值符号所谓零点分段法,是指:若数1x ,2x ,……，n x 分别使含有｜x －1x |,｜x －2x ｜，……，｜x －n x ｜的代数式中相应绝对值为零，称1x ，2x ，……,n x 为相应绝对值的零点，零点1x ，2x ，……，n x 将数轴分为m +1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解,即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。
绝对值大全
绝对值大全(零点分段法、化简、最值)(总10页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--绝对值大全（零点分段法、化简、最值）一、去绝对值符号的几种常用方法解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。
因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。
1利用定义法去掉绝对值符号根据实数含绝对值的意义，即|x|=(0)(0)x xx x≥⎧⎨-<⎩，有|x|<c(0)(0)c x c cc-<<>⎧⇔⎨∅≤⎩；|x|>c(0)0(0)(0)x c x c cx cx R c<->>⎧⎪⇔≠=⎨⎪∈<⎩或2利用不等式的性质去掉绝对值符号利用不等式的性质转化|x|<c或|x|>c(c>0)来解，如|ax b+|>c(c>0)可为ax b+>c或ax b+<－c；|ax b+|<c可化为－c<ax+b<c，再由此求出原不等式的解集。
对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解，也可利用结论“a≤|x|≤b⇔a≤x≤b或－b≤x≤－a”来求解，这是种典型的转化与化归的数学思想方法。
3利用平方法去掉绝对值符号对于两边都含有“单项”绝对值的不等式，利用|x|2=2x可在两边脱去绝对值符号来解，这样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷，解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围，如果没有明确不等式两边均为非负数，需要进行分类讨论，只有不等式两边均为非负数(式)时，才可以直接用两边平方去掉绝对值，尤其是解含参数不等式时更必须注意这一点。
4利用零点分段法去掉绝对值符号所谓零点分段法，是指：若数1x ，2x ，……，n x 分别使含有|x －1x |，|x －2x |，……，|x －n x |的代数式中相应绝对值为零，称1x ，2x ，……，n x 为相应绝对值的零点，零点1x ，2x ，……，n x 将数轴分为m +1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。
七年级绝对值知识点梳理
七年级绝对值知识点梳理在初中数学中，绝对值是一个非常重要的知识点。
掌握好绝对值的概念和性质，不仅可以帮助我们更好地理解数学知识，还可以为我们的学习打下坚实的基础。
在这篇文章中，我将为大家梳理七年级绝对值知识点，希望对大家的学习有所帮助。
一、绝对值的定义在了解绝对值的相关知识之前，我们首先需要知道绝对值的定义。
在数学中，绝对值是一个非负数，它表示一个数离原点的距离。
举个例子，数轴上点A表示数a，点B表示数-b，则AB的长度就等于|a-b|，也就是a和b之间的距离。
二、绝对值的性质掌握好绝对值的性质可以让我们更好地运用它来进行数学运算。
以下是绝对值的三个性质：1. 非负性任何数的绝对值都是非负数，即|a|≥0。
2. 对称性对于任意数a，有|a|=|-a|。
3. 三角不等式对于任意两个数a、b，有|a+b|≤|a|+|b|。
三、绝对值的简单运算掌握好绝对值的运算方法可以让我们更好地解决数学问题。
以下是绝对值的简单运算：1. 消去绝对值符号如果一个数的绝对值符号内部已经有一个负号，则可以直接去掉绝对值符号，并将内部的负号变为正号。
例如，|-7|=-(7)=-7。
2. 加减运算对于两个数a、b的加减运算，可以利用绝对值的三角不等式来进行。
例如，求|3-5|=|-2|=2；3. 乘除运算对于两个数a、b的乘除运算，可以利用绝对值的性质来进行。
例如，求|3×(-5)|=|-15|=15，而|3|×|-5|=3×5=15。
四、绝对值的应用在日常生活中，绝对值不仅可以帮助我们解决数学运算的问题，还可以用于其他方面的应用，例如统计学中计算误差、物理学中计算电荷等等。
以下是绝对值的几个应用：1. 计算误差在测量过程中，由于种种原因，常会出现误差。
此时可以用绝对值来表示误差量，避免负误差的出现。
2. 计算距离在几何学中，我们可以用绝对值来计算点之间的距离。
例如，求点A和点B之间的距离，可以用|AB|表示。
七年级数学专题绝对值问题的几种解法ppt课件
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三、零点分段法
说明:本题是求两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时 去掉两个绝对值符号
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一、直接推理法
说明: 本题是直接利用有理数加法法则和有理数乘法法则确定字母符号
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二、巧用数轴法
说明:本题是通过数轴，运用数形结合的方法确定字母的大小顺序， 从而达到去掉绝对值的目的.
小结：学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
练习：
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知识回顾
• 1．去绝对值的符号法则： • 2．绝对值基本性质 • ①非负性：
• 3．绝对值的几何意义 • 从数轴上看， |a|表示数 a的点到原点的距
离(长度，非负)； |a-b|表示数a 、数 b的两点 间的距离．
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去绝对值符号的几种常用方法
去绝对值符号的几种常用方法本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March去绝对值符号的几种常用方法周健良绝对值是初中数学的一个难点.如何化去绝对值的符号呢？下面介绍几种去绝对值符号的常用方法.一、用绝对值的定义例1 已知1＜a ＜3，求|1-a|+|3-a|的值.分析 由1＜a 知1-a 是负数，由a ＜3知3-a 是正数，根据绝对值的定义可化去|1-a|+|3-a|的绝对值的符号.解 ∵1＜a ＜3，∴1-a ＜0，3-a ＞0，故|1-a|+|3-a|= a -1+3-a=2.例2 计算|2131-|+|3141-|+|4151-|+…+|91101-| 解 原式=10191514141313121-+⋅⋅⋅+-+-+-5210121=-=. 评析 绝对值的定义也是去绝对值符号的一种方法.先判断绝对值符号里的代数式的值的符号，然后确定去绝对值符号后是原代数式本身还是它的相反数.二、用绝对值的性质例3 已知|a|=3，|b|=4，求|a +b|的值.解 ∵|a|=3，|b|=4，∴a=±3，b=±4.①当a=3,b=4时,|a+b|=3+4=7；②当a=3,b=-4时,|a+b|=|3+（-4）|=1；③当a=-3,b=4时,|a+b|=|-3+4|=1；④当a=-3,b=4时,|a+b|=|（-3）+（-4）|=7.例4 已知|a-1|+|ab-2|=0,求()()()()()()2006200612211111+++⋅⋅⋅+++++++b a b a b a ab 的值.解 ∵|a-1|+|ab-2|=0, ∴|a-1|=0,|ab-2|=0,解得a=1,b=2.∴原式=200820071541431321211⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯+⨯ =2008120071514141313121211-+⋅⋅⋅+-+-+-+-=20082007200811=-. 评析 互为相反数的绝对值相等，任何一个数的绝对值都是非负数.运用这些性质可去绝对值符号.三、用数形结合例5 数a 、b 、c 在数轴上对应的位置如图所示，化简|a+c|-|a|+|b|.解 由图示可得：b ＜0，c ＞a ＞0，∴a+c ＞0.原式= a+c-a+（-b ）= c-b.评析在数轴上，有关的点所对应的数的符号一目了然，并且知道其到原点的距离的大小.透过图形，可以看清绝对值符号里代数式的值的符号，故能去绝对值符号.四、用分段比较例6比较a、|a|、-|a|、|-a|、-|-a|的大小.解①当a=0时，a=|a|=-|a|=|-a|=-|-a|=0；②当a＞0时， a=|a|=|-a|＞-|a|=-|-a|；③当a＜0时，a=-|a|=-|-a|＜|a|=|-a|.例7 求代数式|x+1|-|x+2|+|x-3|的最小值.分析代数式中有三个绝对值的符号，x分别取三个特殊值代入计算，比较结果，便可得出结论.解①当x =-1时，原式=|-1+1|-|-1+2|+|-1-3|=0-1+4=3；②当x =-2时，原式=|-2+1|-|-2+2|+|-2-3|=1-0+5=6；③当x =3时，原式=|3+1|-|3+2|+|3-3|=4-5+0=-1.综上所述，|x+1|-|x+2|+|x-3|的最小值是-1.评析最小的绝对值是0.由几个绝对值的和、差组成的代数式，若求其最小值，则应分别令各绝对值为0（称为分段），求出相应的字母的值后，再分别代入原代数式，计算结果.通过比较，得出结论.。
初中数学中绝对值性质的应用
＋
｜ ａｂ
－２｜
＝
０ꎬ求
１ ａｂ
＋ (ａ
１ ＋ １)(ｂ
＋ １)
＋
(ａ
＋
１ ２)(ｂ
＋
２)
＋
������
＋
２０１７
１ ×
２０１８.
解 ∵ ｜ ａ － １ ｜ ＋ ｜ ａｂ － ２ ｜ ＝ ０ꎬ∴ ｜ ａ － １ ｜ ＝ ０ꎬ ｜ ａｂ － ２ ｜ ＝
０ꎬ即 ａ ＝ １ꎬｂ ＝ ２.
∴
原式
＝
１
１ ×２
已知 ｙ ＝ ｜ ２ｘ ＋ ６ ｜ ＋ ｜ ｘ － １ ｜ － ４ ｜ ｘ ＋ １ ｜ ꎬ求 ｙ 的最大值.
分析 首先使用“ 零点分段法” 将 ｙ 化简ꎬ然后在各个
取值范围内求出 ｙ 的最大值ꎬ再加以比较ꎬ从中选出最大者.
解 有三个分界点: － ３ꎬ１ꎬ － １.
(１)当 ｘ≤ － ３ 时ꎬｙ ＝ － (２ｘ ＋ ６) － ( ｘ － １) ＋ ４ ( ｘ ＋
(４) 当 ａꎬｂꎬｃ 中有两个小于 ０ꎬ一个大于 ０ 时ꎬ原式 ＝ － １.
∴
ａ ｜ａ｜
＋
ｂ ｜ｂ｜
＋
｜
ｃ ｃ
｜
所有可能的值为
± ３ꎬ ± １.
本题的解法是采用把 ａꎬｂꎬｃ 中大于 ０ 与小于 ０ 的个数
分情况加以解决的ꎬ这种解法叫作分类讨论法ꎬ它在解决绝
对值问题时很常用.
例
已知 ｜ ａ
－１｜
１) ＝ ｘ － １ꎬ
∵ ｘ≤ － ３ꎬ∴ ｙ ＝ ｘ － １≤ － ４ꎬｙ 的最大值是 － ４.
(２)当 ｘ < － ２ 时ꎬ(第(２)种情况为小于小的界值)
原式 ＝ － (ｘ ＋ ２) ＋ [ － (３ｘ － １)] ＝ － ｘ － ２ － ３ｘ ＋ １ ＝
初中数学绝对值问题和易错点
绝对值问题绝对值是初中代数中的一个基本概念，在竞赛中经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要注意知识的创新运用， 掌握好方法，顺利解决这些问题．一、直接推理法例1：已知0,>-<ba b a ，a b a b ab -+++则等于（ ）（第八届“希望杯”初一试题） （A ）ab b a ++22.（B ）ab -.（C ）ab b a +--22.（D ）ab a +-2. 解：因为0>ba ，所以b a ,同号.又因为b a -<，即0<+b a ，所以b a ,必须同为负. 所以()()ab a ab b a b a ab b a b a +-=++----=+++-2.答案为D.说明: 本题是直接利用有理数加法法则和有理数乘法法则确定字母符号.二、巧用数轴法例2:设有理数c b a ,,在数轴上的对应点如图1-1所示，化简b c c a a b -+++-.（2005年上海市七年级数学竞赛预赛卷）解: 由图可知，0,0,0<<>c b a ，且0>>>b a c .所以 0,0,0<-<+<-b c c a a b ． 可得()c b b c c a c a a b a b -=-+-=+-=-,,．所以 原式=()()()c c b c a b a c b c a b a 2-=-+---=-++--.说明:本题是通过数轴，运用数形结合的方法确定字母的大小顺序，从而达到去掉绝对值的目的.三、零点分段法例3:已知40≤≤a ，那么a a -+-32的最大值等于 （ ）（A ）1.（B ）5.（C ）8.（D ）3. （第十届“希望杯”初一试题）解：(1)当20≤≤a 时， a a a a a 253232-=-+-=-+-a a a a a 253232-=-+-=-+-，在这一段内，当0=a 时a a -+-32取得最大值，最大值是5;(2)当32<<a 时， 13232=-+-=-+-a a a a ;(3)当43≤≤a 时， ()523232-=---=-+-a a a a a ，在这一段内，当4=a 时a a -+-32取得最大值，最大值是3;综上可知，当40≤≤a 时， a a -+-32的最大值是5.答案为B.说明:本题是求两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号．若分别去掉每个绝对值符号，则是很容易的事．解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的字母的值，这几个字母的值就是用以确定如何将字母的取值范围分段的零点.四、分类讨论法例4:如果d c b a ,,,为互不相等的有理数，且1=-=-=-b d c b c a ，那么d a -等于（ ）（山东省第二届“灵通杯”七年级数学竞赛题）（A ）1.（B ）2.（C ）3.（D ）4.解:已知c b ≠，可设c b <，由于c b c a -=-，所以c a -与c b -必互为相反数(否则b a =，不合题意)，即()c b a c b c a 2,=+--=-.又因为c b <，所以c a >. 由于b d c b -=-，所以c b -与b d -必相等(否则d c =，不合题意)，即b d c b -=-，从而得d c b +=2.因为c b <，所以d b >.因此有a c b d <<<. 所以()()()3111=++=-+-+-=-=-d b b c c a d a d a .若设c b >，同理可得3=-d a .答案为C.说明:本例的解法是采取把b ，c 分为c b <和c b >两种情况加以解决的，这种解法叫作分类讨论法，它在解决绝对值问题时很常用．本题还可以分为b a <和b a >两种情况进行讨论，同学们不妨试一试.绝对值的十个易错点在有理数的学习中，绝对值是一个重要的知识点，也比较难。
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带绝对值符号的运算
在初中数学教学中，如何去掉绝对值符号？因为这一问题看似简单，所以往往容易被人们忽视。
其实它既是初中数学教学的一个重点，也是初中数学教学的一个难点，还是学生容易搞错的问题。
那么，如何去掉绝对值符号呢？我认为应从以下几个方面着手：
一、要理解数a的绝对值的定义。
在中学数学教科书中，数a的绝对值是这样定义的，“在数轴上，表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值。
”学习这个定义应让学生理解，数a的绝对值所表示的是一段距离，那么，不论数a本身是正数还是负数，它的绝对值都应该是一个非负数。
二、要弄清楚怎样去求数a的绝对值。
从数a的绝对值的定义可知，一个正数的绝对值肯定是它的本身，一个负数的绝对值必定是它的相反数，零的绝对值就是零。
在这里要让学生重点理解的是，当a是一个负数时，怎样去表示a的相反数（可表示为“-a”），以及绝对值符号的双重作用（一是非负的作用，二是括号的作用）。
三、掌握初中数学常见去掉绝对值符号的几种题型。
1、对于形如︱a︱的一类问题
只要根据绝对值的3个性质，判断出a的3种情况，便能快速去掉绝对值符号。
当a>0时，︱a︱=a(性质1：正数的绝对值是它本身)；
当a=0 时︱a︱=0(性质2：0的绝对值是0) ；
当a<0 时；︱a︱=–a (性质3：负数的绝对值是它的相反数) 。
2、对于形如︱a+b︱的一类问题
首先要把a+b看作是一个整体，再判断a+b的3种情况，根据绝对值的3个性质，便能快速去掉绝对值符号进行化简。
当a+b>0时，︱a+b︱=(a+b) =a +b(性质1：正数的绝对值是它本身)；
当a+b=0 时，︱a+b︱=(a+b) =0(性质2：0的绝对值是0)；
当a+b<0 时，︱a+b︱=–(a+b)=–a-b (性质3：负数的绝对值是它的相反数)。
3、对于形如︱a-b︱的一类问题
同样，仍然要把a-b看作一个整体，判断出a-b 的3种情况，根据绝对值的3个性质，去掉绝对值符号进行化简。
但在去括号时最容易出现错误。
如何快速去掉绝对值符号，条件非常简单，只要你能判断出a与b的大小即可（不论正负）。
因为︱大-小︱=︱小-大︱=大-小，所以当a>b时，︱a-b︱=（a-b）= a-b，︱b-a︱=（a-b）= a-b 。
口诀：无论是大减小，还是小减大，去掉绝对值，都是大减小。
4、对于数轴型的一类问题，
根据3的口诀来化简，更快捷有效。
如︱a-b︱的一类问题，只要判断出a在b的右边（不论正负），便可得到︱a-b︱=（a-b）=a-b，︱b-a︱=（a-b）=a-b 。
5、对于绝对值符号前有正、负号的运算
非常简单，去掉绝对值符号的同时，不要忘记打括号。
前面是正号的无所谓，如果是负号，忘记打括号就惨了，差之毫厘失之千里也！
去绝对值化简专题练习：
（1）设化简的结果是（）。
（A）（B）（C）（D）
(2) 实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式的值等于（）。
（A）（B）（C）（D）
(3) 已知，化简的结果是。
(4) 已知，化简的结果是。
(5) 已知，化简的结果是。
(6) 已知a、b、c、d满足且，那么（提示：可借助数轴完成）
(7) 若，则有（）。
（A）（B）（C）（D）
(8) 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子化简结果为（）．
（A）（B）（C）（D）
(9) 有理数a、b在数轴上的对应点如图所示，那么下列四个式子，
中负数的个数是（）．
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
(10) 化简
(11) 设x是实数，下列四个结论中正确的是（）。
（A）y没有最小值
（B）有有限多个x使y取到最小值
（C）只有一个x使y取得最小值
（D）有无穷多个x使y取得最小值。