最新专题一---恒成立与存在性问题

[解析] ∵f(x)＝x2－1，x∈[32，＋∞)， f(mx )－4m2f(x)≤f(x－1)＋4f(m)对 x∈[32，＋∞)恒成立． 即(mx )2－1－4m2(x2－1)≤(x－1)2－1＋4(m2－1)恒成立. 即(m12－4m2－1)x2＋2x＋3≤0 恒成立.即m12－4m2－1≤－2xx2－3恒成立. g(x)＝－2xx2－3＝－x32－x2＝－3(x12＋32x)＝－3(1x＋31)2＋31. ∵x≥32，∴0＜1x≤32，∴当1x＝23时，g(x)min＝－38. ∴m12－4m2－1≤－83.整理得 12m4－5m2－3≥0，(3m2＋1)(4m2－3)≥0. ∵3m2＋1>0，∴4m2－3≥0.即：m≥ 23或 m≤－ 23.
方法技巧 (1)平面区域：
用二元一次不等式(组)表示平面区域．具体步骤是：①画线； ②定“侧”；③求“交”(交集，即公共区域)． (2)线性规划问题解题步骤： ①作图——画出可行域所确定的平面区域和目标函数所表示的 平行直线系中的一条 l； ②平移——将 l 平行移动，以确定最优解的对应点 A 的位置； ③求值——解有关方程组求出 A 点坐标(即最优解)，代入目标 函数，求出目标函数的最值．
专题一---恒成立与存在性问题
(2)存在性问题
1. ∃x0∈D,使得 f(x0)>A 成立，则 f(x) max >A； 2. ∃x0∈D,使得 f(x0)﹤A 成立，则 f(x) min <A
3. ∃x0∈D,使得 f(x0) >g(x0)成立，设 F(x)= f(x)- g(x)
∴ F(x) max >0
2x1 2 2(2x1)
所以y=ln x (x1 ∈[0,1])的最大值为0,
2x 1
而y=3ma+4-m2(a∈[-1,1])是关于a的一次函数， 故其最小值只能在a=-1或a=1处取得,于是得到：
3 0 m 3 0 m 4 m 2或 3 0 m ＜ 3 m 0 4 m 2,
解得0≤m≤1或-1≤m＜0， 所以m的取值范围是[-1，1].
[常考题型汇总]
[例 1] (1)(2011·东城模拟)函数 f(x)＝－x－x＋1，1，x≥x<0，0， ，则
不等式 x＋(x＋1)f(x＋1)≤1 的解集是
A．{x|－1≤x≤ 2－1}
B．{x|x≤1}
() [答案] C
C．{x|x≤ 2－1}
2x 1
步转化为( ln 2 x x 1 1 ) m a x ( 3 m a 成 立4 . m 2 ) m in
(2)①F(x)=ln(x+2)- 2 x
x 1
定义域为： (-2,-1)∪(-1,+∞).
F′(x)= x 1 2 2 ( x ( x 1 ) 1 ) 2 2 x x 1 2 ( x 2 1 ) 2 =(x (x 1 )2 2 ) (x 2 ( x 1 )2 2 ) (x x 2 2 )( x 3 1 )2, 令F′(x)＞0，得单调增区间为 (2,和 3) ( 3,) 令F′(x)＜0，得单调减区间为 ( 和3,1) (1, 3)
(2)z＝x2＋y2－10y＋25 表示可行域内任一点(x，y)到定点 M(0,5)的距 离的平方，过 M 作直线 AC 的垂线，易知垂足 N 在线段 AC 上，故 z 的最小值是|MN|2＝92.
(3)z＝2×xy－－－－121表示可行域内任一点(x，y)与定点 Q(－1，－12)连线 的斜率的两倍，因此 kQA＝74，kQB＝38，故 z 的范围为[34，72]．
[例 2] (2011·淄博模拟)若不等式(a－a2)(x2＋1)＋x≤0 对
一切 x∈(0,2]恒成立，则 a 的取值范围为
[答(案] ) C
A．(－∞，1－2
3 ]
B．[1＋2 3，＋∞)
C．(－∞，1－2 3]∪[1＋2 3，＋∞)
D．[1－2
3，1＋2
3 ]
2.设函数 f(x)＝x2－1，对任意 x∈[32，＋∞)，f(mx )－4m2f(x)≤f(x －1)＋4f(m)恒成立，求实数 m 的取值范围
4. ∃x0∈D,使得 f(x0) <g(x0)成立，设 F(x)= f(x)- g(x)
∴ F(x) min <0
5. ∃x1∈D, ∃x2∈E, 使得 f(x1) >g(x2)成立， 则 f(x) max > g(x) min
6. ∃x1∈D, ∃x2∈E,均使得 f(x1) <g(x2)成立， 则 f(x) min < g(x) max
②不等式f(x+1)≤f(2Baidu Nhomakorabea+1)-m2+3am+4化为：
ln(x+1)≤ln(2x+1)-m2+3am+4即
ln x≤ 31 ma+4-m2.
2x 1
现在只需求y=ln x (x1∈[0,1])的最大值和
2x 1
y=3ma+4-m2(a∈[-1,1])的最小值.
因为 x11在[1 0，1]上单调递减,
2、求参数的取值范围： y≥x， [例 3] (2011·湖南高考)设 m>1，在约束条件y≤mx， 下， x＋y≤1
目标函数 z＝x＋my 的最大值小于 2，则 m 的取值范围为([答案)] A
A．(1,1＋ 2)
B．(1＋ 2，＋∞)
C．(1,3)
D．(3，＋∞)
变式：
思考： 若目标函数取得最大值的点有无数个，则a 的取值范围
D．{x|－ 2－1≤x≤ 2－1}
1、三种基本形式：
x－y＋2≥0， 已知x＋y－4≥0，
2x－y－5≤0， 求：(1)z＝x＋2y－4 的最大值；
(2)z＝x2＋y2－10y＋25 的最小值；
(3)z＝2xy＋＋11的范围．
解：作出可行域如图，并求出顶点 的坐标A(1,3)、B(3,1)、C(7,9)． (1)易知可行域内各点均在直线x＋ 2y－4＝0的上方，故x＋2y－4＞0，将点C(7,9)代入z得最 大值为21.
(2)已知f(x)=lnx:
①设F(x)=f(x+2)- 2 x ，求F(x)的单调区间；
x 1
②若不等式f(x+1)≤f(2x+1)-m2+3am+4对任意a∈[-1,1]，
x∈[0,1]恒成立，求m的取值范围.
【解题指南】
(2)由题意只需解不等式F′(x)＞0和F′(x)＜0即可得到单调区 间；原不等式恒成立可转化为 lnx 13m a 恒 成4 立m ，2进一